第十章 复数章末测试-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第十章 复数章末测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高一下·重庆涪陵·阶段练习）复平面内，复数表示的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义求解即可. 【详解】在复平面内，复数表示的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D. 2．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的减法结合复数的概念可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】由题意可得为纯虚数，则，解得. 故选：C. 3．（24-25高一下·湖南·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数除法结合共轭复数概念可得答案. 【详解】，则. 故选：B． 4．（24-25高一下·河南郑州·阶段练习）适合的实数，的值是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据复数相等，得到方程组，求出，，得到答案. 【详解】， 若，则，故，，满足要求， 若，则，则，无解， 综上，且，C正确 故选：C 5．（2025·甘肃·一模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义，结合题意，列出不等式，求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，若其在第二象限， 则，解得. 故选：C. 6．（2025·云南昆明·一模）在复平面内，复数，对应的两点之间的距离为（   ） A．1 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意找到复数在复平面内对应的点，最后由两点间的距离公式即可求解. 【详解】复数在复平面内对应的点为， 复数在复平面内对应的点为， 则由两点间的距离公式求得两点之间的距离为， 故选：B. 7．（2025·湖南·模拟预测）若是复数，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由条件结合复数的几何意义确定复数在复平面上的对应点为的轨迹，结合复数模的几何意义求结论. 【详解】设，则复数在复平面上的对应点为， 因为， 所以，故， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 所以点到原点的最大距离为， 所以的最大值为. 故选：B． 8．（24-25高一下·河北·期中）已知复数是关于的方程的一个根，则（    ） A．7 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】将代入，求得，进而得到答案. 【详解】因为是关于的方程的一个根，所以， 即，所以且，解得，， 所以． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知复数：满足，则（   ） A． B．的实部为1 C．的共轭复数为 D．在复平面中对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【分析】根据代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念及几何意义判断即可. 【详解】因为，所以， 的实部为1，虚部为1，故B正确； ，故A正确； 的共轭复数为，故C不正确； 在复平面中对应的点位于第四象限，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知复数满足，，其中是虚数单位，表示的共轭复数，则下列正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C．是纯虚数 D．若是关于的实系数方程的一个根，则 【答案】BCD 【分析】由已知，解得，，结合复数的概念、几何意义及运算性质，逐项判断即可. 【详解】根据题意，，解得，， 所以的虚部为，故A错误； 又，则在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 又，故C正确； 若是方程的一个根，则方程的另一根为， 根据韦达定理有，， 解得，，所以，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）已知，都是复数，则下列命题中的真命题是（   ） A．若，则 B． C． D． 【答案】CD 【分析】举例说明判断AB；利用代数形式的复数运算，结合共轭复数以及模的计算求解判断CD. 【详解】对于A，取，满足，而且，A错误； 对于B，取，，B错误； 对于C，设， ，C正确； 对于D，设，， ，D正确. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·广东惠州·阶段练习）复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为 . 【答案】 【分析】设化简式子求得值即可. 【详解】设，则，即得，故z的虚部为. 故答案为： 13．（24-25高一下·广东广州·期中）复数的值是 . 【答案】 【分析】利用复数的运算可化简所求复数. 【详解】. 故答案为：. 14．（2025高一下·宁夏内蒙古·专题练习）已知复数，则 ． 【答案】 【分析】首先根据和的计算，发现的计算周期，即可求解. 【详解】复数 所以 ，所以， 所以的周期为3， 由，所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高一上·上海·课后作业）当实数为何值时，复数，是实数？纯虚数？零？ 【答案】当时是实数；当时是纯虚数；当时是零 【分析】根据复数的分类可列方程，即可得解. 【详解】当复数为实数时，，解得或，即当时是实数； 当复数为纯虚数时，，解得，即当时是纯虚数； 当复数为零时，，解得，即当时是零. 16．（15分）（24-25高一下·江苏南京·期中）设为实数，已知复数． (1)若对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)若为实数，且与复数相等，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）由题设列出关于x的不等式组即可计算求解； （2）由复数相等得方程组，解方程组即可得解. 【详解】（1）由对应的点在第一象限得，解得， 所以的取值范围是； （2）由得，即， 所以，解得或． 17．（15分）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知复数满足． (1)求复数； (2)，求； (3)复数是关于的方程的一个根，求出方程的两个复数根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，结合复数的运算法则，即可求解； （2）由（1）得，根据，求得，结合，即可求解. （3）将代入带入方程，得到，得出方程组，求得和的值，得到，进而确定方程的根. 【详解】（1）解：由复数，可得. （2）解：由（1）知，可得， 又由，则 ，可得， 则 ， 所以. （3）解：由（1）知：， 将代入带入方程得， 整理得， 所以，解得，即方程， 则方程的复数根为. 18．（17分）（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位. (1)求a的值； (2)在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由复数除法以及纯虚数的概念即可列式求解； （2）由复数的几何意义得出，结合向量减法及模长公式即可得解 【详解】（1）复数，，， 则. 因为是纯虚数，所以，解得. （2）由（1）得，. 由题意得，点O，A，B的坐标分别为，，， 所以，，因为， 所以，解得或. 19．（17分）（24-25高一下·吉林四平·阶段练习）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算：两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)①求证：对任意的实向量与，都有； ②利用①的结论，求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ③设复向量，，求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立. 【答案】(1)， (2)①证明见解析；②证明见解析，当且仅当与共线；③证明见解析 【分析】（1）利用定义的复向量的数量积，即可求复向量的模； （2）利用实向量就等价于平面向量的坐标运算，所以可用平面向量的数量积来证明； 复向量的数量积则借助复数的运算，及模的运算来证明即可. 【详解】（1）令． 由已知得，所以 由，可得， 由，可得． （2）①设实向量与的夹角为，则， 因为，所以， 即，当且仅当与共线时等号成立． ②设，（为实数）． ，，． 由①得成立， 当且仅当与共线，即时等号成立． ③设复向量，，， ， 由得． 又因为，， 所以仍然成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 复数章末测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高一下·重庆涪陵·阶段练习）复平面内，复数表示的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南郑州·阶段练习）适合的实数，的值是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．（2025·甘肃·一模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 6．（2025·云南昆明·一模）在复平面内，复数，对应的两点之间的距离为（   ） A．1 B． C．4 D．5 7．（2025·湖南·模拟预测）若是复数，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·河北·期中）已知复数是关于的方程的一个根，则（    ） A．7 B．3 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知复数：满足，则（   ） A． B．的实部为1 C．的共轭复数为 D．在复平面中对应的点位于第四象限 10．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知复数满足，，其中是虚数单位，表示的共轭复数，则下列正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C．是纯虚数 D．若是关于的实系数方程的一个根，则 11．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）已知，都是复数，则下列命题中的真命题是（   ） A．若，则 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·广东惠州·阶段练习）复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为 . 13．（24-25高一下·广东广州·期中）复数的值是 . 14．（2025高一下·宁夏内蒙古·专题练习）已知复数，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（24-25高一上·上海·课后作业）当实数为何值时，复数，是实数？纯虚数？零？ 16．（15分）（24-25高一下·江苏南京·期中）设为实数，已知复数． (1)若对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)若为实数，且与复数相等，求的值． 17．（15分）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知复数满足． (1)求复数； (2)，求； (3)复数是关于的方程的一个根，求出方程的两个复数根． 18．（17分）（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位. (1)求a的值； (2)在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值. 19．（17分）（24-25高一下·吉林四平·阶段练习）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算：两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)①求证：对任意的实向量与，都有； ②利用①的结论，求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ③设复向量，，求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$