第十章 复数 章末题型大总结（10大热点题型精析）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第十章 复数 章末题型大总结 题型01复数的概念与分类 解题锦囊 1.求复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 2.复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 【典例1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）实数取何值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)0? 【变式1】（24-25高一下·河南·期中）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（   ） A．1 B．6 C．5 D．1或5 【变式2】（24-25高一下·江苏连云港·期中）设复数，（）.若为实数，则（    ） A． B．2 C． D．4 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为 . 【变式4】（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【变式5】（24-25高一下·广东广州·期中）实数分别取什么数值时，复数是： (1)纯虚数； (2)与复数互为共轭. 题型02 复数的几何意义 解题锦囊 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 【典例2】（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（多选）（24-25高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【变式3】（23-24高一下·安徽黄山·期中）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【变式4】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知复数，其中是虚数单位， (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围． 题型03复数相等的充要条件 解题锦囊 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 【典例3】（24-25高一下·河北·阶段练习）已知为虚数单位，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·云南红河·三模）若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）若（，，），且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·天津·一模）是虚数单位，复数满足，则 ． 题型04复数的四则运算 解题锦囊 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的减法法则 复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). （3）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （4）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 【典例4】（多选）（24-25高一下·福建宁德·期中）已知复数，则（   ） A． B．的共轭复数为 C．为实数 D．为纯虚数 【变式1】（24-25高一下·山东济宁·期中）设是虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·福建龙岩·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·江苏常州·期中）= . 【变式4】（24-25高一下·河北·期中）已知复数，则 ． 【变式5】（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）复数 . 题型05共轭复数 解题锦囊 （1）定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. （3）共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， . 【典例5】（多选）（24-25高一下·江苏宿迁·期中）若复数z在复平面内对应的点为Z，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若z为纯虚数，则Z在虚轴上 D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为6π 【变式1】（2025·湖南邵阳·二模）已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·江苏徐州·期中）复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【变式3】（24-25高一下·浙江台州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知复数，其共轭复数为，为实数. (1)若，求； (2)若，求的值. 题型06复数的模及其几何意义解题锦囊 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 【典例6】（24-25高一下·河北唐山·期中）若复数，（为虚数单位），则（  ） A．2 B．3 C． D．1 【变式1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数，则（    ） A．13 B． C．5 D． 【变式2】（24-25高三下·河北·阶段练习）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（24-25高一下·广东·阶段练习）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若．则 C．若，则 D．若，则 【变式4】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知复数 满足 ，则 . 题型07复数运算的几何意义解题锦囊 ()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. ． 【典例7】（24-25高一下·广西·阶段练习）已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）已知复数，则复平面内满足的点的集合围成的图形面积为，则实数（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式2】（多选）（24-25高一下·山西·阶段练习）设，则下列关于复数的说法正确的是（    ） A． B． C．若，则为共轭复数 D．若，则的最大值为6 【变式3】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形面积为 ． 【变式4（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）复数满足，则的最大值为 . 题型08复数范围内方程的根 解题锦囊 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 2．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用． 【典例8】（24-25高三下·江西九江·阶段练习）若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（24-25高一上·河北保定·阶段练习）若复数．则下列命题是真命题的是（   ） A． B． C． D．若是关于的方程的根．则 【变式2】（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 【变式3】（23-24高一下·浙江嘉兴·阶段练习）已知是关于的方程的一个根. (1)求的值； (2)若是纯虚数，求实数的值和. 题型09复数性质的综合应用 【典例9】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A． B．，则 C． D． 【变式2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知复数，则（    ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若，则或 C．若，则 D． 【变式3】（2025·陕西渭南·二模）已知是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是实数 B．若为虚数，则是虚数 C．对于任意的复数都是实数 D． 【变式4】（2025高一·全国·专题练习）下列命题中正确的有（    ）． A．若复数z满足，则 B．若复数z满足，则 C．若复数，满足，则 D．若复数，则 【变式5】（24-25高一下·山西·阶段练习）已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则是纯虚数 D．若，则 题型10复数相关的新定义问题 【典例10】（多选）（2025·青海海南·模拟预测）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 【变式1】（2024·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 【变式3】（多选）（23-24高一下·广西南宁·期中）对任意复数，，定义，其中是的共轭复数，对任意复数，，，下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值. 【变式5】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 复数 章末题型大总结 题型01复数的概念与分类 解题锦囊 1.求复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 2.复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 【典例1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）实数取何值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)0? 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可； （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可； （3）根据复数相等列式求解即可. 【详解】（1）当，即或时，复数是实数； （2）当，即且时，复数是虚数； （3）当即时，复数是0. 【变式1】（24-25高一下·河南·期中）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（   ） A．1 B．6 C．5 D．1或5 【答案】C 【分析】由纯虚数的概念可得结果. 【详解】由复数是纯虚数，则，解得：. 故选：C. 【变式2】（24-25高一下·江苏连云港·期中）设复数，（）.若为实数，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】利用复数除法法则化简，得到，解得. 【详解】， 为实数，故，解得. 故选：B 【变式3】（24-25高一下·上海·期中）已知为虚数单位，设，若为纯虚数，则的值为 . 【答案】3 【分析】由纯虚数的定义计算可得. 【详解】由题意可得，解得所以. 故答案为：3. 【变式4】（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【解题思路】利用复数实部、虚部的定义逐项判断得解. 【解答过程】复数的实部为1，虚部为，ABD错误，C正确. 故选：C. 【变式5】（24-25高一下·广东广州·期中）实数分别取什么数值时，复数是： (1)纯虚数； (2)与复数互为共轭. 【答案】(1) (2) 【分析】根据纯虚数和共轭复数概念分别列出关于的方程或方程组，然后求解的值. 【详解】（1）根据纯虚数的定义，可列出方程组. 解方程，得或. 解不等式，得且. 综合方程和不等式的解，可得. （2）根据共轭复数的定义，可列出方程组. 解方程，得或. 解方程，得. 综合两个方程的解，可得. 题型02 复数的几何意义 解题锦囊 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 【典例2】（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由复数的乘法和共轭复数的概念结合复平面内的点的特征判断即可. 【详解】由题意知， 所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 【变式1】（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的四则运算求得复数，利用复数的几何意义即可判断. 【详解】， 该复数在复平面内对应的点为，位于第三象限． 故选：C． 【变式2】（多选）（24-25高一下·全国·单元测试）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】AB 【知识点】在各象限内点对应复数的特征 【分析】先把复数整理成，根据复数对应的点位于第二象限列式，求出实数的取值范围，再逐一验证即可. 【详解】整理得，对应的点位于第二象限， 则，解得． 故选：AB 【变式3】（23-24高一下·安徽黄山·期中）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】由共轭复数的定义求出，再根据复数的几何意义求解. 【详解】由题，，对应的点在第一象限， 则，可得，又为整数，所以． 故选：B． 【变式4】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）已知复数，其中是虚数单位， (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围． 【答案】(1)空集 (2) 【分析】（1）利用纯虚数的定义列式求解； （2）求出复数对应的点，再由点的位置列出不等式组求解. 【详解】（1）复数为纯虚数，则，无解， 所以实数m的值的集合为空集； （2）由z在复平面内所对应的点在第二象限，得，解得， 所以实数m的取值范围是. 题型03复数相等的充要条件 解题锦囊 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 【典例3】（24-25高一下·河北·阶段练习）已知为虚数单位，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数相等即可求解. 【详解】由，化简得 所以. 故选：C 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用交集的结果，结合复数相等求出值，验证即得. 【详解】由集合，，且， 得，因此，所以， 当时，，因，故，符合题意. 故选：C 【变式2】（2025·云南红河·三模）若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数相等直接求解即可. 【详解】因为，所以，所以． 故选：C 【变式3】（2024·全国·模拟预测）若（，，），且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数运算结合复数相等概念可得，然后结合可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以，解得，.因为，所以， 解得或. 故选：A. 【变式4】（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用复数的加法以及复数相等可求出、的值，可得出复数，即可得出结果. 【详解】设，则， 所以，， 所以，解得，，故，即复数的虚部为. 故选：A. 【变式5】（2025·天津·一模）是虚数单位，复数满足，则 ． 【答案】 【分析】设出复数以及共轭复数，利用复数相等可得参数值，根据模长公式，可得答案. 【详解】设，则共轭复数， 由，则，解得， 所以. 故答案为：. 题型04复数的四则运算 解题锦囊 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的减法法则 复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). （3）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （4）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 【典例4】（多选）（24-25高一下·福建宁德·期中）已知复数，则（   ） A． B．的共轭复数为 C．为实数 D．为纯虚数 【答案】AD 【分析】根据复数的除法化简复数，再根据复数的模，共轭复数等复数的概念求解判断. 【详解】因为， 则，的共轭复数为，，不是实数，，为纯虚数. 故选：AD. 【变式1】（24-25高一下·山东济宁·期中）设是虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法求解即得. 【详解】依题意，. 故选：A 【变式2】（24-25高一下·福建龙岩·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算写出进而写出的值. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 【变式3】（24-25高一下·江苏常州·期中）= . 【答案】 【分析】利用复数的四则运算性质化简即可求解. 【详解】. 故答案为：. 【变式4】（24-25高一下·河北·期中）已知复数，则 ． 【答案】 【分析】根据虚数的性质，求得，结合，得到，再由共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由虚数乘方的性质，可得，其中，可得， 所以，所以. 故答案为：. 【变式5】（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）复数 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数的乘方运算及除法运算求解即可. 【详解】复数. 故答案为：. 题型05共轭复数 解题锦囊 （1）定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. （3）共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， . 【典例5】（多选）（24-25高一下·江苏宿迁·期中）若复数z在复平面内对应的点为Z，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若z为纯虚数，则Z在虚轴上 D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为6π 【答案】ABC 【分析】设得到 ，再逐项判断. 【详解】设， ， A. ， ，则，故正确； B. ，，则，故正确； C.若z为纯虚数，则则Z在虚轴上，故正确； D.因为，所以点Z的集合所构成的图形是半径为3的圆，则面积为9π，故错误； 故选：ABC 【变式1】（2025·湖南邵阳·二模）已知复数在复平面内对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出复数，再写出其共轭复数. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标是，则，故. 故选：B 【变式2】（24-25高一下·江苏徐州·期中）复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算求出，进而求出其共轭的虚部. 【详解】衣题意，，， 所以的虚部为. 故选：B 【变式3】（24-25高一下·浙江台州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由共轭复数的定义，即可得到结果. 【详解】因为，则. 故选：B 【变式4】（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）已知复数，其共轭复数为，为实数. (1)若，求； (2)若，求的值. 【答案】(1). (2)或. 【分析】（1）根据共轭复数的概念代入计算得，最后利用复数的乘方运算即可得到答案； （2）根据共轭复数的概念和复数的乘法运算即可得到方程，解出即可. 【详解】（1），所以. （2），解得或. 题型06复数的模及其几何意义解题锦囊 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 【典例6】（24-25高一下·河北唐山·期中）若复数，（为虚数单位），则（  ） A．2 B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的减法运算及复数的模的计算公式即可求解. 【详解】， 故选：C. 【变式1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数，则（    ） A．13 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】利用共轭复数概念以及复数的模公式求解判断. 【详解】，. 故选：D. 【变式2】（24-25高三下·河北·阶段练习）已知为虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的四则运算化简可得，进而可得复数的模. 【详解】， 则， 故选：C. 【变式3】（多选）（24-25高一下·广东·阶段练习）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若．则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用复数及模的意义判断ACD；由模的计算判断B. 【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误； 对于B，设，由，得， 则，因此，，B正确； 对于C，取，满足，而，，C错误； 对于D，由，得都是实数，因此，D正确. 故选：BD 【变式4】（24-25高一下·上海宝山·期中）已知复数 满足 ，则 . 【答案】 【分析】利用复数的模的性质求解 【详解】， 故答案为： 题型07复数运算的几何意义解题锦囊 ()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. ． 【典例7】（24-25高一下·广西·阶段练习）已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合圆的性质求出最大值. 【详解】依题意，表示复平面内复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上， 表示上述圆上的点到原点的距离，所以. 故选：D 【变式1】（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）已知复数，则复平面内满足的点的集合围成的图形面积为，则实数（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及圆的面积公式，即可求解． 【详解】因为复平面内满足的点的集合围成的图形是以圆心，为半径的圆，且面积为， 所以，即或（舍）， 故选：B． 【变式2】（多选）（24-25高一下·山西·阶段练习）设，则下列关于复数的说法正确的是（    ） A． B． C．若，则为共轭复数 D．若，则的最大值为6 【答案】ABD 【分析】设，，根据共轭复数概念、复数乘法、复数模的坐标表示逐项判断AB；根据共轭复数的概念可判断C；根据复数的几何意义可判断D. 【详解】对于A，设，则，A正确； 对于B，设，故 ， 而，B正确； 对于C，，因为， 所以，即，但a与m不一定相等，C错误； 对于D，若，则复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与点的距离，则距离的最大值为，D正确． 故选：ABD 【变式3】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形面积为 ． 【答案】 【分析】根据复数的模的几何意义确定点的集合所表示的图形，再根据圆的面积公式计算该图形的面积． 【详解】根据复数模的几何意义，复数在复平面内对应的点到原点的距离为． 已知，这表示点到原点的距离大于等于且小于等于，所以点的集合形成的图形是以原点为圆心，半径和半径的两个圆所夹的圆环（包括内外圆周）． 半径为的圆的面积，半径为的圆的面积． 所以圆环的面积． 故答案为：． 【变式4（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）复数满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意结合复数的几何意义，可知表示所对应的点到点的距离，从而可可求出的最大值. 【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义为所对应的点到点的距离， 因为， 所以的最大值为. 故答案为： 题型08复数范围内方程的根 解题锦囊 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 2．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用． 【典例8】（24-25高三下·江西九江·阶段练习）若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】将代入方程，利用复数的运算法则和复数相等的概念求解即可. 【详解】因为是关于方程的一个根， 所以，整理得， 所以，解得， 故选：D 【变式1】（24-25高一上·河北保定·阶段练习）若复数．则下列命题是真命题的是（   ） A． B． C． D．若是关于的方程的根．则 【答案】ACD 【分析】利用共轭复数的定义结合复数的乘法可判断A选项；利用复数的除法可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用韦达定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，因为，故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，由题意可知，关于的方程的两虚根分别为、， 由韦达定理可得，可得，故，D对. 故选：ACD. 【变式2】（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（其中为虚数单位），若复数的共轭复数为，且． (1)求复数； (2)求复数； (3)若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根． 【答案】(1) (2) (3)，，另一根为 【分析】（1）化简复数，再根据共轭复数的概念求解； （2）根据复数的除法的运算求解； （3）将代入方程运算求出，代回方程求解. 【详解】（1）， 所以复数的共轭复数为． （2）因为， 所以 所以. （3）若是关于的方程的一个根，则， 即， 所以 解得：，， 则，即， 所以方程另一根为． 【变式3】（23-24高一下·浙江嘉兴·阶段练习）已知是关于的方程的一个根. (1)求的值； (2)若是纯虚数，求实数的值和. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）利用复数的运算法则以及复数相等的条件求解. （2）利用纯虚数的定义以及复数模的定义求解. 【详解】（1）由是方程的一个根，得， 整理得，因此， 所以. （2）由（1）知，， 由是纯虚数，得，解得，则， 所以. 题型09复数性质的综合应用 【典例9】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】由复数的概念、模长公式及代数形式的乘除运算逐个判断. 【详解】对于AB，设， 则，所以，故A错误； ，所以，故B正确； 考虑特例，，满足，显然不成立， C错误； 因为，所以，即， 所以，故D正确． 故选：BD 【变式1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A． B．，则 C． D． 【答案】AC 【分析】对A，由虚数单位的次方规律求解判断；对B，由复数的虚部不为0时，复数不能比较大小判断；对C，根据复数的乘法运算和复数的模计算公式求解判断；对D，举反例说明. 【详解】对于A，因为的取值是以4为周期，所以，故A正确； 对于B，当复数的虚部不为0时，复数不能比较大小，如，，故B错误； 对于C，设，则，所以，故C正确； 对于D，举反例，如，则，而，故D错误. 故选：AC. 【变式2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知复数，则（    ） A．若互为共轭复数，则为实数 B．若，则或 C．若，则 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，设，根据共轭复数的定义得到，计算出；B选项，举出反例得到B错误；C选项，，D选项，计算出，D正确. 【详解】设， A选项，由于互为共轭复数，故， 故，A正确； B选项，不妨设，满足，但且，B错误； C选项，若，则，C正确； D选项，， 故， ， 而， 所以，D正确. 故选：ACD 【变式3】（2025·陕西渭南·二模）已知是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是实数 B．若为虚数，则是虚数 C．对于任意的复数都是实数 D． 【答案】BCD 【分析】设，，代入进行验证． 【详解】设， 选项A，若，则，不一定是实数，A错； 选项B，是虚数，则，，但，是虚数，B正确； 选项C，是实数，C正确； 选项D，设，则 ，D正确； 故选：BCD． 【变式4】（2025高一·全国·专题练习）下列命题中正确的有（    ）． A．若复数z满足，则 B．若复数z满足，则 C．若复数，满足，则 D．若复数，则 【答案】AD 【分析】设出，按照所满足的条件求出或的取值即可判断ABD，对于C，举反例即可排除. 【详解】设， 则，若，则，此时，故选项A为真． 若，则，此时，故选项D为真． ，若，则或，此时z为实数或纯虚数，故选项B为假． 设，，则，但，故选项C为假． 故选：AD． 【变式5】（24-25高一下·山西·阶段练习）已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是实数 C．若，则是纯虚数 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据复数运算公式，以及概念，即可判断选项. 【详解】因为，又，所以，A正确； 设，则，所以为实数，B正确； 设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确； 若，，则满足，而，D错误. 故选：ABC. 题型10复数相关的新定义问题 【典例10】（多选）（2025·青海海南·模拟预测）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BCD 【分析】根据题设新定义，利用共轭复数的定义、复数的运算及复数相等，得到，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】设，由题意知， 即，则，解得，所以， 对于选项A，因为的虚部为1，所以A错误； 对于选项B，因为，所以B正确； 对于选项C，因为，故C正确， 对于选项D，因数在复平面内对应的点在第二象限，所以D正确， 故选：BCD. 【变式1】（2024·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由已知运算和复数的运算化简即可. 【详解】由题意可得， 即， 所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限， 故选：B. 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 【答案】A 【分析】由已知根据复数的运算及共轭复数的概念即可证明①；结合①可知的虚数根成对出现，且互为共轭复数，即可判断②. 【详解】因为是的根，所以， 所以， 于是， 即， 所以是的根，，故①正确; 由①可知，若虚数满足，则也满足， 所以的虚数根成对出现，且互为共轭复数， 所以可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积，故②正确. 故选：. 【变式3】（多选）（23-24高一下·广西南宁·期中）对任意复数，，定义，其中是的共轭复数，对任意复数，，，下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用新定义和复数的运算性质求解． 【详解】对任意复数，，定义，其中是的共轭复数， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，令，，则，， 所以，故D错误． 故选：AB． 【变式4】（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据“维形态复数”的概念，分别把时的“2维形态复数”和“1维形态复数”表示出来，再根据复数的计算法则进行计算，即可证明； （2）由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，根据复数相等的条件可求得，结合三角函数的诱导公式，可求解. 【详解】（1）当时，， 设“1维形态复数”为，则， “2维形态复数”为，则， 因为， 故“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方. （2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等， 所以， 因此， 解，得或， 解，得或， 由于两个方程同时成立，故只能有，即. 所以. 【变式5】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；②证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可； （2）①实向量，，根据条件，即可得证； ②因为，由复数的三角不等式，分别计算即可得证； （3）②考虑①中等号成立的条件知，结合题意即可求出和的值． 【详解】（1）因为，所以， 所以的模为； 因为，所以， 可得的模为； （2）①设实向量，， 则，， 而， 根据已知，当且仅当与平行时取等号，即， 所以，当且仅当时等号成立； ②因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知， （3）②考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式， 复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 根据题意，若复向量与平行， 则， 根据中等号成立的条件， 应有， 则， 结合，得，解得； 所以，所以． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$