6.3数学建模案例(一)：最佳视角（教学设计）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（湘教版2019必修第二册）

6.3数学建模案例(一)：最佳视角 教学设计 一、教学目标 1. 深入理解最佳视角问题的背景和实际意义，能准确阐述其在不同场景下的含义。 2. 熟练掌握解决最佳视角问题的数学建模过程，包括模型建立、求解、检验和应用拓展。 3. 灵活运用三角函数和几何知识解决最佳视角相关的实际问题，提升数学应用和逻辑思维能力。 4. 通过小组合作和实际操作，增强团队协作精神和实践动手能力，培养严谨的科学态度。 二、教学重难点 教学重点 1. 掌握最佳视角问题数学模型的建立方法，理解模型中各参数的实际意义。 2. 学会运用三角函数法求解最佳视角模型，明确求解过程中的关键步骤和原理。 3. 理解模型检验的重要性，掌握通过实际案例验证模型正确性的方法。 教学难点 1. 从实际的最佳视角问题中准确抽象出合适的数学模型，合理设置模型中的变量和条件。 2. 运用三角函数知识进行复杂的推导和计算，确定视角最大值时的参数取值。 3. 在模型检验和应用拓展中，培养学生深入分析问题、解决实际问题的能力，以及创新思维。 三、教学方法 讲授法、讨论法、案例分析法、小组合作法、实验法。 四、教学过程设计 环节一：创设情境，提出问题（5分钟） 引导语：在生活中，我们为了更好地欣赏事物，常常会不自觉地调整自己的位置。比如在美术馆欣赏画作、观看演出，或者在旅游时观赏风景等。今天我们就从数学的角度来探究如何找到最佳的观察位置，也就是最佳视角问题。 当我们和朋友一起流连忘返于展览大厅欣赏精美的艺术品，或在节假日陪伴家人沉醉于大自然美景时，可能常常不经意地调整观察路线，便于我们能够对感兴趣的目标有一个最清晰的观察。这种最清晰的观察就可以通过建立最佳视角的数学模型来完成。从数学上看，对什么是最佳视角并没有一个严格的定义，针对不同的问题，最佳视角的含义有所不同。 例如，当我们希望对物体的全貌进行最清晰的观察时，最佳视角是关于面积最大的问题，而在6.1节提出的足球运动员射门角度问题中，其最佳视角则对应于球员与所对球门张成的最大角度。本节我们仅从观察者与所观察物体张成的最大角度出发，讨论与之有关的最佳视角模型。 问题：在美术馆观看一幅悬挂在墙上的画作时，大家想一想，怎样的位置能让我们观看这幅画最清晰？ 结合PPT展示观众在美术馆观看画作的场景图片。 一、问题解析 最佳视角问题在我们的生活中还有很多，例如：（1）如图6.3-1，观众在观看某美术馆墙上悬挂的一幅画作时，经常会前、后、左、右移动，以使得观看该画最清晰，你能够从最大视角的角度解释他脚步移动的原因吗？ （2）对于一座山或高大建筑物（不可及但高度知道），且在平地上可以看见山或。 建筑物顶上有一个标志性塔或旗杆，如何在平地上寻找位置，使在该位置观看塔或旗杆的视角最大？下面我们通过建立数学模型的方法来解决最佳视角问题。 师生活动：学生思考后自由发言，分享自己在美术馆看画时的经历和想法。教师认真倾听学生的发言，对学生的想法进行总结和点评，引出本节课的主题——最佳视角问题，并指出这个问题可以通过数学建模的方法来解决。 设计意图：从学生熟悉的生活场景出发，激发学生的学习兴趣和好奇心，让学生感受到数学与生活的紧密联系，自然地引出本节课要研究的问题。 环节二：新课讲解（20分钟） 1. 最佳视角问题的背景和含义（5分钟） 教师活动：借助PPT，详细讲解最佳视角问题的背景。指出在不同的情境下，最佳视角的含义有所不同。以观看物体全貌和足球运动员射门角度问题为例，说明最佳视角有时是关于面积最大的问题，有时是对应于张成最大角度的问题。而本节课主要从观察者与所观察物体张成的最大角度出发，研究最佳视角模型。 学生活动：认真听讲，观察PPT上的图片和示例，思考不同情境下最佳视角的差异，理解本节课研究的重点。 设计意图：让学生对最佳视角问题有全面的认识，明确本节课的研究方向，为后续建立和求解模型奠定基础。 2. 数学模型的建立（8分钟） 教师活动：在黑板上画出最佳视角问题的几何模型图：直线AB垂直于地面，垂足为O，设OA=a，OB=b（a>b>0），过O点任作一条垂直于OA的直线l。 1. 模型建立与求解 -建立数学模型： 最佳视角问题可以抽象成下面的数学模型：如图6.3-2，直线AB垂直于地面，垂足为，设，，过点任作一条垂直于OA的直线，问题：在直线上找出点，使得在这点的视角最大。 （图6.3-2展示了最佳视角问题的数学模型示意图） （此处提示：最大视角问题作为数学问题的提出可以追溯到15世纪著名的德国三角学专家米勒，史称米勒问题。） 引导学生思考如何将实际的最佳视角问题转化为数学问题，逐步分析得出：在直线l上找出点C，使得在这点的视角∠ACB最大。解释这个最大视角问题可追溯到15世纪德国三角学专家米勒，史称米勒问题。 学生活动：跟随教师的思路，观察图形，理解模型中各元素代表的实际意义，思考如何从实际问题过渡到数学模型，记录关键的模型构建思路和要点。 设计意图：通过逐步引导，帮助学生掌握将实际问题抽象为数学模型的方法，培养学生的数学抽象思维能力。 3. 数学模型的求解（7分钟） -模型求解： 最大视角问题早期常见解法包括平面几何法与三角函数法， 下面我们用三角函数法讨论其求解方法。设，，， 利用差角的正切公式 当且仅当，即时，等号成立，此时取最大值。由于在上是增函数，且，故当时，最大，此时视角也最大。 教师活动：介绍最大视角问题早期常见的解法有平面几何法与三角函数法，本节课重点讲解三角函数法。设OC=x，∠ACO=β，∠BCO=α，在黑板上逐步推导利用差角的正切公式求解的过程：，经过一系列化简和推导，得出当且仅当时，取最大值。由于在上是增函数，且，所以当时，视角最大。 学生活动：认真观看教师的推导过程，理解每一步的依据和原理，积极思考并提问，跟随教师的节奏进行计算和推导，记录求解过程中的关键步骤和结论。 设计意图：让学生掌握运用三角函数法求解最佳视角模型的方法，提高学生的数学运算和逻辑推理能力。 环节三：小组讨论与案例分析（15分钟） 教师活动：将学生分成小组，每组4 - 5人。 布置任务：选择一个与最佳视角相关的实际案例，运用刚刚所学的数学建模方法进行分析和讨论。案例可以是教材中提到的电影拍摄中升降机高度的调整、在不同地形上眺望山顶景物的最佳位置，也可以是学生自己生活中发现的类似问题。巡视各小组的讨论情况，适时给予指导和帮助，引导学生围绕模型建立、求解和检验等方面展开深入讨论，鼓励学生发表不同的见解。 学生活动：小组成员共同确定一个实际案例，明确问题中的关键因素。按照数学建模的步骤，分工合作进行分析。有的成员负责整理问题描述，有的成员负责运用所学知识建立数学模型，有的成员进行模型求解，还有的成员思考如何对模型进行检验。在讨论过程中，积极交流各自的想法，共同探讨遇到的问题和解决方案。 设计意图：通过小组讨论和实际案例分析，让学生在实践中巩固所学的数学建模知识和方法，培养学生的团队协作精神、创新能力和解决实际问题的能力。 环节四：小组汇报与交流（10分钟） 教师活动：邀请各小组派代表上台汇报他们选择的实际案例、数学建模过程和结果。要求汇报内容包括实际问题的描述、关键因素分析、数学模型的构建、模型的求解过程和检验结果等。认真倾听每个小组的汇报，及时给予肯定和鼓励，针对汇报中出现的问题或不足之处，进行恰当的点评和指导，引导其他学生参与思考和讨论。 学生活动：小组代表清晰、有条理地汇报本小组的讨论成果，展示数学建模的过程和结论。其他小组成员认真倾听汇报，积极思考，提出自己的疑问和建议，与汇报小组进行互动交流。汇报小组对其他小组提出的问题进行解答和交流，共同完善对问题的分析和解决方法。 设计意图：通过小组汇报与交流，锻炼学生的表达能力和沟通能力，让学生能够分享自己的学习成果，同时从其他小组的汇报中获取更多的思路和方法，促进学生的共同进步。 环节五：课堂小结（5分钟） 教师活动：引导学生回顾本节课所学的主要内容，包括最佳视角问题的背景和含义、数学模型的建立和求解方法、模型的检验以及实际应用拓展等方面。强调数学建模在解决这类实际问题中的重要作用，总结各小组在讨论和汇报过程中的优点和不足，鼓励学生在今后的学习中继续提高数学建模能力。 学生活动：跟随教师的引导，回顾本节课的知识要点，反思自己在小组讨论和汇报中的表现，总结自己的收获和不足之处，明确后续改进的方向。 设计意图：帮助学生梳理所学知识，加深对最佳视角问题和数学建模过程的理解和记忆，对学生的课堂表现进行总结和评价，激励学生不断进步。 环节六：目标检测，检验效果（10分钟） 问题： 1. 简述最佳视角问题在数学建模中的含义。 2. 写出用三角函数法求解最佳视角模型的关键步骤。 3. 假设在观看一场演出时，舞台上的表演区域可看作线段AB，观众所在的看台为一条与舞台垂直的直线l，已知表演区域AB的长度为8米，A点距离地面的高度为5米，B点距离地面的高度为3米，求观众在直线l上的最佳观看位置（结果保留根号）。 答案： 1. 从观察者与所观察物体张成的最大角度出发，研究在不同场景下如何找到使视角最大的观察位置的问题。 2. 首先设相关线段长度和角度，利用差角的正切公式表示出视角的正切值，通过对正切值进行化简和推导，找到使其取最大值时对应的变量取值，再根据正切函数的单调性确定视角最大时的条件。 3. 设观众到舞台的垂直距离为x米，由题意可得，，根据模型，当米时，视角最大，即观众在距离舞台米的位置观看效果最佳。 设计意图：检测学生对本节课重点知识的理解和掌握程度，考察学生运用所学知识解决实际问题的能力。 环节七：布置作业，应用迁移（5分钟） 必做题：完成教科书第252页练习题第1、2、3题。 选做题：选择一个生活中未被提及的最佳视角问题，运用数学建模方法进行完整的分析和求解，并撰写一篇简短的报告，阐述问题背景、建模过程、求解结果和实际意义。 设计意图：通过必做题巩固课堂所学的基础知识和基本技能，通过选做题拓展学生的思维，培养学生的自主探究能力和创新精神，提高学生综合运用数学知识解决实际问题的能力。 五、教学设计说明 1. 以问题链为引领，开展探究式学习：通过设置一系列由浅入深的问题，如“怎样的位置能让我们观看画作最清晰”“如何将最佳视角问题转化为数学模型”等，引导学生逐步深入思考，主动探究最佳视角问题的本质和解决方法，培养学生的探究能力和逻辑推理能力。 2. 注重知识的生成过程：在教学过程中，详细展示最佳视角问题的数学模型建立和求解过程，让学生亲身经历从实际问题到数学模型，再到求解和检验模型的全过程，帮助学生理解数学知识在实际问题中的应用，培养学生的数学应用能力。 3. 重视数学语言的训练：在教学中，强调文字语言、图形语言和符号语言的相互转换。例如，在建立模型时，将实际问题用文字描述转化为图形表示，再用符号语言进行数学表达和推导，帮助学生更好地理解数学建模的过程，提升数学表达能力。 4. 多种教学方法结合，提升学习效果：综合运用讲授法、讨论法、案例分析法、小组合作法和实验法等多种教学方法。讲授法保证知识传授的准确性和系统性；讨论法和小组合作法促进学生之间的思想交流和合作，培养团队精神；案例分析法让学生从实际案例中学习数学建模方法；实验法增强学生的实践体验，提高学生的学习兴趣和动手能力，全面提升学生的学习效果。 六、板书设计 1. 最佳视角问题的背景和含义：不同情境下含义不同，本节课研究观察者与物体张成最大角度问题 2. 数学模型的建立：画出几何模型图，标注，，等元素，说明在直线上找使最大的点 3. 数学模型的求解（三角函数法）：推导过程：，结果：时，最大 4. 案例分析与应用拓展：记录各小组讨论案例的关键信息和分析思路 学科网（北京）股份有限公司 $$