专题02 余弦定理5种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第四册）

专题02 余弦定理5种常考压轴题归类 知识点01 余弦定理 1、余弦定理的描述（1）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。 （2）符号语言：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 2、余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、余弦定理的证明：在中，内角，，所对的边分别为，， 如图，因为，∴， 即 从而 同理，根据，， 可以得到， 4、 余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝ 知识点02 余弦定理在解三角形中的应用 1、已知三角形的三边解三角形 （1）连续用余弦定理求出两角； （2）由三角形内角和定理求出第三个角。 2、已知两边和它们的夹角解三角形 （1）用余弦定理求出第三边； （2）用余弦定理或正弦定理求出第二个角； （3）由三角形内角和定理求出第三个角. 3、已知两边及其中一边的对角解三角形 利用余弦定理。例如，已知a，b及角A，可以根据余弦定理列出以边c为未知数的一元二次方程，根据解一元二次方程的方法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求出其他元素. 压轴题型一：利用余弦定理解三角形 满分技法 利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形． 1．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，边上的高等于，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）三角形中，角的对边分别为，且，则其面积为（    ） A． B． C． D． 压轴题型二：判断三角形的形状 满分技法 利用余弦定理判断三角形形状的方法 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系. ②先化角为边，再进行代数恒等变换(因式分解、配方等)，求出三边之间的数量关系,统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝ . 5．（24-25高一下·上海·期中）在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（     ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 6．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 7．（22-23高一下·河南南阳·期中）在中，分别为内角的对边，如果，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 8．（22-23高一下·北京·期中）中，，，分别是内角，，的对边，若且，则的形状是（    ） A．底角是的等腰三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 9．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角的对边分别为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 10．（22-23高一下·上海·期中）若，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 压轴题型三：余弦定理的边角互化 满分技法 1. 边化角 核心依据：余弦定理 , , 。当题目中出现边的平方关系,如 ,可将其转化为 的形式,即 变为 ,将边的关系转化为角的余弦关系,再结合三角函数的其他公式(如两角和差公式、二倍角公式等)进行化简和计算。 适用场景：在边的二次齐次式或涉及边平方的混合式中,通过边化角,能将复杂的边的关系转化为角的关系,便于利用三角函数的性质求解。 2. 角化边 方法：若已知角的余弦值与边的关系,可根据余弦定理将角化为边。例如,已知 ,若题目中给出 与其他边或角的关系,可将 转化为边的方程,然后通过代数运算(如移项、因式分解等)求解边的关系。 应用场景：当角的关系难以直接处理,而边的关系更易分析时,角化边能将问题转化为代数问题,利用方程求解。 3.与正弦定理结合互化：在很多复杂题目中,常常需要同时使用正弦定理和余弦定理进行边角互化。例如,先利用正弦定理将边化为角,再通过余弦定理建立角之间的关系；或者先由余弦定理得到边的关系,再利用正弦定理将边转化为角进一步化简。 11．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角的对边分别为，且，，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高三上·湖北·期中）已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值可能为（   ） A． B．1 C．3 D．5 13．（24-25高二上·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 14．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 压轴题型四：利用余弦定理解决最值范围问题 满分技法 1. 建立目标函数 利用余弦定理建立边与边或边与角的关系,进而构建关于所求量的函数。例如,若要求三角形某一边的取值范围,可根据余弦定理将该边用其他两边和夹角表示出来,再结合已知条件(如其他边的范围或夹角的范围) 构建函数。 如已知 ,若 、 的范围已知, 为定值,可将 看作关于 的函数,进而分析 的取值范围。 2. 结合不等式求解 ①利用基本不等式：在得到边的关系后,可结合基本不等式(如 )进行放缩,从而求出最值或取值范围。例如,由 ,结合 ,可得 ,再根据其他条件进一步确定 的范围。 ②三角形三边关系：根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边的性质,对边的取值范围进行限制和求解。例如,已知 、 ,则 ,结合余弦定理得到的关系,共同确定边的准确范围。 3.确定变量范围：根据三角形内角和定理、已知角的范围或边的大小关系等条件,确定函数中变量(如角或边)的取值范围,这是求解最值与范围的关键,因为函数的最值与变量的取值范围密切相关。 15．（2025高一·全国·专题练习）在锐角中，角所对的边为，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高三上·重庆·期末）在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·山东烟台·期中）在锐角三角形中，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·山东聊城·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 19．（23-24高一下·湖南郴州·期末）在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 压轴题型五：正余弦定理的综合 满分技法 1. 根据条件选择定理 若已知条件是两角和一边,优先选择正弦定理,通过正弦定理求出其他边或角；若已知三边或两边及其夹角,优先使用余弦定理,利用余弦定理求出角或边。例如,已知、、,则利用余弦定理求出；若已知、、,则根据正弦定理求出。 2. 灵活转化边角关系： 在解题过程中,根据需要灵活运用正余弦定理进行边角互化。将边化为角后,利用三角函数的性质求解；将角化为边后,通过代数方法解决问题。同时,注意结合三角形内角和定理、大边对大角等性质,简化计算过程。 3. 结合其他知识求解： 正余弦定理的综合问题常常会与三角函数的性质(如值域、单调性)、平面向量等知识相结合。例如,在向量问题中,通过向量的数量积公式与正余弦定理建立联系； 21．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，，，O为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 22．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 23．（24-25高三上·四川达州·开学考试）在中，内角的对边分别为，且的面积，若的平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的长为（    ） A． B． C． D．7 2．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南永州·阶段练习）在中，，，其面积为，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南京·期中）在四边形中，设的面积为，的面积为，，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃白银·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且AB边上的高等于，则 （    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高一下·云南昭通·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，表示的面积，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高一下·江苏南京·期中）下列说法正确的有（    ） A．中，，，，则满足条件的的个数为2 B．若，则关于的方程有一解 C． D．锐角三角形中，，，则的取值范围为 9．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，的对边分别为，，．若，则下列选项正确的是（    ） A． B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为 C．若是钝角三角形，则最大边与最小边比值的取值范围是 D．若是的外心，，则最小值为 10．（24-25高一下·江苏南京·期中）设的内角的对边分别为，下列结论正确的是（   ） A．若满足条件的三角形有2个，则的取值范围为 B．面积的最大值为3 C．周长的最大值为 D．若为锐角三角形，则的取值范围是 11．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B．满足条件的有两个 C．的最大值为6 D．的取值范围为 三、填空题 12．（24-25高一下·重庆·期中）如图所示，在中，，且点为边的中点且，则的最大值为 . 13．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中，，，M为BC的中点，，则 . 14．（24-25高一下·湖南长沙·期中）在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，则的取值范围是 .. 15．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在中，已知，，的面积是，则边上的中线长是 . 16．（24-25高一下·江苏镇江·期中）在四边形中，，则的值为 . 四、解答题 17．（24-25高一下·云南临沧·期中）在中，角所对的边分别为，． (1)当，时， （i）若线段是角的内角平分线，点在边上，求的长； （ii）若点是的外心（即各边垂直平分线的交点），求的值； (2)当，边上的中线时，求的大小． 18．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求：A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求：的取值范围； 19．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且. (1)若边，，的平分线交BC边于点D.求AD的长； (2)若E为BC边上任意一点，，. （ⅰ）用，表示； （ⅱ）求的最小值. 20．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在中，，，分别为边，上的点，且，． (1)若，用向量方法求证：； (2)若，求边上的中线的长． 21．（24-25高一下·新疆喀什·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知． (1)求角的大小． (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 余弦定理5种常考压轴题归类 知识点01 余弦定理 1、余弦定理的描述 （1）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。 （2）符号语言：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 2、余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、余弦定理的证明：在中，内角，，所对的边分别为，， 如图，因为，∴， 即 从而 同理，根据，， 可以得到， 4、余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝ 知识点02 余弦定理在解三角形中的应用 1、已知三角形的三边解三角形 （1）连续用余弦定理求出两角； （2）由三角形内角和定理求出第三个角。 2、已知两边和它们的夹角解三角形 （1）用余弦定理求出第三边； （2）用余弦定理或正弦定理求出第二个角； （3）由三角形内角和定理求出第三个角. 3、已知两边及其中一边的对角解三角形 利用余弦定理。例如，已知a，b及角A，可以根据余弦定理列出以边c为未知数的一元二次方程，根据解一元二次方程的方法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求出其他元素. 压轴题型一：利用余弦定理解三角形 √满分技法 利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形． 1．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，边上的高等于，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设边上的高为，为垂足，即可得到，设，即可求出，，，再由余弦定理计算可得. 【详解】设边上的高为，为垂足，所以， 因为，所以，所以， 设,那么,. 由勾股定理，， 又， 由余弦定理可知. 故选：C 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由正弦定理得到，求得，再由余弦定理，求得，结合余弦定理，即可求得的值，得到答案. 【详解】解：因为， 由正弦定理，可得，即，可得， 又由余弦定理，可得，所以， 则. 故选：A. 3．（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和可判断A项，由三角形中大边对大角可判断B项，由正弦定理解三角形可判断C项，由余弦定理解三角形可判断D项. 【详解】对于A，由，，可得，所以三角形只有一解； 对于B，由，可得，所以，此时三角形有唯一的解； 对于C，由正弦定理，可得，可得B有两解，所以三角形有两解； 对于D，由余弦定理得，可得c有唯一的解，所以三角形只有一解． 故选：C． 4．（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）三角形中，角的对边分别为，且，则其面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】在中，由正弦定理得，又， 则，于是， 由余弦定理得，解得，则， 而，则， 所以的面积. 故选：D 压轴题型二：判断三角形的形状 √满分技法 利用余弦定理判断三角形形状的方法 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系. ②先化角为边，再进行代数恒等变换(因式分解、配方等)，求出三边之间的数量关系,统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝ . 5．（24-25高一下·上海·期中）在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（     ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由，利用向量的数量积和三角形的面积公式，得到，求得，再由余弦定理，结合，列出方程求得，得到，即可得到答案. 【详解】由，可得， 即，可得， 因为，可得， 又由余弦定理，可得， 因为，可得，所以， 整理得，即，所以，所以， 所以为等边三角形. 故选：B. 6．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 【答案】C 【分析】由正弦定理，结合题意，可得边的等量关系与角的不等关系，根据余强定理，可得答案. 【详解】因为，，所以，， 所以，，易知，即， 设，则，，则， 可得，所以是锐角三角形. 故选：C. 7．（22-23高一下·河南南阳·期中）在中，分别为内角的对边，如果，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 【答案】B 【分析】根据不等式的性质及余弦定理可判断为钝角，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，由，可知， 所以为钝角三角形， 故选：B 8．（22-23高一下·北京·期中）中，，，分别是内角，，的对边，若且，则的形状是（    ） A．底角是的等腰三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】由得到，再利用余弦定理求出，即可得解. 【详解】在，上分别取，，使，， 以，为邻边作平行四边形，则四边形为菱形，连接，， 则平分， ，， ，，， 又，，且， ，即， ， 由余弦定理得，， ，， 是底角是的等腰三角形．    故选：A． 9．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角的对边分别为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】根据正弦定理边角互化，余弦定理得，，进而判断三角形形状即可. 【详解】解：因为， 所以，由正弦定理边角互化得， 因为，所以，即， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以, 所以，，故的形状为等边三角形 故选：C 10．（22-23高一下·上海·期中）若，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由，利用余弦定理得到，再由，利用正弦定理结合商数关系得到判断. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 即，所以， 故是等边三角形， 故选：D. 压轴题型三：余弦定理的边角互化 √满分技法 1. 边化角 核心依据：余弦定理 , , 。当题目中出现边的平方关系,如 ,可将其转化为 的形式,即 变为 ,将边的关系转化为角的余弦关系,再结合三角函数的其他公式(如两角和差公式、二倍角公式等)进行化简和计算。 适用场景：在边的二次齐次式或涉及边平方的混合式中,通过边化角,能将复杂的边的关系转化为角的关系,便于利用三角函数的性质求解。 2. 角化边 方法：若已知角的余弦值与边的关系,可根据余弦定理将角化为边。例如,已知 ,若题目中给出 与其他边或角的关系,可将 转化为边的方程,然后通过代数运算(如移项、因式分解等)求解边的关系。 应用场景：当角的关系难以直接处理,而边的关系更易分析时,角化边能将问题转化为代数问题,利用方程求解。 3.与正弦定理结合互化：在很多复杂题目中,常常需要同时使用正弦定理和余弦定理进行边角互化。例如,先利用正弦定理将边化为角,再通过余弦定理建立角之间的关系；或者先由余弦定理得到边的关系,再利用正弦定理将边转化为角进一步化简。 11．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角的对边分别为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用正余弦边角关系可得、，再应用余弦定理求. 【详解】由题设，则， 所以，则， 又，则，故， 所以. 故选：A 12．（24-25高三上·湖北·期中）已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值可能为（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】B 【分析】由三角形面积公式建立等式，解得，由正弦定理得出表达式，由角取值范围得出取值范围即可得到可能的取值. 【详解】依题意，得，故，则， 因为为锐角，所以. 依题意，， 而故，故， 则， 故选：B. 13．（24-25高二上·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可. 【详解】因为，所以，而， 在中，，所以，故， 由余弦定理得，代入得， ，故， 故，故B正确. 故选：B 14．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由余弦定理化简得，再根据条件切化弦及正余弦定理有，求值即可. 【详解】已知，由余弦定理得，所以， . 故选：A. 压轴题型四：利用余弦定理解决最值范围问题 √满分技法 1. 建立目标函数 利用余弦定理建立边与边或边与角的关系,进而构建关于所求量的函数。例如,若要求三角形某一边的取值范围,可根据余弦定理将该边用其他两边和夹角表示出来,再结合已知条件(如其他边的范围或夹角的范围) 构建函数。 如已知 ,若 、 的范围已知, 为定值,可将 看作关于 的函数,进而分析 的取值范围。 2. 结合不等式求解 ①利用基本不等式：在得到边的关系后,可结合基本不等式(如 )进行放缩,从而求出最值或取值范围。例如,由 ,结合 ,可得 ,再根据其他条件进一步确定 的范围。 ②三角形三边关系：根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边的性质,对边的取值范围进行限制和求解。例如,已知 、 ,则 ,结合余弦定理得到的关系,共同确定边的准确范围。 3.确定变量范围：根据三角形内角和定理、已知角的范围或边的大小关系等条件,确定函数中变量(如角或边)的取值范围,这是求解最值与范围的关键,因为函数的最值与变量的取值范围密切相关。 15．（2025高一·全国·专题练习）在锐角中，角所对的边为，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理将统一成角的形式，然后化简可求出角，再利用正余弦定理将统一成边的形式，化简可求出，则可得，化简后，再求出角的范围，然后利用正弦函数的性质可求得结果. 【详解】由得：， ，又，，， 又，， 则由得：， ， 解得； 由正弦定理得：， ∴， ； ，， ，， ，即的取值范围为. 故选：A. 16．（24-25高三上·重庆·期末）在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理可，结合为锐角三角形可得答案. 【详解】由余弦定理可知：， 在锐角三角形中又有， 即 故答案为：C． 17．（23-24高一下·山东烟台·期中）在锐角三角形中，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理化简得到，结合正弦定理、三角恒等变换公式，推导出，可得，然后将化简为，结合为锐角三角形算出角的取值范围，进而根据正弦函数的性质算出答案． 【详解】解：根据， 结合余弦定理， 得，即， 由正弦定理化简， 得， 其中， 所以， 结合、为三角形的内角， 可得，即， 因为为锐角三角形，所以，即， 解得， 而 ， 因为， 所以， 即的取值范围为． 故选：B． 18．（23-24高一下·山东聊城·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则面积的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用余弦定理可得，进而可得，再利用基本不等式结合面积公式运算求解. 【详解】因为，且，即， 整理可得， 由余弦定理可得，则， 且，可知，则， 又因为，当且仅当时，等号成立， 则，即， 所以面积的最大值为. 故选：C. 19．（23-24高一下·湖南郴州·期末）在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，利用对勾函数的性质即可求出的取值范围． 【详解】解：中，由余弦定理得，， 由，得， 化简得， 又，， 所以， 化简得， 解得，或（不合题意，舍去）， 所以， 由，且，，解得， 所以，所以， 所以， 设，其中， 所以，当且仅当时，即时取最小值， 由于，且函数在上单调递减，函数在上单调递增， 又，， 所以． 故选：C． 20．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角形两边之和大于第三边和两边之差小于第三边求出b的取值范围，再结合数量积的运算和余弦定理即可求解. 【详解】由题有， 所以，故， 所以. 故选：B. 压轴题型五：正余弦定理的综合 √满分技法 1. 根据条件选择定理 若已知条件是两角和一边,优先选择正弦定理,通过正弦定理求出其他边或角；若已知三边或两边及其夹角,优先使用余弦定理,利用余弦定理求出角或边。例如,已知、、,则利用余弦定理求出；若已知、、,则根据正弦定理求出。 2. 灵活转化边角关系： 在解题过程中,根据需要灵活运用正余弦定理进行边角互化。将边化为角后,利用三角函数的性质求解；将角化为边后,通过代数方法解决问题。同时,注意结合三角形内角和定理、大边对大角等性质,简化计算过程。 3. 结合其他知识求解： 正余弦定理的综合问题常常会与三角函数的性质(如值域、单调性)、平面向量等知识相结合。例如,在向量问题中,通过向量的数量积公式与正余弦定理建立联系； 21．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，，，O为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由向量数量积及三角形外心的定义可知，，然后化简已知等式，得到的值. 【详解】由题意可知，， ， ， ， ， ， . 故选：B. 22．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由正弦定理和已知条件得到的代数式，同理由已知条件和余弦定理也得到的代数式，然后代入化简，即可得到参数的值. 【详解】在中，由正弦定理有， ∵，∴， ∴， ∴，得， ∴，得， 由余弦定理有， ∴， ∴， ∴. 故选：D 23．（24-25高三上·四川达州·开学考试）在中，内角的对边分别为，且的面积，若的平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意由结合余弦定理可得，从而求得，再利用等面积法即可求解. 【详解】由可知，，所以，所以． 在中，由等面积法得， 即， 即，解得，故正确. 故选:A. 24．（23-24高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正、余弦定理边角转化可得，再利用正弦定理解得，根据大边对大角结合同角三角关系分析求解. 【详解】因为，则， 由正弦定理可得，整理可得， 则，且，所以. 由正弦定理可得， 且，则，所以. 故选：A. 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的长为（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】由三角形的面积公式求出，再由余弦定理求出，得到两三角形的面积比，然后在中由三角形的面积公式可得. 【详解】 因为的面积为，，， 所以，得． 由余弦定理，得． 因为平分，所以． 又因为的面积为，所以的面积为． 所以，得． 故选：A． 2．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理化简已知条件，求得，利用平方的方法化简，求得，进而求得. 【详解】， ∴，， ∴； 又知，平方可得， ∴，∴. 故选：C 3．（24-25高一下·湖南永州·阶段练习）在中，，，其面积为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形面积公式可得，由余弦定理得，结合正弦定理即可求解. 【详解】由题意知，，即，解得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理（为三角形外接圆半径），可得： ， 故选：C. 4．（24-25高一下·江苏南京·期中）在四边形中，设的面积为，的面积为，，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合三角形面积公式和余弦定理可求，设，在，中利用正弦定理列方程可求，再结合面积公式表示，，由此可求结论. 【详解】在中，由余弦定理，， 因为， 所以，即， 又因为，所以． 设，因为，， 则，，， 在中，由正弦定理，，即， 在中，由正弦定理，，即， 又，所以， 所以， 所以， 即，因为， 所以， 所以， 所以，， 因为， 所以． 故选：B. 5．（2025·甘肃白银·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且AB边上的高等于，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据余弦定理求，再结合图形，通过所设边长，结合正弦定理，即可求解. 【详解】由题意得，． 设，垂足为D，易知点D在AB的延长线上，如图所示， 不妨设，则，，则，，， 由，解得． 故选：D 6．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用正弦定理化简后可得，再结合余弦定理和正弦定理化简可得，两者结合可得，最后由基本不等式可求最大值. 【详解】因为， 故， 整理得：，而为三角形内角，故， 故，但，故. 所以， 因为，故，所以， 所以，故， 故即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为2， 故选：B. 7．（24-25高一下·云南昭通·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，表示的面积，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形面积公式及余弦定理可得，结合诱导公式化简可得，再利用正弦定理得，即可求得角B. 【详解】由，可得, 所以， 由正弦定理，可得，化简得，即， 故选：C． 二、多选题 8．（24-25高一下·江苏南京·期中）下列说法正确的有（    ） A．中，，，，则满足条件的的个数为2 B．若，则关于的方程有一解 C． D．锐角三角形中，，，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据正弦定理化简判断A，根据辅助角公式计算求解判断B，应用同角三角函数关系及两角差正弦计算求解判断C，应用余弦定理计算求解判断D. 【详解】A．，所以没有满足条件，A错误； B．，所以，因为，所以，B正确； C．，C正确； D．设，由余弦定理，，，解得，所以D正确． 故选：BCD． 9．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，的对边分别为，，．若，则下列选项正确的是（    ） A． B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为 C．若是钝角三角形，则最大边与最小边比值的取值范围是 D．若是的外心，，则最小值为 【答案】ABD 【分析】由正弦定理与三角恒等变换求得判断A；利用向量线性运算及数量积的运算律解得，使用基本不等式即可求出面积最大值判断B；利用正弦定理及三角恒等变换得，求出函数值域即可判断C；根据模长关系可得，再利用三角代换可求得的最小值判断D. 【详解】对于A，，由正弦定理，， 所以，， 所以，因为，所以， 所以，，所以，故A正确； 对于В．是边上的一点，且， 则有，即， 由，，，， ，所以16， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的面积，故B正确． 对于C，不妨设最大，则， 又因为是钝角三角形，所以，解得， 所以，所以，故C错误； 对于D．若是的外心，有，， 由，所以， 得， 设，，则， 其中，当取 “”，所以D正确. 故选：ABD． 10．（24-25高一下·江苏南京·期中）设的内角的对边分别为，下列结论正确的是（   ） A．若满足条件的三角形有2个，则的取值范围为 B．面积的最大值为3 C．周长的最大值为 D．若为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理确定范围判断A；利用余弦定理，结合基本不等式求面积的最大值判断B；利用余弦定理，结合基本不等式求出周长最大值判断C，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换及正切函数性质求解判断D. 【详解】对于A，由有2个及正弦定理得且， 因此的取值范围为，A正确； 对于B，由余弦定理得12， 因此，当且仅当时取等号， 由，所以面积的最大值，B错误； 对于C，由余弦定理得12， 因此，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为，C正确； 对于D，由为锐角三角形，得，， 由正弦定理得，D正确． 故选：ACD 11．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B．满足条件的有两个 C．的最大值为6 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理以及余弦定理可判断A选项的正误；利用正弦定理求判断B选项；由，利用基本不等式得，再根据数量积运算判断C选项；利用正弦定理边化角得，再进行三角恒等变换求范围判断D. 【详解】因为，即， 由正弦定理可得，可得， 由余弦定理可得，因为， 故，A选项正确； 由于，，， 根据正弦定理，则， 因为，故，所以只有唯一解，B选项错误； 由，，所以， 根据基本不等式得，则， 当且仅当时，等号成立， 所以，C正确； 由正弦定理，， 所以 ， 因为，所以，所以， 则的取值范围为，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（24-25高一下·重庆·期中）如图所示，在中，，且点为边的中点且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由余弦定理有，结合基本不等式可得，再由及向量数量积的运算律求的最大值. 【详解】由，则， 又， 所以，即， 所以 ， 而，则， 当且仅当时取等号，故最大值为16， 所以，即的最大值为. 故答案为： 13．（24-25高一下·浙江台州·期中）在中，，，M为BC的中点，，则 . 【答案】3 【分析】根据题意，延长到，使，即可得到为平行四边形，然后结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】 延长到，使，因为为的中点， 所以四边形为平行四边形，则，，， 在中，由余弦定理可得， 代入可得， 化简可得，即， 解得，则. 故答案为： 14．（24-25高一下·湖南长沙·期中）在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，则的取值范围是 .. 【答案】 【分析】首先根据余弦定理与正弦定理化简可得，则，利用换元法结合函数的单调性即可求得范围. 【详解】因为，又由余弦定理得， 所以. 由正弦定理得， 又在中，， 所以， 所以或（舍去）， 所以. ，，， 则， 令， 设，易知其在区间上单调递增， 故的取值范围是. 故答案为：. 15．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在中，已知，，的面积是，则边上的中线长是 . 【答案】/ 【分析】先利用正弦定理求出，再利用面积得出，再结合得出，再结合正弦定理得出，最后利用即可求得. 【详解】设，则， 在中利用正弦定理，， 因，则， 即， 因的面积为，则， 则， 则，则， 解得或， 因，则，得， 则，则， 故，则， 则，， 取线段的中点，设，则在和中分别利用余弦定理可得， ， 得，即边上的中线长是. 故答案为： 16．（24-25高一下·江苏镇江·期中）在四边形中，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】根据已知有，利用余弦定理求边长即可. 【详解】由题设，且， 由. 故答案为： 四、解答题 17．（24-25高一下·云南临沧·期中）在中，角所对的边分别为，． (1)当，时， （i）若线段是角的内角平分线，点在边上，求的长； （ii）若点是的外心（即各边垂直平分线的交点），求的值； (2)当，边上的中线时，求的大小． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）（i）根据三角形的面积公式可得，再结合等面积法求解即可； （ii）根据平面向量的线性运算及数量积的运算律求解即可； （2）设，根据余弦定理可得，，进而解得，，可得，再利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）（i）由题意知：，所以， 由， 解得；    （ii）设点是的中点，连接，则，， 则 .    （2）设， 由， 则根据余弦定理得，， 化简得：，① 在中，根据余弦定理得，，② 由①②得：，解得或（舍去）， 从而，即，由正弦定理可得，解得， 因为是三角形的内角，所以，则．    18．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求：A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求：的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角可得，可求. （2）由三角形面积公式和余弦定理可得，进而可得，利用辅助角公式可求最大值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 整理得，即， 而，，则，又， 所以. （2）由边上的高等于，得，即， 由余弦定理得，于是， 则，， 由，得，因此，， 所以的取值范围为. 19．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且. (1)若边，，的平分线交BC边于点D.求AD的长； (2)若E为BC边上任意一点，，. （ⅰ）用，表示； （ⅱ）求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据条件可得，利用余弦定理得，根据等面积法可得结果。 （2）（i）利用向量的线性运算表示，（ii）进而得到，结合基本不等式中1的代换可得的最小值． 【详解】（1）由得，，即， ，由得，， ，， 由余弦定理得，，即，得， 为的平分线，， ，， . （2）（i）由已知得，，即， . （ii）易知， ，， ，即， ，当且仅当时等号成立， 的最小值为. 20．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在中，，，分别为边，上的点，且，． (1)若，用向量方法求证：； (2)若，求边上的中线的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）结合图形，利用向量的加法法则表示出两向量，再由数量积的运算律结合向量垂直的条件可证明； （2）在中由余弦定理计算可得. 【详解】（1） 证明：因为，所以． 又因为，所以． 因为，，所以， 所以， 即，得证． （2）在中，由余弦定理得：， 在中由余弦定理得：，则． 21．（24-25高一下·新疆喀什·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知． (1)求角的大小． (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用三角形的面积公式可得出的值，利用余弦定理可得出的值，由此可得出的周长； （3）利用三角恒等变换得出，根据为锐角三角形求出角的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求出的取值范围. 【详解】（1）∵，由正弦定理 又∵，∴，∴，故. （2）由（1）得，， ∵的面积为，∴，即，解得， 由余弦定理得，，∴， 故的周长为. （3）由得，则， ∴ . ∵为锐角三角形，∴，故， ∴，故，∴， 即的取值范围是 1 学科网（北京）股份有限公司 $$