专题01 正弦定理7种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第四册）

专题01 正弦定理7种常考压轴题归类 知识点01 三角形的面积公式 1、三角形面积公式：在中，三个内角，，所对的边分别为，，，的面积为S，则，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半。 2、其他面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） （3） 知识点02 正弦定理 1、正弦定理的描述 （1）文字语言：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等； （2）符号语言：（2为外接圆直径） 【解读】正弦定理的特点 （1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． （2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． （3）刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理的推广及常用变形公式 在中，若内角，，所对的边分别为，，，其外接圆半径为，则 （1），，； （2）； （3）（比例性质）； （4），，（可以实现边到角的转化）； （5），，（可以实现角到边的转化）。 3、三角形中的隐含条件 在中，已知内角，，所对的边分别为，，. （1），，，；. （2）（大边对大角）；. （3），；； （4）若三角形为锐角三角形， 知识点03 解三角形 1、三角形的元素：把三角形的三个角与三条边都称为三角形的元素。 2、解三角形的定义：己知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形。 3、利用正弦定理解三角形的类型 （1）已知两角一边，解三角形，有且只有一解； （2）已知两边及其中一边的对角，解三角形，它可能有两解、一解或无解。 压轴题型一：正弦定理解三角形 满分技法 1.已知两角及任意一边解三角形 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角. 5.已知两边及其中一边的对角解三角形 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值； ②用三角形内角和定理求出第三个角； ③根据正弦定理求出第三条边. 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值. 1．（23-24高一下·河北唐山·期中）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江西新余·模拟预测）在中，角对应的边分别为，若，，，则（   ）． A． B． C． D． 压轴题型二：判断三角形解的个数 满分技法 利用正弦定理判断三角形的解的个数 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： 由正弦定理得sinB＝， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2. 3．（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知的内角所对的边分别为，若满足条件的有两个，则的值可能为（    ） A．7 B． C．9 D．10 压轴题型三：三角形面积问题 满分技法 1.求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 5．（24-25高二下·上海·期中）已知. (1)求函数在区间上的最小值； (2)在等腰中，，若的周长为6，求的面积. 6．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在中，已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，，求的面积. 7．（2025·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，若，是的角平分线，点在上，，，则的面积为 . 8．（2025高一·全国·专题练习）已知中，分别为角，C的对边，. (1)求B； (2)若，点D是AC的中点，且，求的面积. 压轴题型四：求三角形外接圆半径 满分技法 核心公式：正弦定理 ( 为 外接圆半径),这是求解外接圆半径的关键依据。 9．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）中，角，，的对边长分别为，，.已知，. (1)求的外接圆半径； (2)若，求的值； (3)求的值. 10．（2025·河南洛阳·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，若的面积与的外接圆的面积之比为，则 ． 压轴题型五：判断三角形的形状 满分技法 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝； (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝. 11．（2025高三下·全国·专题练习）的内角的对边分别为，，若，判断的形状． 12．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知，试判断的形状． 13．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 14．（24-25高三上·辽宁·期中）在中，内角的对边分别为，，，且为内一点. (1)判断的形状； (2)若，，，求的最小值. 15．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 16．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）在中，若，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 压轴题型六：边角互化的应用 满分技法 1. 边化角：当题目中出现边的齐次式(如 变为 ),或边与角的混合式且边的次数相同,可将边化为角。通过三角函数的性质和公式(如两角和差公式、二倍角公式等)进行化简和计算,从而解决问题。 2. 角化边：若题目中角的关系较为复杂,可将角化为边。将 , , 代入已知条件,转化为边的关系,再利用代数方法(如因式分解、等式变形等)求解。 3. 结合其他定理：在应用正弦定理进行边角互化时,常常需要结合余弦定理、三角形内角和定理等。例如,在得到角的关系后,利用余弦定理进一步求出边的长度；或者在边化角后,根据内角和定理确定角的取值范围,从而得出结论。 17．（24-25高一下·上海宝山·期中）在锐角 中，若 ，则 等于 . 18．（2025·浙江嘉兴·三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，则 . 19．（2025·甘肃·模拟预测）在中，内角的对边分别为.若，则 . 20．（24-25高三下·广东佛山·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，.若，，则 . 21．（2025·广东佛山·二模）已知的内角的对边分别为，面积为，若，则 ． 压轴题型七：最值与范围问题 满分技法 1. 建立目标函数：利用正弦定理将所求的量(如边长、面积等)表示为角的函数。例如,已知 、 、 的关系,根据正弦定理将边用角的正弦值表示,进而得到面积公式 关于角的表达式。 2. 确定角的范围：根据三角形内角和定理以及题目中的其他条件(如三角形的类型、边的大小关系等),确定角的取值范围。这是求解最值与范围的关键步骤,因为三角函数的值域与角的范围密切相关。 3. 利用三角函数性质求解：将目标函数转化为常见的三角函数形式(如 ),再根据角的范围,结合三角函数的单调性、最值等性质求解最值与范围。例如,当 时,分析 的单调性,从而确定其最大值和最小值。 22．（2025高三下·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为已知，若点M为中点，且，则中线的最大值是 ． 23．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝ ． 24．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知a，b，c分别为锐角三角形的三个内角A，B，C的对边，且，则的取值范围为 ，的取值范围为 . 25．（2025高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，为锐角三角形，，则周长的取值范围是 ． 26．（24-25高三上·安徽·阶段练习）在中，，则的最大值为 . 27．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）锐角中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设，则的取值范围是 ． 一、单选题 1．（24-25高一下·四川绵阳·期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（    ） A． B． C． D．4 2．（24-25高一下·四川绵阳·期中）已知平行四边形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，若，则四边形ABCD面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D．2 3．（2025·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知，边上一点使得，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 4．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖南·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若为锐角三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（江西省鹰潭市2025届高三下学期第二次模拟考试数学试卷）在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一下·河南郑州·阶段练习）在中，若，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 9．（四川省绵阳市2025届高三下学期第三次诊断性测试数学试题）记的内角的对边分别为，已知是的最小内角，且为整数，若，则（） A． B． C．若，且为整数，则 D．若为直角三角形，则的面积为1 10．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）已如的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论证确的是（   ） A．若，则 B．若，则是直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D． 三、填空题 11．（2025·安徽马鞍山·二模）在中，点、分别为边、的中点，且，，则面积的最大值为 . 12．（2026高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为线段AB的中点，，，，则 ． 13．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在锐角中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为 . 14．（2025·甘肃平凉·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，则周长的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高三下·河北承德·阶段练习）中角所对的边分别为，，. (1)若，求的面积； (2)求的最大值. 16．（24-25高一下·浙江·期中）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求角C； (2)设，求的面积． 17．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，的对边分别为，，．已知． (1)若，求； (2)求的取值范围； (3)设是边上一点，若，，记，的面积分别为，，求的值． 18．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设分别为三个内角，，的对边， 已知. (1)求； (2)若，是的平分线且交于点， 求线段的长. 19．（2025·河北·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，且，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 正弦定理7种常考压轴题归类 知识点01 三角形的面积公式 1、三角形面积公式：在中，三个内角，，所对的边分别为，，，的面积为S，则，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半。 2、其他面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） （3） 知识点02 正弦定理 1、正弦定理的描述 （1）文字语言：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等； （2）符号语言：（2为外接圆直径） 【解读】正弦定理的特点 （1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． （2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． （3）刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理的推广及常用变形公式 在中，若内角，，所对的边分别为，，，其外接圆半径为，则 （1），，； （2）； （3）（比例性质）； （4），，（可以实现边到角的转化）； （5），，（可以实现角到边的转化）。 3、三角形中的隐含条件 在中，已知内角，，所对的边分别为，，. （1），，，；. （2）（大边对大角）；. （3），；； （4）若三角形为锐角三角形， 知识点03 解三角形 1、三角形的元素：把三角形的三个角与三条边都称为三角形的元素。 2、解三角形的定义：己知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形。 3、利用正弦定理解三角形的类型 （1）已知两角一边，解三角形，有且只有一解； （2）已知两边及其中一边的对角，解三角形，它可能有两解、一解或无解。 压轴题型一：正弦定理解三角形 √满分技法 1.已知两角及任意一边解三角形 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角. 5.已知两边及其中一边的对角解三角形 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值； ②用三角形内角和定理求出第三个角； ③根据正弦定理求出第三条边. 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值. 1．（23-24高一下·河北唐山·期中）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形的内角和公式和正弦定理得到的表示式，再结合两角和的正弦展开式计算即可. 【详解】由题意可得， 根据正弦定理， ， 代入上式可得，化简整理可得. 故选：A 2．（2025·江西新余·模拟预测）在中，角对应的边分别为，若，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角公式及和角的余弦公式求出，再利用正弦定理求解. 【详解】在中，由，，得，， ， 则，由正弦定理，得. 故选：B 压轴题型二：判断三角形解的个数 √满分技法 利用正弦定理判断三角形的解的个数 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： 由正弦定理得sinB＝， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2. 3．（23-24高一下·湖北孝感·期中）在中，分别为角所对边，已知，，，若满足条件的角有两个不同的值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理用表示出，结合题意得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】由正弦定理，可得，所以， 若满足条件的角有两个不同的值，即三角形有两解， 所以，则，即，解得. 故选：C. 4．（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知的内角所对的边分别为，若满足条件的有两个，则的值可能为（    ） A．7 B． C．9 D．10 【答案】C 【分析】由题意结合正弦定理求解即可. 【详解】在中，由正弦定理，得， 因满足条件的三角形有两个，则必有，且，即， 于是得，解得，显然9适合题意， 故选：C. 压轴题型三：三角形面积问题 √满分技法 1.求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 5．（24-25高二下·上海·期中）已知. (1)求函数在区间上的最小值； (2)在等腰中，，若的周长为6，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)先根据降幂公式辅助角公式化简函数然后结合正弦函数的性质可求出函数的最小值. (2)根据函数解析式求出角结合等腰的周长为6求出其它边长再计算面积. 【详解】（1）， 由于，所以， 由正弦函数性质可知，当即时， 函数在区间上取到最小值. （2）， 所以或， 即或， 而B为三角形内角，所以或. 当时，等腰是等边三角形，周长为6， 所以边长为2，面积为； 时，等腰是等腰直角三角形，周长为6， 设直角边，所以， 所以，面积为. 综上，的面积为或. 6．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在中，已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简，再结合二倍角公式纠结即可； （2）由正弦定理得到，，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，，. ，，， ，，即. （2）由（1）知，所以，， ， 所以的面积为. 7．（2025·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，若，是的角平分线，点在上，，，则的面积为 . 【答案】 【分析】由角平分线定理，根据三角形面积计算，建立方程，求得边长，结合三角形面积计算，可得答案. 【详解】在中，由角平分线定理得，所以， ，即，解得，， 所以. 故答案为： 8．（2025高一·全国·专题练习）已知中，分别为角，C的对边，. (1)求B； (2)若，点D是AC的中点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化简得，进而由辅助角公式得，根据角的范围即可求解. （2）根据中线向量的表示形式及数量积的运算律得，将条件代入得，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）在中由正弦定理及已知条件，可得， 因为，所以，所以，所以， 所以.因为，所以. 所以，即； （2）因为点D是AC的中点，所以，即， 故． 又，，所以. 因为，所以，即， 则，. 所以的面积为:. 压轴题型四：求三角形外接圆半径 √满分技法 核心公式：正弦定理 ( 为 外接圆半径),这是求解外接圆半径的关键依据。 9．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）中，角，，的对边长分别为，，.已知，. (1)求的外接圆半径； (2)若，求的值； (3)求的值. 【答案】(1)； (2)； (3)7 【分析】（1）利用正弦定理求解； （2）利用正弦定理求解. （3）由三角函数的定义求解. 【详解】（1）因为，， 所以 的外接圆半径为： ； （2）由（2）得 ； （3）如图所示： 作BC边上的高AD， 则， 所以. 10．（2025·河南洛阳·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，若的面积与的外接圆的面积之比为，则 ． 【答案】/0.4 【分析】由正弦定理表示出外接圆半径，由面积比结合正弦定理可得． 【详解】设外接圆半径为，则，， 所以的面积与的外接圆的面积之比为， 所以，由正弦定理， 故答案为：． 压轴题型五：判断三角形的形状 √满分技法 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝； (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝. 11．（2025高三下·全国·专题练习）的内角的对边分别为，，若，判断的形状． 【答案】钝角三角形 【分析】先用正弦定理进行边角互化，再利用和角公式进行化简，得出有为钝角，即可得出结论. 【详解】依题意得，， 所以． 即． 所以又，于是有为钝角，所以是钝角三角形． 12．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知，试判断的形状． 【答案】等腰三角形或直角三角形 【分析】先应用正弦定理边角互化再结合二倍角公式的正弦化简结合角的范围计算判断即可. 【详解】 由已知得， 由正弦定理得，（为的外接圆半径）， 得，， ，即或， 或． 为等腰三角形或直角三角形． 13．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由已知及正弦定理得，化简即可得，由，则有，即可得出答案. 【详解】由题干条件和正弦定理可得， 又因为在中，，所以， 所以上述等式可化为， 即，又，即， 所以，故为直角三角形. 故选：B. 14．（24-25高三上·辽宁·期中）在中，内角的对边分别为，，，且为内一点. (1)判断的形状； (2)若，，，求的最小值. 【答案】(1)为等腰三角形 (2) 【分析】（1）由已知，由正弦定理可得，即，则，得为等腰三角形. （2）由已知，是边长为的正三角形，又在中，，，可求得外接圆的半径为，可得当点在中点时，取得最小值，计算可得的最小值. 【详解】（1）在中，因为， 所以，由正弦定理得， 即，则， 所以，所以为等腰三角形. （2）由（1）知，中，，又，， 所以是边长为的正三角形，    由为内一点，在中，，， 设外接圆的半径为， 则由正弦定理，，解得， 则是边长为的正三角形， 又点在圆的劣弧上运动， 如图，设点是在弧上除中点外的一点， 因为， 则当点在中点时，即与弧的交点，取得最小值， 又， 此时， 即的最小值是. 15．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理将边化角，再由和角公式化简可得或，最后分类讨论即可. 【详解】由正弦定理，得， 所以，故， 所以或，即或， 故为直角三角形或等腰三角形． 选：D． 16．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）在中，若，则的形状为（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】C 【分析】首先根据正弦定理，将边化为角，再结合两角差的正弦公式，即可判断. 【详解】因为，由正弦定理可得，即， 所以， 所以，所以的形状为等腰三角形. 故选：C． 压轴题型六：边角互化的应用 √满分技法 1. 边化角：当题目中出现边的齐次式(如 变为 ),或边与角的混合式且边的次数相同,可将边化为角。通过三角函数的性质和公式(如两角和差公式、二倍角公式等)进行化简和计算,从而解决问题。 2. 角化边：若题目中角的关系较为复杂,可将角化为边。将 , , 代入已知条件,转化为边的关系,再利用代数方法(如因式分解、等式变形等)求解。 3. 结合其他定理：在应用正弦定理进行边角互化时,常常需要结合余弦定理、三角形内角和定理等。例如,在得到角的关系后,利用余弦定理进一步求出边的长度；或者在边化角后,根据内角和定理确定角的取值范围,从而得出结论。 17．（24-25高一下·上海宝山·期中）在锐角 中，若 ，则 等于 . 【答案】/ 【分析】利用正弦定理将已知等式中的边化为角，然后求解角的值. 【详解】已知，由正弦定理可得到，即 可得.因为是三角形内角，且为锐角,则 . 故答案为：. 18．（2025·浙江嘉兴·三模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，则 . 【答案】 【分析】利用正弦定理和三角形内角和以及同角三角比的关系求解即可. 【详解】由正弦定理得， 又， 代入上式得， 所以，又，， 所以，又， 所以， 解得或，又，所以， 故答案为：. 19．（2025·甘肃·模拟预测）在中，内角的对边分别为.若，则 . 【答案】/0.125 【分析】根据正弦定理得，根据二倍角公式得，由得，最后根据二倍角余弦公式求解即可. 【详解】因为，由正弦定理得.又，所以， 即.因为，所以，所以，解得. 因为，所以. 故答案为： 20．（24-25高三下·广东佛山·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，.若，，则 . 【答案】 【分析】利用正弦定理化简题干中两个条件可得以及，再结合解方程即可. 【详解】，由正弦定理可得， 又，则， 则， 因，由正弦定理可得， 因，故， 由， 以及，得， 若，结合可知，均为钝角，不符合题意， 则，又，得 故答案为： 21．（2025·广东佛山·二模）已知的内角的对边分别为，面积为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式及正弦定理化边为角，计算即可得解. 【详解】由，得， 又因为，所以， 由正弦定理得， 由，则， 解得或， 因为，所以. 故答案为：. 压轴题型七：最值与范围问题 √满分技法 1. 建立目标函数：利用正弦定理将所求的量(如边长、面积等)表示为角的函数。例如,已知 、 、 的关系,根据正弦定理将边用角的正弦值表示,进而得到面积公式 关于角的表达式。 2. 确定角的范围：根据三角形内角和定理以及题目中的其他条件(如三角形的类型、边的大小关系等),确定角的取值范围。这是求解最值与范围的关键步骤,因为三角函数的值域与角的范围密切相关。 3. 利用三角函数性质求解：将目标函数转化为常见的三角函数形式(如 ),再根据角的范围,结合三角函数的单调性、最值等性质求解最值与范围。例如,当 时,分析 的单调性,从而确定其最大值和最小值。 22．（2025高三下·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为已知，若点M为中点，且，则中线的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用边化角，先求出，再利用外接圆，即可判断最大值点. 【详解】由,结合正弦定理边化角得： ， 再由三角形内角和定理得：， 即， 因为，所以，即可得， 又因为，所以, 在中，，，可知三角形的外接圆半径为， 故点B的轨迹是以为弦，所对角的圆弧，且是优弧， 由平面几何知识得，当边上的中线就是边上的高， 即当且仅当时，最大值为. 故答案为：. 23．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝ ． 【答案】 【分析】先根据题意求出角的大小，再结合角平分线的长度得到的关系，再结合基本不等式求出的最小值 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以，故， 如图所示，则的面积为， 即即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，的最小值为． 故答案为：． 24．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知a，b，c分别为锐角三角形的三个内角A，B，C的对边，且，则的取值范围为 ，的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据锐角三角形结合已知条件计算求解角的范围；应用正弦定理及两角和差公式结合角的范围求出值域即可. 【详解】由题意得得， 则. 由，得， ，即的取值范围为. 故答案为：；. 25．（2025高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，为锐角三角形，，则周长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理将边化为角，通过三角恒等变换将的周长用表示出来，再结合正切函数的性质求解即可. 【详解】由正弦定理， 得，， 则 ， 因为为锐角三角形，， 所以，解得，则， 又在上单调递增， 且， 故，则， 即周长的取值范围为． 故答案为：. 26．（24-25高三上·安徽·阶段练习）在中，，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算法则，两角和的正弦公式，以及正弦定理和三角形的内角和，化简得到，进而得到，再由两角差的正切，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 所以，可得， 由正弦定理得， 又因为， 所以， 所以，则， 因为为三角形的内角，所以， 由， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以. 故答案为：. 27．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）锐角中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理边化角，结合已知可得，再利用锐角三角形，结合余弦函数的性质求出范围. 【详解】在锐角中，由正弦定理得：，而， 则，又，解得， 因此，即， 所以的取值范围是． 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高一下·四川绵阳·期中）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用正弦定理边角互化以及和角公式化简求出，即得，根据三角形角平分线定理，推得，利用三角形面积公式求得，联立计算即得. 【详解】 由和正弦定理， 可得， 即， 因， 且，则，可得，故. 如图，因BC边上一点D满足，且AD平分， 则，即①， 又的面积为，即得②， 由①②联立，解得. 故选：C. 2．（24-25高一下·四川绵阳·期中）已知平行四边形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，若，则四边形ABCD面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】设，的长分别为，将分别用表示，利用推得，根据重要不等式求出的最大值，即得四边形ABCD面积的最大值. 【详解】    如图，设，的长分别为， 由图知，， 由， 因，代入整理得：， 则由，即得，当且仅当时等号成立， 此时，四边形ABCD的面积， 即四边形ABCD面积的最大值为. 故选：A. 3．（2025·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知，边上一点使得，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】先根据建立等式，再结合基本等式计算即可求解. 【详解】因为，所以， 因为， 即，即， 所以， 故，当且仅当时，等号成立. 故选：C. 4．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得，由利用正弦定理边化角结合两角和的正弦求得，进而得，再根据利用两角差的正弦公式结合辅助角公式得到并求值域即可. 【详解】在中，因为， 所以，，所以 因为， 由正弦定理得, 所以，即， 所以, 由，解得 所以， 所以的范围是. 故选：B. 5．（24-25高一下·湖南·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若为锐角三角形，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中条件及正弦定理可得，结合为锐角三角形，解得角的范围即可求解. 【详解】在中，，， 由正弦定理可知. ∵为锐角三角形， ∴，解得， ∴，. 故选：D. 6．（江西省鹰潭市2025届高三下学期第二次模拟考试数学试卷）在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合两角差的余弦公式化简，应用锐角三角形得出角的范围，再应用正切的值域求出高的范围. 【详解】在中，由正弦定理，可得， 由可得：，所以，所以， 又因为，所以，所以，， 又因为三角形为锐角三角形，所以，所以， 在中，由正弦定理可得：，即，故有， 因为，所以，，所以， 所以，又因为边上的高，所以． 故选：B. 二、多选题 7．（24-25高一下·河南郑州·阶段练习）在中，若，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据两角和与差的正弦公式求出，再由正弦定理求得，即可利用面积公式求解面积，结合选项逐一求解. 【详解】∵是三角形内角， ∴， ∴， 由得， ,故BD正确，AC错误， 故选：BD 8．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】ABD 【分析】利用正弦定理判断A；利用正弦定理解三角形判断B；利用锐角三角形的定义判断C；判断三角形形状判断D. 【详解】对于A，由正弦定理得，A正确； 对于B，由正弦定理得，由，得， 因此有两解，B正确； 对于C，由，得，即，A为锐角，而角不能确定都为锐角，C错误； 对于D，由，得，整理得或， 为等腰三角形或直角三角形，D正确. 故选：ABD 9．（四川省绵阳市2025届高三下学期第三次诊断性测试数学试题）记的内角的对边分别为，已知是的最小内角，且为整数，若，则（） A． B． C．若，且为整数，则 D．若为直角三角形，则的面积为1 【答案】ABC 【分析】对于A，依题意可知，由此可求A；对于B，根据正弦定理即可求；对于C，由题意可知，进而有，解不等式即可；对于D，若，则. 【详解】对于A，是的最小内角， 在单调递增，又为整数， 若，则，所以， 此时，此时，不满足题意， 故，因为为整数，所以，故A正确； 对于B， 由正弦定理得即，故B正确； 对于C，为的最小内角，，若则，不满足， 所以因为在单调递增， ，即 即，解得 又为整数，，故C正确； 对于D，若，则，此时，故D错误. 故选：ABC. 10．（24-25高一下·湖南邵阳·期中）已如的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论证确的是（   ） A．若，则 B．若，则是直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D． 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理判断A；利用正弦定理边化角结合两角差的余弦公式判断B；根据数量积的定义判断C；结合图形得到三角形中的不等关系化简判断D. 【详解】对于A，在中，，则，由正弦定理得，A正确； 对于B，，则， 在中，，则， 即，则，，即是直角三角形，B正确； 对于C，由，得，即，而为内角， 因此为钝角，即是钝角三角形，C错误； 对于D，，同理， 则，即， 而，因此，即，D正确. 故选：ABD 三、填空题 11．（2025·安徽马鞍山·二模）在中，点、分别为边、的中点，且，，则面积的最大值为 . 【答案】/ 【分析】设，则为的重心，设，，则，，，，由勾股定理得出，结合基本不等式可求出的最大值，再由可求出面积的最大值. 【详解】因为点、分别为边、的中点，设，则为的重心， 所以，，， 设，，则，，，. 因为，在中，由勾股定理可得，即. 由基本不等式可得，即， 当且仅当时，等号成立， 因为，则 ， 当且仅当时，等号成立， 即面积的最大值为. 故答案为：. 12．（2026高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为线段AB的中点，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据，得，利用，得，结合，得到答案. 【详解】因为，所以， ，， 因为点D为线段AB的中点，所以， 所以，即，又， 所以， 故答案为：. 13．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在锐角中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可. 【详解】且，, 根据正弦定理得，, 即， 整理得， ，，，解得，， ， ，, 的面积 为锐角三角形，，， ，， ， . 故答案为：. 14．（2025·甘肃平凉·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，则周长的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用正弦定理化简题干信息得出，再利用锐角三角形即可求解角范围，再利用正弦定理求出，得出关于角的函数，最后求该函数的值域即可. 【详解】由正弦定理，得， 所以，所以， 又为锐角三角形，所以， 又，解得， 又， 所以，， 所以 ， 又，且， 所以， 则.， 故周长的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高三下·河北承德·阶段练习）中角所对的边分别为，，. (1)若，求的面积； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件得，，根据正弦定理计算得，结合三角形面积公式可得结果. （2）根据条件可得，利用二倍角公式把化为关于的二次函数，由此可得最大值. 【详解】（1）当时，， ∵，∴，， 由正弦定理得，，即，故， ∴. （2）∵，∴，故， ∴， ∵，∴， ∵，∴或， ∴或（舍）， ∴， ∵，∴，故， ∴当时，有最大值，最大值为. 16．（24-25高一下·浙江·期中）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求角C； (2)设，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和正弦计算得出，计算得出角； （2）应用两角和正弦公式计算得出，再应用正弦定理结合面积公式计算求解. 【详解】（1）由题知，，即， 整理，得，即， 又，， 即． （2）， 根据正弦定理知，代入得，． 17．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，内角，，的对边分别为，，．已知． (1)若，求； (2)求的取值范围； (3)设是边上一点，若，，记，的面积分别为，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由和差化积公式及中角之间的关系化简已知等式，可得，得，再由，，即可求出； （2）（1）知，中角之间的关系求得，利用正弦定理可得的取值范围； （3）利用已知条件和三角形的面积公式化简，即可求得的值． 【详解】（1）因为在中，， 由和差化积公式得， 又在中，，则， 因为，所以， 则， 所以或（舍去），所以， 已知，所以，则. （2）由（1）知， 在三角形中，所以，即， 则， 所以，由正弦定理， 即的取值范围为. （3） 由（1）知，又， 则，， 在中，由正弦定理得，， 所以 又， 所以. 即. 18．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设分别为三个内角，，的对边， 已知. (1)求； (2)若，是的平分线且交于点， 求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角函数变换公式，即可求解； （2）根据三角形面积公式，结合（1）的结果，列式求解. 【详解】（1）由正弦定理可知， 所以，即，则， 因为，所以，则， 所以； （2）因为，所以， 则，解得. 19．（2025·河北·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，且，求的最小值. 【答案】(1). (2)8. 【分析】（1）根据同角三角恒等变换化简即可； （2）由题意，再根据平面向量的线性运算可得，进而两边平方化简可得，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由，可得， 所以， 即，即， 由于，，又，所以，化简可得， 由于，故. （2）由于，所以， 故， 故， 即， 故， 化简得，又， 即，故，当且仅当时取等号， 故的最小值为8. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$