专题训练 勾股定理应用问题精练-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

勾股定理的应用问题 面积问题 1．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，三个正方形按图所示摆放，中间的三角形为直角三角形，正方形A的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在 中，，分别以 为边向外作正方形，若其中两个正方形的面积分别为 ，则 的长为（     ） A．625 B．175 C．600 D．25 3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，下列给出的方案中不能的是（   ） A．③④ B．②⑤⑥ C．④⑦⑨ D．③⑧⑩ 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）有一个面积为的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变成“枝繁叶茂”的“勾股树”．请你算出“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，．若，，，则的长为（    ） A．7 B．5 C．4 D．6 6．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，由一个直角三角形和三个正方形组成的图形，若正方形，的面积分别为16，25，则正方形的面积为 ． 7．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 8．（24-25九年级上·重庆巫山·期中）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是 ． 9．（2025八年级下·广西·专题练习）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 ． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则 ． 11．（24-25八年级下·贵州黔南·阶段练习）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，求阴影部分的面积． 以弦图为背景的计算题 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）“赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方图注》．赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则的值是（   ） A．10 B．12 C．14 D．24 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中直角三角形的长直角边为9，短直角边为6，则围成的小正方形与大正方形面积的比为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（24-25八年级下·天津宝坻·阶段练习）如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，，，，则（   ） A．5 B．6 C．4 D．8 5．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则直角三角形的面积为 ． 6．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为 ． 7．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 8．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图1，“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．设，，． (1)利用图1验证勾股定理时，可以用两种不同的方式表示出大正方形的面积． 方式一：中间小正方形面积+4个直角三角形面积： ；（此空列式不化简） 方式二：大正方形的面积公式： ； 通过两种方式的面积相等，可化简成： ，进而验证勾股定理．若，小正方形的边长为7，求的值； (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，，直接写出这个图案的总面积． 9．（24-25八年级下·湖南·阶段练习）著名的“赵爽弦图”如图（1）所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则． (1)图（2）为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图（2）推导勾股定理． (2)如图（3），在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米． 10．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）【感知】如图①，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，它巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，下面是小明不完整的证明过程： 解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为 ， 即可证得，． （1）将小明的证明过程补充完整； （2）若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ； 【探究】如图②，小明将图①的赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件没变，请利用这个图形验证勾股定理； 【应用】如图③，在中，，，，是边上的高，直接写出的长． 梯子滑落高度问题 1．（2025八年级下·广西·专题练习）如图所示，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面．如果保持梯子底端不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面，那么小巷的宽度为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，一架长的梯子，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端离墙，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面，请你计算一下，此时梯子底端应再远离墙 ． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，一架长5米的梯子斜靠在墙上，到墙底端C的距离为3米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的端向墙的方向移动了米到B处，此时梯子的高度达到工作要求，求梯子的端向上移动了多少米． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生在消防日举行了消防演练．如图，云梯长为10米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为6米．（结果保留1位小数，参考数据：，，） (1)求云梯顶端与墙角的距离的长； (2)假如云梯顶端下方3米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知某消防车的云梯最大能伸长25米，在一次救援中，消防车云梯伸到最长25米，它的底部与建筑物之间的水平距离米，云梯底部与地面的距离米． (1)求此时云梯顶端C离地面的高度为多少米； (2)若云梯顶端需要伸到距离地面17的处，则消防车需要向建筑物方向移动多少米到达处？ 6．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【深入探究】 （1）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度； 【问题解决】 （2）在演练中，墙边距地面的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被困人员？ 7．（24-25七年级上·山东泰安·期中）综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． 独立思考： （1）这架云梯顶端距地面的距离有多高？ 深入探究： （2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，云梯的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度． 问题解决： （3）在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头进行救援？ 旗杆高度问题 1．（2025八年级下·贵州·专题练习）如图，学校需要测量升旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．经测量，绳子多出的部分长度为，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端，则旗杆的高度为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西铜川·期中）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图： ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点处，作垂直于点，． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度； (2)在（）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离米，求此时绳结到地面的高度． 3．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为3米，到旗杆的距离为10米（如图2）． 根据以上信息，求旗杆的高度． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 5．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）小明学习小组在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 模型抽象 测绘数据 ①绳子紧贴着旗杆垂直向下，再把多余的绳子拉直，测得多余的绳子长度为． ②拉直绳子，使绳子末端C刚好与地面上的点D重合，测量旗杆底部点B到绳子终点D的距离，即． 说明 点A，B，D在同一平面上． 请根据表格信息，解答下列问题．（，） (1)求旗杆的高度的长． (2)由于实际需要，现在要把旗杆增高，如果绳子还能拉到点D处，则绳子至少要加长多少米？（结果保留一位小数）． 大树折断前高度问题 1．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）《九章算术》中：“今有竹高九尺，末折抵地，去木三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，则的长为（    ） A．5尺 B．4尺 C．3尺 D．3.6尺 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面3米的处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵大树在折断前的高度为 米． 4．（2025·甘肃定西·一模）如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从距离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成 角，这棵树在折断前的高度为 5．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是 ． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺） 引葭赴岸问题 1．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）我国古代经典数学著作《九章算术》有一“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边的中点，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）若设水深为尺，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长度是（    ）    A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面处．问水的深度是多少？则水深为 尺． 4．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是 尺，芦苇的长度是 尺． 5．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即，，，，求的长．    6．（24-25八年级下·云南昆明·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度． 汽车是否超速问题 1．（24-25八年级下·河南许昌·期中）某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？ 2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米． (1)求的长； (2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：） 4．（2024八年级下·全国·专题练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 5．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 航海问题 1．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，两艘轮船、同时离开港口，各自沿一固定方向航行，轮船每小时航行20海里，轮船每小时航行15海里，它们离开港口两小时后相距50海里．已知轮船沿东北方向航行．（东北方向即北偏东方向） (1)请判断轮船沿哪个方向航行，并说明理由； (2)若两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航行2小时两船相距多少海里？ 2．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时． (1)求港口A到海岛B的距离； (2)B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果保留一位小数） 3．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里． (1)求小岛A与港口C的距离； (2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？ 4．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只． (1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？ (2)求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？ 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，“娜丽彬号”巡逻艇从A港口出发巡航，以每小时千米/时的速度沿北偏东方向前进，出发两小时后到达B处，此时接到通知，一艘捕鱼船在港口东南方向C处遇到故障搁浅，于是“娜丽彬号”巡航舰加速后保持匀速沿南偏东方向前往支援，结果两小时后到达目的地， (1)求的度数； (2)求“娜丽彬号”巡逻艇前往C处时的速度． 6．（24-25八年级上·重庆丰都·阶段练习）上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 勾股定理的应用问题 面积问题 1．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，三个正方形按图所示摆放，中间的三角形为直角三角形，正方形A的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积以为边长的正方形面积以为边长的正方形的面积，即可解答． 【详解】解：图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图，中间的三角形为直角三角形， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴以为边长的正方形面积以为边长的正方形面积以为边长的正方形的面积， 正方形A的面积为； 故选：C 2．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在 中，，分别以 为边向外作正方形，若其中两个正方形的面积分别为 ，则 的长为（     ） A．625 B．175 C．600 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 根据勾股定理的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：根据图示得到，， ∴（负值舍去）， 故选：D ． 3．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，下列给出的方案中不能的是（   ） A．③④ B．②⑤⑥ C．④⑦⑨ D．③⑧⑩ 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可． 【详解】解：如图， 由图可知正方形③的面积，正方形④的面积，正方形①的面积， 由勾股定理得到：， ∴正方形③和④的面积的和等于最大正方形①的面积，故A不符合题意； 同理由勾股定理和正方形的面积公式得到⑦⑨的面积的和等于③的面积，⑧⑩的面积的和等于④的面积， ∴④⑦⑨的面积的和等于最大正方形①的面积，③⑧⑩的面积的和等于最大正方形①的面积，故C、D不符合题意； 由已知条件不能证明②⑤⑥的面积的和等于最大正方形①的面积，故B符合题意． 故选：B． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）有一个面积为的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变成“枝繁叶茂”的“勾股树”．请你算出“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，找出规律是解答本题的关键． 根据题意可知“生长”次后，所有正方形的面积和是；“生长”次后，所有正方形的面积和是；即可求出“生长”次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：由勾股定理可知，“生长”次，“生长”出的两个正方形面积和原来正方形的面积，所有正方形的面积和为； “生长”次，“生长”出的四个正方形面积和第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积和为； ， 经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； 经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是， 故选：C． 5．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，．若，，，则的长为（    ） A．7 B．5 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，连接，由题意得出，，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴（负值舍去，不符合题意）， 故选：D． 6．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，由一个直角三角形和三个正方形组成的图形，若正方形，的面积分别为16，25，则正方形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据正方形，的面积分别为16，25，得出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵正方形，的面积分别为16，25， ∴，， ∵三角形为直角三角形， ∴， ∴正方形的面积为：， 故答案为：9． 7．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在△中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：， 即， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为5， 故答案为：5． 8．（24-25九年级上·重庆巫山·期中）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故答案为：． 9．（2025八年级下·广西·专题练习）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出，的值，即可解决问题，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解决本题的关键是连接，构造两个直角三角形，利用勾股定理找到四个正方形的面积之间的关系是，再根据，求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ，，，， ， ， ． 故答案为： ． 11．（24-25八年级下·贵州黔南·阶段练习）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查学生对图形的分解计算能力，先利用勾股定理求出的值是解题的关键．根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以为直径的半圆的面积，之后再加上的面积， 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 的面积为：， ∴阴影部分的面积为：． 以弦图为背景的计算题 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）“赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方图注》．赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则的值是（   ） A．10 B．12 C．14 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用，理解赵爽弦图是解题关键．根据图形可得，，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b， 大正方形的面积是25， 大正方形的边长是5，即直角三角形的斜边长是5， ， 小正方形的面积是1， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中直角三角形的长直角边为9，短直角边为6，则围成的小正方形与大正方形面积的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系． 根据勾股定理利用正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：直角三角形的长直角边为9，短直角边为6， ∴大正方形的面积为： ∴小正方形的面积为． ∴围成的小正方形与大正方形面积的比为： 故选：D． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键．由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为， ∴， ∵， ∴图2中小正方形的边长为3， ∴ 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴ ∴图1中的直角三角形面积为 故选：C． 4．（24-25八年级下·天津宝坻·阶段练习）如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，，，，则（   ） A．5 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质得到，，，再根据等角的余角相等得到，则可根据“”判断，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，所以，利用同样方法可得到，通过计算可得解，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则直角三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式的运用，先由勾股定理得，再由完全平方公式得，进而得，再由三角形的面积为，即可得解． 【详解】解：由题意得为直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴直角三角形的面积为， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理求出直角三角形较短的直角边的长，再根据阴影部分面积等于四个直角三角形面积加上中间一个正方形面积求解即可． 【详解】解；由题意得，直角三角形较短的直角边的长度为， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查数学文化与几何概型，涉及到全等三角形的性质，勾股定理，完全平方公式变形求值．根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示后计算即可． 【详解】解：∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴，， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）如图1，“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．设，，． (1)利用图1验证勾股定理时，可以用两种不同的方式表示出大正方形的面积． 方式一：中间小正方形面积+4个直角三角形面积： ；（此空列式不化简） 方式二：大正方形的面积公式： ； 通过两种方式的面积相等，可化简成： ，进而验证勾股定理．若，小正方形的边长为7，求的值； (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，，直接写出这个图案的总面积． 【答案】(1)；；；17 (2)96 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出大正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键． （1）用两种不同的方法去求正方形ABCD的面积即可． （2）利用（1）中发现的结论即可解决问题． （2）设，根据勾股定理建立关于的方程即可解决问题． 【详解】（1）解：①明：∵中间小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为． 又∵四个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：． ②又∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积还可以表示为， ③ ④∵，， 故答案为：；；；17； （2）解：设， ∵外围轮廓（实线）的周长为48， 则． 在中， 解得， 即， ． 9．（24-25八年级下·湖南·阶段练习）著名的“赵爽弦图”如图（1）所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则． (1)图（2）为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图（2）推导勾股定理． (2)如图（3），在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米． 【答案】(1)见解析 (2)千米 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，完全平方公式，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据股定理列方程，解得即可得到结果； 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 即； （2）解：设千米，则千米． 在中，，即， 解得：， 即千米，（千米）． ∴新路比原路短千米． 10．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）【感知】如图①，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，它巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，下面是小明不完整的证明过程： 解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为 ， 即可证得，． （1）将小明的证明过程补充完整； （2）若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ； 【探究】如图②，小明将图①的赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件没变，请利用这个图形验证勾股定理； 【应用】如图③，在中，，，，是边上的高，直接写出的长． 【答案】（1）（2）5；探究：见解析；应用： 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明和应用、完全平方公式与几何图形的面积等知识点． （1）根据大正方形的面积还可以表示为4个直角三角形与一个小正方形的面积的和，表示出来即可； （2）观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出小正方形的面积； 探究：根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 应用：设，则，由勾股定理得，，即可得关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，图形的总面积可以表示为， 亦可表示为， 即可证得，． 故答案为：； （2）由可知， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为， 故答案为：5； 探究：图形的总面积可以表示为， 亦可表示为， ， ； 应用：设，则， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 解得， ∴． 梯子滑落高度问题 1．（2025八年级下·广西·专题练习）如图所示，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面．如果保持梯子底端不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面，那么小巷的宽度为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握勾股定理，先根据题意求得，的度数，再根据，，的长，利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可． 【详解】解：如图，，，，， 在中，根据勾股定理得： ， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， 即小巷的宽度为． 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，一架长的梯子，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端离墙，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面，请你计算一下，此时梯子底端应再远离墙 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设梯子底端应再远离墙，根据勾股定理列方程得，解方程即可． 【详解】解：设梯子底端应再远离墙， 根据题意列方程得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 梯子底端应再远离墙， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，一架长5米的梯子斜靠在墙上，到墙底端C的距离为3米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的端向墙的方向移动了米到B处，此时梯子的高度达到工作要求，求梯子的端向上移动了多少米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，根据勾股定理知，， 在中，， 根据勾股定理知， ． 答：梯子的端向上移动了． 4．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生在消防日举行了消防演练．如图，云梯长为10米，云梯顶端靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端与墙角的距离为6米．（结果保留1位小数，参考数据：，，） (1)求云梯顶端与墙角的距离的长； (2)假如云梯顶端下方3米处发生火灾，需将云梯顶端下滑到着火点处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理即可得到求解； （2）在中，根据勾股定理求出，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， ∴根据勾股定理，（米）， 答：云梯顶端与墙角的距离的长为米； （2）（米）， 在中，（米）， （米）， 答：云梯底端在水平方向上滑动的距离约为米． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知某消防车的云梯最大能伸长25米，在一次救援中，消防车云梯伸到最长25米，它的底部与建筑物之间的水平距离米，云梯底部与地面的距离米． (1)求此时云梯顶端C离地面的高度为多少米； (2)若云梯顶端需要伸到距离地面17的处，则消防车需要向建筑物方向移动多少米到达处？ 【答案】(1)此时云梯顶端离地面的高度为9米 (2)4米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在中， 利用勾股定理求解即可； （2）先求出，在中，由勾股定理求出，然后求出的长即可求解． 【详解】（1）解：为长方形， 在中，由勾股定理   答：此时云梯顶端离地面的高度为9米 （2）解：，   在中，由勾股定理    答：消防车需要向建筑物方向移动4米到达B处． 6．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【深入探究】 （1）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度； 【问题解决】 （2）在演练中，墙边距地面的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被困人员？ 【答案】（1），（2）云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员 【分析】本题考查了勾股定理的应用．掌握勾股定理是解题的关键. （1）根据勾股定理即可求出，再求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出； （2）当云梯的顶端到达高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为，根据，即可得到在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 【详解】解：（1）在中， ， ， ， 在中， ， 答：的长度为 ； （2）当云梯的顶端到达高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为：， ， ， ∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 7．（24-25七年级上·山东泰安·期中）综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． 独立思考： （1）这架云梯顶端距地面的距离有多高？ 深入探究： （2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，云梯的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度． 问题解决： （3）在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头进行救援？ 【答案】（1）；（2）云梯的底部B在水平方向滑动到的距离不是．理由见解析；（3）在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理求得直角边的长即可； （2）首先求得的长，然后利用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可； （3）根据题意求出能够到达墙面的最大高度，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：（1）在中，， ， 答：这架云梯顶端距地面的距离有； （2）云梯的底部B在水平方向滑动到的距离不是， 由（1）可知， ． 在中，， ， ； （3）若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的， 则能够到达墙面的最大高度为． ， ， 在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 旗杆高度问题 1．（2025八年级下·贵州·专题练习）如图，学校需要测量升旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．经测量，绳子多出的部分长度为，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端，则旗杆的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为，则，在中，由勾股定理得出方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为，则， 由题意可知， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， 即旗杆的高度为， 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西铜川·期中）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图： ②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点处，作垂直于点，． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度； (2)在（）的条件下，已知小亮举起绳结离旗杆的距离米，求此时绳结到地面的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（）设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，利用勾股定理解答即可求解； （）由题意可知米， 米，，利用勾股定理求出，即得的长，进而即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的解题的关键． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得，， 解得， 答：旗杆的高度为米； （2）解：由题意可知，米， 米，， 在中，由勾股定理得米， ∴米， ∴米， 答：此时绳结到地面的高度为米． 3．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为3米，到旗杆的距离为10米（如图2）． 根据以上信息，求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．设米，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设米，根据题意得： 在中，， 即：， 解得： 答：旗杆的高度为米． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】(1)米 (2)小明需要后退约米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过作于点，则四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为． （2）解：过作于点，则， ∴四边形为长方形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， ， 答：小明需后退． 5．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）小明学习小组在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 模型抽象 测绘数据 ①绳子紧贴着旗杆垂直向下，再把多余的绳子拉直，测得多余的绳子长度为． ②拉直绳子，使绳子末端C刚好与地面上的点D重合，测量旗杆底部点B到绳子终点D的距离，即． 说明 点A，B，D在同一平面上． 请根据表格信息，解答下列问题．（，） (1)求旗杆的高度的长． (2)由于实际需要，现在要把旗杆增高，如果绳子还能拉到点D处，则绳子至少要加长多少米？（结果保留一位小数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）设，则，根据勾股定理建立方程求解即可； （2）由（1）得，延长至点，使，连接，可得，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设，则， 又， 在中，， ∴， 解得，          答：旗杆的长为． （2）解：由（1）得，延长至点，使，连接 则 在中，， 则绳子至少要加长：， 答：绳子至少要加长． 大树折断前高度问题 1．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键．树垂直于地面，形成，因此用勾股定理结合已知条件求出长度，再用长度加上长度即为大树的高度． 【详解】解：∵树折断部分与未断部分和地面构成了直角三角形，且，， ∴， ∴这棵树原来的高度为， 故选C． 2．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）《九章算术》中：“今有竹高九尺，末折抵地，去木三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，则的长为（    ） A．5尺 B．4尺 C．3尺 D．3.6尺 【答案】B 【分析】此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键． 设尺，则尺，利用勾股定理解答． 【详解】解：设尺，则尺， 在中，，， ∴， 解得：， ∴的长为4尺． 故选：B． 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面3米的处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵大树在折断前的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可得米，米，，由勾股定理求出米，即可得解． 【详解】解：由题意可得：米，米，， 由勾股定理可得：米， ∴这棵大树在折断前的高度为米， 故答案为：． 4．（2025·甘肃定西·一模）如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从距离地面2米处折断倒下，倒下部分与地面成 角，这棵树在折断前的高度为 【答案】6米/ 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的边长的性质，牢牢掌握该性质是解答本题的关键． 如图，由，由此得到，再由米，可得米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴这棵大树在折断前的高度为米． 故答案为：6米． 5．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是 ． 【答案】/18米 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，作出直角三角形，利用勾股定理求解即可得到答案，由题意构造出直角三角形求解是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，、， 在中，由勾股定理可得， 这棵大树在折断之前的高是， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈尺） 【答案】竹子折断处离地面有4.2尺． 【分析】本题考查勾股定理的应用，设竹子折断处离地面有尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面有尺， 由题意得：，，，， ∴， 则：， 解得：． 答：竹子折断处离地面有4.2尺． 引葭赴岸问题 1．（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）我国古代经典数学著作《九章算术》有一“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边的中点，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）若设水深为尺，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为尺，根据勾股定理可得方程即可． 此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【详解】解：设水池的深度为x尺，由题意得：， 故选：A． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，有一个池塘，其底面是边长为尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长度是（    ）    A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是设出芦苇的长度，再根据勾股定理列出方程． 【详解】解：设芦苇的长度为x尺，根据题意可知尺，尺， 根据勾股定理得，， 解得，， 故选：B． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面处．问水的深度是多少？则水深为 尺． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，设水深尺，则尺，尺，根据勾股定理得到关于的方程，解方程求出的值即为水深． 【详解】解：设水深尺，则尺，尺， 水池的边长为尺， 尺， 在中，， ， 解得： 水深为尺． 故答案为： ． 4．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是 尺，芦苇的长度是 尺． 【答案】 12 13 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意，可知尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解：依题意画出图形，    设芦苇长尺，则水深尺， 由题意尺， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴尺． ∴水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺． 故答案为：12；13． 5．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即，，，，求的长．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即． 6．（24-25八年级下·云南昆明·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度． 【答案】芦苇的长度为13尺 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 答：芦苇的长度为13尺． 汽车是否超速问题 1．（24-25八年级下·河南许昌·期中）某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】这辆小汽车超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列式求出，再根据速度路程时间求出小汽车的速度，然后化为千米/小时的单位即可得解． 【详解】解：由勾股定理得（米）， 小汽车的速度为：（米/秒）， 30米/秒108千米/时80千米/时， 所以，这辆小汽车超速了． 2．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【答案】(1)共用时4秒 (2)该车超速，理由见详解 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可 【详解】（1）解：依题意可得，， ∴，为直角三角形 ∵米，米， ∴米， ， ∴ 答∶共用时4秒； （2）解：超速，理由如下∶ ， ∵， ∴该车超速． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米． (1)求的长； (2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)超速了，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长即可； （2）求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：在中，， ， 答：的长为米； （2）解：小汽车的速度为：， ， 故小汽车超速了． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？ 【答案】此车超过每小时80千米的限制速度． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，首先，根据在直角三角形中，可得到米，，再根据在直角三角形中，可得到米，根据可求得AB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论． 【详解】解：由题意知：米，， 在中，∵，， ∴米， 在中，∵， ∴， ∴米； 在中，由勾股定理得米， ∴(米)， ∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒， ∴速度为， ∴此车超过的限制速度． 5．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【答案】(1) (2)超速，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可． 【详解】（1）解：依题意可得，， ，为直角三角形， 米，米， 米， ， ； 答：共用时4秒； （2）超速，理由如下： ， ， 超速． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)新路长度是120米 (2)该车没有超速，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，勾股定理表示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． （1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】（1）解：过点作，交于点D．即是新路． ， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ∴新路长度是120米． （2）解：该车没有超速．理由如下： 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， ∵该车经过区间用时16秒， ∴该车的速度为， ， ∴该车没有超速． 航海问题 1．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，两艘轮船、同时离开港口，各自沿一固定方向航行，轮船每小时航行20海里，轮船每小时航行15海里，它们离开港口两小时后相距50海里．已知轮船沿东北方向航行．（东北方向即北偏东方向） (1)请判断轮船沿哪个方向航行，并说明理由； (2)若两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航行2小时两船相距多少海里？ 【答案】(1)轮船沿西北方向航行，见解析 (2)100海里 【分析】本题主要考查方位角，勾股定理及其逆定理的运用，理解方位角的含义，掌握勾股定理及其逆定理的运用是关键． （1）根据题意，，运用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即，则，由此即可求解； （2）根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航行，，由勾股定理，，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：轮船沿西北方向航行，理由： 已知轮船每小时航行20海里，轮船每小时航行15海里， ∴，， ∵它们离开港口两小时后相距50海里，即， ∵，即， ∴为直角三角形，即， ∵由轮船沿东北方向航行，可知， ∴， ∴轮船沿西北方向航行． （2）解：根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航行，， 由（1）得为直角三角形，即， 根据勾股定理，， ， 答：两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航行2小时两船相距100海里． 2．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时． (1)求港口A到海岛B的距离； (2)B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)乙船 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是构造直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答． （1）作于点D，构造两个直角三角形并解直角三角形，用表示出和，利用和之间的关系列出方程求解； （2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可． 【详解】（1）解：过点B作于点D， 在中，，设，则， 在中，， 则，， 由得， 解得， ， 答：港口A到海岛B的距离为海里； （2）解：甲船看见灯塔所用时间：小时， 乙船看见灯塔所用时间：小时， 所以乙船先看见灯塔． 3．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里． (1)求小岛A与港口C的距离； (2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？ 【答案】(1)小岛A与港口C的距离为150海里 (2)货船还需航行4.5小时才能到达小岛A 【分析】此题考查了勾股定理的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）过点C作于点D，首先利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，． 在中，， ∴． 答：小岛A与港口C的距离为150海里； （2）解：过点C作于点D， 当货船航行到点D时，此时货船距离港口C最近． ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（小时）． 答：货船还需航行4.5小时才能到达小岛A． 4．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只． (1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？ (2)求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？ 【答案】(1)巡逻艇的速度为每小时48海里 (2)此时该船只所在处C与的距离为海里 【分析】本题考查了利用勾股定理解决航海问题． （1）先求得，在中，由勾股定理求解即可； （2）作于，利用等积法求解即可． 【详解】（1）解：，，， ，， ， ，， ∴在中，由勾股定理得， ， 答：巡逻艇的速度为每小时48海里； （2）解：作于， ， ， 答：此时该船只所在处C与的距离为海里． 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，“娜丽彬号”巡逻艇从A港口出发巡航，以每小时千米/时的速度沿北偏东方向前进，出发两小时后到达B处，此时接到通知，一艘捕鱼船在港口东南方向C处遇到故障搁浅，于是“娜丽彬号”巡航舰加速后保持匀速沿南偏东方向前往支援，结果两小时后到达目的地， (1)求的度数； (2)求“娜丽彬号”巡逻艇前往C处时的速度． 【答案】(1) (2)海里/小时 【分析】（1）根据方位角得出，，，根据平行线的性质得出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）过点A作于点M，证明为等腰直角三角形，求出（海里），根据直角三角形性质求出（海里），根据勾股定理得出（海里），求出海里，最后求出速度即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点M，如图所示： 则， 根据题意可得：（海里）， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴（海里）， ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴海里， ∴“娜丽彬号”巡逻艇前往C处时的速度为： 海里/小时． 6．（24-25八年级上·重庆丰都·阶段练习）上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】(1)海岛B到海岛C的距离为30海里 (2)上午11时，小船与灯塔C的距离最短 (3)救援队先到 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定： （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可； （2）过C作于H，先求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而即可解答； （3）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； （2）解：过C作于点H， 又， ∴， ∴（海里）， ∴从B处到H处需要小时， ∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午时； （3）解∶ 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为（小时）， 救援队所用时间为（小时）， ∵， ∴救援队先到． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$