【专项练】平行线分类讨论问题-沪科版七年级下册期末专项（初中数学）

命学科同·：子学 www.2X×k.c0m 让学习更高效 平行线分类讨论问题 中等题 1.【探究】(1)如图1，AB∥CD,点E在直线AB与CD之间，连接AE,CE,试说明： ∠B4E+∠DCE=∠4EC.请完成下面的解题过程. 解：过点E作FMB, 1=4_( :AB∥CD,EFI AB, ∴.CD∥EF( ∠2=∠_， ∴.∠B4E+∠DCE=∠1+∠2， .∠BAE+∠DCE=∠AEC; 【应用】(2)如图2，AB∥CD,点F在AB,CD之间，FE与AB交于点M,FG与CD交于点 N.若∠EFG-115°，∠BB=5°，求∠DVG的度数； 【拓展】(3)如图3，直线CD在直线AB,E之间，且4B∥CD∥EF,点G,H分别在AB, ℉E上，Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连接G,QH.若∠GQH=0°，直接写 出∠AGQ+∠EQ的度数， 4G 图1 图2 图3 2.小星在学习完《平行线的证明》一章后，想利用一副三角板探究平行线的相关问题.于是 他将两块三角板的直角顶点C重叠，固定△4CB,将△DCE绕着点C在平面内转动.其中 ∠A=60°，∠B=30°，∠D=∠E=45°，假设这一副三角板的直角边DC=AC.图中所有点均在一个平 面内. 【问题解决】 (1)如图①，当点D、E均在直线AC的上方，且∠BCE=30°时，求证：CE∥AB; 【问题探究】 命学科同·：子学 www,z××k.C0m 让学习更高效 (2)如图②，当点D在直线AC的上方，点E在直线AC的下方，且CD∥AB时，设∠ACE的 度数为a(0°<a<180),求a的值； 【拓展延伸】 (3)设∠4CE度数为B(0°<B<180),当B等于多少时，DEAB.请画出图形并完成相应解 答. B B 图① 图② 备用图 3.如图，将一副三角板的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠4=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45° E 图① 图② 备用图 (1)如图①，点E在直线BC的上方，若∠BCD=25°，则∠4CD=°，∠4CE=· (2)如图②，点E在直线BC的下方，若CE∥4B,求∠BCD的度数； (3)若保持三角板ABC不动，三角板DcE绕直角顶点C顺时针旋转一周，当CE∥4B时，直接写 出∠BCD的度数. 4.将一副直角三角板如图1摆放在直线N上（直角三角板ABC和直角三角板DC,∠EDC=90, ∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠B4C=45°)，保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒 5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当4C与射线CW重合时停止旋转 命学科同·子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 D B 图1 图2 D D 备用图 备用图 (1)如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，1= (2)当t=18时，求∠BCD的度数？ (3)在旋转过程中，当三角板4BC的4B边平行于三角板DC的某一边时（不包含重合的情形）， 求此时t的值为 (直接写出答案即可) 5.如图1，把一块含30的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上， 30 图1 图2 备用图 (1)填空：4=_，∠2=-； (2)如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0<n<90,且点C恰好落在DG边上时，若∠2 恰好是A的号倍，求n的值； (3)如图1三角板ABC的放置，现将射线F绕点B以每秒2的转速逆时针旋转得到射线M,同 时射线Q4绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QV,当射线QW旋转至第一次与QB重 合时，则射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为(s).在旋转过程中，是否存在BM∥QN, 若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由 困难题 6.已知直线4B∥CD,E为平面内一点.点P,Q分别在直线4B,CD上.连接PE,Q. 命学科同·：子学 www.zxxk.com 让学习更离效 图1 图2 图3 (1)如图1，若点E在直线AB,CD之间，求证：∠PEQ=∠BPE+DQE; (2如图2，若点E在直线4B,CD之间，PF平分∠PE,QF平分∠CQE,当∠PEQ=100°时.求 ∠P℉Q的度数： (3)如图3，若点E在直线4B的上方，QF平分∠CQE,PH平分∠PE,P咀的反向延长线交Q丽 于点F,当∠PEQ=50°时，求∠PFQ的度数. 7.亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界.一副三角尺为我们观察世 界提供了一个小小的窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问 题.如图①所示的是一副三角尺，∠C=∠F=90,∠A=∠B=45°，∠D=30°，∠E=60°， B D 图① D G 图② 图③ 图④ (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在4C上，AB与DE相 交于点G,求∠BGD的度数： (2)如图③，将三角尺ABC的直角顶点放在直线N上，使AB∥W,三角尺DF的顶点E在 直线N上，DF与AB相交于点P,则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由： (3)如图④，将三角尺DEF固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的 顶点C,F重合.当点A在直线C的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并 直接写出∠ACE所有可能的度数 高学科同·：子学 www.Z××k.c0m 让学习更高效 8.如图，PQ∥N,A、B分别为直线W、PQ上两点，且∠B4W=45°，若射线AM绕点A顺 时针旋转至AW后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、 点8不停地旋转，若射线4M转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是/秒，且a、b满足 h-8+(b-2)=0 Q B (1)a= (2若射线4M、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直， (3)若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ第一次 到达B4之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？ 9.如图①，直线l∥1，直线EF和直线、，分别交于C、D两点，点A、B分别在直线、 上，点P在直线EF上，连接PA、PB E C B D B 图① 图② (1)猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠P4C=15°，∠PBD=40°，求∠P8的大小 (2)探究：如图①，若点P在线段CD上，写出∠P4C、∠APB、∠PBD之间的数量关系并说 明理由. (3拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，写出∠P4C、∠APB、∠PBD之间 的数量关系并说明理由. 10.如图，直线AB∥CD,EF∥G班，∠AEF的角平分线交CD于点P. 命学科同·：子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 H (1)∠EPF与∠PEF相等吗？请说明理由. (2)若∠HG=3∠EPF,求∠EFD的度数. (3)点Q为射线GH上一点，连接Q,FQ.若∠Q附=∠FQH,且∠PEQ-∠EQF=50°，求∠QF 的度数。 11.如图， ∠4EC=80°，在∠AEC的两边上分别过点A和点C向同方向作射线AB和CD,且 AB∥CD (1)若∠A=60°，则∠DcE的度数为 (2)若∠E4B和∠ECD的平分线所在的直线交于点P(P与C不重合)，则∠APC的度数 为 B 12.如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A,B两点， 连接AB,点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线AB上的点B处，折 痕N交4AB于点Q. B A 图1 图2 图3 备用图 (1)①判断折痕N与AB的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与AB有①中的位置关系， 命学科同·：子学 www.2××k.C0m 让学习更高效 其中的数学道理是 (2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与AB平行的折痕DE(折 痕左端点记为点D,右端点记为点E),请简要阐述折叠方法并说明理由； (3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段FG上一动点（不与点E重合），若∠DEF=26°，∠DS=《, ∠CAS=B,请直接写出∠DS4的度数.（用a、的代数式表示） 13.如图，直线AB∥CD,BEC是一条折线段，BP平分∠ABE. 图① 图② (1)如图①，若BP∥CE,探究∠BEC和∠DCE的数量关系； (2)CQ平分∠DcE,直线BP,CQ交于点F ①如图②，探究∠E和∠F的数量关系，并说明理由： ②当点E在直线AB,CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的度数.学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 平行线分类讨论问题 中等题 1. (1)A,两直线平行,内错角相等;平行于同一条直线的两条直线平行,C;(2)60^; (3)70或2900 【分析】本题考查了平行线的判定及性质 (1)由平行线的判定方法得AB/CD/IEF, 由平行线的性质得21-24,22-2C,则 BAE+乙DCE-乙AEC,即可得证; (2)利用(1)中的结论可知,MFN-乙4MF+ZCNF,则可得zCNF的度数为60*,由对顶角 相等可得 DNG-60{,即可求解; (3)结合(1)中的结论可得,分类讨论:乙AGO是钝角或乙AGO是锐角时两种情况,分别根 据平行线的性质求解即可 掌握平行线的判定及性质,并能利用平行线的判定及性质进行熟练求解是解题的关键 【详解】解:(1)过点E作E/AB, :4-24(两直线平行,内错角相等) .AB/CD,EF/lAB, :.CD/EF(平行于同一条直线的两条直线平行), .乙2=C. :.B4E+ DCE-乙1+乙2 :.乙BAE+/DCE-乙AEC; (2)由(1)中探究可知,MFN-乙AMF+2CNF, .乙AMF-乙EMB-55*,且 MFN-115*. . CNF-115*-55*-600. :.DNG- CNF-60: 故答案为:A,两直线平行,内错角相等;平行于同一条直线的两条直线平行,C; (3)如图,当乙AGO为钝角时 由(1)中结论可知, 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 $$$G$OH= $BG$O+ $FH$ =$ 0$$ :.乙AGQ+/EHQ =360*-(乙BGO+乙FHQ)$ -290°; 当乙AGQ为锐角时,如图, -B #7-F 由(1)中结论可知, $GOH= AGO+ EH$O 即乙4GQ+乙EHQ-70*. 综上,乙AGQ+乙EHO的度数为70%或290°. 2.(1)证明见解析;(2)a-150*;(3)当等于75*或105*时, DEllAB 【分析】本题考查了平行线的判定与性质 (1)先证明乙B- BCE-30*即可证明结论 (2)根据平行线的性质得出 B-乙BCD-30*即可求出结论 (3)分两种情况:当点E在AC上方时或当点E在AC下方时,分别根据平行线的性质求出即 #: 【详解】解:(1)·乙B-30*,乙BCE-30*, :._B=BCE=30· .CE/AB; (2).CD/AB, :. B- BCD-30*. :a=360·-90·-90。-30*=150·; (3)当点E在AC上方时,设DE与AC交于点G 学科网·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .DE//AB, C 0 . A= EGC=60*. *2F=45*, B= ACE=18 0*-60*-45*=75*$$$$ 当点E在AC下方时,设DE与直线AC交干点H D..DE//AB, 不 E . A= EHC=60*. .乙F-45*, $$= ACE= E+EHC=6 0*+45*= 10$ $$ 综上所述,当B等于75*或105*}时,DE\AB。 3.(1)65.25; (2)150; (3)30或150*. 【分析】本题考查的是平行线的性质,角的和差运算 (1) 先求解 ACD-90{*}- BCD=65^*, ACE=90*}-乙ACD-25*,即可得结论$ (2)由平行线的性质可得/BCE-乙B-60*,再结合角的和差运算可得答案 (3)如图,当点E在直线BC的上方时,证明乙4CE-乙4-30*,如图,当点E在直线BC的下方 时,证明乙BCE-2B-60*,再进一步可得答案 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 【详解】(1)解:BCD=25*,ACB= DCE=90*$$$ . ACD=9 $0*-BCD=6$$ , ACE=9$- ACD= 5 $; (2)解::AB/CE,B=60* :乙BCE= B-60{* .乙DCE-90*. . BCD-90*+60*-150; (3)解:如图,当点E在直线BC的上方时 .CE//AB.乙A-30*. .乙ACE-乙4-30*. ·BCD-90*- ACD= ACE .BCD-30*; 如图,当点E在直线BC的下方时 1 .AB//CE, B=60*. . BCE- B-60*. : DCE-90*. . $CD-90*+60*-150*; 综上:乙BCD为30或150* 学科网·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 4.(1)3 (2)15。 (3)$t-15或2 7或33 【分析】本题考查与三角板有关的计算,平行线的性质,熟练掌握数形结合和分类讨论的思想 是解题的关键: (1)根据角平分线的定义,求出之EC4的度数,再根据旋转的速度即可求解 (2)当1-18时,旋转角为90{,可求出乙ACD,即可求出乙BCD. (3)数形结合,分三种情况进行讨论即可 【详解】(1)解:由题意,可知:乙ECD-30* 即:旋转角为15o, 故答案为3. (2)当t-18时,则: 乙ECA-18X5·-90*,如图: ·乙DCE-30,乙ACB-45*, .乙BCD-90*-乙4CB-/ECD-15*. (3)当三角板ABC的AB边平行于三角板EDC的某一边时,有3种情况 ①当AB/DE时,如图: 此时,BC与CD重合 1=(30+45)-5-15. ②当ABllCE时,如图: 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 B M .AB|ICE. $. BCE= B=90$$ :乙ACE-90*+45*-13 $ $1=135-5-27 ③当ABllCD时,如图 V N :ABllCD, . B$CD= ABC=90$$$ .乙ACE=30*+90+45=16 5 $$ .1=165+5-33 综上所述,1-15或27或33 5.(1)120,90 (236 (3存在,:的值为12或48 【分析】本题考查平行线的性质及应用,解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用 (1)根据邻补角的定义和平行线的性质解答 (2)根据22恰好是2的3倍列方程,计算可求解; (3)分两种情况,根据乙4OV-乙4BM画出图形,列方程可解得答案 【详解】(1)解:由题意,得:乙4BC-60*,乙ACF-90*. .DG/EF, . AQG=乙ABC=60*,2-乙ACF-90* .2-180-60-120; 故答案为:120,90; 学科网·照子学 www.zxxk.com 让学习更高效 (2)解:vz2恰好是△的}倍, 解得n-36, .n的值是36; (3)解:存在BM/NO,理由如下: 如图:由题意,得:FBM=(2t)^*,乙AQN=(3 )^*, .BM/NO, .AON- ABM= ABF- FBM$ :3t-60-2f, 解得:-12; 如图: IM #-3s 300 D E B IV .BM/NO, 学科网·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 .乙ABM-乙BQN, :2 t-60-180-3 解得1-48, 综上所述,:的值为12或48 困 难 题 6.(1)见解析 (2)130。 (3)155。 【分析】本题考查了平行线的判定和性质 (1)如图1,过点E作EFlAB,根据平行线的性质得到ZBPE-ZPEF,2DOE-ZOEF,等量代 换即可得到结论 (2)如图2,过点F作FG/48,根据平行线的性质得到 coF-EOC,得到乙APF+2cOF-(<4PE+EOC)-130*,进而求解即可; (3)如图3,过点E作EG/AB,根据平行线的性质得到ZDQE-ZEPB-50{,根据角平分线的 【详解】(1)证明:如图1,过点E作/AB, -B -D:_BPg-/PRr, .EF/AB,AB//CD, .EFllCD, :乙DOE-乙OEF. . PEO- PEF+乙OEF, :.乙PEO=乙BPE+DOE; (2)解:如图2,过点F作FG/AB, 学科同·子学 www.zxxk.com 让学习更高效 图2 同理(1)可得,PEO=乙BPE+ DQE=100{$$ ·APE=180*- BPE, EOC=180*- D E . APE+ EOC-360*-(BPE+ DOE)= 6 0* ·PF平分乙APE,OF平分乙CQE, 同理(1)可得,PFO-乙APF+COF=130*;$ 。 (3)解:如图3,过点E作EG/AB . PEO- GEO- GEP-50 ·EG/AB . 乙GEP-/EPB .ABllCD .GEllCD . GEO- DOE :乙DOE- EPB-50* ·PH平分乙APE, .QF平分乙COE 学科网·照子学 www.zxxk.com 让学习更离效 由(1)可得, 2 7.(1)750 (2)乙DEM-乙DPB-30*,见解析 (3)135*或150或60{或45*或15- 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质,熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关 键,分类讨论是解决问题的难点,也是易错点 (1) 过点D作GH/DF,则GHIl\ DFl|BC,进而得 HGD= D=30{, BGH= B-45*,由此可$ 得乙BGD的度数; (2)过点D作DHIIMN,则DHlIABll MN,进而得乙HDE- DEM,乙HDP- DPB,再根据 HDE-ZHDP-2EDF-30·可得出答案 (3)依题意由以下5种情况:①当AB|EC时,则 ECB=B-45*,再根据乙ACE- ACB+乙ECB 可得出答案;②当BCllDE时,则 ECB-ZE-60*,再根据乙ACE-乙ACB+乙ECB可得出答案;③ 当AClI\DE时,则 ACE-E-60*;④当ABllCD时,则 ECB= B=45,再根据 ACE-LACB- ECB可得出答案;当AB/DE时,设BC于DE交于点T,则/ETC=B-45 进而得2ECT-180·-(ZETC+2E)-75*,然后根据&AEC-ZACB-ZEr可得出答案,综上所述即可得出 乙ACE角度所有可能的值 【详解】(1)解:过点D作GH/DF,如图2所示 7B A(F) 图2 依题意得:C-90,DFE-90*, B-45*,D-30, :乙C+2DFE=90*+90*=180*. :BC/DF. :.GHIIDFlIBC. . HGD- D-30*, BGH= B-45*$ BGD= HGD+ BGH=30*+45*-75*. (2)解:DEM-DPB-30*,理由如下: