热点必刷题08 三角函数实际应用解答题专训68题（6类题型68题）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（辽宁专用）

热点必刷题08 三角函数实际应用解答题专训68题 仰角俯角问题 2 方位角问题 26 坡度坡角问题 49 生活实际物体问题 70 跨学科问题 115 古代文化相关问题 125 仰角俯角问题 1．（2025·辽宁铁岭·二模）2022年北京冬奥会的成功举办，使更多的人爱上滑雪运动．如图表示滑道，为地平线，一无人机在处测得看滑道底端的俯角为45°，看滑道上点的俯角为8.13°，此时无人机到地面的高度米，无人机沿与地平线平行方向向滑道顶端飞行100米到达点处测得看滑道上点的俯角为16.26°，（图中各点均在一个平面内，参考数据：，，）． (1)若无人机沿着原方向继续向前飞行，当无人机到达点的正上方时，求此时无人机与点的距离； (2)求滑道的坡度（斜坡的铅直高度与水平宽度的比）． 【答案】(1)28米 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定， 对于（1），作垂足为，交于点，再根据题意可知，，，，即可得，根据等角对等边得，然后根据锐角三角函数可得，即可求出答案； 对于（2），先说明四边形为矩形，可得，，根据求出，进而得，然后根据求出，即可求出，最后求出比值即可. 【详解】（1）解：如图，过点作垂足为，交于点， 根据题意可知，，，， ， ， . 在中，， ， （米）. 答：无人机到达点的正上方时，无人机与点的距离约为28米； （2）解：，， ，， . ， ∴四边形为矩形， ，. 在中，, , ， ， . 在中， , , ， ， ∴. 答：滑道的坡度为． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在小明家所住的高楼的正西方有一座小山坡，坡面与水平面的夹角为，在B点处测得楼顶D的仰角，在山顶C处测得楼顶D的仰角为，B和C的水平距离为300米（注：例如点B、点D的水平距离为；A，B，C，D在同一平面内，参考数据：，）． (1)求坡面的长度（结果保留根号）？ (2)一天傍晚，小明从A出发去山顶C散步，已知小明从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米，若她早上出发，请通过计算说明他在前能否到达山顶C处？ 【答案】(1)米； (2)能到达山顶C处，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点C作，垂足为E，在中，先利用锐角三角函数的定义求出EC的长，然后再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）过作，垂足为G，根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据平角定义求出，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为E， 在中，，米， （米）， （米）， 坡面BC的长度为米； （2）解：若他出发，他在7：25前能到达山顶C处， 理由：如图：过作，垂足为G， 由题意得：， ， ， ， 在中，，米， （米）， ， ， 在中，（米）， 在中，（米）， 小龙从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米， 小龙从A到B的需要的时间（分钟），从B沿着BC上山需要的时间（分钟）， 小龙从A出发去山顶C散步需要的时间（分钟）， ， 若她出发，他在前能到达山顶C处． 3．（2025·辽宁抚顺·一模）“浪漫月牙岛，福顺中国年”．抚顺市月牙岛新春夜游季是近年来我市打造的规模最大的冰雪旅游项目，每天吸引着大量市民前来观赏游玩．如图，小澎同学想用无人机测量月牙岛造型景观舞台的高度，将无人机垂直上升到距地面的点处，测得造型景观舞台底端点的俯角为，再将无人机沿造型景观舞台的方向水平飞行至点处，测得造型景观舞台顶端点的俯角为，点，，，均在同一竖直平面内，求造型景观舞台的高度约为多少米．（结果稍确到，参考数据：，，） 【答案】造型景观舞台的高度约为14米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，延长，相交于点，则，先求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，延长，相交于点，则， ， 由题意知，，，，． 在中，， ． 在中， ． 答：造型景观舞台的高度约为14米． 4．（2025·辽宁·一模）2025年1月23日晚，济阳区文体中心上空起飞500架无人机上演“凤凰涅槃”，一名摄影爱好者记录下全过程．如图，摄影爱好者在水平地面上的点处测得无人机位置点的仰角为；当摄影爱好者沿着倾斜角（即）的斜坡从点走到点时，无人机的位置恰好从点水平飞到点，此时，摄影爱好者在点处测得点的仰角为．已知米，米，且四点在同一竖直平面内． (1)求点到地面的距离； (2)求无人机在点处时到地面的距离．（结果精确到0.01米，测角仪的高度忽略不计，参考数据：， 【答案】(1)1.645米 (2)14.26米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过作与F，得米，米，过作地面于，交于，过作地面，交于，交于，设米，则米，四边形为矩形，是等腰直角三角形，然后由锐角三角函数定义求出，即可解决问题． 【详解】（1）过作于，如图所示： ∵， （米）； （2）过作地面于，交于，过作地面，交于，交于， ， ∴，设米，则米， ∵，且， ∴四边形为矩形，是等腰直角三角形， 米， 则米， 又∵米， ∵， （米）； 即 解得：， ， （米） 答：无人机距水平地面的高度约为14.26米． 5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）随着农业现代化的进一步推进，新农村的积极建设，农民伯伯可用无人机进行药物喷洒来消灭虫害．如图，这是一位农民伯伯喷药过程中的实时画面示意图，他在水平地面上点A处测得无人机的位置点的仰角为．当他迎着坡度为的斜坡从点A走到点B时，无人机恰好从点沿着水平方向飞到点此时，他在点处测得点的仰角为．已知米，米，这位农民伯伯让无人机沿与水平地面平行的方向飞行以便喷洒均匀．点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，求此时无人机的位置点C距水平地面的高度．（测角仪的高度忽略不计．参考数据：，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，过B作于Q，由坡度的定义和勾股定理得米，米，过D作于G，交于M，交于N，过C作，交于P，再证，设米，则米，四边形为矩形，是等腰直角三角形，得米，米，则米，得（米），（米），然后由锐角三角函数定义求出x，即可解决问题． 【详解】解：过B作于Q，如图所示： ∵坡度为， 设米，则（米）， ∵米， ∴， 即， 解得：， ∴米，米， 过D作于G，交于M，交于N，过C作，交于P， ∵， ∴， 设米，则米， ∵，且， ∴四边形为矩形，是等腰直角三角形， ∴米，米， 则米， 又∵米， ∴（米），（米）， ∵， ， ∴，即， 解得：， ∴米，米， ∴米， ∴（米）， 答：此时无人机的位置点C距水平地面AF的高度约为144米． 6．（2025·辽宁·模拟预测）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 【答案】点A到地面的距离的长约为27米 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 延长交于点，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长交于点， 由题意得，四边形为矩形， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 设米． ， ， ， 解得， （米）； 答：点到地面的距离的长约为27米． 7．（2025·辽宁丹东·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：设，由，得． ，垂足为， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 得． 答：线段的长约为． （2）在中，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 8．（2025·辽宁沈阳·一模）如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段就是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C的仰角，从点E处看点B的仰角，且米． (1)求点C到墙壁的距离； (2)求匾额悬挂的高度的长．（参考数据：） 【答案】(1)点C到墙壁的距离为米 (2)匾额悬挂的高度是4米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定； （1）过C作于F， 直接解求出的长即可得到答案； （2）过C作于H，则四边形是矩形，可得．解得到米；求出，解直角三角形得到，再解，得到，则，可得，米，． 【详解】（1）解：如图所示，过C作于F， 在中，米， ∴米； 答：点C到墙壁的距离为米； （2）解：过C作于H， ∴， 则四边形是矩形， ∴． 在中，米，， ∴米 在中，， ∴， ∴ ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴米，     答：匾额悬挂的高度是4米． 9．（2025·辽宁·模拟预测）如图，甲楼和乙楼高度相等，甲楼顶部有一竖直广告牌．从乙楼顶部处测得的仰角为，从与点相距的处测得，的仰角分别为，．求广告牌的高度．（参考数据：，，） 【答案】广告牌的高度约为米 【分析】依题意，，设，在，中分别表示出，则，进而在中，，建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：依题意，， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， 即， 解得：， 答：广告牌的高度约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 10．（2024·辽宁·模拟预测）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．    (1)求教学楼的高度． (2)若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 【答案】(1)教学楼的高度为米 (2)无人机刚好离开视线的时间为12秒 【分析】（1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解； （2）连接并延长，交于点H，先求出米，进而得出，则，则米，即可求解． 【详解】（1）解：过点B作于点G， 根据题意可得：，米，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∴米， ∵长为米， ∴（米）， 答：教学楼的高度为米． （2）解：连接并延长，交于点H， ∵米，米， ∴米， ∵米， ， ∴， ∴，米， ∴（米）， ∵无人机以米/秒的速度飞行， ∴离开视线的时间为：（秒）， 答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．    【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 11．（2024·辽宁沈阳·一模）随着5G技术的进步与发展，中国大疆无人机享誉世界，生活中的测量技术也与时俱进．某天，数学小达人小婉利用无人机来测量神农湖上A，B两点之间的距离（A，B位于同一水平地面上），如图所示，小婉站在A处遥控空中C处的无人机，此时她的仰角为，无人机的飞行高度为，并且无人机C测得湖岸边B处的俯角为，若小婉的身高，，（点A，B，C，D在同一平面内）．求A、B两点之间的距离．（结果精确到1m，）    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解题的关键是根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 【详解】如图所示, 作交于点,作交于点,    ∵无人机的飞行高度为， ∴， 由题意可得，四边形是矩形， ， ， ， ， ∵四边形是矩形, ， ∵无人机测得湖岸边处的俯角为 ， ， 即， 解得 ， ∴, 两点之间的距离. 12．（2024·辽宁大连·一模）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，先证和均为等腰直角三角形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，则，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的长． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图，    依题意得：，，， 又 和均为等腰直角三角形， ，， ，， ， ，，， 四边形为矩形， ，，， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， 在中，， 即：， ， 解得：， 检验：是原方程的根． ， 在等腰中，由勾股定理得：， 点为的中点， ， 答：太阳能电池板宽的长度约为． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键． 13．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面的处，操控者从处观测无人机的仰角为，无人机测得教学楼顶端点处的俯角为，又经过人工测量测得操控者和教学楼之间的距离为，点，，，都在同一平面上． (1)求此时无人机与教学楼之间的水平距离的长度（结果保留根号）． (2)求教学楼的高度（结果保留根号）（参考数据：，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，确定目标线段与直角三角形各边之间的和差关系是解题关键. （1）根据求出即可求解； （2）延长交于点，根据求出即可求解； 【详解】（1）解： 处离地面，操控者从处观测无人机的仰角为， ，，， 又， （2）解：延长交于点， 则，， ， ． ． 方位角问题 14．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．） (1)求的长度；（保留1位小数） (2)通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短． 【答案】(1) (2)线路2比线路1短，见解析 【分析】（1）过点D作，垂足为E．解直角三角形即可． （2）解直角三角形后比较大小解答即可． 本题考查了解直角三角形，方向角，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点D作，垂足为E． ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴，． ∴． 故的长为． （2）解：由（1）可得，在中， ， 即． 在中，， 即． ， 即． 线路1：； 线路2：． ∵， ∴线路2更短． 故线路2比线路1短． 15．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点．已知景点B位于景点A的南偏西方向，位于景点C的东南方向米处，若景点A，C与E，D都位于东西方向，且景点D位于景点C的北偏西方向1000米处，景点E位于景点A的西北方向． (1)求景点A与点C相距多少米？（结果保留根号） (2)为了方便旅客游览，景区决定在景点D和E之间修一条笔直的道路，求道路的长度．（参考数据：，结果精确到1米） 【答案】(1)米； (2)1820米 【分析】（1）过点B作BH⊥AC，先求出CH与BH的长，再求出AH的长，最后求出AC的长； （2）过点C作CN⊥DE，作MA⊥DE，得四边形CAMN是矩形，求出MN的长，再根据三角函数求出DN与EM的长，最后求出DE的长． 【详解】（1）：过点B作BH⊥AC，垂足为点H， 由题意可得：∠ACB=45°，∠CAB=60°，米， ∵在Rt△BHC中，∠HCB=45°，米， ∴（米）， ∵在Rt△ABH中，∠HAB=30°，米， ∴， 即，得AH=800米， ∴（米）； （2）：过点C作CN⊥DE，作MA⊥DE，垂足分别为点N、M， 由题意可得：∠DCN=30°，∠EAM=45°，CD=1000米，四边形CAMN是矩形， ∴， ∵在Rt△DCN中，∠DCN=30°，CD=1000米， ∴米，米， ∴米， ∵在Rt△AME中，∠MAE=45°，米， ∴米， ∴（米） 【点睛】此题考查直角三角形的问题，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路． 16．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为海里． （1）求B点到直线CA的距离； （2）执法船从A到D航行了多少海里？ 【答案】（1）点到直线的距离是75海里；（2）执法船从到航行了海里． 【分析】（1）根据方位角的定义先求出∠CBA和∠BCA的度数，再根据BH=BC×sin∠BCA计算即可得出答案； （2）延长CA，作BH⊥CA的延长线于点H，根据勾股定理求出DH的值，再利用tan∠BAH的值即可求出AH的值，即可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， （海里）， 答：点到直线的距离是75海里；   （2）延长CA，作BH⊥CA的延长线于点H 海里，海里， （海里）， ， 在中，， ， ∴AD=DH-AH=75-25（海里）. 答：执法船从到航行了海里． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的应用—解直角三角形，正确作出直角三角形是解决本题的关键． 17．（2024·辽宁·模拟预测）小明参观海军博物馆的军舰时，想测量一下军舰的长度．军舰停放位置平行于岸边主于道，军舰距离岸边主干道的距离是120米，由于军舰停放的位置正对的岸边是另一片展区，无法穿越，他想到借助于所学三角函数知识来测量计算，他沿平行于岸边的主干道从点C处走200米到点D处，在点C处测得军舰头部点A位于南偏东，在点D处测得军舰尾部点B位于南偏东．求军舰的长度（结果保留1位小数）．（，，，） 【答案】米 【分析】如图所示，过点D作交延长线于E，交于F，先根据题意得到米，，，再解求出米，解求出米，解求出米，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作交延长线于E，交于F， ∵军舰距离岸边主干道的距离是120米，军舰停放位置平行于岸边主于道， ∴米，，， 在中，米， ∴米， ∴米， 在中，米， 在中，米， ∴米， ∴军舰的长度为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键． 18．（2024·辽宁·模拟预测）如图，B地在A地的北偏东方向上，C地在B地的北偏西方向上，原来从A地到C地的路线为A→B→C，现在沿A地北偏东方向新修了一条直达C地的分路，路程比原来少了20千米．求从A地直达C地的路程（结果保留整数．参考数据：，） 【答案】从A地直达C地的路程约为80千米 【分析】结合方位角的意义，运用解直角三角形的知识解答即可． 【详解】解：过点B作于点D， 设，在中， ∵， ∴，， 在中， ∵， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴， 解得，∴（千米）， 答：从A地直达C地的路程约为80千米． 【点睛】本题考查了方位角型的解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 19．（2024·辽宁·模拟预测）如图，一渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在北偏东方向上，继续航行半小时到达B处，此时测得岛礁P在北偏东方向，同时测得岛礁P正东方向的避风港Q在B的北偏东方向，为了能在台风到来之前用最短时间到达Q处，渔船立刻以80海里/时的速度向避风港Q处驶去，求渔船还需多长时间可到达避风港Q处．（精确到0.1小时） （参考数据：， ， ） 【答案】1.0小时 【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出，再根据锐角三角函数求出 ，再由速度、时间、路程之间的关系进行计算即可． 【详解】解：如图，过点P、Q分别作的垂线，交的延长线于点C、D，由题意可知，， ，，，， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 又∵， ∴， 解得， 在中， ∵，即， ∴， ∴所需要时间为：， 答：渔船还需约1.0小时可到达避风港Q处． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 20．（2024·辽宁·模拟预测）如图，B港口在A港口的南偏西方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西方向，B港口在货轮的北偏西方向，求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．（参考数据：） 【答案】货轮距离A港口约141海里 【分析】过点B作于点H，分别解直角三角形求出AH、HC即可得到答案． 【详解】解：过点B作于点H， 根据题意得，， 在中，， ∵， ， ∴（海里） （海里） 在中， ∵ ∴（海里）． ∴（海里） 答：货轮距离A港口约141海里． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 21．（2024·辽宁·模拟预测）某海港南北方向上有两个海岸观测站A，B，距离为10海里，从港口出发的一艘轮船正沿北偏东方向匀速航行，某一时刻在观测站A，B两处分别测得此轮船正好航行到南偏东和北偏东方向上的C处，经过0.5时轮船航行到D处，此时在观测站A处测得轮船在北偏东75°方向上，求轮船航行的速度．（结果精确到0.1海里/时，参考数据：，） 【答案】轮船航行的速度约为每时27.3海里 【分析】如图，过点A作AE⊥CD于点E，运用特殊角的三角函数值，解直角三角形即可． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E． 则∠AEC＝∠AED＝90°， 依题意知，∠BAC＝∠NCD＝30°，∠ABC＝∠MAD＝75°， ∴∠ACB＝∠ABC＝75°，∠ACD＝60°， ∠CAD＝75°，∠ADE＝∠DAE＝45°． ∴AC＝AB＝10，AE＝DE． 在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠ACE＝60°， ∴AC＝5，， ∴ ∴． ∴ （海里/时） 答：轮船航行的速度约为每时27.3海里． 【点睛】本题考查了方位角的应用，特殊角的三角函数值，解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的函数值，灵活选择三角函数解直角三角形是解题的关键． 22．（2024·辽宁·模拟预测）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 【答案】420米 【分析】过D点分别作DEBC，DFAB，垂足分别是点E，点F．由三角函数可求，．可证四边形 BEDF 是矩形，可求AF＝140,在Rt△ADF中，利用三角函数可求DF＝AF·tan65°≈299.60.,可求BC＝BE＋CE≈420（米）． 【详解】解∶过D点分别作DEBC，DFAB，垂足分别是点E，点F． 由题意得，＝37°． 在R△CDE中 ∵， ，． ， ． ∴四边形 BEDF 是矩形， ∴BE＝DF，BF＝DE＝160， ∴AF＝AB－BF＝300－160＝140. 在Rt△ADF中，， ∴DF＝AF·tan65°≈140×2.14＝299.60. ∴BC＝BE＋CE＝299.60＋120≈420（米）． 所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420米． 【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形判定与性质，掌握锐角三角函数的定义与矩形判定和性质是解题关键． 23．（2024·辽宁·模拟预测）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由地出发，途经地去往地，如图．当他由地出发时，发现他的北偏东方向有一信号发射塔．他由地沿正东方向骑行km到达地，此时发现信号塔在他的北偏东方向，然后他由地沿北偏东方向骑行12km到达地． （1）求地与信号发射塔之间的距离； （2）求地与信号发射塔之间的距离．（计算结果保留根号） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过点作于点,分别求出即可求出； （2）过点作于点，解即可求出． 【详解】（1）依题意知：，， 过点作于点， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ （2）∵， ∴ 过点作于 ∵， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查解直角三角形应用，勾股定理的应用，掌握锐角三角函数的定义与勾股定理性质是解题关键． 24．（2024·辽宁·模拟预测）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米.请根据这些数据求出河的宽度.(结果保留根号) 【答案】（30+10）米 【分析】如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，根据tan30°=列出方程即可解决问题． 【详解】解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形， 设CK=HB=x， ∵∠CKA=90°，∠CAK=45°， ∴∠CAK=∠ACK=45°， ∴AK=CK=x，BK=HC=AK-AB=x-30， ∴HD=x-30+10=x-20， 在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°， ∴tan30°=， ∴ 解得x=30+10． ∴河的宽度为（30+10）米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型． 25．（2024·辽宁·模拟预测）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）    【答案】货船与A港口之间的距离约为80海里 【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，根据题意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，从而可得∠ADC=53°，然后在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AE的长，最后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答． 【详解】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，    由题意得： EF=BC=33.2海里，AG∥DC， ∴∠GAD=∠ADC=53°， 在Rt△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里， ∴AF=AB•sin50°≈40×0.77=30.8（海里）， ∴AE=AF+EF=64（海里）， 在Rt△ADE中，AD=≈=80（海里）， ∴货船与A港口之间的距离约为80海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 26．（2024·辽宁·模拟预测）如图，一艘轮船位于灯塔P东偏南25°方向，与灯塔距离为80n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东30°方向的B处，求此时轮船所在B处与灯塔P的距离（结果取整数）． （参考数据：，，，，，，） 【答案】145海里 【分析】延长BA交PE于点F，则，在Rt△AFP中，，求出PF， 在Rt△AFP中，，求出BP即可． 【详解】解：如图，延长BA交PE于点F，则， 由题意知，，，， 在Rt△AFP中，， ∴． ∵， ∴． 在Rt△AFP中，， ∴． 答：轮船所在B处与灯塔P的距离约为145n mile． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，求三角形的边或高的问题一般转化为解直角三角形问题，做辅助线构造直角三角形是解决问题的关键． 坡度坡角问题 27．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在小明家所住的高楼的正西方有一座小山坡，坡面与水平面的夹角为，在B点处测得楼顶D的仰角，在山顶C处测得楼顶D的仰角为，B和C的水平距离为300米（注：例如点B、点D的水平距离为；A，B，C，D在同一平面内，参考数据：，）． (1)求坡面的长度（结果保留根号）？ (2)一天傍晚，小明从A出发去山顶C散步，已知小明从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米，若她早上出发，请通过计算说明他在前能否到达山顶C处？ 【答案】(1)米； (2)能到达山顶C处，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点C作，垂足为E，在中，先利用锐角三角函数的定义求出EC的长，然后再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）过作，垂足为G，根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据平角定义求出，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为E， 在中，，米， （米）， （米）， 坡面BC的长度为米； （2）解：若他出发，他在7：25前能到达山顶C处， 理由：如图：过作，垂足为G， 由题意得：， ， ， ， 在中，，米， （米）， ， ， 在中，（米）， 在中，（米）， 小龙从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米， 小龙从A到B的需要的时间（分钟），从B沿着BC上山需要的时间（分钟）， 小龙从A出发去山顶C散步需要的时间（分钟）， ， 若她出发，他在前能到达山顶C处． 28．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）设的对边为，作于F，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为， ∴， ， 即台阶的高度为； （2）解：如图所示，设的对边为，作于F， ∴由题意得，四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 29．（2025·辽宁沈阳·零模）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)高楼的高度为米 (2)点离地面的距离为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）在中，解直角三角形即可得出答案； （2）作于，于，则四边形是矩形，得出，，设米，则米，米，在中，解直角三角形即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：在中，米，， ∴（米）， ∴高楼的高度为米； （2）解：如图，作于，于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设米， ∴米， ∵斜坡的坡比是， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴点离地面的距离为米． 30．（2025·辽宁铁岭·一模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部B的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（结果精确到）（参考数据： ，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，再利用含角的直角三角形的性质进行计算，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，的坡度为，， ∴， ∴， ∴， 即的长为； （2）过点作，垂足为， 根据题意得：，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度的意义，角的直角三角形，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识点．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 31．（2025·辽宁沈阳·零模）如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图②是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为，她沿水平方向向左行走122m到达点D，再沿着坡度的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走40m到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内），求摩天轮的高度．（结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】68m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 延长交的延长线于M，于N，先在中，解直角三角形求出，，再根据锐角三角函数构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点M，于N， 由题意得：， 则，， 在中，， ∴设，， ∴， 解得, ∴，， ∴，, 在中，, ∴, ∴ ∴摩天轮的高度约为68m． 32．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线．已知甲山上点到河边的距离米，点到的垂直高度为120米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为25°（参考值：，，） (1)求乙山处到河边的垂直距离； (2)求河的宽度．（结果保留整数） 【答案】(1)360米 (2)195米 【分析】（1）过B作于点F，由坡度的概念和勾股定理即可得出结论； （2）过A作于点E，过A作于点H，则四边形为矩形，得米，，由锐角三角函数定义求出的长，再由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，过B作于点F， ∵乙山的坡比为， ∴， 设米，则米， ∴（米）， 又米， ∴， ∴， ∴米， 答：乙山B处到河边的垂直距离为360米； （2）解：过A作于点E，过A作于点H，则四边形为矩形， ， ∴米，， ∴（米）， ∵从B处看A处的俯角为， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， 由（1）可知，米， ∴（米）， 答：河的宽度约为195米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义和勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 33．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是一垂直于水平面的建筑物，是建筑物底端的一个平台，斜坡的坡度（或坡比）为，坡长为米，为地平面（A，B，C，D，E均在同一平面内），在C处测得建筑物的顶端的仰角为，在处测得建筑物的顶端的仰角为，米，求建筑物的高度．（测角仪的高度不计）（结果保留整数， ） 【答案】20米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 延长交的延长线于，过作于，先解直角三角形，求出，设米，可得，再根据列方程，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交的延长线于，过作于， 在Rt中，， , 设米，则米， 米， 米， ， ， 米，米， 设米， ∵在中，， ∴， ∴ 米， 米； 在中，，， ， ， 解： （米）， 答：建筑物的高度约为20米． 34．（2024·辽宁·模拟预测）数学兴趣小组测量某楼房的高度．如图所示，楼房剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点处测得楼顶端点的仰角，台阶长39米，台阶坡面的坡度，然后在点处测得楼顶端点的仰角，则楼顶到地面的高度约为多少米． （参考数据：，，，）    【答案】70.5 【分析】如图，延长交于点，则，作于点，则四边形是矩形，设米，米，构建方程组求解． 【详解】解：如图，延长交于点，则，作于点，则四边形是矩形，    ，， 由，可以假设，， ， ， 或（舍去）， ，， 设米，米， ， ， ①， ， ②， 由①②得，， 答：塔顶到地面的高度约为70.5米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数，构建方程组解决问题． 35．（2024·辽宁·模拟预测）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树的高度，如图，于点E，在A处测得大树底端C的仰角为，沿水平地面前进米到达B处，测得大树顶端D的仰角为，测得山坡坡角（图中各点均在同一平面内）．（参考数据：，，） (1)求斜坡的长，水平宽度长度； (2)求这棵大树的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)米，米 (2)米 【分析】（1）根据题意可得米，根据三角形的外角性质可求出，从而得出米．在中，利用锐角三角函数的定义求出的长即可； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：由题意得，米， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴米 在中，，米， ∴米； （2）解：在中，，米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴这棵大树的高度约为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，解题关键是熟练掌握锐角三角函数的定义并正确运用． 36．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在坡角为的山坡上有一铁塔，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成角时，测得铁塔落在斜坡上的影子的长为8米，落在广告牌上的影子的长为5米，求铁塔AB的高．（、均与水平面垂直，结果保留根号） 【答案】米 【分析】过点C作于E，过点B作于F，在中，分别求出的长度，在中，求出的长度，继而可求得的长度． 【详解】过点C作于E，过点B作于F， 在中， ， 米， 米，米， ∵，， ∴四边形为矩形， （米） 则（米）， 在中，， 米， 米． 答：铁塔的高为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目所给的坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解． 37．（2024·辽宁·模拟预测）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的基站塔，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：） （1）求D处的竖直高度； （2）求基站塔的高． 【答案】（1）5米；（2）19.25米 【分析】（1）过点D作DE⊥CM，根据坡度及勾股定理求DE的长度； （2）延长AB交CM于点F，过点D作DG⊥AF，则四边形DEFG是矩形，然后利用锐角三角函数和坡度的概念解直角三角形 【详解】解：（1）过点D作DE⊥CM ∵斜坡的坡度为 ∴设DE=x，则CE=2.4x 在Rt△CDE中， 解得：x=±5（负值舍去） ∴DE=5 即D处的竖直高度为5米； （2）延长AB交CM于点F，过点D作DG⊥AF，则四边形DEFG是矩形 ∴GF=DE=5，CE=2.4DE=12， 由题意可得：∠ACF=45°，∠ADG=53° 设AF=CF=a，则DG=EF=a-12，AG=AF-GF=a-5 ∴在Rt△ADG中，， 解得：a=33 经检验：符合题意， ∴DG=33-12=21， 又∵斜坡的坡度为 ∴， 解得：BG=8.75 ∴AB=AF-GF-BG=19.25 即基站塔的高为19.25米． 【点睛】本题考查解直角三角形、坡度、坡角、仰角、勾股定理、三角函数等知识，熟练掌握这些知识就解决问题的关键，属于中考常考题型． 生活实际物体问题 38．（2025·辽宁·一模）图1为钓鱼爱好者购买的神器“晴雨伞”的实物图，其截面示意图（图2）是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，，．（参考数据：，，，） (1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度的长；（结果保留根号） (2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）根据正切的定义求出，然后根据对称性求出即可； （2）过E作于F，证明四边形是矩形，得出，分别求出，时，对应的值，然后相减即可求解． 【详解】（1）解：由对称性知：，， ∵，， ∴， ∴， 即遮蔽宽度的长为； （2）解：过E作于F， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 由对称性知：， 当时，， 在中，， 当时，， 在中，， ∴点E下降的高度为． 39．（2025·辽宁沈阳·一模）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（）时，与地面夹角，已知两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度． （参考数据：，， ） 【答案】每节拉杆长 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设每节拉杆长为，则图1中，，图2中，，在图1中，过点作于点，利用三角函数可得；在图2中，过点作于点，利用三角函数可得，结合两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同，可得关于的方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设每节拉杆长为，则图1中，， 图2中，， 在图1中，过点作于点， 在中，， ， ， 在图2中，过点作于点， 在中，， ， ， ， ， 解得：． 答：每节拉杆长． 40．（2025·辽宁大连·一模）如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂和曲臂可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为和，且当张角满足，时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知，且，当伸缩臂和曲臂完全伸出时，长为，长为． (1)如图2，若，，求的长； (2)如图3，当达到最大角度时，云梯的顶端C升到最高处，求此时的长． （参考数据： ，结果保留整数．） 【答案】(1)的长为 (2)此时的长约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数表示边与边的关系是解题的关键． （1）分别过点作于点，作于点，可得，则可求得，再加上，即可解答； （2）分别过点作于点于点于点，解直角三角形求得和，再加上，即可解答． 【详解】（1）解：如图，分别过点作于点，作于点， ． ， ． ， ， ． 四边形为矩形． ． ， ． ， 在中，． ． ． 答：的长为． （2）解：如图，分别过点作于点于点于点， ． 由（1）得，四边形为矩形． ． ， ，在中，， ． 同理：． ． 答：此时的长约为． 41．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图1，某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2，某时刻折臂升降机工作时的平面示意图．点，，，，，，，都在同一竖直平面内．路灯杆和折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，折臂底座长为2m，上折臂长为8m，下折臂长为6m，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，求上折臂顶端到地面的距离的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，0.93） 【答案】约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键．过作交于，延长交于，在中，则求得，从而得；再证明四边形为矩形，则有；在中，利用正弦函数可求得，则由即可求解． 【详解】解：过作交于，延长交于，如图， ∵， ∴； 由题意，得：， ∴； 在中，，， ∴； ∵， ∴四边形为矩形， ∴； ∵，， ∴； 在中，，， ∴， ∴， ∴； 答：长约为． 42．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点到所在直线的距离，，此时（如图2），当杂技演员走至钢丝中点时，恰好．（如图3）运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)求杂技演员从点走到点，下降的高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键； （1）过点作于点，在中，，代入数据即可求解； （2）解：过点作于点，在中，得出，在中，得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 在中，，， ， 则的长为5m． （2）解：过点作于点， 点为钢丝中点， 在中， ， ， 在中，，， ， 则下降的高度约为． 43．（2025·辽宁抚顺·三模）物理兴趣小组同学研究摩擦力时发现，桌面上靠墙摆放的镜框是否稳固，与桌面的摩擦系数和镜框与桌面的夹角大小有关．角度过小，镜框易滑动，增加滑倒风险．角度过大，镜框易倾倒．经过多次实验，发现在图1中桌面上摆放时，镜框与桌面夹角在至之间较为稳固．图中镜框长5分米，靠在竖直的墙上． (1)等于3分米时镜框是否较为稳固？请说明理由； (2)保证镜框较为稳固时，求出的可调节范围（最大值与最小值的差）大约是多少分米？（结果精确到0.1分米）． （参考数据：，，，） （参考知识：当，随的增大而增大，随的增大而减小） 【答案】(1)等于3分米时镜框不稳固，理由见解析 (2)镜框较为稳固时的可调节范围约为1.2分米 【分析】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握解三角函数的知识是解题的关键． （1）在中，，由，，可得， 镜框此时不稳固．再求解即可； （2）分为当时及当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：分米时，不稳固．理由如下： 在中， ∵， ∵， ∴， ∴镜框此时不稳固． 答：等于3分米时镜框不稳固； （2）解：当时，在中（分米）， 当时，（分米）， （分米）， 答：镜框较为稳固时的可调节范围约为1.2分米． 44．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）图1是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． (1)如图2，当活动杆处于水平状态时，直接写出可伸缩支撑杆的长度．（结果保留根号） (2)如图3，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出和的长，进而可求出和的长，最后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 由题意得：，， ， ， 在中，， 可伸缩支撑杆的长度为； （2）解：过点作，交的延长线于点，交于点， 解：由题意得：，，， 在中，， 设，则， ， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， 在中，， 此时可伸缩支撑杆的长度为． 45．（2024·辽宁沈阳·一模）如图（1）所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后再慢慢收回．图（2）为其抽象示意图，已知在初始位置，，点在同一直线上，，． (1)当在初始位置时，求点到的距离； (2)当双腿伸直后，点分别从初始位置运动到点，假设，三点共线，求此时点上升的竖直高度．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)点到的距离约为 (2)点上升的竖直高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）过点作于点，求出，再由计算即可得出答案； （2）过点作于点，过点作于点，由等腰三角形的性质结合解直角三角形得出，求出从而得出，再求出的长，即可得解． 【详解】（1）解：过点作于点， ，， ， ， ， ， 点到的距离约为； （2）解：过点作于点，过点作于点， ，，， ， ，    由题意得：， ， ∴点上升的竖直高度约为． 46．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆与悬杆之间的夹角为． （1）如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点距离地面的高度； （2）在图2所示的状态下，将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】（1）点距离地面113厘米；（2）长为58厘米 【分析】（1）过点作交于，利用60°三角函数可求FC，根据线段和差求即可； （2）过点作垂直于地面于点，过点作交于点，过点作交于点，可证四边形ABGN为矩形，利用三角函数先求，利用MG与CN的重叠部分求，然后求出CM，利用三角函数即可求出CD． 【详解】解：（1）过点作交于， ∵， ∴， ， ， ∴， 答：点距离地面113厘米； （2）过点作垂直于地面于点， 过点作交于点， 过点作交于点， ∴∠BAG=∠AGN=∠BNG=90°， ∴四边形ABGN为矩形， ∴AB=GN=84(cm)， ∵，将支杆绕点顺时针旋转， ∴∠BCN=20°，∠MCD=∠BCD-∠BCN=40°， ∴， ， ， ∴CG=CN+NG=50.76+84=134.76(cm)， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， 答：长为58厘米． 【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形的判定与性质，掌握锐角三角函数的定义，矩形判定与性质是解题关键． 47．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2） ， 测得底座高为，，支架为，面板长为， 为． （厚度忽略不计） (1)求支点 C离桌面l的高度；（计算结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足，当面板与桌面的夹角增大时，E离桌面l的高度也随之增大，问当面板绕点 C转动过程中，E离桌面l最大高度与最小高度的差是多少？ （精确到， 参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，则四边形是矩形，可得，从而得到，再利用锐角三角函数，解答即可求解； （2）过点C作，过E作于点H，则，分别求出所成的角为和时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点F，过点B作于点M，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即支点 C离桌面l的高度为； （2）解：如图，过点C作，过E作于点H，则， ∵， ∴， 当时，； 当时，； ∴， ∴当面板绕点 C转动过程中，E离桌面l最大高度与最小高度的差是． 48．（2024·辽宁大连·一模）如图1，绿植是家中最常见的装饰品之一，它不仅能够美化家居环境，还能净化空气，调节湿度，然而，将绿植放在空调出风口附近会对它的生长造成影响．如图2是小聪家客厅横截面示意图，将空调近似地看作，绿植近似地看作、已知客厅横截面是一个矩形，客厅的高，两面墙之间的距离，绿植的高是1.2m，空调出风口到地面的距离，可以通过调节挡风板控制空调出风口向下吹风的角度，，与地面平行． (1)当时，请通过计算判断绿植能否避开空调直接吹送出的风．（参考数据：，，） (2)如图3，若小聪发觉空调的遥控器坏了，无法调节空调出风口吹风的角度，求小聪需将绿植向点B处至少移动多少米才能让绿植避开空调直接吹送的风．（结果保留两位小数．参考数据：，） 【答案】(1)绿植能避开空调直接吹送出的风，见解析 (2)小聪需将绿植向点处至少移动才能让绿植避开空调直接吹送的风 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质及解直角三角形的应用， （1）分别延长，交于点，，先证明四边形是矩形，得出，，求出，进而求出即可解决； （2）分别延长，交于点，，把绿植平移至处，使恰好经过点，过点作于点，证明四边形是矩形，求出，进而求出，即可求出结论； 【详解】（1）解：如图1，分别延长，交于点，，             四边形是矩形， ，，，， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， ， 绿植能避开空调直接吹送出的风； （2）如图2，分别延长，交于点，，把绿植平移至处，使恰好经过点，过点作于点， 由（1）可知四边形是矩形，则 ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在中，， ， ， ， 答：小聪需将绿植向点处至少移动才能让绿植避开空调直接吹送的风 49．（2024·辽宁锦州·二模）《感动中国》以“平凡铸就伟大，英雄来自人民”为核心主题，全面展现中国人所经历的波澜壮阔的2023年，为了宣传感动人物精神，某公交站设置了如图①所示的宣传栏，图②是其侧面示意图，其顶棚横梁的长为，支撑柱的高为，衔接柱的长为，，衔接柱与支撑柱的夹角，与顶棚横梁的夹角，求宣传栏顶端A到地面的距离． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点A作于点Q，过点C作于点H，分别过点C、D作于点M，于点P，利用三角函数值分别求出，，即可求出宣传栏顶端A到地面的距离． 【详解】解：如图，过点A作于点Q，过点C作于点H，分别过点C、D作于点M，于点P， ∴四边形与四边形均为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∵，，， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴ 答：宣传栏顶端A到地面的距离约为． 50．（2024·辽宁丹东·三模）国家越来越重视“全民运动”，在许多乡村、社区安装了健身器材．如图1所示，骑马机是一种利用曲轴连杆机构原理，模拟人体在骑马状态下前后“8字”立体摇摆，从而达到全身有氧到全身有氧运动的一种新型健身器材．某数学活动小组在一次数学活动中测量了某种骑马机的部分数据：如图2所示，立柱垂直于地面，拉杆旋转到与地面垂直的位置时，拉杆上的点与立柱顶端的点恰好在同一水平线上．连接杆长为，与立柱的夹角为，立柱上的点距离地面的高度为，拉杆的部分长为，与踏板杆的夹角为，踏板杆长．问：    (1)此时踏板（点）与拉杆的距离约为多少？ (2)此时踏板（点）距离地面的垂直高度约为多少？（，，，，结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）过点作，垂足为，解即可； （2）过点作，垂足为，则 解中，求得，则，则． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，    在中， ； （2）解：过点作，垂足为，    则 在中， ， 由题可知 答：此时踏板（点距离地面的垂直高度约为． 51．（2024·辽宁大连·一模）消防车是消防救援的主要装备，图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D、B、O在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆（长度可以变化），点O，A，C在同一水平线上，与地面平行，其中可伸缩，云梯的最大长度为，套管的长度不变，．（参考数据：） (1)在某种工作状态下测得，，求的长． (2)将云梯伸长到最大长度15米，当从上升到时，云梯顶端D的铅直高度升高了多少米？ 【答案】(1) (2)3米 【分析】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，垂足为，得到和，利用求解即可； （2）过点作，垂足为，然后结合图形即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，则， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，垂足为，则， 在中，， ， ， 当时，， 当时，， （米）， 云梯伸到最大且从上升到时，云梯顶端的铅直高度升高了3米． 52．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长，支撑板长，且，托板可绕点C转动． (1)当时， ①求点C到直线的距离；（计算结果保留根号） ②若时，求点A到直线的距离（计算结果精确到个位）； (2)为了观看舒适，把（1）中调整为，再将绕点D逆时针旋转，使点B落在上，则旋转的角度为______．（直接写出结果）（参考数据：，，，，，，） 【答案】(1)①mm；②124mm (2) 【分析】对于（1），①作，作的平行线和垂线相交于点G，根据可得答案； ②根据平行线的性质得，进而求出，及，然后根据得出答案； 对于（2），先作出旋转后的图形，再求出，，然后根据正切求出，可得答案． 【详解】（1）①如图，过点C作于F，过点C、A分别作的平行线和垂线相交于点G， 在中，，， ∴（mm）， 即点C到直线的距离为mm； ②当时， ∵， ∴． 又∵， ∴． 在中，（mm），， ∴（mm）， ∴点A到直线的距离为（mm）；                （2）把（1）中调整为，再将绕点D逆时针旋转，使点B落在上，旋转后的图形如图③所示， 在中，，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，正弦，正切，旋转的性质，构造辅助线是解题的关键． 53．（2024·辽宁丹东·二模）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：）． (1)求点P到地面的高度； (2)当挖掘机挖到地面上的点Q时，，求． 【答案】(1)点到地面的高度为； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，延长交于，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案； （2）由（1）可知，四边形为矩形，则，求得进而可得,据此求解可得答案． 【详解】（1）解：过点作于H，延长交于， 则四边形为矩形， ∴，， 则， ∴点到地面的高度：， 即点到地面的高度为； （2）解：由（1）可知，四边形为矩形， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴． 54．（2024·辽宁·模拟预测）张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），开启前与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上．洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为，，，． (1)水龙头从闭合到完全开启，求点上升的高度． (2)求的长（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】(1)点上升的高度 (2)的长为 【分析】（1）过点作垂足为，解，即可求解； （2）延长交于点，交于点，证明四边形为矩形，在中，求得，在中，得出， 进而即可求解． 【详解】（1）过点作垂足为，    在中， （）， 答：点上升的高度； （2）解：如图所示，延长交于点，交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， 在中，, , 在中，， ∴ 答：的长为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 55．（2024·辽宁大连·一模）居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图（1）所示，其侧面示意图如图（2）所示，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏OB旋转到的位置，如图（3）所示，其侧面示意图如图（4）所示．已知三点在一条直线上，且（参考数据：）． (1)求散热架底边AC的长； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少cm？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用计算即可； （2）过点B作交的延长线于D，先计算，再解，计算，得到，再计算即可得解； 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， 答：AC的长约为； （2）过点B作交的延长线于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 因为 所以显示屏顶部比原来升高了约． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，结合图形，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 56．（2024·辽宁大连·模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端到的距离为40米，，，，．求此大跳台最高点距地面的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】70 【分析】过点作，交于点，则四边形是矩形，可得，在中，求得，根据，，求得，进而求得，根据即可求解． 【详解】如图，过点作，交于点，则四边形是矩形， ， ，， 在中，（米）， ， ，，米 ， 解得， 顶端到的距离为40米，即米 （米）． （米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 57．（2024·辽宁·模拟预测）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm． (1)若α＝56°，求点A离地面的高度AE；（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53） (2)调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF． 【答案】(1)132cm (2)100cm 【分析】（1）过O作OG⊥BD于点G，根据等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠EAB=∠BOG=28°，再利用锐角三角函数即可解决问题； （2）根据已知条件证明△AEB∽△CFD，对应边成比例即可求出CF的高度． 【详解】（1）如图，过O作OG⊥BD于点G， ∵AE⊥BD， ∴OG∥AE， ∵BO＝DO， ∴OG平分∠BOD， ∴∠BOG＝∠BOD＝×56°＝28°， ∴∠EAB＝∠BOG＝28°， 在Rt△ABE中，AB＝AO+BO＝70+80＝150（cm）， ∴AE＝AB•cos∠EAB＝150×cos28°≈150×0.88＝132（cm）， 答：点A离地面的高度AE约为132cm； （2）∵OG∥AE， ∴∠EAB＝∠BOG， ∵CF⊥BD， ∴CF∥OG， ∴∠DCF＝∠DOG， ∵∠BOG＝∠DOG， ∴∠BAE＝∠DCF， ∵∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△AEB∽△CFD， ∴＝， ∴CF＝＝＝100（cm）， 答：C点离地面的高度CF为100cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是综合运用锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识． 58．（2024·辽宁·模拟预测）如图（1）是一种迷你型可收缩式乐谱支架，图（2）是其侧面示意图，其中，Q是的中点，P是眼睛所在的位置，于点M，，当时，P为最佳视力点． (1)若，则_______； (2)当且时，请通过计算说明点P是不是最佳视力点． （参考数据：） 【答案】(1) (2)点P不是最佳视力点，说明见解析 【分析】（1）过点C作BD的垂线，垂足为E，由等腰三角形的性质及已知即可求得∠DCB； （2） 过点C作BD的垂线，垂足为E，过点Q作BD的垂线，交BD于点F，交PM于点G，通过解直角三角形求得PM的长度，根据其长度即可判断点P是否是最佳视力点． 【详解】（1）过点C作BD的垂线，垂足为E，如图， ∵BC=DC，DB⊥AB， ∴∠DCE=∠BCE，CE∥AB， ∴∠DCE=∠BCE=∠ABC=α， ∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=2α， 故答案为：2α． （2）(2)如图，过点C作BD的垂线，垂足为E，过点Q作BD的垂线，交BD于点F，交PM于点G， ∵BC=CD， ∴DE=BE，∠DCE=∠BCE， 易知FG∥CE∥BA， ∴∠DQF=∠DCE=∠BCE=∠ABC=37°． ∵Q是CD的中点， ∴， ∴DE=2DF=14.4cm， ∴DB=2DE=28.8cm． 易知四边形BFGM为矩形， ∴GM=FB=DB-DF=28.8-7.2=21.6(cm)． ∵，FG=BM=AB +AM=36 cm， ∴QG=FG-FQ=36-9.6=26.4(cm)． 若P为最佳视力点，则PQ⊥CD， ∴∠PQG=180°-37°-90°=53°， ∴， ∴， 这与题中条件矛盾，故当∠ABC=37°且PM=53cm时，点P不是最佳视力点． 【点睛】本题是解直角三角形的实际应用，考查了等腰三角形的性质，三角函数，矩形的性质等知识，正确理解题意，构造适当的辅助线是解题的关键．体现了直观想象、数学建模、数学运算的素养． 59．（2024·辽宁·模拟预测）图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，已知，． (1)求支架顶点A到地面BC的距离． (2)如图3，将镜面顺时针旋转15°，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离． （结果都精确到1cm，参考数据：，） 【答案】(1)约为113cm (2)约为151cm 【分析】（1）过点A作于I．根据线段的和差关系求出AB的长度，再根据直角三角形的边角关系即可求出AI的长度； （2）过点O作于G．过点A作于H．根据等边对等角，三角形内角和定理，角的和差关系求出∠OAC，根据矩形的判定定理和性质，平行线的性质，角的和差关系求出HG的长度和∠OAH，根据直角三角形的边角关系求出OH的长度，再根据线段的和差关系即可求出OG的长度． 【详解】（1）解：如下图所示，过点A作于I， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 答：支架顶点A到地面BC的距离约为113cm． （2）解：如下图所示，过点O作于G．过点A作于H， ∵AB=AC，∠ABC=75°， ∴∠ACB=∠ABC=75°， ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=30°， ∵镜面顺时针旋转15°，即∠DAB=15°， ∴， ∵AI⊥BC，OG⊥BC，AH⊥OG， ∴四边形AIGH是矩形， ∴，， ∴∠HAC=∠ACB=75°， ∴∠OAH=∠OAC-∠HAC=60°， ∴， ∴， 答：此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离约为151cm． 【点睛】本题考查线段的和差关系、解直角三角形的实际应用、等边对等角、三角形内角和定理、角的和差关系、矩形的判定定理和性质、平行线的性质，综合应用这些知识点是解题关键． 跨学科问题 60．（2025·辽宁沈阳·一模）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用单摆进行相关的实验探究，并撰写实验报告如表． 实验主题\ 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，于点，，；当摆球运动至点时，，于点．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，，，，，结果精确到） 【答案】的长约4cm 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在中，根据的长，由、，求出、的长，在中，根据，利用，求出的长，再根据，由求出的长即可． 【详解】解：在中，，，， ，， ，， ，， 在中，，，， ，即， ， ， ， 则的长约4cm． 61．（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解即可求解； （2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴在中，由， 得：， ∴, 答：； （2）解：在中，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 答：物体上升的高度约为． 62．（2024·辽宁本溪·二模）在物理学中，我们学过，光线从空气中进入液体，如图（一），若入射角为α，折射角为，法线垂直于液面，由此我们可以得到物理公式：折射率． 某课外活动小组为观察光的折射现象，设计如图（二）的实验，通过点P发射一束光线，经由点D光线折射到点B（三点不在一条直线上），图（三）为实验示意图，法线垂直于液面于点D，交液面底部于点H，四边形为矩形，，，光线由空气进入液体的折射率． (1)在延长线上量取，光线由点P射出经由点D，恰好折射到点B，求出入射角的正弦值和折射角的度数； (2)光线再次由点Q射出，经由点D折射到点C且入射角，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）根据平行线的性质得到，根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，根据折射率可求，即可求解； （2）根据（1）中，可得出，根据，先求出，设，，则，列出关于x的方程式，求得x的值，进而求得答案． 【详解】（1）解： 根据题意，得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意得四边形是矩形， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 63．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得，（参考数据：）    (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 【答案】(1)入射角约为； (2)光斑移动的距离为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角； （2）根据，先求出，再作，设，，则，列出关于的方程式，求得的值，进而求得答案． 【详解】（1）如图，设法线为，则，   ， ，， ， ， 入射角约为， ． （2），， ， ， 作，   ， 设，，则， ， 解得：， ， ， 答：光斑移动的距离是． 64．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）小伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 鹅卵石的像到水面的距离 工具 纸、笔、计算器、测角仪等 图形 说明 根据实际问题画出示意图（如上图），鹅卵石在C处，其像在G处，泳池深为，且，于点N，于点B，于点H，点G在上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得． 数据 ，． 请你根据上述信息解决以下问题： (1)求的大小； (2)求鹅卵石的像G到水面的距离．（结果精确到） （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）根据，求出，然后结合即可求解； （2）先求出，在中，利用正切定义求出，在中，，利用正切定义求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 古代文化相关问题 65．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，． (1)求冬至时日影的长度； (2)求春分和秋分时日影长度（结果精确到0．1尺）．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)16尺 (2)尺 【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用： （1）在中，利用解答，即可求解； （2）在中，利用，可得的长度，从而得到的长度，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，尺，， ∴尺； （2）解：在中，，尺，， ∴尺， ∴尺， ∴春分和秋分时日影长度为尺． 66．（2024·辽宁盘锦·二模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)支点O到小竹竿的距离 (2)点A上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）作于点G，由题意可知，，在中，应用特殊角三角函数值求即可； （2）记交于点H，由题意推出，在中，求，在中求，则点A上升的高度可解． 【详解】（1）解：作于点G（图1）， ∵O为的中点，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中， ∴ ∴支点O到小竹竿的距离． （2）解：记交于点H（图2）， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， ， 在中， m ∴点A上升的高度为． 67．（2024·辽宁本溪·一模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．（参考数据：） (1)求点A位于最高点时到地面的距离； (2)当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过O作于O，过A作于G，在中，利用正弦函数求解即可； （2）过O作于O，过B作于C，过作于D，在和中，分别利用三角函数求出和的长即可． 【详解】（1）解：过O作于O，过A作于G， ∵米，， ∴米，米， ∵， ∴， 在中，（米）， 即点A位于最高点时到地面的距离为（米）， 答：点A位于最高点时到地面的距离为米； （2）解：过O作于O，过B作于C，过作于D， ∵， ∴， ∵点A从最高点逆时针旋转到达最低点A1 ∴， ∵（米）， 在中，（米） 在中，（米）， ∴（米）， ∴此时水桶B上升的高度为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，读懂题意，构造直角三角形是解题的关键． 68．（2024·辽宁·模拟预测）云梯，又称飞梯、竹飞梯，最早出现于商周，春秋时期鲁国公输盘加以改进，在古代属于战争器械，用于攀越城墙攻城的用具．《武经总要·攻城法》记载：“云梯以大木为床，下施六轮，上立二梯，各长丈余，中施转轴，四面以生牛皮为屏蔽，内以人推进，及城则起飞梯于云梯之上，以巍城中，故曰云梯．”图1是某款云梯，忽略其梯身等器件的宽度，支架与座板均用线段表示，得到它的侧面简化结构图如图2所示，已知，，，． (1)求的长； (2)如图3，某次应用云梯时，云梯的顶端D搭在与垂直的城墙上，，且，求此时点B距离城墙的距离．结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】(1)m (2)此时点B距离城墙的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形，作辅助线构造直角三角形，利用三角函数计算即可． （1）先根据角度得到，然后利用正切计算即可； （2）过点C作于点M，过点D作于点N，的延长线交的延长线于点P．得到四边形是矩形，在中，利用余弦得到长，然后在中求出的值即可解题． 【详解】（1）∵，， ∴． 在中， ∵，， ∴． （2）如图，过点C作于点M，过点D作于点N，的延长线交的延长线于点P． ∴，． ∵， ∴． ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∴， ． ∴此时点B距离城墙的距离约为． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点必刷题08 三角函数实际应用解答题专训68题 仰角俯角问题 2 方位角问题 8 坡度坡角问题 14 生活实际物体问题 19 跨学科问题 31 古代文化相关问题 35 仰角俯角问题 1．（2025·辽宁铁岭·二模）2022年北京冬奥会的成功举办，使更多的人爱上滑雪运动．如图表示滑道，为地平线，一无人机在处测得看滑道底端的俯角为45°，看滑道上点的俯角为8.13°，此时无人机到地面的高度米，无人机沿与地平线平行方向向滑道顶端飞行100米到达点处测得看滑道上点的俯角为16.26°，（图中各点均在一个平面内，参考数据：，，）． (1)若无人机沿着原方向继续向前飞行，当无人机到达点的正上方时，求此时无人机与点的距离； (2)求滑道的坡度（斜坡的铅直高度与水平宽度的比）． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在小明家所住的高楼的正西方有一座小山坡，坡面与水平面的夹角为，在B点处测得楼顶D的仰角，在山顶C处测得楼顶D的仰角为，B和C的水平距离为300米（注：例如点B、点D的水平距离为；A，B，C，D在同一平面内，参考数据：，）． (1)求坡面的长度（结果保留根号）？ (2)一天傍晚，小明从A出发去山顶C散步，已知小明从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米，若她早上出发，请通过计算说明他在前能否到达山顶C处？ 3．（2025·辽宁抚顺·一模）“浪漫月牙岛，福顺中国年”．抚顺市月牙岛新春夜游季是近年来我市打造的规模最大的冰雪旅游项目，每天吸引着大量市民前来观赏游玩．如图，小澎同学想用无人机测量月牙岛造型景观舞台的高度，将无人机垂直上升到距地面的点处，测得造型景观舞台底端点的俯角为，再将无人机沿造型景观舞台的方向水平飞行至点处，测得造型景观舞台顶端点的俯角为，点，，，均在同一竖直平面内，求造型景观舞台的高度约为多少米．（结果稍确到，参考数据：，，） 4．（2025·辽宁·一模）2025年1月23日晚，济阳区文体中心上空起飞500架无人机上演“凤凰涅槃”，一名摄影爱好者记录下全过程．如图，摄影爱好者在水平地面上的点处测得无人机位置点的仰角为；当摄影爱好者沿着倾斜角（即）的斜坡从点走到点时，无人机的位置恰好从点水平飞到点，此时，摄影爱好者在点处测得点的仰角为．已知米，米，且四点在同一竖直平面内． (1)求点到地面的距离； (2)求无人机在点处时到地面的距离．（结果精确到0.01米，测角仪的高度忽略不计，参考数据：， 5．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）随着农业现代化的进一步推进，新农村的积极建设，农民伯伯可用无人机进行药物喷洒来消灭虫害．如图，这是一位农民伯伯喷药过程中的实时画面示意图，他在水平地面上点A处测得无人机的位置点的仰角为．当他迎着坡度为的斜坡从点A走到点B时，无人机恰好从点沿着水平方向飞到点此时，他在点处测得点的仰角为．已知米，米，这位农民伯伯让无人机沿与水平地面平行的方向飞行以便喷洒均匀．点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，求此时无人机的位置点C距水平地面的高度．（测角仪的高度忽略不计．参考数据：，，） 6．（2025·辽宁·模拟预测）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如图，点是纪念碑顶部一点，的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，，，三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，，，，． 7．（2025·辽宁丹东·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 8．（2025·辽宁沈阳·一模）如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段就是悬挂在墙壁上的某块匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C的仰角，从点E处看点B的仰角，且米． (1)求点C到墙壁的距离； (2)求匾额悬挂的高度的长．（参考数据：） 9．（2025·辽宁·模拟预测）如图，甲楼和乙楼高度相等，甲楼顶部有一竖直广告牌．从乙楼顶部处测得的仰角为，从与点相距的处测得，的仰角分别为，．求广告牌的高度．（参考数据：，，） 10．（2024·辽宁·模拟预测）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．    (1)求教学楼的高度． (2)若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线． 11．（2024·辽宁沈阳·一模）随着5G技术的进步与发展，中国大疆无人机享誉世界，生活中的测量技术也与时俱进．某天，数学小达人小婉利用无人机来测量神农湖上A，B两点之间的距离（A，B位于同一水平地面上），如图所示，小婉站在A处遥控空中C处的无人机，此时她的仰角为，无人机的飞行高度为，并且无人机C测得湖岸边B处的俯角为，若小婉的身高，，（点A，B，C，D在同一平面内）．求A、B两点之间的距离．（结果精确到1m，）    12．（2024·辽宁大连·一模）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，） 13．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面的处，操控者从处观测无人机的仰角为，无人机测得教学楼顶端点处的俯角为，又经过人工测量测得操控者和教学楼之间的距离为，点，，，都在同一平面上． (1)求此时无人机与教学楼之间的水平距离的长度（结果保留根号）． (2)求教学楼的高度（结果保留根号）（参考数据：，，）． 方位角问题 14．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图，A，B两地的直线距离为，但因湖水相隔，不能直接到达．从A到B有两条路可走．线路1：从；线路2：从．从地图上可得到以下数据：点C位于A的正北方向，且在B的北偏西的方向；点D在A的东南方向，且位于B的南偏西方向．（参考数据：，，，，，，，．） (1)求的长度；（保留1位小数） (2)通过计算说明，线路1和线路2，那条线路更短． 15．（2025·辽宁铁岭·一模）如图，A，B，C，D，E为同一平面内的五个景点．已知景点B位于景点A的南偏西方向，位于景点C的东南方向米处，若景点A，C与E，D都位于东西方向，且景点D位于景点C的北偏西方向1000米处，景点E位于景点A的西北方向． (1)求景点A与点C相距多少米？（结果保留根号） (2)为了方便旅客游览，景区决定在景点D和E之间修一条笔直的道路，求道路的长度．（参考数据：，结果精确到1米） 16．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为海里． （1）求B点到直线CA的距离； （2）执法船从A到D航行了多少海里？ 17．（2024·辽宁·模拟预测）小明参观海军博物馆的军舰时，想测量一下军舰的长度．军舰停放位置平行于岸边主于道，军舰距离岸边主干道的距离是120米，由于军舰停放的位置正对的岸边是另一片展区，无法穿越，他想到借助于所学三角函数知识来测量计算，他沿平行于岸边的主干道从点C处走200米到点D处，在点C处测得军舰头部点A位于南偏东，在点D处测得军舰尾部点B位于南偏东．求军舰的长度（结果保留1位小数）．（，，，） 18．（2024·辽宁·模拟预测）如图，B地在A地的北偏东方向上，C地在B地的北偏西方向上，原来从A地到C地的路线为A→B→C，现在沿A地北偏东方向新修了一条直达C地的分路，路程比原来少了20千米．求从A地直达C地的路程（结果保留整数．参考数据：，） 19．（2024·辽宁·模拟预测）如图，一渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在北偏东方向上，继续航行半小时到达B处，此时测得岛礁P在北偏东方向，同时测得岛礁P正东方向的避风港Q在B的北偏东方向，为了能在台风到来之前用最短时间到达Q处，渔船立刻以80海里/时的速度向避风港Q处驶去，求渔船还需多长时间可到达避风港Q处．（精确到0.1小时） （参考数据：， ， ） 20．（2024·辽宁·模拟预测）如图，B港口在A港口的南偏西方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西方向，B港口在货轮的北偏西方向，求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．（参考数据：） 21．（2024·辽宁·模拟预测）某海港南北方向上有两个海岸观测站A，B，距离为10海里，从港口出发的一艘轮船正沿北偏东方向匀速航行，某一时刻在观测站A，B两处分别测得此轮船正好航行到南偏东和北偏东方向上的C处，经过0.5时轮船航行到D处，此时在观测站A处测得轮船在北偏东75°方向上，求轮船航行的速度．（结果精确到0.1海里/时，参考数据：，） 22．（2024·辽宁·模拟预测）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 23．（2024·辽宁·模拟预测）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由地出发，途经地去往地，如图．当他由地出发时，发现他的北偏东方向有一信号发射塔．他由地沿正东方向骑行km到达地，此时发现信号塔在他的北偏东方向，然后他由地沿北偏东方向骑行12km到达地． （1）求地与信号发射塔之间的距离； （2）求地与信号发射塔之间的距离．（计算结果保留根号） 24．（2024·辽宁·模拟预测）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米.请根据这些数据求出河的宽度.(结果保留根号) 25．（2024·辽宁·模拟预测）如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）    26．（2024·辽宁·模拟预测）如图，一艘轮船位于灯塔P东偏南25°方向，与灯塔距离为80n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东30°方向的B处，求此时轮船所在B处与灯塔P的距离（结果取整数）． （参考数据：，，，，，，） 坡度坡角问题 27．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在小明家所住的高楼的正西方有一座小山坡，坡面与水平面的夹角为，在B点处测得楼顶D的仰角，在山顶C处测得楼顶D的仰角为，B和C的水平距离为300米（注：例如点B、点D的水平距离为；A，B，C，D在同一平面内，参考数据：，）． (1)求坡面的长度（结果保留根号）？ (2)一天傍晚，小明从A出发去山顶C散步，已知小明从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米，若她早上出发，请通过计算说明他在前能否到达山顶C处？ 28．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 29．（2025·辽宁沈阳·零模）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 30．（2025·辽宁铁岭·一模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部B的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（结果精确到）（参考数据： ，） 31．（2025·辽宁沈阳·零模）如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图②是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为，她沿水平方向向左行走122m到达点D，再沿着坡度的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走40m到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内），求摩天轮的高度．（结果保留整数）（参考数据：，，） 32．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线．已知甲山上点到河边的距离米，点到的垂直高度为120米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为25°（参考值：，，） (1)求乙山处到河边的垂直距离； (2)求河的宽度．（结果保留整数） 33．（2024·辽宁·模拟预测）如图，是一垂直于水平面的建筑物，是建筑物底端的一个平台，斜坡的坡度（或坡比）为，坡长为米，为地平面（A，B，C，D，E均在同一平面内），在C处测得建筑物的顶端的仰角为，在处测得建筑物的顶端的仰角为，米，求建筑物的高度．（测角仪的高度不计）（结果保留整数， ） 34．（2024·辽宁·模拟预测）数学兴趣小组测量某楼房的高度．如图所示，楼房剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点处测得楼顶端点的仰角，台阶长39米，台阶坡面的坡度，然后在点处测得楼顶端点的仰角，则楼顶到地面的高度约为多少米． （参考数据：，，，）    35．（2024·辽宁·模拟预测）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树的高度，如图，于点E，在A处测得大树底端C的仰角为，沿水平地面前进米到达B处，测得大树顶端D的仰角为，测得山坡坡角（图中各点均在同一平面内）．（参考数据：，，） (1)求斜坡的长，水平宽度长度； (2)求这棵大树的高度（结果保留根号）． 36．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在坡角为的山坡上有一铁塔，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成角时，测得铁塔落在斜坡上的影子的长为8米，落在广告牌上的影子的长为5米，求铁塔AB的高．（、均与水平面垂直，结果保留根号） 37．（2024·辽宁·模拟预测）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为的斜坡上有一建成的基站塔，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为，然后她沿坡面行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：） （1）求D处的竖直高度； （2）求基站塔的高． 生活实际物体问题 38．（2025·辽宁·一模）图1为钓鱼爱好者购买的神器“晴雨伞”的实物图，其截面示意图（图2）是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，，．（参考数据：，，，） (1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度的长；（结果保留根号） (2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度．（结果精确到） 39．（2025·辽宁沈阳·一模）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（）时，与地面夹角，已知两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度． （参考数据：，， ） 40．（2025·辽宁大连·一模）如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂和曲臂可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为和，且当张角满足，时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知，且，当伸缩臂和曲臂完全伸出时，长为，长为． (1)如图2，若，，求的长； (2)如图3，当达到最大角度时，云梯的顶端C升到最高处，求此时的长． （参考数据： ，结果保留整数．） 41．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）如图1，某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2，某时刻折臂升降机工作时的平面示意图．点，，，，，，，都在同一竖直平面内．路灯杆和折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，折臂底座长为2m，上折臂长为8m，下折臂长为6m，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，求上折臂顶端到地面的距离的长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，0.93） 42．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点到所在直线的距离，，此时（如图2），当杂技演员走至钢丝中点时，恰好．（如图3）运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)求杂技演员从点走到点，下降的高度（结果精确到）． 43．（2025·辽宁抚顺·三模）物理兴趣小组同学研究摩擦力时发现，桌面上靠墙摆放的镜框是否稳固，与桌面的摩擦系数和镜框与桌面的夹角大小有关．角度过小，镜框易滑动，增加滑倒风险．角度过大，镜框易倾倒．经过多次实验，发现在图1中桌面上摆放时，镜框与桌面夹角在至之间较为稳固．图中镜框长5分米，靠在竖直的墙上． (1)等于3分米时镜框是否较为稳固？请说明理由； (2)保证镜框较为稳固时，求出的可调节范围（最大值与最小值的差）大约是多少分米？（结果精确到0.1分米）． （参考数据：，，，） （参考知识：当，随的增大而增大，随的增大而减小） 44．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）图1是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． (1)如图2，当活动杆处于水平状态时，直接写出可伸缩支撑杆的长度．（结果保留根号） (2)如图3，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果精确到）．（参考数据：） 45．（2024·辽宁沈阳·一模）如图（1）所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后再慢慢收回．图（2）为其抽象示意图，已知在初始位置，，点在同一直线上，，． (1)当在初始位置时，求点到的距离； (2)当双腿伸直后，点分别从初始位置运动到点，假设，三点共线，求此时点上升的竖直高度．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 46．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆与悬杆之间的夹角为． （1）如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点距离地面的高度； （2）在图2所示的状态下，将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 47．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2） ， 测得底座高为，，支架为，面板长为， 为． （厚度忽略不计） (1)求支点 C离桌面l的高度；（计算结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足，当面板与桌面的夹角增大时，E离桌面l的高度也随之增大，问当面板绕点 C转动过程中，E离桌面l最大高度与最小高度的差是多少？ （精确到， 参考数据：） 48．（2024·辽宁大连·一模）如图1，绿植是家中最常见的装饰品之一，它不仅能够美化家居环境，还能净化空气，调节湿度，然而，将绿植放在空调出风口附近会对它的生长造成影响．如图2是小聪家客厅横截面示意图，将空调近似地看作，绿植近似地看作、已知客厅横截面是一个矩形，客厅的高，两面墙之间的距离，绿植的高是1.2m，空调出风口到地面的距离，可以通过调节挡风板控制空调出风口向下吹风的角度，，与地面平行． (1)当时，请通过计算判断绿植能否避开空调直接吹送出的风．（参考数据：，，） (2)如图3，若小聪发觉空调的遥控器坏了，无法调节空调出风口吹风的角度，求小聪需将绿植向点B处至少移动多少米才能让绿植避开空调直接吹送的风．（结果保留两位小数．参考数据：，） 49．（2024·辽宁锦州·二模）《感动中国》以“平凡铸就伟大，英雄来自人民”为核心主题，全面展现中国人所经历的波澜壮阔的2023年，为了宣传感动人物精神，某公交站设置了如图①所示的宣传栏，图②是其侧面示意图，其顶棚横梁的长为，支撑柱的高为，衔接柱的长为，，衔接柱与支撑柱的夹角，与顶棚横梁的夹角，求宣传栏顶端A到地面的距离． （结果精确到，参考数据：，，，） 50．（2024·辽宁丹东·三模）国家越来越重视“全民运动”，在许多乡村、社区安装了健身器材．如图1所示，骑马机是一种利用曲轴连杆机构原理，模拟人体在骑马状态下前后“8字”立体摇摆，从而达到全身有氧到全身有氧运动的一种新型健身器材．某数学活动小组在一次数学活动中测量了某种骑马机的部分数据：如图2所示，立柱垂直于地面，拉杆旋转到与地面垂直的位置时，拉杆上的点与立柱顶端的点恰好在同一水平线上．连接杆长为，与立柱的夹角为，立柱上的点距离地面的高度为，拉杆的部分长为，与踏板杆的夹角为，踏板杆长．问：    (1)此时踏板（点）与拉杆的距离约为多少？ (2)此时踏板（点）距离地面的垂直高度约为多少？（，，，，结果保留一位小数） 51．（2024·辽宁大连·一模）消防车是消防救援的主要装备，图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D、B、O在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆（长度可以变化），点O，A，C在同一水平线上，与地面平行，其中可伸缩，云梯的最大长度为，套管的长度不变，．（参考数据：） (1)在某种工作状态下测得，，求的长． (2)将云梯伸长到最大长度15米，当从上升到时，云梯顶端D的铅直高度升高了多少米？ 52．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，托板长，支撑板长，且，托板可绕点C转动． (1)当时， ①求点C到直线的距离；（计算结果保留根号） ②若时，求点A到直线的距离（计算结果精确到个位）； (2)为了观看舒适，把（1）中调整为，再将绕点D逆时针旋转，使点B落在上，则旋转的角度为______．（直接写出结果）（参考数据：，，，，，，） 53．（2024·辽宁丹东·二模）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：）． (1)求点P到地面的高度； (2)当挖掘机挖到地面上的点Q时，，求． 54．（2024·辽宁·模拟预测）张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），开启前与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上．洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为，，，． (1)水龙头从闭合到完全开启，求点上升的高度． (2)求的长（结果精确到．参考数据：，，，）． 55．（2024·辽宁大连·一模）居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图（1）所示，其侧面示意图如图（2）所示，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏OB旋转到的位置，如图（3）所示，其侧面示意图如图（4）所示．已知三点在一条直线上，且（参考数据：）． (1)求散热架底边AC的长； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少cm？ 56．（2024·辽宁大连·模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端到的距离为40米，，，，．求此大跳台最高点距地面的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：，，，，，，，，） 57．（2024·辽宁·模拟预测）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角α的度数来调整晾杆的高度，图2是晾衣架的侧面的平面示意图，AB和CD分别是两根长度不等的支撑杆，夹角∠BOD＝α，AO＝70cm，BO＝DO＝80cm，CO＝40cm． (1)若α＝56°，求点A离地面的高度AE；（参考值：sin62°＝cos28°≈0.88，sin28°＝cos62°≈0.47，tan62°≈1.88，tan28°≈0.53） (2)调节α的大小，使A离地面高度AE＝125cm时，求此时C点离地面的高度CF． 58．（2024·辽宁·模拟预测）如图（1）是一种迷你型可收缩式乐谱支架，图（2）是其侧面示意图，其中，Q是的中点，P是眼睛所在的位置，于点M，，当时，P为最佳视力点． (1)若，则_______； (2)当且时，请通过计算说明点P是不是最佳视力点． （参考数据：） 59．（2024·辽宁·模拟预测）图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，已知，． (1)求支架顶点A到地面BC的距离． (2)如图3，将镜面顺时针旋转15°，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离． （结果都精确到1cm，参考数据：，） 跨学科问题 60．（2025·辽宁沈阳·一模）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用单摆进行相关的实验探究，并撰写实验报告如表． 实验主题\ 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，于点，，；当摆球运动至点时，，于点．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，，，，，结果精确到） 61．（2024·辽宁·中考真题）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） (1)求的长； (2)求物体上升的高度（结果精确到）． 62．（2024·辽宁本溪·二模）在物理学中，我们学过，光线从空气中进入液体，如图（一），若入射角为α，折射角为，法线垂直于液面，由此我们可以得到物理公式：折射率． 某课外活动小组为观察光的折射现象，设计如图（二）的实验，通过点P发射一束光线，经由点D光线折射到点B（三点不在一条直线上），图（三）为实验示意图，法线垂直于液面于点D，交液面底部于点H，四边形为矩形，，，光线由空气进入液体的折射率． (1)在延长线上量取，光线由点P射出经由点D，恰好折射到点B，求出入射角的正弦值和折射角的度数； (2)光线再次由点Q射出，经由点D折射到点C且入射角，求的长． 63．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在处，加水至处，光斑左移至处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，为法线，测得，（参考数据：）    (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离． 64．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）小伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 鹅卵石的像到水面的距离 工具 纸、笔、计算器、测角仪等 图形 说明 根据实际问题画出示意图（如上图），鹅卵石在C处，其像在G处，泳池深为，且，于点N，于点B，于点H，点G在上，A，B，G三点共线，通过查阅资料获得． 数据 ，． 请你根据上述信息解决以下问题： (1)求的大小； (2)求鹅卵石的像G到水面的距离．（结果精确到） （参考数据：，，，） 古代文化相关问题 65．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，． (1)求冬至时日影的长度； (2)求春分和秋分时日影长度（结果精确到0．1尺）．（参考数据：，，，，，） 66．（2024·辽宁盘锦·二模）图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 67．（2024·辽宁本溪·一模）桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于墨子备城门，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．（参考数据：） (1)求点A位于最高点时到地面的距离； (2)当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度． 68．（2024·辽宁·模拟预测）云梯，又称飞梯、竹飞梯，最早出现于商周，春秋时期鲁国公输盘加以改进，在古代属于战争器械，用于攀越城墙攻城的用具．《武经总要·攻城法》记载：“云梯以大木为床，下施六轮，上立二梯，各长丈余，中施转轴，四面以生牛皮为屏蔽，内以人推进，及城则起飞梯于云梯之上，以巍城中，故曰云梯．”图1是某款云梯，忽略其梯身等器件的宽度，支架与座板均用线段表示，得到它的侧面简化结构图如图2所示，已知，，，． (1)求的长； (2)如图3，某次应用云梯时，云梯的顶端D搭在与垂直的城墙上，，且，求此时点B距离城墙的距离．结果精确到．参考数据：，，，） 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$