精品解析：北京市丰台区2024-2025学年高二下学期期中练习数学试题

丰台区2024-2025学年度第二学期期中练习 高二数学 考试时间：120分钟 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项. 1. 计算：（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】由排列数计算公式即可求解. 【详解】， 故选：D 2. 如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(　 　) A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均变化率的概念求解. 【详解】易知，，因此，故选A 【点睛】求平均变化率的一般步骤：①求自变量的增量△x=x2-x1，②求函数值的增量△y=f（x2）- f（x1），③求函数的平均变化率 . 3. 用数字1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先排个位，再排千位、百位和十位，即得结果. 【详解】先排个位，有种选法，再排千位、百位和十位，有种排法， 因此共有种排法， 故选：C. 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，利用导数与函数的单调性求函数单调递减区间. 【详解】因为（），所以（）， 由. 所以的减区间是. 故选：C 5. 已知数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 7 B. 13 C. 18 D. 63 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意判断得数列为等比数列，进而得到其基本量，从而利用等比数列的求和公式即可得解. 【详解】因为，， 所以数列为等比数列，公比， 又，解得， 所以. 故选：A 6. 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】分四种情况，利用分类计数原理即可求出结果. 【详解】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有种， 所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，共有种， 故选：C. 7. 函数在区间上的最小值与最大值分别为（ ） A. ，1 B. 0，1 C. 1， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可求解. 【详解】，， 得或， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以函数的最大值是，，，所以函数的最小值是. 故选：D 8. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，根据函数在上单调递增列不等式，分离常数后，进而求得的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递增， 所以，对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为，， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 9. 若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，都有转化为，得到函数在上单调递减，求出函数的导数，得到在恒成立，求出的最小值. 【详解】由，都有, 转化为， 构造上单调递减， 求导在上恒成立， 则，解得, 故，即的最小值为. 故选：D. 10. 设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，下列四个命题： ①若为等差数列，则为内和数列 ②若为等比数列，则为内和数列 ③若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 ④若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 其中真命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】通过特例判断①②错误；利用作差法证明数列为递增数列，判断③的真假；举反例判断④错误. 【详解】对于命题①、②：例如，可知即为等差数列也为等比数列， 则，但不存在，使得， 所以不为内和数列，故①、②错误； 对于命题③：因为， 对任意，，可知存在， 使得，， 则，即， 且内和数列为递增数列，可知， 所以其伴随数列为递增数列，故③正确； 对于命题④：例如， 显然是所有正整数的排列，可知为内和数列，且的伴随数列为递增数列， 但不是递增数列，故④错误； 故选：B 【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，把定义转化为已经学过的内容，简化理解和运算. 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 二项式的展开式中常数项是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项，令x的指数为0，结合通项公式即可求得答案. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令 ，即二项式的展开式中常数项是， 故答案为：6. 12. 函数的导数为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的加法法则及复合函数的求导公式可得结果. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 13. 已知函数的定义域为，，对任意，，则 的解集为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由其单调性即可求解. 【详解】由， 可得：， 构造函数，则， 所以在上单调递减，又， 所以的解集为：， 故答案为： 14. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 【答案】1012 【解析】 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有两个极值点； ②当时，函数没有最小值； ③，函数都有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】当时，利用导数分析函数的单调性，可判断①②的正误；利用函数的最值与导数的关系可判断③的正误；取，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误. 【详解】对于①，当时，，则， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数有两个极值点，①对； 对于②，当或时，，当时，， 故函数在处取得最小值，②错； 对于③，，， 因为函数在上单调递增， 因为，，所以，存在，使得， 当时，，此时函数在上单调递减， 当时，，此时函数在上单调递增， 所以，对任意的实数，函数有最小值，③对； 对于④， 令，不妨令，即取， 由③可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则，， 所以，存在，使得， 此时函数的零点之和为，④对. 故答案为：①③④. 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知数列的前n项和为，且满足，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式及. 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，再由分组求和法求出. 【小问1详解】 证明：因为， 数列的首项为， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列； 【小问2详解】 因为，所以， 所以 . 17. 已知，，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件，完成下列问题. （1）直接写出n的值； （2）求含项的系数； （3）求的值. 条件①：展开式中只有第6项的二项式系数最大； 条件②：展开式中第4项与第8项的二项式系数相等； 条件③：展开式中所有二项式系数的和为. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）选择条件①，②，③，利用二项式系数的性质求出. （2）由通项公式即可求解； （3）通过赋值法即可求解. 【小问1详解】 选择条件①，只有第6项的二项式系数最大，则的展开式共11项，即， 所以. 选择条件②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得， 所以. 选择条件③，所有二项式系数的和为，则，解得， 所以. 【小问2详解】 在二项展开式中，含项是 ， 所以含项的系数是； 【小问3详解】 由（1）知， 当时，可得； 当时，可得； 所以 18. 已知等差数列的公差为，前n项和为，满足，，且是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列的性质结合已知条件列出等式即可求得d，代入等差数列的通项公式即可得解； （2）求出等差数列的前n项和，再由裂项相消法求数列前n项和为. 【小问1详解】 在等差数列中，是与的等比中项， 所以 所以 因为，解得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以 . 19. 已知函数在处有极值2. （1）求的值； （2）若在时恒成立，求实数的取值范围； （3）设，求证：恰有两个极值点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得解析式，根据题意可得，即可求得a、b的值； （2）在时恒成立等价于，令，求得极值点，列表分析，即可求得最值得出答案. （3）由题意得，利用导数可求得的单调区间和极值，结合题意分析，即可得答案. 【小问1详解】 ， 依题意得，， 解得， 经检验，当时在x =1处取得极大值2. 【小问2详解】 在时恒成立等价于， 由，解得， 当变化时，与的变化情况如下： 单调递减 单调递增 单调递减 ，，， 当时，最小值为. 所以. 【小问3详解】 ， 由，解得，. 当x变化时，与的变化情况如下： 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 当时，有极小值；当时，有极大值. 所以恰有两个极值点. 20. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值； （3）当时，判断函数的零点个数.（只需写出结论，不要求证明） 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）当时，对求导，求出，再由导数的几何意义即可得出答案； （2）对求导，分，和求出的单调性，结合最值的定义即可得出答案； （3）分，，和，讨论的单调性和值域，即可得出答案. 【小问1详解】 当时，，，所以切点， ，， 所以函数在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ，， 当时，在区间上恒成立，函数单调递增， 函数的最小值为， 当时，在区间上恒成立，函数单调递减， 函数的最小值为， 当时，列表如下： 单调递减 单调递增 函数的最小值为. 综上可得：当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，， ①当时，令可得或，令可得， 所以函数上单调递减，在，上单调递增， 又因为，而趋近正无穷时，趋近正无穷， 故在上只有一个零点； ②当时，， 在上单调递增，且连续不间断， 且，故在上只有一个零点. ③当时，令解得， 即在上只有一个零点， ④当时，令可得，令可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当趋近正无穷时，趋近正无穷，当趋近时，趋近正无穷， 若，即时，在上无零点. 若，即时，在上只有一个零点， 若，即时，在上有两个零点， 综上:当时，函数无零点， 当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数的零点个数为2. 21. 已知数列满足（）. （1）若，，请写出该数列前6项，并求出该6项的和； （2）设数列的前n项和为，如果，，求； （3）若（），设，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）前6项分别是，和为0 （2）986 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1），结合，，依次求解出前6项，并求和得到答案； （2）数列以6为周期的周期数列，且，故，求出，并得到； （3）得到，，成等比数列，且公比，若存在，使得，则有，即，而恒成立，故方程无解，得到结论. 【小问1详解】 由可得， 故，， ，， 数列的前6项分别是， 前6项的和为； 【小问2详解】 由可得，， ， ，， ， 所以数列以6为周期的周期数列， 且， 由题意 ， 即，解得， 所以. 【小问3详解】 不存在，理由如下： 由题意，，，， 因为（），所以， 所以，，成等比数列，且公比， 所以，， 若存在，使得，则有， 而，则有，即，而， 因此不存在，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰台区2024-2025学年度第二学期期中练习 高二数学 考试时间：120分钟 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项. 1. 计算：（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 2. 如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(　 　) A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 3. 用数字1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 4. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列前n项和为，且，，则（ ） A. 7 B. 13 C. 18 D. 63 6. 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 函数在区间上的最小值与最大值分别为（ ） A. ，1 B. 0，1 C. 1， D. ， 8. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为“内和数列”，并令，称为的“伴随数列”，下列四个命题： ①若等差数列，则为内和数列 ②若为等比数列，则为内和数列 ③若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列 ④若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列 其中真命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 二项式的展开式中常数项是_______． 12. 函数的导数为_____________. 13. 已知函数的定义域为，，对任意，，则 的解集为_____________. 14. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有两个极值点； ②当时，函数没有最小值； ③，函数都有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是___________. 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知数列的前n项和为，且满足，. （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式及. 17. 已知，，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件，完成下列问题. （1）直接写出n的值； （2）求含项系数； （3）求的值. 条件①：展开式中只有第6项的二项式系数最大； 条件②：展开式中第4项与第8项的二项式系数相等； 条件③：展开式中所有二项式系数的和为. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 已知等差数列的公差为，前n项和为，满足，，且是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前n项和. 19. 已知函数在处有极值2. （1）求的值； （2）若在时恒成立，求实数的取值范围； （3）设，求证：恰有两个极值点. 20. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）求函数在区间上最小值； （3）当时，判断函数的零点个数.（只需写出结论，不要求证明） 21. 已知数列满足（）. （1）若，，请写出该数列前6项，并求出该6项的和； （2）设数列的前n项和为，如果，，求； （3）若（），设，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$