浙江省温州十校联合体2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题

高二数学学科 答案 第1页 共 6 页 2024学年第二学期温州十校联合体期中联考 高二年级数学学科参考答案 命题：泰顺中学 高一数学备课组 联系电话： 审稿：柳市中学 倪净莲 联系电话： 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C D B A C B 二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9 10 11 ABC ABD ABD 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5分，共 15分。把答案填在答卷纸对应的横线上。 12、 4 3 13、 94 25 14、 4√2+9 49 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、（本题 13分） 解：(1)f( π 3 ) = 2 sin π 3 sin( π 3 − π 3 ) + √3 sin 2𝜋 3 = √3 sin 2𝜋 3 = 3 2 ……………………2 分 (2)f(x) = 2 sin x sin( x − π 3 ) + √3sin 2 x = 2sin x ( 1 2 sin x − √3 2 cos x) + 2√3sin x cos x……………………4 分 = sin2 x + √3 sin x cos x = 1 − cos 2 x 2 + √3 2 sin 2 x……………………6 分 = sin( 2x − π 6 ) + 1 2 ………………………………8 分 （补充说明：化简到f(x) = sin( 2x − π 6 ) + 1 2 得 6 分， 求出f( π 3 ) = 2 sin π 3 sin( π 3 − π 3 ) + √3 sin 2𝜋 3 = √3sin 2𝜋 3 = 3 2 得 2 分。） ∴ T = 2π 2 = π …………………………10 分 由− π 2 + 2kπ ≤ 2x − π 6 ≤ π 2 + 2kπ,解得− π 6 + kπ ≤ x ≤ π 3 + kπ, k ∈ Z……………12 分 ∴ f(x)的单调增区间为 [− π 6 + kπ, π 3 + kπ] , k ∈ Z…………………………13 分 高二数学学科 答案 第2页 共 6 页 16、(本题 15分） 解：(1)法 1. ∵ c = 3b, ∴ sin C = 3 sin B 代入 3 sinB = tan∠BACcosC + sin C, 得 3 sinB = tan∠BACcosC + 3 sinB , ………………2 分 ∴ tan∠BACcosC = 0 , ∵ tan∠BAC ≠ 0, ∴ cosC = 0, C = π 2 ……………………4 分 ∵ sin C = 3 sinB , ∴ sinB = 1 3 , cos B = 2√2 3 ， ∴ sinA = sin( B + C) = 2√2 3 ……………………6 分 ∴ a b = sin A sinB = 2√2……………………8 分 法 2. ∵ 3 sinB = tan∠BACcosC + sin C , ∴ 3 sinB = sin∠BAC cos∠BAC cosC + sin C 由正弦定理得 3b = a cosA cosC + c，…………………………2 分 代入 c = 3b,得 a cosA cosC = 0, cosC = 0, C = π 2 …………………………4 分 ΔABC 为直角三角形, c2 = b2 + a2, 代入 c = 3b,得a2 = 8b2, …………………………6 分 a b = 2√2…………………………8 分 (2)法 1.ΔABD 中，由正弦定理得 BD sin∠BAD = c sin∠ADB , ΔACD 中，由正弦定理得 DC sin∠ CAD = b sin∠ADC ,…………………………11 分 ∵ c = 3b, sin∠ADB = sin∠ADC, BD = 3CD ∴ sin∠BAD = sin∠CAD,可得∠BAD ∴ sin ∠BAD = sin∠CAD,可得∠BAD = ∠CAD…………………………13 分 = ∠CAD…………………………13 分 ∵ cosA = 1 3 = 1 − 2 sin2 ∠BAD ∴ sin∠BAD = √3 3 …………………………15 分 法 2.RtΔABC 中，c = 3b, a = 2√2b ∵ BD = 3DC, ∴ BD = 3√2 2 b, CD = √2 2 b ∴ AD = √AC2 + BC2 ∴ AD = √AC2 + BC2 = √6 2 b………………………………13 分 = √6 2 b………………………………13 分 由余弦定理, cos∠BAD = AD2 + AB2 − BD2 2AD ⋅ AB = √6 3 , ∴ sin∠BAD = √3 3 ………………15 分 高二数学学科 答案 第3页 共 6 页 (由正弦定理, AD sin B = BD sin∠BAD ,得 sin∠BAD = √3 3 ) 17、（本题 15分） 解： （1） 连接BD交CE于点 G，连接 FG， 易知DE = 1 2 𝐵𝐶, DE// 𝐵𝐶 ∴ DG = 1 2 𝐵𝐺……………………………… 2 分 ∵ 𝐴′𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 2 3 𝐴′𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∴ FG// 𝐴′𝐵………………………………4 分 ∵ FG ⊂平面CEF，A′B ⊄平面CEF ∴ A′B//平面CEF ………………………7 分 （说明：用建系解决问题酌情给分， 用平面A′BE⟂平面BCDE的条件下，正确证明得 4 分） （2） 法一 建立空间直角坐标系如图所示 则C(0,0,0), D(2,0,0), E(2,2,0)…………9 分 点A′(1,3, √2)……………………………11 分 ∵ 𝐴′𝐹⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 2 3 𝐴′𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∴ F( 5 3 , 1, √2 3 ) 设平面CEF的法向量n⃗ 1 = (x, y, z) 则{ 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⋅ ?⃗? 1 = 2x + 2y = 0 𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⋅ ?⃗? 1 = 5 3 x + y + √2 3 z = 0 ∴平面CEF的一个法向量n⃗ 1 = (1,−1,−√2)…………13 分 易知平面CDE的一个法向量n⃗ 2 = (0,0,1) ∴ cosθ = | n⃗ 1n⃗ 2 |n⃗ 1||n⃗ 2| | = | √2 2×1 | = √2 2 …………………………15 分 （说明：建系不管对错 2 分， D A C A' B E F B A' C AD E F G 高二数学学科 答案 第4页 共 6 页 点A′坐标正确 2 分，有求法向量过程不管法向量对错 2 分。） （2） 法二 过点A′作BE的垂线交于点H,连接DH， 则平面A′HD⟂平面BCDE…………………………………………9 分 过点F作DH垂线交于点N，过点N作CE垂线交于点M, 连接FM，则∠FMN即为所求角…………………………………11 分 在Rt∆FNM中，求得FN = √2 3 ，NM = √2 3 ，…………………………13 分 ∴ cosθ = √2 2 ……………………………………………………15 分 （说明：正确找到二面角的平面角4 分，FN = √2 3 ，NM = √2 3 求对其中一个即得 2 分。） 18、(本题 17分) 解：(1)当𝑎 = 1 时，𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1| ⋅ |𝑥 − 3| 当𝑥 ∈ (−∞, 1) ∪ (3,+∞)时，𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 3) ≥ 1 ⇒ 𝑥 ∈ (−∞, 2 − √2] ∪ [2 + √2,+∞) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分 当𝑥 ∈ (1,3)时，𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1) ⋅ (3 − 𝑥) ≥ 1 ⇒ 𝑥 = 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分 综上可得，不等式的解集为（− ∞, 2 − √2] ∪ {2} ∪ [2 + √2,+∞) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分 (2)根据对称性，(𝑥1 + 𝑥4) = 4𝑎, (𝑥2 + 𝑥3) = 4𝑎 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分 ∵ 𝑥1𝑥2 + 𝑥3𝑥4 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥4 = (𝑥1 + 𝑥4)(𝑥2 + 𝑥3) = 16𝑎 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 分 (3) ∵ 𝑥 ∈ [1,2], 𝑎 ∈ ( 2 3 , +∞) 当𝑎 ≥ 2 时，𝑀 = 𝑓(1) = 3𝑎2 − 4𝑎 + 1,𝑚 = 𝑓(2) = 3𝑎2 − 8𝑎 + 4 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分 当 1 < 𝑎 < 2 时，𝑀 = 𝑚𝑎𝑥{𝑓(1), 𝑓(2)} ,𝑚 = 𝑓(𝑎) = 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 11 分 B A' C AD E F H N M 高二数学学科 答案 第5页 共 6 页 (ⅈ)𝑎 ∈ [1 + √6 6 ，2)，𝑀 = 𝑓(1) = 3𝑎2 − 4𝑎 + 1,𝑚 = 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分 (ⅈⅈ)𝑎 ∈ (1,1 + √6 6 )，𝑀 = 𝑓(2) = −3𝑎2 + 8𝑎 − 4,𝑚 = 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 13 分 当 2 3 < 𝑎 ≤ 1 时，M = f(2𝑎) = 𝑎2, m = min{f(1), f(2)} ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 14 分 (ⅈ)𝑎 ∈ [ 3 4 , 1] ,𝑀 = 𝑓(2𝑎) = 𝑎2, 𝑚 = 𝑓(1) = −3𝑎2 + 4𝑎 − 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 15 分 (ⅈⅈ)𝑎 ∈ ( 2 3 , 3 4 )，𝑀 = 𝑓(2𝑎) = 𝑎2, 𝑚 = 𝑓(2) = −3𝑎2 + 8𝑎 − 4 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 16 分 ∴ 综上所述： (1)当𝑎 ∈ [2,+∞)时，M = f(1) = 3𝑎2 − 4𝑎 + 1,m = f(2) = 3𝑎2 − 8𝑎 + 4 (2)当𝑎 ∈ [1 + √6 6 ，2)时，M = f(1) = 3𝑎2 − 4𝑎 + 1,𝑚 = 0 (3)当𝑎 ∈ (1,1 + √6 6 )时，M = f(2) = −3𝑎2 + 8𝑎 − 4,m = 0 (4)当𝑎 ∈ [ 3 4 , 1]时，M = f(2𝑎) = 𝑎2, m = f(1) = −3𝑎2 + 4𝑎 − 1 (5)当𝑎 ∈ ( 2 3 , 3 4 )时，M = f(2𝑎) = 𝑎2, m = f(2) = −3𝑎2 + 8𝑎 − 4 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 17 分 19、（本题 17分） 解：（1）当村民数为 4 时，每位村民的营救意愿相互独立且概率都为 2 1 ， 设愿意营救的村民人数为 X ，则 X 满足二项分布，即 ) 2 1 ,4(~ BX ，………2 分 所以救援人数的期望值 npXE =)( =2。…………………………………………4 分 （2）当村民数为 n2 时，全体村民赶来营救的条件是至少 n 人选择营救。 所以本题即求 )( nXP  。而 ) 2 1 ,2(~ nBX ， 则𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝐶2𝑛 𝑘 ( 1 2 ) 𝑘 (1 − 1 2 ) 2𝑛−𝑘 = 𝐶2𝑛 𝑘 ( 1 2 ) 2𝑛 (𝑘 = 0,1, … ,2𝑛)。…………6 分 故𝑃(𝑋 ≥ 𝑛) = 𝑃(𝑋 = 𝑛) + 𝑃(𝑋 = 𝑛 + 1) + ⋯+ 𝑃(𝑋 = 2𝑛) = (𝐶2𝑛 𝑛 + 𝐶2𝑛 𝑛+1 + ⋯+ 𝐶2𝑛 2𝑛) ( 1 2 ) 2𝑛 = (𝐶2𝑛 𝑛 + 22𝑛 − 𝐶2𝑛 𝑛 2 ) ( 1 2 ) 2𝑛 高二数学学科 答案 第6页 共 6 页 = (22𝑛−1 + 1 2 𝐶2𝑛 𝑛 ) ( 1 2 ) 2𝑛 = 1 2 + (2𝑛)! (𝑛!)(𝑛!) ( 1 2 ) 2𝑛+1 故𝑃(𝑋 ≥ 𝑛) = 1 2 + (2𝑛)! (𝑛!)(𝑛!) ( 1 2 ) 2𝑛+1 ………………………………………………8 分 （3）村民数为 2 时，至少一人有营救意愿则全体村民前往营救。 故正常情况下，村民前往营救的概率为 2 1 3 1 2 4 − =（ ） ， 当村民因虚假呼救而白跑，则下一次前往营救的概率为 16 7 4 1 11 2 =−− ）（ 。…10 分 记 A 事件为村民前往营救，B 事件为上一次村民因虚假呼救而白跑，C 事件为牧童 撒谎。则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nP P CA P C P A P C P B P A B P C P B P A B= = = + ………12 分 故牧童第 n 次呼救，有𝑃𝑛 = 1 4 × 𝑃𝑛−1 × 7 16 + 1 4 × (1 − 𝑃𝑛−1) × 3 4 , 𝑛 ≥ 2， 即 1 5 3 64 16 n nP P −= − + ，…………………………………………………………14 分 整理可得 1 4 5 4 ( ) 23 64 23 n nP P −− = − − 。 故 1 1 4 5 4 23 64 23 n nP P −    = − − +      。 其中 16 3 4 3 4 1 1 ==P ，………………………………………………15 分 故 2, 23 4 ) 64 5 ( 368 5 23 4 ) 64 5 )( 23 4 16 3 ( 11 +−=+−−= −− nP nnn 经检验 1P 也符合，故 − +−= NnP nn , 23 4 ) 64 5 ( 368 5 1 …………………17 分 高二数学学科 试题 第 1 页 共 4 页 绝密★考试结束前 2024 学年第二学期温州十校联合体期中联考 高二年级数学学科 试题 命题学校：泰顺中学 高一数学备课组 审题学校：柳市中学 倪净莲 考生须知： 1．本卷共 4页满分 150分，考试时间 120分钟。 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4．考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1、复数 = +z i1 的虚部是（ ） A. i B. − i C. 1 D.-1 2、设全集 =U {1,2,3,4,5,6,7,8}，集合 =M {1,2,3,4}，集合 =N {3,4,5,6}，集合 =P ,7,8{4,5 }, 则  M N C PU)( 等于（ ） A. {1,2,3,4,6} B. {1,2,3,4,5,6} C. {1,2,3,4,5,6,7} D. {1,2,3,4,6,7,8} 3、已知非零向量?⃗?，?⃗?，则“?⃗? ⋅ ?⃗? = 0”是“?⃗? ⊥ ?⃗?”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、已知命题𝑝: ∀𝑥 ∈ {𝑥|𝑥是无理数}，𝑥3是无理数；命题 : q n Z ，使得 2 +n n是奇数，则（ ） A. p 和 q 都是真命题 B. p 和 q 都是真命题 C. p 和q 都是真命题 D. p 和q 都是真命题 5、在 + + +x x(1 ) (1 )3 4 的展开式中 x2 项的系数为（ ） A. 6 B. 9 C.12 D.15 6、已知 = + +f x x x x x( ) sin cos sin cos4 4 ，则 f x( ) 的最小值为（ ） A. 0 B. 1 4 C. 1 D. 9 8 高二数学学科 试题 第 2 页 共 4 页 7、某公司有 12名员工，其中 4名是经理，8名是普通员工。现在需要从 12名员工中选出 6人组成 一个至少有 2名经理的项目小组，则不同的选择方案共有（ ） A. 560 种 B. 616 种 C. 672 种 D. 728种 8、已知𝑦 = 𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥 + 1) = 𝑓(1 − 𝑥)，𝑓(𝑥 + 2) = 𝑓(𝑥) + 2，且当𝑥 ∈ [0,1]时，𝑓(𝑥) = ⅇ𝑥 则𝑓 ( 2023 2 )的值为（ ） A.ⅇ 1 2 + 1011 B. ⅇ 1 2 + 1010 C. ⅇ− 1 2 + 1011 D. ⅇ− 1 2 + 1010 二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9、已知 0a ， 0b ，则下列说法正确的是（ ） A. b b a a ++ 2 1 的最小值为 22 B.若 3=+ba ，则 1lnln + ba C. 1log ba ，则 b b a a 11 ++ D.若 14 22 =+ba ，则 24 ba + 的最大值为 2 10、下列说法正确的是（ ） A.若随机变量 ,A B满足：𝑃(𝐴) > 0, 𝑃(𝐵|𝐴) + 𝑃(𝐵) = 1,则 ,A B相互独立 B.已知随机变量 2~ ( )X N  ， ，若 ( 2) ( 6) 1P x P x +  = 则 4 = . C.若 1 ( 2 )nx x + 的展开式中二项式系数的和为 64，则系数最大的项为第 4项 D.一组数据 (1,3), (2,8), (3,10), (4,14), (5,15) 的经验回归方程为 3y x a   = + ， 则当 2x = 时，残差为 1 11 、 在 四 棱 锥 ABCDP − 中 ， ABCDPA 面⊥ , BCAD // , ADAB ⊥ , 2== APAD , 1== BCAB ,点E 为 PD的中点，点 F 为 AC 的中点，则下列说法正确的是（ ） A. EFAC ⊥ B.点 D到平面 PAC 的距离为 2 C.三棱锥 ADCP − 与三棱锥 ABCP − 的外接球半径之比为 3:4 D. PC 与面 ABE交于点Q则 PCPQ 3 2 = 高二数学学科 试题 第 3 页 共 4 页 非选择题部分 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5分，共 15分。把答案填在答卷纸对应的横线上。 12、在 ABC 中， = 150C , Ab sin= ， 3=c ，则 Atan 的值是 . 13、某班级男女生比例 2：3，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据平 均值为 3，方差为 4，女生样本数据的平均值为 5，方差为 2，则该班级全体学生周末在家学习时长 的方差 2s 的值是 . 14、在𝛥𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐵𝐶的中点，𝐺是𝐴𝐷的中点，过点𝐺作直线 l 交线段𝐴𝐵、线段𝐴𝐶分别于点𝐸、𝐹， 记𝛥𝐴𝐸𝐺的面积为𝑆1，四边形𝐺𝐷𝐶𝐹的面积为𝑆2，则 𝑆1 𝑆2 的最小值 . 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、（本题 13分）已知函数 ( ) 2sin sin( ) 3 sin 2 3 f x x x x  = − + （1）求𝑓 ( 𝜋 3 )； （2）求 ( )f x 的最小正周期和单调增区间. 16、(本题 15分）在 ABC 中， , ,a b c 分别是角 , ,A B C 所对的边，点D在边 BC 上，且满足 3c b= ，3sin tan cos sinB A C C= + . （1）求 b a 的值； （2）若 3BD DC= ，求sin .BAD 高二数学学科 试题 第 4 页 共 4 页 17、（本题 15分）如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD的中点， 2== ABAE ,将 ABE 沿 BE翻折 至 BEA' 的位置，点 F 在 DA' 上，且 DAFA ' 3 2 ' = （1）求证： BA' //平面CEF ； （2）若平面 ⊥BEA' 平面 BCDE ，求二面角 DCEF −− 的余弦值。 18、(本题 17分)已知 ( ) 2 3 3 f x x a x a a   = −  −     (1) 1a =当 时，解关于 x 的不等式 ( ) 1f x  ； (2)已知 ( ) ( )g x f x t= + 有四个零点𝑥1，x2，x3，x4， 且 1 2 3 4x x x x   ，求 1 2 3 4 1 3 2 4x x x x x x x x+ + + ; (3)  1,2x当 时，求 ( )f x 的最大值M ，最小值m . 19、（本题 17分）《狼来了》是家喻户晓的寓言，讲述牧童屡次谎称“狼来了”以逗弄村民，结果 当狼真的出现时，村民因屡次受骗而不再响应，导致羊群遭受损失的故事。假设在一片草场上有若 干村民和一名牧童。每当牧童呼救时，只有当认为应当营救的村民数目不少于全体村民的一半时， 全体村民才会赶来营救。若每位村民独立作出“救”与“不救”的决策，其营救意愿均为 1 2 ，求解下 列问题： （1）当村民数为 4时，求具有救援意愿的村民人数的期望; （2）当村民数为 2𝑛(𝑛 ∈ 𝑁∗)时，求全体村民赶来营救的概率; （3）假设村民数为 2，牧童呼救时撒谎的概率为 1 4 。在正常情况下，每位村民的营救意愿为 1 2 ；但若 他们因虚假呼救而白跑，则下次的营救意愿降为 1 4 。记牧童第n 次呼救时，村民白跑的概率为 nP ，求 nP 的表达式. D A C A' B E F