中考第一轮复习质量检测卷06《圆》-备战2025年中考数学复习质量检测卷（湖北专用）

2025年九年级数学中考第一轮复习检测卷06 《圆》 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共30分） 1．如图，半径OC⊥AB，弧BC的度数为70°，则∠AOC＝（　　） A．20° B．35° C．55° D．70° 【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC＝70°，再根据垂径定理得到，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC的度数． 【解答】解：∵弧BC的度数为70°， ∴∠BOC＝70°， ∵OC⊥AB， ∴， ∴∠AOC＝∠BOC＝70°． 故选：D． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理． 2．桥是江南水乡重要的城市景观．如图，古运河上建有一座石拱桥，已知桥拱半径OC为5m，面宽AB为，则石拱桥的拱顶到水面的距离CD为（　　） A． B．6m C． D．7m 【分析】连接OA，利用垂径定理求出AD，再利用勾股定理求出OD即可． 【解答】解：如图，连接OA． ∵OD⊥AB， •AD＝DBAB2（m）， ∵OA＝OC＝5m， ∴OD1（m）， ∴CD＝OC+OD＝5+1＝6（m）． 故选：B． 【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OC，OD，BD，∠BCD＝105°，∠BOC＝2∠COD，则∠CBD的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理求出∠BOD，再根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BCD+∠A＝180°， ∵∠BCD＝105°， ∴∠A＝180°﹣∠BCD＝180°﹣105°＝75°， 由圆周角定理得：∠BOD＝2∠A＝150°， ∵∠BOC＝2∠COD， ∴∠COD＝150°50°， ∴∠CBD∠COD＝25°， 故选：A． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 4．⊙O的半径为5，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定 【分析】先根据勾股定理求出OP的长，再与⊙O的半径为5相比较即可． 【解答】解：∵P的坐标为（3，4）， ∴OP5， ∵⊙O的半径为5， ∴d＝r， ∴点P在⊙O上． 故选：B． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系以及坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟知点与圆的三种位置关系． 5．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【分析】根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可． 【解答】解：根据题意可知，点D是△ABC外心． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，属于基础题型，比较简单． 6．如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（　　） A．40°或80° B．50°或110° C．50°或100° D．60°或120° 【分析】设旋转后与⊙O相切于点D，连接OD，则可求得∠DBO＝30°，再利用角的和差可求得∠ABD的度数． 【解答】解： 如图，设旋转后与⊙O相切于点D，连接OD， ∵ODOB， ∴∠OBD＝30°， ∴当点D在射线BC上方时，∠ABD＝∠ABC﹣∠OBD＝80°﹣30°＝50°， 当点D在射线BC下方时，∠ABD＝∠ABC+∠OBD＝80°+30°＝110°， 故选：B． 【点评】本题主要考查切线的性质和旋转的性质，利用过切点的半径与切线垂直求得∠OBD的度数是解题的关键，注意分类讨论． 7．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，交PA于点F，交PB于点G，若PA＝5cm，则△PFG的周长为（　　） A．5cm B．7cm C．9cm D．10cm 【分析】根据切线长定理得到AF＝FE，GE＝BG，PA＝PB＝4cm，结合三角形的周长公式可求得△PFG的周长． 【解答】解：PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，交PA于点F，交PB于点G，若PA＝5cm， 由题意可得；AF＝FE，GE＝BG，PA＝PB＝5（cm）， ∴△PFG的周长＝PF+FG+GP ＝PF+FE+EG+GP ＝PF+FA+GB+GP ＝PA+PB ＝10（cm）． 故选：D． 【点评】本题考查了切线长定理，从圆外一点引圆的切线，则其切线长相等，正确进行计算是解题关键． 8如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC＝4，BC＝3，CD平分∠ACB交⊙O于点D，则劣弧AD的长为（　　） A．π B．π C．2π D．π 【分析】求得半径和弧所对的圆心角，利用弧长公式求解即可． 【解答】解：连接OD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90° 在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3， 由勾股定理得AB＝5， ∴AO＝2.5， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD∠ACB＝45°， 由圆周角定理得∠AOD＝2∠ACD＝90°， ∴劣弧AD的长为π． 故选：A． 【点评】考查了弧长公式的应用，解题的关键是牢记弧长的计算公式． 9．（2024•香洲区校级模拟）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（　　） A．30cm B．30cm C．60cm D．20πcm 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离． 【解答】解：∵圆锥的底面圆周长为20πcm， ∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为20πcm， 设扇形的圆心角为n度， ∴20π， 解得n＝120， ∴∠ABA′＝120°， 作BC⊥AA′于点C， ∴∠BAA′＝30°， ∴AC＝AB×cos30°＝3015（cm）， ∴AA′＝2AC＝30（cm）， ∴这条彩带的最短长度是30cm． 故选：B． 【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，圆锥的计算，把把立体图形转化为平面图形求解是解决本题的突破点． 10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3，给出下列结论：①△ADF∽△AED；②CD＝8；③tan∠E；④S△ADE＝6，其中正确的有个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①利用垂径定理可知，可知∠ADF＝∠AED，结合公共角可证明△ADF∽△AED； ②结合CF＝2，且，可求得DF＝6，且CG＝DG，可求得CD＝8； ③在Rt△AGF中可求得AG，在Rt△AGD中可求得tanADG，且∠E＝∠ADG，可判断出③； ④可先求得S△ADF，再求得△ADF∽△AED的相似比和面积比的关系，可求出S△ADE＝7． 【解答】解：①∵AB为直径，AB⊥CD， ∴， ∴∠ADF＝∠AED，且∠FAD＝∠DAE， ∴△ADF∽△AED， ∴①正确； ②∵AB为直径，AB⊥CD， ∴CG＝DG， ∵，且CF＝2， ∴FD＝6， ∴CD＝8， ∴②正确； ③在Rt△AGF中，FG＝CG﹣CF＝4﹣2＝2， ∵AF＝3， ∴AG，且DG＝4， ∴tan∠ADG， ∵∠E＝∠ADG， ∴tan∠E， ∴③错误； ④在Rt△ADG中，AG，DG＝4， ∴AD， 由①知：△ADF∽△AED， ∴， ∵S△ADF3， ∴， ∴S△ADE＝7， ∴④错误； ∴正确的有①②，两个． 故选：B． 【点评】本题主要考查垂径定理、相似三角形的判定和性质及三角函数的定义，由垂径定理得到G是CD的中点是解题的关键，判断③时注意利用等角的三角函数也相等，在判断④时求出相似比是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性较强，解题时注意知识的灵活运用． 2、 填空题（每小题3分，共15分） 11．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，直径AD交BC于点E，若∠B＝40°，则∠AEC的度数为 　 °． 【分析】连接BD，由等腰三角形的性质可得∠BAC＝∠ACB，利三角形的内角和定理可求解∠BAC，∠ACB的度数，根据圆周角定理可得∠BAD的度数，进而可求解． 【解答】解：连接BD，则∠ACB＝∠ADB， ∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠ACB， ∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，∠ABC＝40°， ∴∠BAC＝∠ACB＝70°， ∴∠ADB＝70°， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°， ∴∠AEC＝∠ABC+∠BAD＝40°+20°＝60°， 故答案为：60． 【点评】本题主要考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，求解∠BAD的度数是解题的关键． 12．如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若EF＝5，ED＝12，则AC的长为 　 　 ． 【分析】连接OB与OE．根据矩形的性质，由四边形OABC是矩形，得∠CBA＝90°，OB＝AC．根据勾股定理，由Rt△DEF中，EF＝5，ED＝12，得DF＝13．根据圆上点到圆心的距离均相等，由AC＝OB＝OE＝DF＝13． 【解答】解：如图，连接OB与OE． ∵四边形OABC是矩形， ∴∠CBA＝90°，OB＝AC． 在Rt△DEF中，EF＝5，ED＝12， ∴DF13， ∵四边形ODEF为矩形， ∴DF＝OE＝13， ∴AC＝OB＝DF＝OE＝13． 故答案为：13． 【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、圆的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、圆的性质是解决本题的关键． 13．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，已知AF＝6，CF＝5，AD＝3BD，则△ABC的周长为　 　 ． 【分析】根据切线长定理得出AD＝AF＝6，CE＝CF＝5，BE＝BD，根据AD＝3BD，得出BD，BE的值，即可解答． 【解答】解：∵⊙O是直角△ABC的内切圆，且AF＝6，CF＝5， ∴AD＝AF＝6，CE＝CF＝5，BE＝BD， ∵AD＝3BD， ∴， ∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝AF+CF+CE+BE+BD+AD＝26， 故答案为：26． 【点评】本题考查了切线长定理，熟记切线长定理是解题的关键． 14．如图，AB为⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F．若，AE＝2，则⊙O的直径长为　 　 ． 【分析】连接OF，首先证明，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OF． ∵DE⊥AB， ∴DE＝EF，， ∵点D是弧AC的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设OA＝OF＝x， 在Rt△OEF中，则有， 解得x＝4， ∴AB＝2x＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 15．如图，在矩形ABCD中，，点E在边AB上，AE：EB＝1：2，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段DP的最小值为 　 　 ． 【分析】点P在所对圆周角∠BPE＝60°的圆O上运动，当DP的延长线过圆心O时，PD有最小值，连接OE，OB，过O作OH⊥BE于H，过O作OM⊥AD于M，求出BE＝2，AE，由等腰三角形的性质推出∠EOH∠BOE，EHBE，由圆周角定理得到∠BOE＝2∠BPE＝120°，由tan∠EOH，求出OH＝1，由含30度角的直角三角形的性质得到PO＝OE＝2OH＝2，判定四边形AHOM是矩形，得到AM＝OH＝1，OM＝AH，由勾股定理求出OD的长，即可得到答案． 【解答】解：点P在所对圆周角∠BPE＝60°的圆O上运动， 当DP的延长线过圆心O时，PD有最小值，连接OE，OB，过O作OH⊥BE于H，过O作OM⊥AD于M， ∵AE：EB＝1：2，AB＝3， ∴BE＝2，AE， ∵OE＝OB，OH⊥BE， ∴∠EOH∠BOE，EHBE， ∵∠BOE＝2∠BPE＝120°， ∴∠EOH＝60°， ∵tan∠EOH＝tan60°， ∴OH＝1， ∵∠OEH＝90°﹣60°＝30°， ∴PO＝OE＝2OH＝2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵∠AMO＝∠AHO＝90°， ∴四边形AHOM是矩形， ∴AM＝OH＝1，OM＝AH， ∴DM＝AD﹣AM＝5﹣1＝4， ∵AH＝AE+EH＝2， ∴OM＝2， ∴OD2， ∴PD＝PO﹣OP＝22． ∴PD的最小值是22． 故答案为：22． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质，关键是判定点P在所对圆周角∠BPE＝60°的圆O上运动． 三、解答题（共9个大题，共75分） 16．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数． 【分析】先利用互余计算出∠B＝65°，再利用半径相等得到CB＝CD，所以∠CDB＝∠B＝65°，然后利用三角形外角性质计算∠DCE的度数． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝25°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝65°， ∵CB＝CD， ∴∠CDB＝∠B＝65°， ∵∠CDB＝∠DCE+∠A， ∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°． 【点评】本题考查了圆的认识：常常利用半径相等组成等腰三角形，再利用等腰三角形的性质解决问题． 17．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，2，DE∥AB交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF． （1）求证：CD＝OD． （2）若⊙O的直径是4，求EF的长． 【分析】（1）连接OE、CE，如图，利用2得到∠COE＝2∠AOE＝60°，则可判定△OCE为等边三角形，接着证明DE⊥OC，然后根据等边三角形的性质得到结论； （2）先利用勾股定理计算出DE，然后在Rt△EFD中利用勾股定理计算EF． 【解答】（1）证明：连接OE、CE，如图， ∵OC⊥AB， ∴∠AOC＝90°， ∵2， ∴∠COE＝2∠AOE， ∴∠COE＝60°， 而OE＝OC， ∴△OCE为等边三角形， ∵DE∥AB，OC⊥AB， ∴DE⊥OC， ∴CD＝OD； （2）解：∵⊙O的直径是4， ∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1， 在Rt△ODE中，DE， 在Rt△EFD中，EF2． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 18．（7分）某隧道口是圆弧形拱顶，如图，圆心为O，隧道口的水平宽AB为12m，AB离地面的高度AE为5m，连接OA，拱顶最高处C离地面的高度CD为9m．在拱顶的M，N处安装照明灯． （1）求⊙O的半径OA的长； （2）若安装的两组照明灯M，N离地面的高度均为8.5m，求M，N之间的水平距离． 【分析】（1）设AB、CD交于点G，MN、CD交于点H．设⊙O的半径OA的长为r m，根据垂径定理求出AG，用含r的代数式将OG表示出来，在Rt△AOG中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可； （2）连接OM，求出OH，在Rt△OHM中利用勾股定理求出MH，再根据垂径定理求出MN即可． 【解答】解：（1）如图，设AB、CD交于点G，MN、CD交于点H． 设⊙O的半径OA的长为r m． ∵OC⊥AB，AB＝12m， ∴AGAB＝6m， ∵AE＝5m， ∴DG＝AE＝5m， ∵CD＝9m， ∴CG＝CD﹣DG＝9﹣5＝4（m）， ∴OG＝OC﹣CG＝（r﹣4）m， 在Rt△AOG中利用勾股定理，得AG2+OG2＝OA2，即62+（r﹣4）2＝r2， 解得r＝6.5， ∴⊙O的半径OA的长是6.5m． （2）连接OM． ∵HD＝8.5m， ∴GH＝HD﹣DG＝8.5﹣5＝3.5（m）， ∵OG＝r﹣4＝6.5﹣4＝2.5（m）， ∴OH＝OG+GH＝2.5+3.5＝6（m）， 在Rt△OHM中利用勾股定理，得MH2.5（m）， ∴MN＝2MH＝2×2.5＝5（m）， ∴M，N之间的水平距离是5m． 【点评】本题考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 19．（8分）如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G． （1）求证：ED＝EG； （2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接BD，容易得到∠GBE和∠DBE相等，利用ASA证明△BGE和△BDE全等即可； （2）连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，根据ED＝EG容易求出OE，再根据垂径定理求出AE的值，最后在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值即可． 【解答】（1）证明：如图：连接BD， ∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F， ∴∠CFG＝∠GEB， ∵∠CGF＝∠BGE， ∴∠C＝∠GBE， ∵∠C＝∠DBE， ∴∠GBE＝∠DBE， ∵AB⊥CD于E， ∴∠GEB＝∠DEB， 在△GBE和△DBE中， ， ∴△BGE≌△BDE（ASA）， ∴ED＝EG． （2）解：如图： 连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1， 由（1）可知ED＝EG， ∴OE， ∵AB⊥CD于E，AB＝8， ∴AE＝BE＝4， ∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2， 即（）2+42＝r2， 解得：r， 即⊙O的半径为． 【点评】本题考查了垂径定理的应用，关键是结合勾股定理和全等三角形证明垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧． 20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C是AB上方⊙O上异于A，B的点，点D是的中点，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，连接AC，AD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC＝8，BC＝6，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，由，得∠AOD＝∠BOD，而∠AOD+∠BOD＝180°，则∠AOD＝∠BOD＝90°，由DE∥AB，得∠ODE＝∠AOD＝90°，则DE⊥OD，即可证明DE是⊙O的切线； （2）由AB为⊙O的直径，得∠ACB＝90°，则AB10，所以OD＝OA＝OBAB＝5，则S阴影＝S△AOD+S扇形BOD． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵点D是的中点， ∴， ∴∠AOD＝∠BOD， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴2∠AOD＝180°， ∴∠AOD＝∠BOD＝90°， ∵DE∥AB， ∴∠ODE＝∠AOD＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∴OD＝OA＝OBAB＝5， 由（1）得∠AOD＝∠BOD＝90°， ∴S阴影＝S△AOD+S扇形BOD5×5， ∴图中阴影部分的面积是． 【点评】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）如果AB＝4，AE＝2，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切线； （2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长． 【解答】（1）证明：连接OA， ∵OA＝OD， ∴∠1＝∠2． ∵DA平分∠BDE， ∴∠2＝∠3． ∴∠1＝∠3．∴OA∥DE． ∴∠OAE＝∠4， ∵AE⊥CD，∴∠4＝90°． ∴∠OAE＝90°，即OA⊥AE． 又∵点A在⊙O上， ∴AE是⊙O的切线． （2）解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°． ∵∠5＝90°，∴∠BAD＝∠5． 又∵∠2＝∠3，∴△BAD∽△AED． ∴， ∵BA＝4，AE＝2，∴BD＝2AD． 在Rt△BAD中，根据勾股定理， 得BD． ∴⊙O半径为． 【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定及性质的运用和切线的求法等知识点的掌握情况．要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题． 22．（9分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）求证：E为△PAB的内心； （3）若cos∠PAB，BC＝1，求PO的长． 【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明； （2）连接AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可； （3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】（1）证明：连接OB， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵AB⊥PO， ∴PO∥BC ∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC， OB＝OC， ∴∠OBC＝∠C， ∴∠AOP＝∠POB， 在△AOP和△BOP中， ， ∴△AOP≌△BOP（SAS）， ∴∠OBP＝∠OAP， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∴PB是⊙O的切线； （2）证明：连接AE， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠PAE+∠OAE＝90°， ∵AD⊥ED， ∴∠EAD+∠AED＝90°， ∵OE＝OA， ∴∠OAE＝∠AED， ∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD， ∵PA、PB为⊙O的切线， ∴PD平分∠APB ∴E为△PAB的内心； （3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°， ∴∠PAB＝∠C， ∴cos∠C＝cos∠PAB， 在Rt△ABC中，cos∠C， ∴AC，AO， ∵△PAO∽△ABC， ∴， ∴PO5． 【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 23．（11分）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G． 数学思考：（1）求线段BF和CG的数量关系； 问题解决：（2）如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB＝2，BC＝3，求线段BF和CG的数量关系； 问题拓展：（3）在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出△CEG的面积． 【分析】（1）由正方形的性质得出∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，证出∠F E B＝∠C E G，由ASA可证△BEF≌△GEC，由全等三角形的性质得出BF＝CG； （2）证明△BFE∽△GCE，由相似三角形的性质得出，求出tan∠ECF，则可得出答案； （3）过点E作EM⊥CD于M，EN⊥BC于点N，证出DM＝CM＝1，BN＝CN，由（2）知△BFE∽△GCE，由相似三角形的性质证出∠EBF＝∠G，由锐角三角函数的定义得出tan∠EBNtanG，求出CG的长，根据三角形面积公式可得出答案． 【解答】解：（1）BF＝CG；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD， ∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠ACD＝∠DAC＝45°， ∵EF⊥AC， ∴∠FEC＝90°， ∴∠EFC＝90°﹣∠ACF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EFC＝∠ECF＝∠ECG， ∴EF＝EC， ∵BE⊥EG， ∴∠BEG＝90°， ∴∠BEG＝∠FEC， ∴∠BEC+∠CEG＝∠BEG+∠FEB， ∴∠FEB＝∠CEG， ∴△BEF≌△GEC（ASA）， ∴BF＝CG， 故答案为：BF＝CG； （2），理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∵EF⊥AC， ∴∠FEC＝90°， ∴∠BCE+∠EFB＝90°，∠FEB+∠BEC＝90°， ∴∠EFB＝∠ECG， 又∵BE⊥EG， ∴∠CEG+∠BEC＝90°， ∴∠FEB＝∠CEG， ∴△BFE∽△GCE， ∴， 在Rt△ABC中，tan∠ACB， ∴tan∠ECF， ∴， ∴； （3）△CEG的面积为；理由如下： 过点E作EM⊥CD于M，EN⊥BC于点N， ∵E为AC的中点， ∴AC＝EC， ∵EM⊥DC，AD⊥DC， ∴EM∥AD， ∴， ∴DM＝CM＝1， 同理可得BN＝CN， 由（2）知△BFE∽△GCE， ∴∠EBF＝∠G， ∴tan∠EBNtanG， ∴， ∴CG， ∴S△CEGCG•EM． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质． 24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若∠PAB＝∠OCB，求m的值； （3）过点P分别作x轴，y轴的平行线交BC于点M，N，△PMN的周长记为l． ①求l关于m的函数解析式； ②在点P运动的过程中，当l取某一个值时，存在两个点，它们的横坐标分别为m1、m2（m1＜m2）满足m1+m2＝2，请求出此时l的值． 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可求解； （2）过P作PE⊥x轴于点E，由点P的横坐标为m，且在抛物线图象上，则点E的横坐标为m，，由∠PAB＝∠OCB，得tan∠PAB＝tan∠OCB，列出即可求解； （3）①设直线BC得解析式为y＝kx+n，求出直线BC得解析式为，设，则，，分当点P在BC下方时，即m＞0时和当点P在BC上方时，即m＜0时，求出PM、PN、MN即可； ②由题意得，，转化为一元二次方程即可求解． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，将A，B坐标代入得： ∴， 解得：， ∴； （2）抛物线与y轴交于点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m．如图1，过P作PE⊥x轴于点E， ∴∠AEP＝90°， ∵点P的横坐标为m，且在抛物线图象上， ∴点E的横坐标为m，，C（0，﹣4）， ∵A（﹣1，0），B（3，0） ∴AE＝m+1，，OB＝3，OC＝4， ∵∠PAB＝∠OCB， ∴tan∠PAB＝tan∠OCB， ∴，即， 整理得：16m2﹣23m﹣39＝0， 解得：，m2＝﹣1（舍去）， ∴m的值为； （3）①如图2，当点P在BC下方时，即m＞0时， 由（2）得：C（0，﹣4）， 设直线BC得解析式为：y＝kx+n， ∴，解：， ∴直线BC得解析式为：， 设， ∵PM∥x轴，PN∥y轴， ∴，， ∴PM＝m﹣m2+2m＝3m﹣m2，， ， ∴△PMN的周长； 如图3，当点P在BC上方时，即m＜0时， 由上可知：直线BC得解析式为：， 设， ∵PM∥x轴，PN∥y轴， ∴，， ∴PM＝m2﹣2m﹣m＝m2﹣3m，， ， ∴△PMN的周长， ∴； ②在点P运动的过程中，当l取某一个值时，存在两个点，它们的横坐标分别为m1、m2（m1＜m2）满足m1+m2＝2， 由①得， ∵m1+m2＝2，m1＜m2， ∴m2＝2﹣m1， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：， 由题意得正值舍去，则， ∴， 此时． 【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象及性质，待定系数法，解直角三角形和解一元二次方程，熟练掌握知识点点的应用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级数学中考第一轮复习检测卷06 《圆》 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共30分） 1．如图，半径OC⊥AB，弧BC的度数为70°，则∠AOC＝（　　） A．20° B．35° C．55° D．70° 2．桥是江南水乡重要的城市景观．如图，古运河上建有一座石拱桥，已知桥拱半径OC为5m，面宽AB为，则石拱桥的拱顶到水面的距离CD为（　　） A． B．6m C． D．7m 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OC，OD，BD，∠BCD＝105°，∠BOC＝2∠COD，则∠CBD的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 4．⊙O的半径为5，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定 5．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 6．如图，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线绕点B按顺时针方向旋转（　　） A．40°或80° B．50°或110° C．50°或100° D．60°或120° 7．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，FG与⊙O相切于点E，交PA于点F，交PB于点G，若PA＝5cm，则△PFG的周长为（　　） A．5cm B．7cm C．9cm D．10cm 8如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC＝4，BC＝3，CD平分∠ACB交⊙O于点D，则劣弧AD的长为（　　） A．π B．π C．2π D．π 9．（2024•香洲区校级模拟）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为20πcm，母线AB长为30cm．为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（　　） A．30cm B．30cm C．60cm D．20πcm 10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3，给出下列结论：①△ADF∽△AED；②CD＝8；③tan∠E；④S△ADE＝6，其中正确的有个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题（每小题3分，共15分） 11．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，直径AD交BC于点E，若∠B＝40°，则∠AEC的度数为 　 °． 12．如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若EF＝5，ED＝12，则AC的长为 　 　 ． 13．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，已知AF＝6，CF＝5，AD＝3BD，则△ABC的周长为　 　 ． 14．如图，AB为⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F．若，AE＝2，则⊙O的直径长为　 　 ． 15．如图，在矩形ABCD中，，点E在边AB上，AE：EB＝1：2，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段DP的最小值为 　 　 ． 三、解答题（共9个大题，共75分） 16．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数． 17．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，2，DE∥AB交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF． （1）求证：CD＝OD． （2）若⊙O的直径是4，求EF的长． 18．（7分）某隧道口是圆弧形拱顶，如图，圆心为O，隧道口的水平宽AB为12m，AB离地面的高度AE为5m，连接OA，拱顶最高处C离地面的高度CD为9m．在拱顶的M，N处安装照明灯． （1）求⊙O的半径OA的长； （2）若安装的两组照明灯M，N离地面的高度均为8.5m，求M，N之间的水平距离． 19．（8分）如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G． （1）求证：ED＝EG； （2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径． 20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C是AB上方⊙O上异于A，B的点，点D是的中点，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，连接AC，AD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC＝8，BC＝6，求图中阴影部分的面积． 21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）如果AB＝4，AE＝2，求⊙O的半径． 22．（9分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）求证：E为△PAB的内心； （3）若cos∠PAB，BC＝1，求PO的长． 23．（11分）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G． 数学思考：（1）求线段BF和CG的数量关系； 问题解决：（2）如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变．若AB＝2，BC＝3，求线段BF和CG的数量关系； 问题拓展：（3）在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出△CEG的面积． 24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是x轴下方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若∠PAB＝∠OCB，求m的值； （3）过点P分别作x轴，y轴的平行线交BC于点M，N，△PMN的周长记为l． ①求l关于m的函数解析式； ②在点P运动的过程中，当l取某一个值时，存在两个点，它们的横坐标分别为m1、m2（m1＜m2）满足m1+m2＝2，请求出此时l的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$