数学（青岛卷）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

2025年中考第三次模拟考试 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2．据网络平台数据《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）超153.47亿元人民币暂列全球票房榜第五名！15347000000科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：15347000000科学记数法表示为 故选：D． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的加法、实数的乘法运算，先由数轴得，再运算出，，即可作答． 【详解】解：结合数轴得， 故A选项不符合题意； ∴， 故B选项符合题意； 则，， 故C选项和D选项不符合题意； 故选：B 4．如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断非实心几何体的三视图 【分析】本题考查的是三视图，俯视图，从上面看到的平面图形，注意能看到的棱都要画成实线，不能看到的线画成虚线． 【详解】解：从上面看这个几何体看到的是三个长方形， 所以俯视图是： 故选C 5．如如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于原点中心对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、坐标与图形变化——轴对称、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，坐标与图形变化——平移（已知点平移前后的坐标，判断平移方式；由平移方式确定点的坐标）等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——轴对称，坐标与图形变化——平移是解题的关键． 先求出点、关于原点对称的点、的坐标，然后根据点、判断出平移方式，再根据点及平移方式确定出点的坐标即可． 【详解】解：与关于原点中心对称，且，， ，， 把平移后得到，且， 向上平移了个单位长度， ，即， 故选：． 6．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、作角平分线(尺规作图)、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了尺规作角平分线，平行线的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据作图可得是角平分，由平行可得，在中有内角和定理即可求解． 【详解】解：根据题意可得是角平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 7．如图，为的弦，直线与相切于点C，且，连接，，若点D为弦所对弧上一点，则为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，由切线的性质得，由垂径定理得，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵直线与相切于点C， ∴． ∵， ∴， ∴． 当点D在优弧上时， ． 当点D在劣弧上时， ． 故选C． 8．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的解求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和代数式求值，熟知方程解的定义、灵活应用整体思想是关键． 根据一元二次方程的根的定义可得，然后整体代入所求式子解答即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴； 故选：C． 9．如图，是二次函数的部分图象，该图象经过点，其对称轴为：直线，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断，由抛物线的顶点坐标为，可得函数有最小值，可判断①②；由且，则，可判断③；由对称性可得一元二次方程的根为或，可判断④错误；由抛物线开口向上，对称轴为直线，时，y随x的增大而增大，可得，可判断⑤．即可得到答案． 【详解】解：①∵对称轴为直线， ∴， ∴， 故①正确； ②根据函数图象可得抛物线开口向上， ∵由图可知抛物线的顶点坐标为， ∴时，函数有最小值， ∴， 故②错误； ③若且，则， ∴， 故③正确； ④由条件可得关于x的一元二次方程的根为或， 故④错误； ⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确选项有3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，包括二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握原式知识点是关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 10． ． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算、零指数幂、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、特殊角的三角函数值和二次根式的性质分别运算，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 11．“立身以立学为先，立学以读书为本”，为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆1260人次，若进馆人次的月增长率相同，设为，依题意可列方程 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月增长率为，根据前三个月累计进馆1260人次列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为， 由题意得，， 故答案为：． 12．某市教育局要从甲、乙两名优秀的数学教师中选择一名代表市里参加省级优质课大赛，下表是两名数学教师说课、讲课和学科知识三项测试的成绩(单位：分)： 说课 讲课 学科知识 甲 85 93 90 乙 80 95 90 根据实际需要，学校将说课、讲课和学科知识三项测试得分按的比例确定每人的最终成绩，选择成绩最高者参加大赛，则应选择 (填“甲”或“乙”)． 【答案】甲 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的定义分别计算两人的平均成绩，从而得出答案，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 【详解】解：甲的最终成绩为： （分）， 乙的最终成绩为： （分）， ∴甲的平均成绩较高，应选择甲参加大赛， 故答案为：甲． 13．如图，正五边形的两条对角线与相交于点P，若，则四边形的周长为 ． 【答案】12 【知识点】正多边形的内角问题、根据菱形的性质与判定求线段长、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了正多边形的内角和问题，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和问题等知识点，证明出四边形是菱形是解题的关键． 先根据正五边形求出每个内角度数，以及得到，再导角证明四边形是平行四边形，继而可证明其为菱形，则周长即可求解． 【详解】解：∵正五边形， ∴，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴四边形周长为， 故答案为：12． 14．如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接．若四边形的面积为4，则的值为______． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．先求出，四边形是矩形，再根据反比例函数的几何意义可得，然后根据计算即可得． 【详解】解：∵过点分别作轴于点，轴于点， ∴，四边形是矩形， ∵反比例函数的图象分别与，相交于两点， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 15．如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积、几何概率、用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解 【分析】取中点，设与以为直径的半圆的切点为，设正方形的边长为2，，结合题意易知切半圆于点，切半圆于点，切半圆于点，由切线长定理可知，，进而可得，，在中，利用勾股定理解得的值，再计算阴影部分的面积，然后结合简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：如下图，取中点，设与以为直径的半圆的切点为， 设正方形的边长为2，， 则有，半圆的半径，， ∵为直径， ∴切半圆于点，切半圆于点， ∵切半圆于点， ∴，， ∴，， ∴在中，可有， 即，解得， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴正方形的面积， 阴影部分的面积， ∴在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形面积、勾股定理、切线长定理、简单概率计算等知识，正确求得阴影部分面积是解题关键． 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．已知：及其一边上的两点A，．求作：以为底的等腰，使点在的内部，且． 【答案】见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质等知识点，掌握基本的尺规作图方法是解题的关键． 先运用尺规作图过A作，然后再作线段的垂直平分线，垂直平分线与边的交点为点C，最后顺次连接点A、B、C即可解答． 【详解】解：如图：即为所求． 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2），当时， 【知识点】实数的混合运算、分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解、特殊三角形的三角函数 【分析】．本题考查了实数的混合运算；分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值，进行计算即可求解． （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答 【详解】（1） ； （2）解： ， ， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， 该不等式组的整数解为：，， ，， ，， 当时，原式． 18．2022年末，中国迎来第一波疫情高峰．为加强同学们的防护意识，某校举行了以“疫情防护”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，下面为部分数据：其中“”这组的部分数据（从小到大排序）如下：80，82，82，83，83，84，85，85，85，86，87，87，87，88，88……其中“”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100． 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 平均分 1 8 65 2 a 75 3 b 88 4 10 95 根据以上信息，回答下列问题： (1)下列说法正确的是______． A．样本为n名学生    B．a＝12    C．m＝40 (2)“”这组的数据的众数是______． (3)随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是______；平均分是______； (4)若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数． 【答案】(1)B (2)96 (3)83.5；82.6分 (4)120人 【知识点】求中位数、求众数、频数分布表、求一组数据的平均数 【分析】（1）根据统计表和统计图中的数据，可以判断哪个选项符合题意； （2）根据题目中的数据，可以写出“”这组的数据的众数； （3）根据题目中的数据，可以计算出中位数和平均数； （4）根据题目中的数据，可以计算出全校1200名学生中获奖的人数． 【详解】（1）解：样本为名学生的竞赛成绩，故选项错误，不符合题意； ，则，故选项符合题意； ，故选项错误，不符合题意； 故选：B； （2）解：”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100． “”这组的数据的众数是96； （3）解：随机抽取的这名学生竞赛成绩的中位数是， 平均分是：（分）； （4）解：（人， 答：估计全校1200名学生中获奖的有120人． 【点睛】本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 19．二十四节气，是上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．张涛收集了四张节气图案的卡片：．小满，．芒种，．夏至，．小暑，这些卡片除正面图案外无其他差别，洗匀后背面朝上放置． (1)张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是 ； (2)若张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，洗匀后妹妹再从剩下的三张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C．夏至”的概率． 【答案】(1) (2)两人都没有抽到“C．夏至”的概率为． 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C．夏至”的有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．小满”的结果只有1种， ∴张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C．夏至”的有6种， ∴两人都没有抽到“C．夏至”的概率为． 20．如图是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．打开后备厢如图，车后盖落在处，与水平面的夹角． (1)求打开后备用后，车后盖最高点到地面的高度． (2)若小明爸爸的身高为米，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由． 【答案】(1) (2)没有碰头的危险，理由见解析 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（）过点作于，根据正弦的定义求出即可得到答案； （）过点作于点，求出，根据余弦的定义求出，进而求出点到地面的距离，比较大小即可； 本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于， 在中，，， ∵， ∴， ∴点到地面的距离为， 答：车后盖最高点到地面的距离为； （2）解：没有碰头的危险，理由如下： 如图，过点作于点， 在中，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点到地面的距离为， ∴， ∴没有碰头的危险． 21．如图，四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】证明四边形是矩形、全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）结合平行四边形性质，利用“边角边”即可证明全等； （2）由全等三角形性质推出，，即可证，进而证得四边形为平行四边形，  再由即可证四边形是矩形． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ，， ， 又点，分别是，的中点，， ∴，， ， 和中， ， ． （2）解：， ，， 又，， ， ， 四边形为平行四边形，   连接， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ， 四边形为平行四边形， ， 又， ， 平行四边形为矩形． 【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，解题关键是熟练掌握矩形的判定． 22．2025年春晚舞台上，字树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【答案】(1)种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． (2)购进了种机器人个，种机器人个；最大利润万元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数最值问题等知识点，理解题意合理列出方程是解题的关键． （1）设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，利用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍的关系列出分式方程求解即可； （2）先运算出和的售价，设购买的数量为个，则的数量为个，列出不等式方程组求出的取值范围，再通过利润的表达式分析出方案即可． 【详解】（1）解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元， 由题意可得： 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴种机器人的价格为（万）， 答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． （2）解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买的数量为个，则的数量为个， ∴由题意可得：， 解得：， ∴， ∵利润， ∵ ∴当越小时，利润最大， 把代入可得：， ∴最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 23．【问题背景】 如图，是一张等腰直角三角形纸板，，取、、中点进行第次剪取，记所得正方形面积为，如图，在余下的和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第次剪取，并记这两个正方形面积和为如图. 【问题探究】 （1） ______ ； （2）如图，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第次剪取，并记这四个正方形面积和为继续操作下去，则第次剪取时， ______ ；第次剪取时， ______ ． 【拓展延伸】 在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______ ． 【答案】（1）；（2），；【拓展延伸】 【知识点】正方形性质理解、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】（1）根据题意，可求得，第一次剪取后剩余三角形面积和为：，第二次剪取后剩余三角形面积和为：； （2）同理可得规律：即是第次剪取后剩余三角形面积和，根据此规律求解即可答案； （3）依此规律可得第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和． 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，得出甲、乙两种剪法，所得的正方形面积是解题的关键． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 同理：等于第二次剪取后剩余三角形面积和， ， 故答案为：； （2）等于第次剪取后剩余三角形面积和， 第一次剪取后剩余三角形面积和为：， 第二次剪取后剩余三角形面积和为：， 第三次剪取后剩余三角形面积和为：， 第十次剪取后剩余三角形面积和为：， 第次剪取后剩余三角形面积和为：， 故答案为：，； （3）在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为， 故答案为：． 24．某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图． 【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题： （3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值． （4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）；（4）或或 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、根据旋转的性质求解、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，旋转的性质． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知得出当时，正好是汽车宽度，求出即可； （3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出； （4）根据题意，画出符合条件的三角形，根据旋转的性质分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 代入顶点式得：， ∴， 解得：， ∴； （2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下： 当宽、高的厢式货车从隧道驶过时， ∴， ∴代入解析式得：； ∴， ∴厢式货车能顺利通过隧道； （3）假设，可得， ∴； ∵矩形的周长为l， ∴， ∴当时，l的最大值为：； （4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，， ∴，， 过点P作于点M， ∵， ∴，， ∴，， 如图，分以下三种情况： 当时，根据旋转的性质得， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 当时，； 当时，； 综上所述，旋转角的度数为或或． 25．已知：如图，在菱形中，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为． (1)延长交于点，若四边形是平行四边形，求的值； (2)当为何值时，点运动到的垂直平分线上？ (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）由题意得，当四边形是平行四边形，则，则，那么，代入数据，即可求解； （2）当点运动到的垂直平分线上，则，然后证明，则，那么，即可求解； （3）连接交于点N，过点P作于点M，由于四边形是菱形，那么，，，四边形是轴对称图形，可求，则，则菱形面积为，那么面积为，由，求得，则，再由面积减去的面积即可建立起关于t的函数关系式． 【详解】（1）解：由题意得， ∵四边形是菱形， ∴， 当四边形是平行四边形， 则， ∴ ∴， ∴， 解得：； （2）解：连接， 当点运动到的垂直平分线上， 则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接交于点N，过点P作于点M， ∵四边形是菱形， ∴，，，四边形是轴对称图形， ∵， ∴由勾股定理得： ∴， ∴菱形面积为， ∴面积为 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B D B C B A C C B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 10． 11． 12．甲 13．12 14． 15． 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16. 【详解】解：如图：即为所求． ----------------（4分） 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分） 【详解】 （1） ；----------------（4分） （2）解： ，----------------（6分） ， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， 该不等式组的整数解为：，，----------------（8分） ，， ，， 当时，原式．----------------（9分） 18．（本小题满分6分） 【详解】 （1）解：样本为名学生的竞赛成绩，故选项错误，不符合题意； ，则，故选项符合题意； ，故选项错误，不符合题意； 故选：B；----------------（1分） （2）解：”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100． “”这组的数据的众数是96；----------------（2分） （3）解：随机抽取的这名学生竞赛成绩的中位数是，中位数：83.5----------------（3分） 平均分是：（分）；平均数：82.6----------------（4分） （4）解：（人， 答：估计全校1200名学生中获奖的有120人．----------------（6分） 19．（本小题满分6分） 【详解】（1）解：张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．小满”的结果只有1种， ∴张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是， 故答案为：；----------------（2分） （2）解：画树状图如下： ----------------（4分） 共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C．夏至”的有6种， ∴两人都没有抽到“C．夏至”的概率为．----------------（6分） 20．（本小题满分6分） 【详解】 （1）解：过点作于， 在中，，， ∵， ∴，----------------（2分） ∴点到地面的距离为， 答：车后盖最高点到地面的距离为；----------------（3分） （2）解：没有碰头的危险，理由如下： 如图，过点作于点， 在中，，则， ∵， ∴，----------------（4分） ∵， ∴， ∴点到地面的距离为，----------------（5分） ∴， ∴没有碰头的危险．----------------（6分） 21．（本小题满分8分） 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ，， ，----------------（1分） 又点，分别是，的中点，， ∴，， ，----------------（2分） 和中， ， ．----------------（3分） （2）解：， ，，----------------（4分） 又，， ， ， 四边形为平行四边形，  ----------------（5分） 连接， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴，----------------（6分） ， 四边形为平行四边形， ，----------------（7分） 又， ， 平行四边形为矩形．----------------（8分） 22．（本小题满分8分） 【详解】（1）解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元， 由题意可得： 解得：，----------------（2分） 经检验，是原方程的解，----------------（3分） ∴种机器人的价格为（万）， 答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元．----------------（4分） （2）解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买的数量为个，则的数量为个， ∴由题意可得：， 解得：， ∴，----------------（5分） ∵利润，----------------（6分） ∵ ∴当越小时，利润最大， 把代入可得：，----------------（7分） ∴最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元．----------------（8分） 23．（本小题满分8分） 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 同理：等于第二次剪取后剩余三角形面积和， ， 故答案为：；----------------（2分） （2）等于第次剪取后剩余三角形面积和， 第一次剪取后剩余三角形面积和为：， 第二次剪取后剩余三角形面积和为：， 第三次剪取后剩余三角形面积和为：， 第十次剪取后剩余三角形面积和为：， 第次剪取后剩余三角形面积和为：， 故答案为：，；----------------（6分，每空2分，共4分） （3）在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为， 故答案为：．----------------（8分） 24．（本小题满分10分） 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 代入顶点式得：， ∴， 解得：， ∴；----------------（2分） （2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下： 当宽、高的厢式货车从隧道驶过时， ∴， ∴代入解析式得：；----------------（3分） ∴， ∴厢式货车能顺利通过隧道；----------------（4分） （3）假设，可得， ∴； ∵矩形的周长为l， ∴， ∴当时，l的最大值为：；----------------（6分） （4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，， ∴，， 过点P作于点M， ∵， ∴，， ∴，，----------------（7分） 如图，分以下三种情况： 当时，根据旋转的性质得， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴；----------------（8分） 当时，；----------------（9分） 当时，； 综上所述，旋转角的度数为或或．----------------（10分） 25．（本小题满分10分） 【详解】（1）解：由题意得， ∵四边形是菱形， ∴， 当四边形是平行四边形， 则，----------------（1分） ∴ ∴， ∴， 解得：；----------------（2分） （2）解：连接， 当点运动到的垂直平分线上， 则， ∴，----------------（3分） ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，----------------（4分） ∴， ∴， ∴， ∴；----------------（5分） （3）解：连接交于点N，过点P作于点M， ∵四边形是菱形， ∴，，，四边形是轴对称图形，----------------（6分） ∵， ∴由勾股定理得： ∴， ∴菱形面积为， ∴面积为----------------（8分） ∵， ∴， ∴， ∴，----------------（9分） ∴， ∴．----------------（10分） 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第三次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书 2．据网络平台数据《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）超153.47亿元人民币暂列全球票房榜第五名！15347000000科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 5．如如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于原点中心对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．如图，为的弦，直线与相切于点C，且，连接，，若点D为弦所对弧上一点，则为（   ） A． B． C．或 D．或 8．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 9．如图，是二次函数的部分图象，该图象经过点，其对称轴为：直线，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 10． ． 11．“立身以立学为先，立学以读书为本”，为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆1260人次，若进馆人次的月增长率相同，设为，依题意可列方程 ． 12．某市教育局要从甲、乙两名优秀的数学教师中选择一名代表市里参加省级优质课大赛，下表是两名数学教师说课、讲课和学科知识三项测试的成绩(单位：分)： 说课 讲课 学科知识 甲 85 93 90 乙 80 95 90 根据实际需要，学校将说课、讲课和学科知识三项测试得分按的比例确定每人的最终成绩，选择成绩最高者参加大赛，则应选择 (填“甲”或“乙”)． 13．如图，正五边形的两条对角线与相交于点P，若，则四边形的周长为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接．若四边形的面积为4，则的值为______． 15．如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．已知：及其一边上的两点A，．求作：以为底的等腰，使点在的内部，且． 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 18．（本小题满分6分）2022年末，中国迎来第一波疫情高峰．为加强同学们的防护意识，某校举行了以“疫情防护”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，下面为部分数据：其中“”这组的部分数据（从小到大排序）如下：80，82，82，83，83，84，85，85，85，86，87，87，87，88，88……其中“”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100． 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 平均分 1 8 65 2 a 75 3 b 88 4 10 95 根据以上信息，回答下列问题： (1)下列说法正确的是______． A．样本为n名学生    B．a＝12    C．m＝40 (2)“”这组的数据的众数是______． (3)随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是______；平均分是______； (4)若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数． 19．（本小题满分6分）二十四节气，是上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．张涛收集了四张节气图案的卡片：．小满，．芒种，．夏至，．小暑，这些卡片除正面图案外无其他差别，洗匀后背面朝上放置． (1)张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是 ； (2)若张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，洗匀后妹妹再从剩下的三张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C．夏至”的概率． 20．（本小题满分6分）如图是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．打开后备厢如图，车后盖落在处，与水平面的夹角． (1)求打开后备用后，车后盖最高点到地面的高度． (2)若小明爸爸的身高为米，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由． 21．（本小题满分8分）如图，四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 22．（本小题满分8分）2025年春晚舞台上，字树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 23．（本小题满分8分）【问题背景】 如图，是一张等腰直角三角形纸板，，取、、中点进行第次剪取，记所得正方形面积为，如图，在余下的和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第次剪取，并记这两个正方形面积和为如图. 【问题探究】 （1） ______ ； （2）如图，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第次剪取，并记这四个正方形面积和为继续操作下去，则第次剪取时， ______ ；第次剪取时， ______ ． 【拓展延伸】 在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______ ． 24．（本小题满分10分）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图． 【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题： （3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值． （4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 25．（本小题满分10分）已知：如图，在菱形中，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为． (1)延长交于点，若四边形是平行四边形，求的值； (2)当为何值时，点运动到的垂直平分线上？ (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共27分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10. _______________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 16． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分） （1）计算： （2） 18．（本小题满分6分） (1) ____________ (2) ____________ (3) ____________； ____________ (4) 19．（本小题满分6分） (1) ____________ (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（本小题满分6分） 21． （本小题满分8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（本小题满分8分） 23．（本小题满分8分） （1） ____________ （2） ____________；____________ 拓展延伸：____________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（本小题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（本小题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共9个小题，每小题3分，共27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书 2．据网络平台数据《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）超153.47亿元人民币暂列全球票房榜第五名！15347000000科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 5．如如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于原点中心对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．如图，为的弦，直线与相切于点C，且，连接，，若点D为弦所对弧上一点，则为（   ） A． B． C．或 D．或 8．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 9．如图，是二次函数的部分图象，该图象经过点，其对称轴为：直线，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 10． ． 11．“立身以立学为先，立学以读书为本”，为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动，自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆1260人次，若进馆人次的月增长率相同，设为，依题意可列方程 ． 12．某市教育局要从甲、乙两名优秀的数学教师中选择一名代表市里参加省级优质课大赛，下表是两名数学教师说课、讲课和学科知识三项测试的成绩(单位：分)： 说课 讲课 学科知识 甲 85 93 90 乙 80 95 90 根据实际需要，学校将说课、讲课和学科知识三项测试得分按的比例确定每人的最终成绩，选择成绩最高者参加大赛，则应选择 (填“甲”或“乙”)． 13．如图，正五边形的两条对角线与相交于点P，若，则四边形的周长为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接．若四边形的面积为4，则的值为______． 15．如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．已知：及其一边上的两点A，．求作：以为底的等腰，使点在的内部，且． 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 18．（本小题满分6分）2022年末，中国迎来第一波疫情高峰．为加强同学们的防护意识，某校举行了以“疫情防护”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，下面为部分数据：其中“”这组的部分数据（从小到大排序）如下：80，82，82，83，83，84，85，85，85，86，87，87，87，88，88……其中“”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100． 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 平均分 1 8 65 2 a 75 3 b 88 4 10 95 根据以上信息，回答下列问题： (1)下列说法正确的是______． A．样本为n名学生    B．a＝12    C．m＝40 (2)“”这组的数据的众数是______． (3)随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是______；平均分是______； (4)若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数． 19．（本小题满分6分）二十四节气，是上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．张涛收集了四张节气图案的卡片：．小满，．芒种，．夏至，．小暑，这些卡片除正面图案外无其他差别，洗匀后背面朝上放置． (1)张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．小满”的概率是 ； (2)若张涛从四张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，洗匀后妹妹再从剩下的三张卡片中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有抽到“C．夏至”的概率． 20．（本小题满分6分）如图是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．打开后备厢如图，车后盖落在处，与水平面的夹角． (1)求打开后备用后，车后盖最高点到地面的高度． (2)若小明爸爸的身高为米，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由． 21．（本小题满分8分）如图，四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，点，在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是矩形． 22．（本小题满分8分）2025年春晚舞台上，字树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 23．（本小题满分8分）【问题背景】 如图，是一张等腰直角三角形纸板，，取、、中点进行第次剪取，记所得正方形面积为，如图，在余下的和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第次剪取，并记这两个正方形面积和为如图. 【问题探究】 （1） ______ ； （2）如图，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第次剪取，并记这四个正方形面积和为继续操作下去，则第次剪取时， ______ ；第次剪取时， ______ ． 【拓展延伸】 在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______ ． 24．（本小题满分10分）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图． 【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题： （3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值． （4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 25．（本小题满分10分）已知：如图，在菱形中，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为． (1)延长交于点，若四边形是平行四边形，求的值； (2)当为何值时，点运动到的垂直平分线上？ (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第三次模拟考试 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共27分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 10._________________ 11. ___________________ 12.__________________ 13.__________________ 14.___________________ 15．_________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 四、解答题（本大题共9个小题，共71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本题满分9分，第1小题4分，第2小题5分） （1）计算：； （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （本小题满分6分） (1) ____________ (2) ____________ (3) ____________； ____________ (4) 19．（本小题满分6分） (1) ____________ (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（本小题满分6分） 21.（本小题满分8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22. （本小题满分8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （1） ____________ （2） ____________；____________ 拓展延伸：____________ 23. （本小题满分8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（本小题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （本小题满分10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$