【专项练】平行线中折叠问题-沪科版七年级下册期末专项（初中数学）

学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 平行线中折叠问题 基 础 1题 1.D 【分析】本题考查了折叠的性质和平行线的性质,根据平行线的性质求出DEF-乙EFB-50* 根据折叠得出:乙DEF-EFB-50*,再逐个判断即可 【详解】解:·AD'|IBC',EFB-500, .DEF-EFB-500. 由折叠的性质,得 DEF-2DEF-50*, ①正确; 乙AED-180*-2DEF- DEF-80”,②正确; .ADIIBC”, :.乙EGF-乙AED-80*. ..DE//CF, .乙BFC- EGF-80*,③正确; ..乙fGF-80*. : DGF-180*- EGF-100*,④正确. 故正确的结论有4个 2.D 【分析】本题考查平行线的性质、角的和差,解答本题的关键掌握平行线的性质 方法一:根据平行线的性质,可以得到4-BDC-DCF-44*,再根据折叠的性质,即可得 到2DCB-2DCB,最后根据平角的性质即可得解; 方法二:根据折叠可得乙ABC-A'BC,求出乙4BC-112*,再根据平行线的性质即可得解 【详解】解:方法一::四边形ADFE是长方形纸片 :.AE/DF,AB/IDC. :.乙1=乙BDC= D'CF-44*. 由题意知zDCB-DCB, :2乙DCB+ D'CF-180*. :.乙DCB=68*; 方法二:由题意知乙ABC-乙ABC 乙ABC+乙4BC- 1+180*,-44*, 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 $ ABC=112^*$$ ·乙AEF+$ DFE=1 18 $, .AE/DF, :. DCB-180*-乙4BC-68*. 故选:D. 3.(1)这个角的度数为27*; (2)82* 【分析】本题考查了余角与补角,解一元一次方程以及平行线的性质,能熟记余角和补角的定 义是解此题的关键 (1)设这个角为x,根据题意得出90{-x-(180^-x)-5^,再求出方程的解即可. (2)根据平行线的性质可得乙BHE-ZDEH-49*,由平角定义得出2CHE,从而可得出结论. 解得x-27*, 即这个角的度数为27*. (2)因为ADlIBC, 所以/DEH-/BHE-49*, CHE-180*-乙DEH-131*. 所以 CTE-乙GFE-131* 所以 BHG- GHE- BHE-131*-49$-82* 4. B 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质等知识,熟练掌握折叠的性质是解题关键.设 CEF-x,则乙BEF-180*-X, HEF-52*+X,先根据折叠的性质可得 BEF= HEF, LAFE- GFE,从而可得x-64^*,再根据平行线的性质可得乙AFE= CEF-64^*},由此即可得 【详解】解:设 CEF-X,则乙BEF-180*-CEF-180*-x. .CEH-52o. .乙HEF-CEH+CEF-52*+X. 由折叠的性质得:乙BEF-乙HEF,乙AFE-ZGFE .180-x-52+x. 解得x-640, .ZCEF=64*. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 ·在长方形纸片ABCD中,AD//BC . 乙AFE- CEF=64* $ AFG- $ AFE+ GFE-$ AFE-1 $ 故选:B. 5. 68~40 【分析】此题考查了翻折变换(折叠问题),平行线的性质,熟记“两直线平行,内错角相等” 是解题的关键.根据平行线的性质得出4-乙DB-55*40', 根据折叠的性质求出 ZGEF=2DEF-55~40',根据平角的定义求解即可 【详解】解::ADl1BC,-55040', :-乙DEF-55*40' 根据折叠的性质得,2GEF-2DEF-55~40, .乙2=180*-(乙GEF+乙DEF). .2-68-40, 故答案为:6840’. 中 过1等题 6.(1)①100; ②180-2Q (2)EF/GH,理由见解析 【分析】(1)①由题意得乙A'EF-乙AEF-40*,则乙4EG-乙4'EF+乙AEF-80*,由平行线的性 质得乙CGE-乙4EG-80*,最后由平角的定义即可解答;②由题意得乙4EF-乙AEF-a,则 乙AEG-乙4EF+乙AEF-2x,最后由平角的定义即可解答 _CGE-LAEG,推出 C'GH-LA'EF,即可得出EF/GH. 【详解】(1)解:①由题意得:乙4EF-乙4EF-40*, .乙AEG-乙A'EF+乙AEF-80*. .AB/CD, .乙CGE-乙4EG-80* .乙4'GC-180*- CGE-180*-80*-100* 故答案为100 ②由题意得:乙4'EF-乙4EF-&. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 $ AEG= AEF+ AEF=$ $ :AB//CD, $ AEG= AEF+ AEF= $ . 4'G$C=180$-$$C[GE-180$-$ $ 故答案为:180-2. (2)解:EF//GH,理由如下: 由题意得:LAEF-乙4EF-1 .AB/CD, . ZCGE-乙AEG .乙C"GH-乙A'EF. .FF/GH. 【点睛】本题是四边形综合题,主要考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质 平角的定义等知识点;掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键 7.(1)①104*;②180"-2x; (2)EF/lGH,理由见解析 【分析】本题主要考查了长方形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知 识点;熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键 (1) ①由题意得 A'EF= AEF-38*,则 AEG- AEF+ AEF=76^*,由平行线的性质得$ CGE- AEG-76^*,由平角的定义即可得出结果;②由题意得 A'EF- AEF=&,则 AEG-乙AEF+乙AEF-+a=2a,由平行线的性质得 CGE-乙4EG-2a,由平角的定义即可 解答: CGE-乙AEG,推出 C'GH-乙AEF,最后根据平行线的判定定理即可解答 【详解】(1)解:①由题意得:乙AEF-乙AEF-38*, . AEG- AEF+ AEF-38{*}+38*-76^*. .ABlICD, . CGE- AEG-76* . A'GC-180*- CGE-180*-76*-104* ②由题意得:乙A'EF-乙AEF-x 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 $ AEG= $AEF+ AEF=+= $ .ABlICD, . CGE= AEG-2$$ : AGC=18 0*$-$$GE=18$0$- $ 故答案为:180*-2a. (2)解:EF/IGH,理由如下: :ABllICD, .ZCGE-LAEG .C'GH-乙A'EF. .EF/GH. 8.C 【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住2EFG;整个过程共折叠了9次,可得CF与GF 重合,依据平行线的性质,即可得到DEF的度数 【详解】解:设。DEF一a,则EFG一a, ·折叠9次后CF与GF重合 .CFE-9/EFG-9a. 如图(2),:CF//DE. . DEF+CFE-180*, .+9a-180* .a-18, 即DEF-18* 故选:C. 【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质,解题的关键是找出DEF+2CFE一180{.解决 该题型题目时,根据翻折变换找出相等的边角关系是关键 困 难 题 9.(1)550 (2)EFlICD,理由见解析 (3)乙ECF+乙HG'M-90*,理由见解析 学科同·幅子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【分析】(1)先根据折叠的性质可得/BCD-ZECD,再根据平角的定义可得乙BCD-55*,然 后根据平行线的性质即可得 的性质可得BCE-乙HEC,从而可得ECD-ZCEF,然后根据平行线的判定即可得出结论; (3)过点H'作HOlIMN于O,先根据平行线的性质可得。HGM-ZOHG,再根据平行公理推 论可得HOl|IBG,根据平行线的性质可得乙ECF-ZEH'O,然后根据折叠的性质可得 EH'G-乙H-90*,从而可得/EHrO+/OHrG-90*,最后根据等量代换即可得出结论 【详解】(1)解:由折叠的性质得:BCD-/ECD, ECG=70*, ECG+ BCD+ ECD-180* :乙BCD-2ECD180-70 055 2 “.AH|lIBG. :. CDE= BCD-55*. 故答案为:550. (2)解:FFlICD,理由如下: .AH|IBG. :.乙BCE-乙HEC :.乙ECD-ZCEF. :EFlICD. (3)解:乙ECF+乙HG'M-90*,理由如下 如图,过点H作HOlIMN于o ".乙HGM-OHG. G V .MVIlIBG. :.HOllBG, 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 :ECF-EHO. 由折叠的性质得: EHr'G= H-90$$ .EHO+ OHG-90*. 1.乙ECF+乙HrG"M-90*. 【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平行公理推论等知识点,熟练掌握平 行线的性质和折叠的性质是解题关键 10.(1)①100°;②180”-2a;(2)EPlIGH,理由见解析;(3) 60。 【分析】(1)①由题意得乙A'EF=LAEF=40*,则乙AEG=乙A'EF+乙AEF=80*}由平行线的性质 得。CGE-乙AEG-80{,由平角的定义即可得出结果 ②由题意得 A'EF=LAEF=a,则 AEG= A'EF+ AEF=2a,由平行线的性质得 CGE=LAEG=2 由平角的定义即可得出结果 (2)由题意得乙AEF=LA'EF=LAEG, CGH-LC'GH- CGE,由平行线的性质得 CGE-LAEG,推出 C'GH=LA'EF,即可得出EFl]GH (3)根据折叠的性质求出 C'EA=60*,根据ABlICD,得到2EGF=2CEA=60*},利用对顶角相 等可得结果 【详解】解:(1)①由题意得:乙A'EF=乙AEF-40*, . AEG-LA'EF+ AEF-40*+40*=80* :ABCD, ..CGE-LAEG=80* :. A'GC=180*- CGE=180*-80*=100* ②由题意得:LA'EF-LAEF-a .AEG=LA'EF+LAEF=a+a=2a .ABlICD, ./CGE=LAEG=2a . A'GC=180*- CGE=180*-2a 故答案为:180*-2g; (2)EPGH,理由如下: 由题意得: AEF=LA'EF=)AEG,CGH-C'GH-)CGE, -ABCD, 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 $ CGE=LAEG$$ .C'GH-LA'EF .EFlIGH. (3)若折叠后CE与EF重合, 则 C'EA-LAEF :LA'EF=LAEF,LA'EF+AEF+ C'EA=18 0* .2C'EA=60*, .ABlICD, . EGF- C'EA=60{} .乙A'GC=乙EGF=60* 【点晴】本题是四边形综合题,主要考查了长方形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质 平角的定义等知识;熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键 11.(1)①100*,②乙4GC=180*-2AEF (2)EF/fGr 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识;熟练掌握折 叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键 (1)①由题意得乙4'EF-乙4EF-40*,则乙AEG-乙4'EF+乙AEF-80*,由平行线的性质得 CGE-乙4EG-80*,由平角的定义即可得出结果 ②由题意得乙AEF-LAEF,则乙AEG-Z4'EF+LAEF-2ZAEF, 由平行线的性质得 ICGE-乙AEG-22AEF,由平角的定义即可得出结果; _CGE-乙AEG,推出 C'GH- AEF,即可得出EFl\GH. 【详解】(1)解:①由题意得:乙4EF-乙4EF-40*, : 乙AEG=乙A'EF+乙AEF-40+40*-80* .ABlICD. :ZCGE=ZAEG-80*. . 4'GC=180*- CGE=180*-80*=100* ②结论:24'GC=180·-22AEF 理由:由题意得:乙4'EF-乙4EF, 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 $ AEG=$A'EF+ AEF=2AEF$ .AB|lICD, $$ CGE- AEG-2乙 AEF $ A'G$C=18$0$-$ $CGE=180$- AE$F$ (2) EF/IGH,理由如下: .AB|ICD, : CGE=LAEG. : C'GH=LA'EF, :EFll GH. 12. ①132*;②42“或66^;③35*或63. 【分析】①依据平行线的性质,即可得到乙EFC的度数 ②如图1,当点Q落在AB上,根据三角形的内角和即可得到结论;如图2,当点Q落在CD 上,由折叠的性质得到PF垂直平分EO,得到z1=22,根据平行线的性质即可得到结论; ③如图3,当点Q在平行线AB,CD之间时,设zPFQ-x,由折叠可得EFP-x根据平行线的 性质即可得到结论;如图4,当点O在CD的下方时,设2CFO-x,由2CFO=-PFC得,2PFC=2x 根据平行线的性质即可得到结论 【详解】解:①:ABl|CD .PEF+ZEFC=180* # ./EFC=132*; 圈1 2 ②分两种情况: 如图1,当点O落在AB上时,FP1AB . EFP=90*-PEF-42*; 如图2,当点Q落在CD上. 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 :将△EPF沿PF折叠,使顶点E落在点O处 .PF垂直平分EQ .21-乙2, 'ABlICD, :$OFE=180*-PEF=132*. . PF- 2QFE=66; ③分两种情况: 如图3,当点O在平行线AB,CD之间时 设 PFO-x,由折叠可得/EFP=x .PFO=2CFQ-X :ABlCD, .AEF+CFE=180* :75*+x+x+x=180*, .x-35。 图3 图4 :./EFP-35*; 如图4,当点O在CD的下方时 设CFQ=X,由<CFQ=PFC得, PFC=2x, .PFQ-3x, 由折叠得,PFE=2PFO=3x :ABlI]CD, .乙AEF+CFE=180* .2x+3x+75=180*学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更离效 平行线中折叠问题 基础 题 1. 如图,把一张两边分别平行的纸条折叠,EF为折痕,ED交BF于点G,且/EFB-50*.则 下列结论:①乙DEF=50^;②乙AED=80°;③乙BFC=80^;④ DGF=100 。其中正确的有( ) .......,D A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个 2. 将一张长方形纸片折叠成如图所示图形,重叠部分是一个三角形,BC为折痕,若4-4^{, 则乙DCB的度数为(). 1 C. 580 B.48a A. 380 D.680 3.(1)已知-个角的余角比它补角的还少5o,求这个角的度数; (2)如下图,已知B,H,C三点共线,ADllBC, CHE=GHE,DEH-49*.求 BHG的度数 4.如图,把-个长方形纸片ABCD沿F折叠后,点A,B分别落在G,H的位置,若乙CEH-52* 则乙4FG的度数为() 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 B. 128 C. 1320 A. 124* D.1 136 5. 如图是一张长方形纸片ABCD,AD/BC,将该纸片沿FF折叠,若4-55*40',则2的度 数为 #.# 中 6. 综合与实践: 我们已经学习了平行线的性质与判定,今天我们继续探究,折纸中的数学一长方形纸条的折叠 与平行线. (1知识初探如图1,长条ABCD中,AB//CD.AD/BC,LA- B- C=ZD-90*,将长形纸条 沿直线F折叠,点A落在4处,点D落在D处,4E交CD于点G E 图1 ①若乙AEF-40”,求乙4'GC的度数. ②若乙AEF-a,则乙4'GC-(用含a的式子表示). (2类比再探 如图2,在图1的基础上将CGE对折,点C落在直线GE上的C处,点B落在B处,得到折 痕GH,则折痕EF与GH有怎样的位置关系?并说明理由 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 --:B ## 图2 7. 综合与实践: 我们学习了平行线的证明,今天我们继续探究:折纸中的数学一一长方形纸条的折叠与平行线 D..F 图1 图2 (1知识初探:如图1,长方形纸条ABCD中,AB//CD,AD//BC,LA-ZB- C= D-90*将 长方形纸条沿直线BP折叠,点A落在4处,点D落在D处,4E交CD于点G ①若乙AEF-38*,求乙A'GC的度数 ②若乙AEF-&,则乙4rGC-__(用含a的式子表示). (2)类比再探:如图2.在图1的基础上将/CGE对折,点C落在直线GE上的C处.点B落在B处 得到折痕GH,点4、G、E、C在同一条直线上,则折痕EF与GH有怎样的位置关系?并说明 理由. 8. 如图(1)所示为长方形纸带,将纸带沿EF折叠成图(2);再沿BF折叠成图(3);继 续沿EF折叠成图(4)按此操作,最后一次折叠后恰好完全盖住2EFG,整个过程共折叠了9 ######## 次,问图(1)中DEF的度数是( _ ... 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) B.192 C. 180 A. 208 D. 15~ 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 困 题 9. 综合与实践:折纸中的数学 今天我们来探究;折纸中的数学二一长方形纸条的折叠与平行线 H V 图1 G 图2 23 知识初探 (1)如图1,长方形纸条ABGH中,ABl|GH,AH|l|BG,LA=2B= G=Z H=90{,将长方形纸条 沿直线CD折上,点A落在A处,点B落在B处,BC交AH于点E,若/ECG三70*,则2CDE 类比再探 (2)如图2,在图1的基础上将2HEC对折,点H落在直线EC上的H处,点G落在G处得到 折痕EF,则折痕EF与CD有怎样的位置关系?说明理由 (3)如图3,在图2的基础上,过点G作BG的平行线MN,请你猜想2ECF和zHGM的数量关 系,并说明理由: 10.综合与实践 我们学习了平行线的性质与判定,今天我们继续探究;折纸中的数学-长方形纸条的折叠与平 行线. D D-、 11 图1 图2 (1)知识初探 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 如图1,长条ABCD中,AB//CD.AD//BC, A= B= C= D=90$, 将长形纸条沿直线EF折 叠,点A落在4处,点D落在D处,4E交CD于点G ①若乙AEF-40*,求乙4'GC的度数 ②若乙AEF-&,则乙A'GC-__ (用含“的式子表示). (2)类比再探 如图2,在图1的基础上将CGE对折,点C落在直线GF上的C处.点B落在B处,得到折痕 GH,则折痕E与GH有怎样的位置关系?并说明理由. (3)提升自我 在图2的基础上,将2C阻沿着E对折,使CE恰好与F重合,求乙A'GC的度数 11.综合与实践: 我们学习了平行线的性质与判定,今天我们继续探究:折纸中的数学一长方形纸条的折叠与平 行线 C 图1 图2 (1知识初探 如图1,长方形纸条ABCD中,AB//CD,AD//BC,乙4= B- C- D-90*}.将长方形纸条沿 直线E折叠,点4落在4处,点D落在D处,4E交CD于点G ①若乙4EF-40*,求乙A'GC的度数. ②试猜想乙AEF和乙4GC之间的数量关系,并进行说明. (2类比再探 如图2,在图1的基础上将zCGE对折,点C落在直线GE上的C处.点8落在B处,得到折痕 GH,点4、G、E、C'在同一条直线上,则折痕EF与GH有怎样的位置关系?请说明理由. 12. 如图,直线ABICD,直线/与直线AB,CD相交于点E,F,点P是射线EA上的一个动 点(不包括端点E),将△EPF沿PF折叠,使顶点E落在点O处 ①若乙PEF-48*,则2EFC的度数为 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 ②若2PEF-48{,点O恰好落在其中一条平行线上,则2EFP的度数为 ③若乙 PEF-=75”,2CFO-PFC,则EFP的度数为__ 备用图 13. 如图,已知AB//CD,E、F分别在AB、CD上,点G在AB、CD之间,连接GE、GF -D 图1 图2 图3 (1)当乙BEG-400,P平分乙BEG,FP平分乙DFG时: ①如图1,若EG1FG,则 P的度数为 ②如图2,在CD的下方有一点O,EG平分乙BEO,FD平分乙GFO,求2O+2乙P的度数; (2)如图3,在AB的上方有一点O,若FO平分GFC.线段GE的延长线平分zOE4,则当 EOF+/EGF-100*时,请直接写出OE4与 OFC的数量关系