精品解析：山东省名校考试联盟2025届高三下学期4月高考模拟考试数学试题

机密★启用前 试卷类型A 山东名校考试联盟 2025年4月高考模拟考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、班级及座号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，有且只有2个子集，则实数（ ） A. B. C. 1 D. e 3. 已知函数在处取得最大值，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 在正方形中，，为的中点，为边上靠近的四等分点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点为，在直线上任取一点作抛物线的切线，切点分别为，则到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 对于，将表示为，其中，当时，为0或1，定义为正整数的表达式中的个数，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. 一定有两个极值点 B. 若，则或 C. 过点作曲线的切线有且仅有一条 D. 当时， 11. 如图，矩形中，分别为的中点．现将沿翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥体积的最大值为8 B. 存在某个位置使 C. 三棱锥外接球半径为3 D. 直线被三棱锥外接球截得的线段长的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个大于1的自然数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．在不超过20的质数中任取三个不同数，则其和是偶数的取法有______种． 13. 已知数列的前项和为，且满足，则__________ 14. 已知的内角的对边分别为，已知，则______；若，则面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面所成的角为，且．底面是边长为2的正三角形，其重心为在线段上，且满足． （1）求证：平面； （2）求直线与底面所成角的正弦值． 16. 每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况， 天数 1 2 3 4 5 胚芽长度（厘米） 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②， （1）根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ （2）根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 样本相关系数为． 参考数据：． 令． 17. 已知函数． （1）当，求的取值范围； （2）当时． （ⅰ）设，讨论函数在上的单调性； （ⅱ）证明：对任意的，有． 18. 已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若上两点满足． （ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程； （ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值． 19. 若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）． （1）判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由； ①；②． （2）过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组； （3）从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 试卷类型A 山东名校考试联盟 2025年4月高考模拟考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、班级及座号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数乘方、除法化简即可得. 【详解】由，故虚部为. 故选：B 2. 已知集合，，有且只有2个子集，则实数（ ） A. B. C. 1 D. e 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，根据只有一个实数根即可求解. 【详解】令，则，记，则， 当在单调递增，当在单调递减， 且当，, 因此只有一个实数根时，则， 由于有且只有2个子集，则只有一个元素，故， 故选：C 3. 已知函数在处取得最大值，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦函数的性质有，，结合参数范围即可得. 【详解】由题设，则，， 又，则. 故选：D 4. 在正方形中，，为的中点，为边上靠近的四等分点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设得为的夹角，而，应用向量数量积的运算律及夹角公式求夹角余弦值. 【详解】由题意，为的夹角，而， 所以， ， ， 综上，. 故选：A 5. 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布的对称性有，再应用“1”的代换和基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由题设，则， 当且仅当时取等号，即的最小值为1. 故选：C 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，令，利用导数讨论其单调性，进而可求解. 【详解】， 构造函数，，则， 当时，；当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 由于，，且， 则，即， 又， 所以. 故选：A. 7. 已知抛物线的焦点为，在直线上任取一点作抛物线的切线，切点分别为，则到直线距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设,,根据判别式求出为切点的切线方程和以为切点的切线方程,设过直线上任一点为,将代入和,即可求得直线的方程,进而求得点到直线的距离. 【详解】设,,可得,， 设以为切点的切线方程为， 联立与抛物线的方程可得， 故，解得， 故以为切点的切线方程为:,即——① 同理可得,以为切点的切线方程为: ——② 设过直线上任一点为 代入①②得 所以直线的方程为,即, 故过定点, 当时,到的距离的最大值为:. 故选:B 8. 对于，将表示为，其中，当时，为0或1，定义为正整数的表达式中的个数，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设新定义，用多项式表示出63，即可得. 【详解】由，则. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知有，则，根据指数函数的单调性判断A；两侧平方有，结合基本不等式、不等式性质判断B；特殊值判断C；讨论、，结合不等式性质判断D. 【详解】因为，所以，所以，故A对； 因为，所以， 由，所以，故B对； 若，满足，显然不成立，故C错； 当，则，必有， 当，则，故，必有， 故D对. 故选：ABD 10. 设函数，则（ ） A. 一定有两个极值点 B. 若，则或 C. 过点作曲线的切线有且仅有一条 D. 当时， 【答案】AB 【解析】 【分析】利用导数研究函数的极值点判断A；由求判断B；利用导数几何意义得到处的切线也过，结合处切线判断C；根据解析式得，利用对称性求函数值判断D. 【详解】由题设， 当或时，，则在、上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以分别为极大值点、极小值点，A对； 由，令，则， 所以或，故对于，则或，B对； 由且，则处的切线为，过， 由，则处的切线过， 所以过的切线至少有两条，C错； 由，， 所以，故，D错. 故选：AB 11. 如图，矩形中，分别为的中点．现将沿翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥体积的最大值为8 B. 存在某个位置使 C. 三棱锥外接球半径为3 D. 直线被三棱锥外接球截得的线段长的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由面面BCD时，三棱锥体积最大，结合棱锥体积公式求体积判断A；利用相似得到，结合翻折的过程中，点M在底面BCD的投影位置及DN与DB位置关系判断B；由直角三角形的性质确定球心位置即可得半径判断C；结合C分析得到O到MN的距离只受与的夹角的影响，其中夹角越大，线段越长，进而确定线段最长、最短的端点值，即可得范围判断D. 【详解】A：当面面BCD时，三棱锥体积最大，由题设易知， 所以三棱锥的高为，则，对． B：在矩形ABCD中连接CM，有，易得，则， 如下图，翻折过程中始终有，又在平面内， 所以平面，翻折过程中平面，即恒有， 且平面，翻折过程中恒有平面平面， 所以，在翻折的过程中，点M在底面BCD的投影落到平面在平面的投影直线上， 显然，翻折过程中同一平面内的DN与DB不平行，故不成立，错． C：在翻折的过程中，和都是直角三角形， 所以两个面的外接圆圆心都在BD的中点处，故三棱锥外接球半径为3，对． D：因为球心为BD的中点O，连接OM，ON，所以， 又直线MN被三棱锥外接球截得的线段长，其中h为O到MN的距离， 所以h只受与的夹角的影响，其中夹角越大，线段越长， 当刚要翻折时线段最长，趋近于直径6，当将要与面BCD重合时，线段最短， 如图所示，因为，所以， 所以，所以，故线段长为， 综上，线段长的取值范围为，对． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个大于1的自然数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．在不超过20的质数中任取三个不同数，则其和是偶数的取法有______种． 【答案】21 【解析】 【分析】列举符合条件的质数，即可利用组合求解. 【详解】不超过20的质数有：共有8个数， 要使得取出的三个数和为偶数，则必须得有2，再从剩下7个数中任取2个，则共有种， 故答案为：21 13. 已知数列的前项和为，且满足，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的定义有，即，利用关系求通项公式. 【详解】由题设，数列是首项、公差均为1的等差数列， 则，所以， 当，则，显然满足上式， 所以. 故答案为： 14. 已知的内角的对边分别为，已知，则______；若，则面积的最大值为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）法一：利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；法二：利用正、余弦定理边角转化分析求解； （2）法一：利用余弦定理结合三角形面积公式可得，结合同角三角函数的基本关系可得，最后利用换元法结合二次函数求最值求解即可；法二：建立平面直角坐标系，设，根据题设可得建立的关系式，从而求出点 的轨迹为一个圆，从而可分析求解. 【详解】（1）法一：因为， 可得， 由正弦定理可得：  所以； 法二：因为，由正弦定理可得， 由余弦定理得： 化简得：，即，所以. （2）方法一：可得， 由余弦定理可得， 且， 所以 所以，即时，的最大值为3，所以面积的最大值为． 方法二：以AB边所在直线为x轴，以边AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 则，设， 因为，所以，化简得：， 即顶点C在以为圆心，以为半径的圆（除去与x轴的交点）上， 所以的AB边上的高最大值为， 所以面积的最大值为． 故答案为：2； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面所成的角为，且．底面是边长为2的正三角形，其重心为在线段上，且满足． （1）求证：平面； （2）求直线与底面所成角的正弦值． 【答案】（1） ∵侧面底面，侧棱与底面成60°的角， ∴， 又，取的中点，则底面. 以为原点建立空间直角坐标系如图， 则，，，，，， ∵为的重心， ∴，∵，∴， ∴，又， 所以，则， 又平面，平面， ∴侧面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，由题意得到底面，以为原点建立空间直角坐标系， 再证明共线即可得到，进而求证； （2）利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（2）得，， 易得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则. 即直线与底面所成角的正弦值为． 16. 每年3月20日是国际幸福日，节日的意义在于追求幸福，建设未来．某中学为纪念国际幸福日举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况， 天数 1 2 3 4 5 胚芽长度（厘米） 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①；②， （1）根据以上数据，计算模型①中的关于的相关系数（结果精确到0.01），若，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ （2）根据（1）的结果，试建立关于的回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度（结果精确到0.01）． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 样本相关系数为． 参考数据：． 令． 【答案】（1）应选模型②； （2），预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米. 【解析】 【分析】（1）根据已知求得，结合已知及相关系数公式求相关系数，即可得结论； （2）应用最小二乘法求回归方程，再将代入预测第6天种子的胚芽长度. 【小问1详解】 由题设，，所以， 所以，故应选模型②； 【小问2详解】 令，则求出线性回归方程， 所以，， 所以， 所以， 又，则，故， 所以回归方程为，故，有厘米， 所以，预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米. 17. 已知函数． （1）当，求的取值范围； （2）当时． （ⅰ）设，讨论函数在上的单调性； （ⅱ）证明：对任意的，有． 【答案】（1）； （2）（i）在上单调递增； （ii）令，则， 由，则， 由（i）知，，即在上恒成立， 所以在上单调递增，故， 因为，所以在上单调递增，则， 所以， 综上，对任意的，有. 【解析】 【分析】（1）问题化为恒成立，利用导数研究右侧的最值，即可得参数范围； （2）（i）利用导数研究函数的单调性即可；（ii）构造，利用导数及（i）结论有在上单调递增，即得，结合的单调性即可证. 【小问1详解】 由，则， 令且，则， 令且，则，即在上单调递增， 所以，即，故在上单调递增，则， 综上，. 【小问2详解】 （i）时，且，则，故在上单调递增； （ii）略 18. 已知是椭圆的右焦点，是上一点，且直线与圆相切于点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若上两点满足． （ⅰ）当直线斜率不存在时，求直线的方程； （ⅱ）求直线被圆所截得弦长的最小值． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上求出椭圆参数，即可得方程； （2）（i）设，结合及点在椭圆上求得，即可得直线方程；（ii）设直线方程联立椭圆，应用韦达定理及得到，再分类讨论求直线所过的定点，注意直线斜率不存在的情况，进而求弦长最小值. 【小问1详解】 由题意，知PF与x轴垂直，， 令，解得，即，解得或（舍去）， 故，椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 （i）当直线AB斜率不存在时，设， 则，， 由，知，又，解得或1（舍去）， 故直线AB的方程为； （ii）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为， 联立椭圆C的方程，得， 设，由韦达定理知， 于是， 由知， ， 若，则直线AB为，直线AB恒过定点，不合题意， 若，则直线AB为，直线AB过定点， 当直线AB斜率不存在时，直线AB也过点， 于是直线AB恒过定点， 当直线AB与OM垂直时，圆心O到直线AB的距离最大，为， 故直线AB被圆O所截得的弦的长度的最小值为． 19. 若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）． （1）判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由； ①；②． （2）过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组； （3）从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率． 【答案】（1）①不是，②是； （2） 直线AB的方程为，联立圆的方程， 整理得， 由韦达定理得，即， 于是，又点B的坐标满足圆的方程， 于是，即． 取，其中， 若存在正整数i和j且i，，使，那么． 因为，则有比例性质， 于是， ， 故，则，矛盾！ 故对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则2是有趣数， 所以2的一列有趣数组为． （3）. 【解析】 【分析】（1）根据有趣数组的定义判断即可； （2）联立直线与圆，应用韦达定理有，，代入圆的方程得，取，其中，应用反证思想，假设存在正整数i和j且i，，使得到矛盾，即可证明结论并确定2的一列有趣数组； （3）由（1）（2）结论，只需讨论，结合新定义及反证思想判断是否为有趣数组，即可得. 【小问1详解】 ①不是，因为数组中的任何两个都是比例关系； ②是，因为数组中的任何两个都不是比例关系. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可知1是有趣数；由（2）可知2是有趣数； 当时，假设方程有正整数解， 设是所有正整数解中使x最小的一组解，由，故是3的倍数， 若，k，l为非负整数，则不可能是3的倍数，矛盾！ 同理，或，或也不成立． 若为3的倍数，则也为3的倍数， 设，则，即，故为3的倍数． 设，则有，所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾． 因此方程没有正整数解，则3不是有趣数， 当时，由（1）知，则， 此时取，其中，…， 由比例性质同理可知对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则4是有趣数， 当时，过点作斜率为的直线交圆于另一点D， 则直线CD的方程为，联立圆的方程， 整理得， 由韦达定理可得，即， 于是，又点D的坐标满足圆的方程， 于是，即． 取，其中，…， 由比例性质同理知：对任意正整数i，j，不存在正数，使得，则5是有趣数． 当时，假设方程有正整数解， 设是所有正整数解中使x最小的一组解． 由于，故是3的倍数， 由时的分析可知和都是3的倍数， 设，则，即， 故：为3的倍数． 设，则有． 所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾． 因此方程也没有正整数解，则6不是有趣数． 因此1，2，…，6中的有趣数为1，2，4，5，所求概率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $