【专项练】平行线与标角法-沪科版七年级下册期末专项（初中数学）

命学科同·艇子学 www.2x×k.c0m 让学习更高效 平行线与标角法 中等题 1.(1)DE与BC平行，理由见解答 (2)80 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、平行线的性质和判定，掌握平行线的性质、判 定及三角形的内角和定理是解决本题的关键， (1)先说明∠ECD=∠BCD,再说明∠DEC+∠ACB=180°，利用平行线的判定得结论； (2)利用平行线的性质求出∠BFG=∠BDC,利用邻补角求出∠ADC即可. 【详解】(1)解：DE与BC平行 理由：：CD平分∠ACB, 2EcD=LBcD-片4c3, 则2∠ECD=2∠BCD=∠4CB, :∠DEC+2ECD=180°， ∠DEC+∠4CB=180°， DE∥BC (2)解：DE∥BC. ∠EDC=∠BCD, :∠FGB=EDC, ∴∠FGB=∠BCD, FG∥CD, .∠BFG=∠BDC=100°， .∠ADC=180°-∠BDC=80°. 困难题 2.探究发现：证明见解析；学以致用：120；拓展应用：30 【分析】本题考查了平行线的判定与性质.关键是通过作辅助线，构造平行线，把实际问题转 化为数学问题加以计算. 探究发现：过点A作4K∥F,根据两直线平行，同旁内角互补解答即可； 学以致用：根据探究发现]的结论解答即可； 多学科同·假子学 wWww.2××k.C0m 让学习更商效 拓展应用：过点A作AM∥BC,根据平行线的判定与性质解答即可. 【详解】证明：如图1，过点A作AK∥EF, …K 图1 AK∥EF, ÷∠AEF+∠EAK=180°， EF∥BC,AK∥EF, AK∥BC. ÷∠4BC+∠KB=180°， ∠AEF+∠E4K+∠ABC+∠KAB=360°， 即∠A+∠AEF+∠4BC=360°； 学以致用：由∠4+∠4EF+∠4BC=360°； ÷∠B4E=360°-90°-150°=120°， 故答案为：120： 拓展应用：AD⊥AB, ÷∠DAE=90°. :AH平分∠B4D, ∠B4H=∠HAD∠ACE=3∠B.AH=3a, ∠B4C=2a+B, :AC平分∠BAE, ∠E4C=∠B4C=2a+B, ÷∠DAE=∠D4AC+∠CAE=2C+2B=90°， ÷∠H4C=a+B=45°， AB⊥BC, ∠4BC=90°， 过点A作AM∥BC,如图5， 多学科同·假子学 Www.Z××k.c0m 让学习更商效 G M B H D 图5 ÷∠ABC+∠B4M=180°， ÷∠B4M=90°， ∠MAC=∠B4M-∠B4C=90°-(2a+B)=45°-d,∠MAD=∠MAB-∠B4D=90°-2a, ∠E4M=∠E4D=∠MAD=2a, GFM BC,AMll BC, AM∥GF, ∠GEA=∠EAM=2a, ∠4EF=180°-2a, '∠4AEC+∠GEC=180°，∠GEC+∠CEF=180°， L4EC=∠CEF=5∠4F-90°-a, AM∥BC, ÷∠4CB=∠MAC=45°-a, ÷∠ECB=∠EC4+∠ACB=3a+45°-a=2a+45°， :GF∥BC, ·∠FEC=ECB, 2a+45°=90°-a, .∠a=15°， ∠GE4-2a=30°. 3.()a=2,6-3,点D的坐标为D0,引 (2)①点E的坐标为E(0,3);②∠EM4=45 【分析】本题是三角形综合题，考查的是平行线的性质，非负数的性质，掌握平行线的性质定 理是解题的关键， (1)连接OB,过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为G,H,由非负性可求a,b,c的 多学科同·假子学 Www.2x×k.c0m 让学习更高效 值，再由So=Soo+Sm列出等式，即可求解； 2)@过点B作1oE,由55可得5w-5m…从而得出好DE×40一D0x盟， 求得08-号，可得0E-0+D8--3,得出点三的坐标为0，： ②过点M作MN∥AC,交轴于点N,则∠=∠O4M,∠EMM=∠DoC=90°，由EF∥AB可 得∠FE0=∠BD0,再由∠BD0+∠OD4=∠B.40+∠4OD+∠OD4=180得出 ∠BDO=∠B4O+∠4OD=∠B4O+90°，从而可得∠FE0=∠B.4O+90°，再由EM平分∠FE0可得 AE0-号FB0-号∠B40+4S,再由4M平分∠B4o可得∠aA=∠0M-B0,从而得出 ∠EMA=∠EMN+∠NMA=45°. 【详解】(1)解：连接OB,过点B分别作x轴，轴的垂线，垂足分别为G,H, AO 依题可得 0解得化)2 1-a-b=0 ÷A(-2,0),B(23) So=Soo+S四 0×3G-40xD0+D0x8朋 即x2x3=号x2xD0+5×D0x2 1 .DO= 点D的坐标为0，引， (2)解：①过点B作班⊥OE, 多学科同·假子学 Www.2××k.C0m 让学习更商效 B D S=S.0 .S.-S.0D 、、1×DE×4O二号×DOx BH 1 13 ×2 DE-7 .OE-OD+DE-33 =3 点E的坐标为E(0,3), ②过点M作N∥AC,交轴于点N, F B 则∠MM4=∠O4M,∠EMM=∠DoC=90 EF∥AB, ÷∠FEO=∠BDO ∠BDO+∠ODA=∠B.AO+∠AOD+∠ODA=180° ÷∠BDO=∠B4O+∠4OD=∠B4O+90° ÷∠FE0=∠B.4O+90° ~EM平分∠FEO ∠0-34F0-5B40+45 ∠N-180-∠Ea1-A0=90-(B40+439=45°-∠B40 AM平分∠B4O 多学科同·假子学 Www.2x×k.C0m 让学习更商效 ∠MMA=∠oAM=5∠B4⊙ .∠EMA=∠EMN+NMA=45° 4.(1)①48②135 a∠PcQ-0+∠PE0或∠Pc0-90-∠PE0 6)2或5或9 【分析】(1)①过点E作咀∥4B,然后利用平行线的性质得到∠PEH=∠PE=42°， ∠QEH=∠EQN,然后根据垂直的定义得到∠PEQ=90°，然后解题即可； ②过点G作GX∥AB,然后利用平行线的性质解题即可； (2)分为当点G在线段P℉上和点G在线段PF的延长线上两种情况，利用平行线的性质解题 即可； (3)分为MN!xG,MN IPK和MN IIGP三种情祝，画图，利用平行线的性质和三角形的外角 的性质解题即可. 【详解】(1)解：①过点E作lAB, :AB∥CD, &AB∥CD∥EH, ∠PEH=∠MPE=42°，∠QEH=EQN, PE⊥EQ, ÷∠PEQ=90°， ÷∠Q2H=∠EQN=90°-∠P=90°-42°=48°； ②过点G作GK∥B, AB∥CD, :AB∥CD∥GX, ÷∠APG=∠PGX,∠QGX=180°-∠G0D, ∠PE=42°，∠EQN=48°， 多学科同·假子学 wwW.2x×k.C0m 让学习更商效 ÷∠EQD=180°-∠EQW=180°-48°=132°， ~PF平分∠MPE交N于点F,G平分∠DQE交直线PF于点G, LAPF-PEZGQD-E0D- ÷∠PGQ=∠PGX+∠QGX=∠APF+180°-∠GQD=21°+180°-66°=135°； (2)解：如图，当点G在线段℉上时，过点E作lB, AB∥CD, ÷AB∥CD∥EH, ÷∠PEH=∠MPE,∠QEH=∠EQN=∠PEQ-∠PEH=∠PEQ-∠AMPE, -…H D 过点G作G欲∥AB, AB∥CD, :AB∥CD∥GX, ÷∠APG=∠PGK,∠QGX=180°-∠GQD, ~PF平分∠MPE交N于点F,G平分∠DQE交直线PF于点G, ZF-号AP,∠c00-B0D-s0-∠E0c-s0-∠B0c)-s0-∠P0+∠PE. ∠PcQ-∠PcK+QGK=∠APr+180-∠cQD-∠4PE+180-80-∠PQ+∠4PEg)-90+PEQ 如图，当点G在射线FP上时，过点G作GX∥AB, AB∥CD, ·AB∥CD∥G, 则∠KcP-∠Pr-APE,∠Kc0-∠cQD-号EQD-80-∠P8e+∠APg) ∠PcQ-∠KcQ-∠KGF-∠coD-∠APr-80-∠P0+LPE)-APz-0-PE0, 多学科网·短子学 www.2x×k.c0m 让学习更商效 M K.----- CIN e D (3)如图，当MNxG时， ∠PG0=40°，∠1MPE=42°， 由（2)得：∠PF=21,∠G0D=61°， 又：MW与G平行， ÷∠3MNQ=∠G0D=61°， 旋转时间为： 70-61.9 4 4 G M E IN Q 如图，当MN IIPK时， MP l NO, ÷∠PN=180°-∠MQ=180°-70°=110°， 又y∠1PE=42, ÷∠1EP=180°-∠PN-∠MPE=180°-110°-42°=28°， 又：MN‖PK, ÷∠NM=∠MEP=28°， 旅转时间为空-5： 多学科同·短子学 WwW.2x×k.C0m 让学习更离效 N 当MN IIPGE时， ∠1FP=180°-∠PN-∠1PF=180°-110°-21°=49°， 又：MN IIPG, ∠NM'=∠FP=49°， 旋转时间为s 49 综上所述，满足条件的：的值为或⅓或磐. M' 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的有关计算，掌握平行线的 性质、三角形外角性质是解题的关键。 5.225或5 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角定理，解决本题的关 键是准确识图，熟练掌握平行线的性质， 根据点N与点A,点P的位置分三种情况讨论，分别画出图形根据平行线的性质推导即可· 【详解】解：①当点N在点P的右侧时， 设∠PCN=a, 多学科同·短子学 www.2x×k.c0m 让学习更商效 ∠PC=4a, ∠4NC-=4a=2∠4C, ∠C=2a, ABCD, ∠AC=∠CD=2a, ∠ANC=∠C+NCM, ÷∠4C=∠NCM=2a, .∴∠PCM=∠PCN+NCM=3a, CP平分∠4CM, .∠PCM=∠4CP=3a, ∴.∠ACD=2∠4CP+∠CD=6a+2a=8a, AB∥CD,∠B4C=120°， .∠4CD=180°-120°=60°， ,8a=60°， 5 -∠PClM=3a=22.5°： ②当点N在点A的左侧时， NA P MB D ● 设∠PCN=a,∠4CP=B, :CP平分∠4CM, ∠PCM=∠4CP=B, ∠dCN=∠PCN-L4CP=a-B, ∠pNC=4∠PCN=4a,∠NMC=2a, AB∥CD,∠B4C=120°， ∠NMC=∠MCD-=2a,∠ACD=180°-∠B4C=60°， ∠MCD=∠4CD-L4CP=60°-2B, 2a=60-2p,即：a=30°-f,扇学科同·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 平行线与标角法 中等题 1.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,∠DEC+2∠ECD=180°. (1)试判断DE与BC的位置关系，并说明理由.。 (2)若∠FGB=∠EDC,且∠BFG=100°，求∠ADC的度数. 困难题 2. 【探究发现】 如图1，EF∥BC,点A在EF,BC之间，连接AE,AB.求证：∠4+∠AEF+∠ABC=360°. E -F 图1 【学以致用】 哈尔滨某商场地下车库出口处安装了“两段式栏杆"，如图2所示，点A是栏杆转动的支点，点 E是栏杆两段的联结点.当车辆经过时，栏杆AE℉升起到如图3所示的位置，其示意图如图4 所示（AB⊥BC,EF∥BC,栏杆宽度忽略不计)，已知∠4EE=150°，填空：∠B4E=_ 度 图2 图3 图4 【拓展应用】 如图5，已知GF∥BC,点E在GF上，点A在GF,BC之间，AD⊥AB交BC于点D,过点A 扇学科同·：子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 作AB⊥CD于点B,AH平分∠B4D,AC平分∠EAB,若∠AEC+∠GEC=180°，∠ACE=3∠B.H, 求∠GE4的度数. G BH D 图5 3.如图1，在平面直角坐标系中，△4BC三个顶点的坐标分别为A(a,0),B(2,b),C(4,0),其 中a,b满足1-a-b+lb-3=0,AB与'轴交于点D. 图1 图2 图3 (1)求a,b的值及点D的坐标； (2如图2，E是轴上位于4B上方的一动点， ①连接AE,EB,OB,当。AEB和OEB的面积相等时，求点E的坐标； ②如图3，过点E作EF∥AB,EM平分∠FEO,AM平分∠R4O,求∠EM4的度数. 4.已知，AB∥CD,直线N交AB于点M,交CD于点N,(∠BN>∠DNM点E是线段N 上一点（不与从N重合），P、Q分别是射线B、D上异于端点的点，连接P驱、Q, PF平分∠MPE交N于点F,QG平分∠DE交直线PF于点G. B 图1 各用图 (1如图1，PE⊥EQ,∠PE=42°，点G在线段PF上. 命学科网·短子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 ①求∠EQN的度数； ②求∠PcQ的度数： (2)试探索∠PGQ与∠PBQ之间的数量关系； (3)已知∠PGQ=40,∠PE=42°，∠ND=70°.直线PE、GQ交于点K,直线MN从与直线 重合的位置开始绕点N顺时针旋转，旋转速度为每秒4°，当MW首次与直线CD重合时，运动 停止，在此运动过程中，经过t秒，MW恰好平行于PG的其中一条边，请直接写出所有满 足条件的t的值. 5.如图，已知AB∥CD,∠B4C=120°，点M为射线AB上一动点，连接MC,作CP平分∠4CM 交直线AB于点P在直线AB上取点N,连接C,使∠WC-2∠AMC,当PC-PNc时， ∠PCM= D 6.【问题情境】在数学课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动， 已知直线ABIl CD,点E、G分别为直线AB、CD上的点，点F是AB与CD之间任意一点，连 按F、GF.直线1∥FG,直线1分别交AB、CD于M、N两点. M 图1 图2 图3 【探索发现】(1)如图1，求证：∠BN=∠FGC; 【深入探究】(2)如图2，求证：∠EFG=∠BN+∠MEF; 【拓广探索】(3)如图3，R平分∠FEB,GR平分∠FGD,过点F作FG的垂线交CD于点H, 连接MH,∠N-名RG,∠D-∠ABF=30°，求∠HN的度数.