6.3 数学建模案例（一）：最佳视角-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

学科网书城围 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 第6章数学建模 DILIUZHANG 6.3 数学建模案例（一）：最佳视角 足球射门的最佳位置 如图，足球运动员在国际标准足球场上沿下列几种直线（方向）带球推进，试寻找最佳的射门 位置，使得射门的命中角最大（球门宽7.32米，底线长69米，边线长110米） (I)沿着贴近球场边线的直线推进： (2)沿与底线成45°夹角的直线推进，并推广到推进路线与线成α角的情形. 1.问题(1)的讨论 Pir.y) 图1 如图I,由平面几何知识知：沿边线DD总可以找到一点P使得∠APB最大.大家知道，球 员水平一定的情况下，∠APB越大，在P点射门的命中率就越大，因此我们称使得∠APB最 大的点P为足球场射门的最佳点，那么在足球场内，哪些点属于足球射门的最佳点呢？为研 究方便，我们把足球场地划分为三条带型区域：ABBA',BCCB',DAA'D'.并以AB 所在的直线为Oy轴，以AB的垂直平分线为Ox轴，建立平面直角坐标系如图2，因此可求 得A(0,3.66,B0,-3.66,C0,-34.5),D0,34.5). 图2 1)在区域DAA'D内射门最佳点的轨迹方程 在区域DA4D'内任取一点P(,y. ①若y保特不变，则动点P只能在线段EE上移动.连接PA,PB. ,'∠APB=∠EPB-∠EPA, 学科网书城围 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 ,∴，tan∠APB=tan(∠EPB-∠EPA) =tam∠EPB-tam∠EPAI+tan∠EPBtan∠EPA =EBEAxEB-EAx2 =ABEB EAx, 即tan∠APB=ABEB-EAx. 由于y不变，x与EB-EAx的积为常数， 也就是x+EB EAx≥2EBEA, 当且仅当x=EB EAx,即x=EBEA时取等号，所以tan∠APB≤AB2 r(EB EA): 又因为∠APB<元2，所以当x=EAEB时，∠APB取最大值，P是最佳射门点， 此时x=(y+3.66)y-3.66)(3.66≤y≤34.5)，① 于是，对于区域DA4'D内每一个确定的y,都存在相应的x=(y十3.66)(y一3.66)，使得点 Px,y)是最佳射门点， 故方程①是区域DA4'D'内射门最佳点的轨迹方程，整理为x2-y2=-3.662(3.66≤y≤34. 5,x≥0)，即为等轴双曲线的一部分】 ②若x保特不变，显然P(x,y)越靠近Ox轴，∠APB越大，射门命中率越高： 综上所述，在区域DA4D内与边线平行位置射门，在曲线x2-y2=一3.662上较好：在与底 线平行位置射门，越居中越好.这就打破了人们传统上离球门越近越好的错误想法.比如（图 3),M点与N点比较，较远的点N处射门较好：K点与H点比较，点K处射门较好. 区域DAA'D内射门最佳轨迹方程为 x2-y2=-3.662(3.66≤y≤34.5，x≥0)， 类似可求区域BCCB内射门最佳点的轨迹方程为x2-y2=一3.662（一34.5≤y≤-3.66，x ≥0). 图 2)在区域ABBA内射门最佳点的轨迹方程 如图4，在区域ABBA'内任取一点P,y). ①若y保持不变，显然P(x,y)离球门越近，∠APB越大，射门命中率越高. ②若x保特不变，作PF⊥AB于F :∠APB=∠APF+∠BPF, ∴.tan∠APB=tan(∠APF+∠BPF) =tam∠APF+tam∠BPFl-tan∠APFtan∠BPF 2 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 -AFFBXAF-FBx2 =AF十FBAF-FBx, 由于AF与FB的和为定值(4F+FB=7.32米)， 所以AF+FB≥2AFFB, tan∠APB≤AF+FB(AF+FB)24x, 当且仅当AF=FB时取等号，又∠APB<2,当且仅当AF=FB时，∠APB最大，此时Px, )在Ox轴上. 可见，在区域ABBA内，最佳点的轨迹方程为y=0(0≤x≤11O). 故在区域ABBA'内，平行于底线位置射门越居中越好。 2.问题(2)的讨论 如图所示，设OA=a,AB=b,∠POQ=a. tan∠APB=tan(∠PAQ-∠PBQ) =ya+b-xya十b-x =by(a-x)(a+b-x)十y2 =ba (a+b)\rc\2a+btan a, 当且仅当a(a+b)y=yalvs-4 alicol(I+ltam2a, y2=a (a+b)Itan2 a =a(a+b)sin2 a, y=a(a十b)sina时，tan∠APB最大， 3.足球场射门的等效线 如图，在圆弧一上任取一点M,由圆弧所对圆周角相等知∠AMB为定值.我们称为圆弧的 等效线.等效线上的每一点称之为射门的等效点，如点M和点N是等效点， 3 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 15.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 2 依此定义，以Ox轴上的任意一点Qk,0)为圆心，OA长为半径的圆包含在场内的每一段圆 弧均为等效线，等效线的方程为6c一)2+y2=2+3.66(-34.5≤y≤34.5). 等效线层层包含，内层总要比外层要好一些.比如，在点M处射门比在点处效果要好， 较远处点与较近处点W”是等效位置，点M与点N也是等效位置， D