精品解析：重庆市第七中学校2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试题

重庆市第七中学校2024-2025学年度下期初2026届半期考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项 1．答卷前．考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题下上． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点P(2， 1)所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（　　） A. 对角线互相垂直的菱形是正方形 B. 四个角都相等的四边形是矩形 C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为4时，输出的的值为5，则输入的值为3时，输出的的值为（　　） A. -6 B. 6 C. -3 D. 3 5. 若一次函数的函数值y随x的增大而减小，则k的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 如图，是菱形的对角线，若，则菱形的周长为（　　） A. 10 B. 20 C. 14 D. 28 7. 若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3 8. 如图，是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论中错误的是（ ） A. 在4到8秒内乙的速度都小于甲的速度 B. 在0到8秒内甲的速度每秒增加4米 C. 乙前4秒行驶的路程为48米 D. 两车到第3秒时行驶的路程相同 9. 如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（　　　） A 1 B. C. D. 10. 对于多项式记为，即．若，即．下列结论正确的有（　　） ①对于任意实数，都有； ②对于任意实数，总有，则； ③若，且，则：或； ④存在实数，使得成立． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是____． 12. 将直线y＝2x－1向下平移3个单位后得到的直线表达式为________． 13. 点关于轴对称的点的坐标是______． 14. 如图，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为______． 15. 如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为______． 16. 小东从家里出发，骑车前往地拿文件，先上坡到达地后，休息；然后下坡到达地，拿完文件，行程情况如图．随后原路返回，若返回时，上、下坡速度与原来保持不变，且在地休息，则他从地返回到家所用的时间是___________． 17. 如图，在矩形ABCD中，，，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为________． 18. 一个四位数的千位为，百位为，十位为1，个位为，且各数位上的数字均不为0，若点在直线上，称直线为的互动直线．若的个位数字放到千位数字前产生新四位数，例如：，则．记，则___________；若为6的倍数，则满足条件的的互动直线条数为___________． 三、解答题：（本大题1个小题，共8分） 19. 一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式． （2）当时，求的值． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 20. 拖拉机开始工作时，油箱中有油升，如果工作每小时耗油升，求： （1）油箱中余油量（升）与工作时间（时）的函数关系式及自变量的取值范围； （2）当工作小时时油箱的余油量 21. 小川在学习平行四边形时发现：在平行四边形中，为对角线的中点，过点的直线分别交于点，连接，则四边形也是平行四边形．他的证明思路是：利用平行四边形的性质得三角形全等，再利用平行四边形的判定定理，从而使问题得以解决．请根据小川的思路将下面证明过程补充完整． 证明：为的中点， ①___________ 四边形是平行四边形， ②___________， 在和中， ， （）， ④___________， ⑤__________，____________， 四边形是平行四边形（对角线互相平分四边形是平行四边形）． 22. 重庆樱桃节在4月拉开序幕，沙坪坝区歌乐山甲、乙两家生态园的规划与质地同销售单价也相同．两家均推出了优惠方案．甲生态园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的樱桃六折优惠；乙生态园的优惠方案：游客进园不需要购买门票，采摘的樱桃超过一定数量后，超过部分打折优惠，若游客的樱桃采摘量为x（千克），在甲生态园所需总费用为（元），在乙生态园所需总费用为（元），图中折线表示与之间的函数关系． （1）求与之间的函数关系式、与的函数关系式． （2）当游客采摘25千克的樱桃时，你认为他在哪家生态园采摘更划算？ 23. 如图，在中，，，动点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，设点的运动路程为，的面积为．请解答下列问题： （1）请直接写出与函数关系式及的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； （3）根据图象直接写出当时，自变量取值范围．（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2） 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二象限内的点和，与轴交于点． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）点是轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点坐标． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，此时点恰好落在直线上． （1）求出线段的长度； （2）求出的函数关系式； （3）若点是轴上的一个动点，点是线段上的点（不与点、重合），是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由． 26. 在正方形中，将线段绕着点旋转，得到线段，连接． （1）如图1，延长交于，求的度数； （2）如图2，若，过点作交延长线于点，连接，，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在线段旋转的过程中，直线，交于点，过点作交直线于点，直线交于点．若，当线段取得最小值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市第七中学校2024-2025学年度下期初2026届半期考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项 1．答卷前．考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题下上． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点P(2， 1)所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】解：点P(2,1)在第一象限， 故选A． 2. 在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行结合平行线的性质可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3. 下列说法错误的是（　　） A. 对角线互相垂直的菱形是正方形 B. 四个角都相等的四边形是矩形 C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形和平行四边形的判定，根据以上判定方法逐项判断即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：、对角线互相垂直的矩形是正方形，该选项说法错误，符合题意； 、四个角都相等的四边形是矩形，该选项说法正确，不合题意； 、四条边都相等的四边形是菱形，该选项说法正确，不合题意； 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，该选项说法正确，不合题意； 故选：． 4. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为4时，输出的的值为5，则输入的值为3时，输出的的值为（　　） A. -6 B. 6 C. -3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】当x＝4时，4＞3，代入y＝2x＋b求出b的值；当x＝3时，代入y＝bx+3即可得出答案． 【详解】解：当x＝4，时，代入y＝2x＋b得 ，解得， ∴当x＝3时，． 故选：A． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和函数值的求解，读懂程序图是解题的关键． 5. 若一次函数的函数值y随x的增大而减小，则k的值可以是（ ） A B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的增减性．对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得：， ∴ 故选：A 6. 如图，是菱形的对角线，若，则菱形的周长为（　　） A. 10 B. 20 C. 14 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意掌握菱形的对角线互相垂直且平分定理的应用是解此题的关键．由菱形的性质可求得与的长，在中，由勾股定理求得边的长，即可求解． 【详解】解：设的交点为O， ∵菱形中，， ∴，，， ∴， ∴菱形的周长， 故选：B． 7. 若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y3＜y1 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出y1、y3、y2的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上， ∴y1＝2，y2＝﹣2，y3＝﹣， ∴y2＜y3＜y1． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键． 8. 如图，是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论中错误的是（ ） A. 在4到8秒内乙的速度都小于甲的速度 B. 在0到8秒内甲速度每秒增加4米 C. 乙前4秒行驶的路程为48米 D. 两车到第3秒时行驶的路程相同 【答案】D 【解析】 【分析】结合速度与时间的变化图象，作出判断即可． 【详解】解：A．在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，正确； B．根据图象得：在0到8秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到32米/秒，则每秒增加（32÷8）＝4（米/秒），正确； C．根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×4＝48米，正确； D．由于甲的图象是过原点的直线，所以可得v＝4t（v、t分别表示速度、时间）， 将v＝12m/s代入v＝4t得t＝3s，则t＝3s前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第3秒时行驶的路程不相等，故错误 故选：D． 【点睛】此题考查了函数的图象，弄清函数图象表示的意义是解本题的关键． 9. 如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（　　　） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，则，计算的长，得，证明是等腰直角三角形，可得的长． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． 10. 对于多项式记为，即．若，即．下列结论正确的有（　　） ①对于任意实数，都有； ②对于任意实数，总有，则； ③若，且，则：或； ④存在实数，使得成立． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的解集，涉及一元二次方程根的判别式，不等式，代数式的值等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式及代数式的变形． 根据题意直接代入即可判断①；根据题意结合完全平方公式判断②；根据题意，利用因式分解法即可判断③；根据题意结合一元二次方程根的判别式即可判断④． 【详解】解：①根据题意得：，∴，故①正确； ②∵对于任意实数，总有，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③若，则； ∴， ∴或，故③正确； ④∵存在实数，使得， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴不存在实数，使得成立，故④错误； 综上可得：正确的有①②③ 故选：B 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2； 故答案为x≠2． 12. 将直线y＝2x－1向下平移3个单位后得到的直线表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数平移的规律解答． 【详解】解：直线y＝2x－1向下平移3个单位后得到的直线表达式为y＝2x－1－3=2x－4， 即y=2x－4， 故答案为y=2x－4． 【点睛】此题考查了一次函数平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键． 13. 点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点关于坐标轴对称，根据点关于x对称的特征，横坐标不变，纵坐标变成相反数，即可得到答案； 【详解】解：∵点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数； ∴点关于轴对称的点的坐标是． 14. 如图，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，连接，若，则k的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段，坐标轴，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即． 【详解】解：根据题意可知：， 又反比例函数的图象位于第一象限，， 则， 故答案为：6 ． 15. 如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为______． 【答案】##58度 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三线合一，全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 小东从家里出发，骑车前往地拿文件，先上坡到达地后，休息；然后下坡到达地，拿完文件，行程情况如图．随后原路返回，若返回时，上、下坡速度与原来保持不变，且在地休息，则他从地返回到家所用的时间是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图像，解决本题的关键是从函数图像获取关键信息并结合题意即可． 从图像中得到数据并求出上、下坡的速度，再算出A地到B地的距离，最后依照题意计算即可． 【详解】解：由图像得：上坡速度为， B地到A地的距离为：， ∵休息， ∴下坡速度为：， 则从地返回到家所用的时间是：． 故答案为：． 17. 如图，在矩形ABCD中，，，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD，在Rt△ABD中，求得BD的长，在Rt△ABF中运用勾股定理求得BF的长，即可得到DF长，最后在Rt△DOF中求得FO的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接BD，交FG于O，则由轴对称的性质可知，FG垂直平分BD， 在Rt△ABD中，BD＝， ∴DO＝， 由折叠可得，∠BFO＝∠DFO， 由ADBC可得，∠DFO＝∠BGO， ∴∠BFO＝∠BGO， ∴BF＝BG，即△BFG是等腰三角形， ∴BD平分FG， 设BF＝DF＝x，则AF＝18﹣x， 在Rt△ABF中，（18﹣x）2+62＝x2， 解得，即DF＝10， ∴Rt△DOF中，OF＝ ， ∴FG＝2FO＝ ． 故答案为：． 【点睛】本题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，勾股定理以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据勾股定理列方程求解． 18. 一个四位数的千位为，百位为，十位为1，个位为，且各数位上的数字均不为0，若点在直线上，称直线为的互动直线．若的个位数字放到千位数字前产生新四位数，例如：，则．记，则___________；若为6的倍数，则满足条件的的互动直线条数为___________． 【答案】 ①. 666 ②. 8 【解析】 【分析】本题考查了新定义下整式加减的应用，从题目中获取信息列出正确的代数式并化简是解题关键． （1）根据新定义写出，的值，代入计算即可； （2）根据新定义列出，的代数式，表示出，根据为6的倍数，分析即可得出结论． 【详解】解：①根据题意得， ， 故答案为：666； ②∵ 四位数的千位为，百位为，十位为1，个位为（）， ， ∵ 将的个位数字放到千位数字之前产生新四位数， ， ， ∵ 点在直线上， ， ， ∵ 为6的倍数，是6的倍数， 也是6的倍数， 即是2的倍数也是3的倍数， ∵ 的个位数是，十位数是0，百位数是， 当是2的倍数时，为偶数，可取1、3、5、7、9， 当是3的倍数时，为3的倍数， 只有取1和7时符合题意， 或， ， ， 满足条件的的互动直线条数为8条． 故答案为：8． 三、解答题：（本大题1个小题，共8分） 19. 一个反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式． （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式及通过解析式求函数值，解题的关键是掌握待定系数法． （1）将代入利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得 ∴该反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，代入得 ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 20. 拖拉机开始工作时，油箱中有油升，如果工作每小时耗油升，求： （1）油箱中的余油量（升）与工作时间（时）的函数关系式及自变量的取值范围； （2）当工作小时时油箱的余油量 【答案】（1）；（2）油箱的余油量升． 【解析】 【分析】（1）由油箱中的余油量=原有油量-耗油量可求得函数解析式； （2）把自变量的值代入函数解析式求得相对应的函数值． 【详解】解：（1）由题意可知：； （2）把时代入得：油箱的余油量升． 【点睛】本题由数量关系列出函数解析式，再把自变量值代入函数解析式求得相对应的函数值，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答问题． 21. 小川在学习平行四边形时发现：在平行四边形中，为对角线的中点，过点的直线分别交于点，连接，则四边形也是平行四边形．他的证明思路是：利用平行四边形的性质得三角形全等，再利用平行四边形的判定定理，从而使问题得以解决．请根据小川的思路将下面证明过程补充完整． 证明：为的中点， ①___________ 四边形是平行四边形， ②___________， 在和中， ， （）， ④___________， ⑤__________，____________， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 【答案】，，，，， 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用平行四边形的性质可证，即得，再根据平行四边形的判定即可求解，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：为的中点， ∴， 四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∵，， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 故答案为：，，，，，． 22. 重庆樱桃节在4月拉开序幕，沙坪坝区歌乐山甲、乙两家生态园的规划与质地同销售单价也相同．两家均推出了优惠方案．甲生态园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的樱桃六折优惠；乙生态园的优惠方案：游客进园不需要购买门票，采摘的樱桃超过一定数量后，超过部分打折优惠，若游客的樱桃采摘量为x（千克），在甲生态园所需总费用为（元），在乙生态园所需总费用为（元），图中折线表示与之间的函数关系． （1）求与之间的函数关系式、与的函数关系式． （2）当游客采摘25千克的樱桃时，你认为他在哪家生态园采摘更划算？ 【答案】（1）； （2）乙家樱桃园采摘更划算 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数关系式是解题的关键． （1）根据题意得出樱桃销售价格，进而求得甲的函数关系式；根据函数图象待定系数法求得乙的解析式； （2）将分别代入（1）中解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得，甲、乙两采摘园优惠前的樱桃销售价格： （元/千克）． ； 当时，设， 由题意的：， 解得， ， 与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 当时， ， ， ， 他在乙家樱桃园采摘更划算． 23. 如图，在中，，，动点从点出发，沿折线运动，到达点时停止运动，设点的运动路程为，的面积为．请解答下列问题： （1）请直接写出与的函数关系式及的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； （3）根据图象直接写出当时，自变量的取值范围．（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2） 【答案】（1） （2）图象见解析，当时，y随x增大而增大（答案不唯一） （3）当时， 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分两种情况分别求出函数解析式即可解答； （2）根据（1）中函数关系式，画出函数图象即可，根据图象进行解答即可； （3）根据函数解析式分别求出当时x的值，结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，点P在上，； 当时，点P在上，， 综上，． 【小问2详解】 y与x的函数图象如图所示， 当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）． 【小问3详解】 令，； 令，． ∴当时，． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二象限内的点和，与轴交于点． （1）分别求出这两个函数表达式； （2）点是轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，三角形的面积，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）将点A，点B代入解析式，即可求解； （2）由题意求得，则，求得，然后设，根据题意求解即可． 【小问1详解】 解：将代入， 得，解得， ∴反比例函数的解析式为； 将代入，可得，即：， 将，代入， 得，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 当时，， 解得，即：， ∴， 则． ∵点是轴上一点，的面积等于面积的2倍， ∴设， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴或 ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，此时点恰好落在直线上． （1）求出线段的长度； （2）求出的函数关系式； （3）若点是轴上的一个动点，点是线段上的点（不与点、重合），是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）直线的解析式为； （3）存在，点坐标或． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，利用平行四边形的对角线互相平分的性质建立方程是解题的关键． （1）分别求出、点坐标，再求的长即可； （2）过点作轴交于点，证明，设，，则，由点在直线上，将点坐标代入直线解析式求出的值，可得点坐标，再由待定系数法求直线的解析式即可； （3）由（2）可知，设，，，分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分性质建立方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时，， ， ； 【小问2详解】 解：过点作轴交于点， ， ， ， ， ， ， ，， 设，， ， 点在直线上， ， 解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； 【小问3详解】 解：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由（2）可知，， 设，，， ①当为平行四边形的对角线时，，， 解得，， ； ②当为平行四边形的对角线时，，， 解得，， 此时点不存在； ③为平行四边形的对角线时，，， 解得，， ； 综上所述：点坐标或． 26. 在正方形中，将线段绕着点旋转，得到线段，连接． （1）如图1，延长交于，求的度数； （2）如图2，若，过点作交延长线于点，连接，，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在线段旋转的过程中，直线，交于点，过点作交直线于点，直线交于点．若，当线段取得最小值时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键． (1) 先根据正方形的性质证得和，再利用角的和差即可得出结果； (2) 过点作交的延长线于点， 先证可得，再证是等腰直角三角形可得，然后证明可得，再根据等腰直角三角形的性质可得即可证明结论； (3) 先说明当点位于和的交点时最小，再根据正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质可得；设，则，运用勾股定理和可得，进而得到；再通过证明、、最终得到，最后代入计算即可解答． 【小问1详解】 解：在正方形中，根据题意得， ∵， ， ， ， ， ， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图：过点作交的延长线于点， 四边形是正方形， , ， ， ，且， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 又， 是等腰直角三角形，即， 又， ， 在和中， ， ， 在等腰中， ， 即， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， ， ， ， 当点位于和的交点时最小， 将线段绕着点旋转，得到线段， ， ， 四边形为正方形， ∴, ，， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得： ， 在中，由勾股定理可得： ， 在中，由勾股定理可得： ， ， ， 解得: ， ； ，，， ， ，即， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$