6.3 数学建模案例（一）：最佳视角-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（湘教版2019）

第6章　数学建模 6.3　数学建模案例（一）： 最佳视角 足球射门的最佳位置 如图，足球运动员在国际标准足球场上沿下列几种直线(方向)带球推进，试寻找最佳的射门位置，使得射门的命中角最大(球门宽7．32米，底线长69米，边线长110米)． (1)沿着贴近球场边线的直线推进； (2)沿与底线成45°夹角的直线推进，并推广到推进路线与底线成α角的情形． 2 1．问题(1)的讨论 如图1，由平面几何知识知：沿边线DD′总可以找到一点P使得∠APB最大．大家知道，球员水平一定的情况下，∠APB越大，在P点射门的命中率就越大，因此我们称使得∠APB最大的点P为足球场射门的最佳点． 3 那么在足球场内，哪些点属于足球射门的最佳点呢？为研究方便，我们把足球场地划分为三条带型区域：ABB′A′，BCC′B′，DAA′D′．并以AB所在的直线为Oy轴，以AB的垂直平分线为Ox轴，建立平面直角坐标系如图2，因此可求得A(0，3．66)，B(0，－3．66)，C(0，－34．5)，D(0，34．5)． 4 5 6 7 8 综上所述，在区域DAA′D′内与边线平行位置射门，在曲线x2－y2＝－3．662上较好；在与底线平行位置射门，越居中越好．这就打破了人们传统上离球门越近越好的错误想法．比如(图3)，M点与N点比较，较远的点N处射门较好；K点与H点比较，点K处射门较好． 区域DAA′D′内射门最佳轨迹方程为 x2－y2＝－3．662(3．66≤y≤34．5，x≥0)， 类似可求区域BCC′B′内射门最佳点的轨迹方程为 x2－y2＝－3．662(－34．5≤y≤－3．66，x≥0)． 9 2)在区域ABB′A′内射门最佳点的轨迹方程 如图4，在区域ABB′A′内任取一点P(x，y)． ①若y保持不变，显然P(x，y)离球门越近，∠APB越大，射门命中率越高． ②若x保持不变，作PF⊥AB于F． ∵∠APB＝∠APF＋∠BPF， ∴tan∠APB＝tan(∠APF＋∠BPF) 10 11 12 13 14 15 依此定义，以Ox轴上的任意一点Q(k，0)为圆心，OA长为半径的圆包含在场内的每一段圆弧均为等效线，等效线的方程为(x－k)2＋y2＝k2＋3．662(－34．5≤y≤34．5)． 等效线层层包含，内层总要比外层要好一些．比如，在点M处射门比在点M′处效果要好，较远处点M′与较近处点N′是等效位置，点M与点N也是等效位置． 16 　　　　　　　　　　　　　 R 1)在区域DAA′D′内射门最佳点的轨迹方程 在区域DAA′D′内任取一点P(x，y)． ①若y保持不变，则动点P只能在线段EE′上移动．连接PA，PB． ∵∠APB＝∠EPB－∠EPA， ∴tan∠APB＝tan(∠EPB－∠EPA) ＝eq \f(tan∠EPB－tan∠EPA,1＋tan∠EPBtan∠EPA) ＝eq \f(\f(EB,x)－\f(EA,x),1＋\f(EB·EA,x2))＝eq \f(AB,x＋\f(EB·EA,x))， 即tan∠APB＝eq \f(AB,x＋\f(EB·EA,x))． 由于y不变，x与eq \f(EB·EA,x)的积为常数． 也就是x＋eq \f(EB·EA,x)≥2eq \r(EB·EA)， 当且仅当x＝eq \f(EB·EA,x)，即x＝eq \r(EB·EA)时取等号．所以tan∠APB≤eq \f(AB,2\r(EB·EA))． 又因为∠APB<eq \f(π,2)，所以当x＝eq \r(EA·EB)时，∠APB取最大值，P是最佳射门点， 此时x＝eq \r(（y＋3.66）（y－3.66）)(3．66≤y≤34．5)，　① 于是，对于区域DAA′D′内每一个确定的y，都存在相应的x＝eq \r(（y＋3.66）（y－3.66）)，使得点P(x，y)是最佳射门点， 故方程①是区域DAA′D′内射门最佳点的轨迹方程，整理为x2－y2＝－3．662(3．66≤y≤34．5，x≥0)，即为等轴双曲线的一部分． ②若x保持不变，显然P(x，y)越靠近Ox轴，∠APB越大，射门命中率越高． ＝eq \f(tan∠APF＋tan∠BPF,1－tan∠APFtan∠BPF) ＝eq \f(\f(AF,x)＋\f(FB,x),1－\f(AF·FB,x2))＝eq \f(AF＋FB,x－\f(AF·FB,x))． 由于AF与FB的和为定值(AF＋FB＝7．32米)， 所以AF＋FB≥2eq \r(AF·FB)， tan∠APB≤eq \f(AF＋FB,x－\f(（AF＋FB）2,4x))， 当且仅当AF＝FB时取等号，又∠APB<eq \f(π,2)，当且仅当AF＝FB时，∠APB最大，此时P(x，y)在Ox轴上． 可见，在区域ABB′A′内，最佳点的轨迹方程为y＝0(0≤x≤110)． 故在区域ABB′A′内，平行于底线位置射门越居中越好． 2．问题(2)的讨论 如图所示，设OA＝a，AB＝b，∠POQ＝α． tan∠APB＝tan(∠PAQ－∠PBQ) ＝eq \f(\f(y,a－x)－\f(y,a＋b－x),1＋\f(y,a－x)·\f(y,a＋b－x)) ＝eq \f(by,(a－x)(a＋b－x)＋y2) ＝eq \f(b,\f(a(a＋b),y)＋y\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tan2α)))－\f(2a＋b,tanα))， 当且仅当eq \f(a(a＋b),y)＝yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tan2α)))， 即y2＝eq \f(a(a＋b),1＋\f(1,tan2α))＝a(a＋b)sin2α， y＝eq \r(a(a＋b))sinα时，tan∠APB最大． 3．足球场射门的等效线 如图，在圆弧eq \o(AB,\s\up16(︵))上任取一点M，由圆弧所对圆周角相等知∠AMB为定值．我们称为圆弧eq \o(AB,\s\up16(︵))的等效线．等效线上的每一点称之为射门的等效点，如点M和点N是等效点． $$