江苏省苏州市昆山市、常熟市、太仓市、张家港市2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年江苏省苏州市昆山市、常熟市、太仓市、张家港市七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡相应的位置上． 1．（3分）纹样是我国古代艺术中的瑰宝，下列纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）某衣原体病毒的直径大约0.00025米，数据0.00025用科学记数法表示为（　　） A．2.5×104 B．0.25×10﹣3 C．2.5×10﹣4 D．25×10﹣5 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2•a4＝a8 B．a6÷a3＝a2 C．（a2b3）2＝a4b6 D．（﹣a2）3＝a6 4．（3分）已知是方程2x﹣ay＝5的一个解，那么a的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 5．（3分）下列乘法运算可以用平方差公式计算的是（　　） A．（x﹣2）（x+3） B．（a+3）（3+a） C．（﹣m+n）（m﹣n） D．（﹣2x﹣y）（﹣2x+y） 6．（3分）如图，由△ABC与△DEF组成的图形为中心对称图形，下列说法正确的有（　　） ①AC＝FD；②∠A＝∠D；③线段BC的中点为对称中心；④AB∥ED． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（3分）《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，为杨辉三角的一部分，下数表给出了（a+b）n（n＝1，2，3，…）的展开式的系数规律． 根据数表规律得（2x﹣1）5的展开式中第二项是（　　） A．80x4 B．﹣80x4 C．10x4 D．﹣5x4 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡相应的位置上． 9．（3分）计算：3xy•（﹣2x2y）＝　 　 ． 10．（3分）如图，△ABC沿CB方向平移4cm得到△DEF，如果△ABC的周长是16cm，那么四边形ACED的周长为　 　 cm． 11．（3分）如图所示，梯形的面积为　 　 ． 12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AC，AB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点D，若∠B＝28°，则∠ADC＝ 　 　 °． 13．（3分）把方程4x﹣3y﹣8＝0写成用含有x的代数式表示y的形式，得y＝　 　 ． 14．（3分）已知a＝﹣22，，则a，b，c的大小关系是　 　 ．（用“＜”连接） 15．（3分）已知9m÷27n＝81，则4m﹣6n的值为 　 　 ． 16．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为 　 　 ． 三、解答题：本大题共82分．解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上． 17．（8分）计算： （1）﹣3x2•x4+（﹣2x3）2； （2）x（x+2）﹣（x﹣3）（x+1）． 18．（8分）解方程组； （1）； （2）． 19．（6分）先化简，再求值：（x﹣y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）+3x（x+y），其中x＝﹣3，y＝2． 20．（6分）如图是由边长为1的小正方形组成的网格图形（每个小正方形的顶点都叫做格点），△ABC的三个顶点都在格点上，利用网格画图． （1）将△ABC向右平移8个单位长度，向下平移2个单位长度后得△A1B1C1； ①画出△A1B1C1； ②△A1B1C1的面积为　 　 ． （2）画出线段AC绕点C顺时针旋转90°后的线段A2C． 21．（6分）如图，已知△ABC中． （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，分别交边BC，AB于点D，E（不写作法、保留作图痕迹并标明字母）； （2）连接AD，若AB＝8，△ABC的周长是18，求△ACD的周长． 22．（6分）定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c与bx+ay＝c互为“对称二元一次方程”，其中a≠b如二元一次方程2x+y＝3与二元一次方程x+2y＝3互为“对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程4x﹣y＝5的“对称二元一次方程”　 　 ； （2）二元一次方程3x+2y＝2025与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 23．（7分）观察以下等式： 第1个等式：（3×1+4）2﹣（3×1+2）2＝3×4×（1+1）； 第2个等式：（3×2+4）2﹣（3×2+2）2＝3×4×（2+1）； 第3个等式：（3×3+4）2﹣（3×3+2）2＝3×4×（3+1）； 第4个等式：（3×4+4）2﹣（3×4+2）2＝3×4×（4+1）； …． 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式　 　 ． （2）试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． 24．（7分）请运用幂的运算性质解决下列问题： （1）若xa＝4，xb＝32，求x3a﹣2b的值； （2）计算：． 25．（9分）【提出问题】如图1，已知在直线l同侧有两点A、B，请在直线l上找一点C，使得AC+BC最小． 【分析问题】如图2，作B关于直线的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是所求的点． 因为直线l是点B，B′的对称轴，点C在l上，由此可得CB＝CB'． 所以AC+BC＝AC+　 　 ＝ 　 　 ． 以上问题的解决过程中运用的数学基本事实是 　 　 ． 【解决问题】如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，在边AB，BC上分别确定点P，点Q，使得△DPQ周长最小． （1）尺规作图：作出△DPQ（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若∠ADC＝130°，求∠PDQ的度数． 26．（9分）（1）用4个长和宽均为a，b的长方形拼成如图1的大正方形，可用两种方法来表示图中阴影部分的面积，方法一：（a﹣b）2，方法二：　 　 ，可得等式：　 　 ． （2）若x﹣y＝4，xy＝9，求（x+y）2的值． （3）将两个正方形卡片以图2方式摆放，使A，M，B在同一直线上．若AB＝10，且两个正方形面积之和为52，求阴影部分的面积． 27．（10分）如图1，将两个完全相同的透明直角三角板放置在一起，点C，F重合，点A在FE的延长线上，点D在CB的延长线上，AB与DE交于点G．∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝∠D＝30°． （1）∠AGE的度数是 　 　 °； （2）将图1中的△ABC绕点C以每秒10°的速度按逆时针方向旋转，旋转180°后停止运动，设旋转时间为t秒． ①当t＝3时，判断边AC与边DE的位置关系，并说明理由； ②在旋转的过程中，△ABC恰有一边与边DE平行，求t的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年江苏省苏州市昆山市、常熟市、太仓市、张家港市七年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C． C C D B A B 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡相应的位置上． 1．（3分）纹样是我国古代艺术中的瑰宝，下列纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】B 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．（3分）某衣原体病毒的直径大约0.00025米，数据0.00025用科学记数法表示为（　　） A．2.5×104 B．0.25×10﹣3 C．2.5×10﹣4 D．25×10﹣5 【考点】科学记数法—表示较小的数．版权所有 【专题】实数；符号意识． 【答案】C． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.00025＝2.5×10﹣4． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2•a4＝a8 B．a6÷a3＝a2 C．（a2b3）2＝a4b6 D．（﹣a2）3＝a6 【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】C 【分析】利用同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可． 【解答】解：a2•a4＝a6，则A不符合题意， a6÷a3＝a3，则B不符合题意， （a2b3）2＝a4b6，则C符合题意， （﹣a2）3＝﹣a6，则D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查同底数幂乘法及除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4．（3分）已知是方程2x﹣ay＝5的一个解，那么a的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【考点】二元一次方程的解．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值． 【解答】解：将代入原方程得：2×2﹣a×（﹣1）＝5， 解得：a＝1， ∴a的值1． 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 5．（3分）下列乘法运算可以用平方差公式计算的是（　　） A．（x﹣2）（x+3） B．（a+3）（3+a） C．（﹣m+n）（m﹣n） D．（﹣2x﹣y）（﹣2x+y） 【考点】平方差公式．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】D 【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，据此进行判断即可． 【解答】解：（x﹣2）（x+3）不可以用平方差公式计算，则A不符合题意， （a+3）（3+a）不可以用平方差公式计算，则B不符合题意， （﹣m+n）（m﹣n）不可以用平方差公式计算，则C不符合题意， （﹣2x﹣y）（﹣2x+y）可以用平方差公式计算，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握其表现形式是解题的关键． 6．（3分）如图，由△ABC与△DEF组成的图形为中心对称图形，下列说法正确的有（　　） ①AC＝FD；②∠A＝∠D；③线段BC的中点为对称中心；④AB∥ED． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点】中心对称图形；平行线的判定．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】B 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此可得结论． 【解答】解：由△ABC与△DEF组成的图形为中心对称图形，可得： AC＝FD，∠A＝∠D，线段FC的中点为对称中心，AB∥ED， 所以正确的有3个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． 7．（3分）《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】根据“若每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵若每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车， ∴x+6＝3y； ∵若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘， ∴2y+9＝x． ∴所列方程组为． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8．（3分）如图，为杨辉三角的一部分，下数表给出了（a+b）n（n＝1，2，3，…）的展开式的系数规律． 根据数表规律得（2x﹣1）5的展开式中第二项是（　　） A．80x4 B．﹣80x4 C．10x4 D．﹣5x4 【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【专题】猜想归纳；推理能力． 【答案】B 【分析】根据题意得出（a+b）5展开式，据此进行计算即可． 【解答】解：由题知， （a+b）5展开式中各项的系数依次为1，5，10，10，5，1， 所以（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， 所以（2x﹣1）5的展开式中第二项是5×（2x）4×（﹣1）＝﹣80x4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了数字变化的规律，理解题中所给（a+b）n展开式中各项系数与杨辉三角中的每行数之间的对应关系是解题的关键． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡相应的位置上． 9．（3分）计算：3xy•（﹣2x2y）＝　﹣6x3y2　 ． 【考点】单项式乘单项式．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】﹣6x3y2． 【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，据此进行计算即可． 【解答】解：原式＝﹣6x3y2， 故答案为：﹣6x3y2． 【点评】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 10．（3分）如图，△ABC沿CB方向平移4cm得到△DEF，如果△ABC的周长是16cm，那么四边形ACED的周长为　24　 cm． 【考点】平移的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】24． 【分析】先根据图形平移的性质得出AD＝BE＝4cm，△ABC≌△DEF，据此可得出结论． 【解答】解：∵△ABC沿CB方向平移4cm得到△DEF， ∴AD＝BE＝4cm，△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE， ∵△ABC的周长是16cm， ∴四边形ACED的周长＝AC+BC+BD+BE+AD＝AC+BC+AB+BE+AD＝16+4+4＝24（cm）． 故答案为：24． 【点评】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 11．（3分）如图所示，梯形的面积为　16x2﹣4x　 ． 【考点】梯形；列代数式．版权所有 【专题】梯形；运算能力． 【答案】16x2﹣4x． 【分析】根据梯形面积公式、单项式乘多项式的运算法则计算． 【解答】解：梯形的面积为：（3x+5x﹣2）×4x＝16x2﹣4x， 故答案为：16x2﹣4x． 【点评】本题考查的是梯形，熟记梯形面积公式是解题的关键． 12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AC，AB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点D，若∠B＝28°，则∠ADC＝ 　59　 °． 【考点】三角形内角和定理；作图—基本作图．版权所有 【专题】三角形；运算能力． 【答案】59． 【分析】先利用三角形内角和定理计算出∠BAC＝62°，再根据基本作图和角平分线的定义得到∠CAD＝31°，然后利用互余计算出∠ADC的度数． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝28°， ∴∠BAC＝180°﹣90°﹣28°＝62°， 由作法得AD平分∠BAC， ∴∠CAD∠BAC＝31°， ∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝59°． 故答案为：59． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了基本作图和三角形的角平分线． 13．（3分）把方程4x﹣3y﹣8＝0写成用含有x的代数式表示y的形式，得y＝　　 ． 【考点】等式的性质．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】． 【分析】根据等式的性质，把方程4x﹣3y﹣8＝0变形，得出用含有x的代数式表示y即可． 【解答】解：∵4x﹣3y﹣8＝0， ∴4x﹣3y﹣8﹣4x＝﹣4x， ∴﹣3y﹣8＝﹣4x， ∴﹣3y﹣8+8＝﹣4x+8， ∴﹣3y＝﹣4x+8， 方程两边同时除以﹣3，得． 故答案为：． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 14．（3分）已知a＝﹣22，，则a，b，c的大小关系是　a＜c＜b　 ．（用“＜”连接） 【考点】有理数大小比较；有理数的乘方；零指数幂；负整数指数幂．版权所有 【专题】计算题；运算能力． 【答案】a＜c＜b． 【分析】利用有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂计算后比较大小． 【解答】解：∵a＝﹣22＝﹣4，b＝（）﹣2＝4，c＝（）0＝1，﹣4＜1＜4， ∴a＜c＜b． 故答案为：a＜c＜b． 【点评】本题考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，有理数的大小比较． 15．（3分）已知9m÷27n＝81，则4m﹣6n的值为 　8　 ． 【考点】同底数幂的除法；代数式求值；幂的乘方与积的乘方．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】8． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法进行解题即可． 【解答】解：∵9m÷27n＝81， ∴（32）m÷（33）n＝34， ∴32m÷33n＝34， ∴2m﹣3n＝4， ∴4m﹣6n＝2（2m﹣3n）＝2×4＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查同底数幂的除法、代数式求值、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16．（3分）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为 　　 ． 【考点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】． 【分析】先利用等式的基本性质把方程组变形为：，然后根据已知条件，列出关于x，y的方程组，解方程组即可． 【解答】解：方程组变形为：， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴方程组的解为， 由①得：x＝﹣10， 由②得：y＝5， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义和解二元一次方程组的一般步骤． 三、解答题：本大题共82分．解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置上． 17．（8分）计算： （1）﹣3x2•x4+（﹣2x3）2； （2）x（x+2）﹣（x﹣3）（x+1）． 【考点】整式的混合运算；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】（1）x6； （2）4x+3． 【分析】（1）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答； （2）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）﹣3x2•x4+（﹣2x3）2 ＝﹣3x6+4x6 ＝x6； （2）x（x+2）﹣（x﹣3）（x+1） ＝x2+2x﹣（x2+x﹣3x﹣3） ＝x2+2x﹣x2﹣x+3x+3 ＝4x+3． 【点评】本题考查了整式的混合运算，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．（8分）解方程组； （1）； （2）． 【考点】解二元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）先变形，再根据加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：（1）， 把①代入②，得3（5+y）+4y＝1， 解得y＝﹣2， 把y＝﹣2代入①，得x＝3， 所以方程组的解是； （2）， 方程组可化为， ①+②，得6x＝18， 解得x＝3， 把x＝3代入②，得y， 所以原方程组的解是． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． 19．（6分）先化简，再求值：（x﹣y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）+3x（x+y），其中x＝﹣3，y＝2． 【考点】整式的混合运算—化简求值．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子，进行计算即可解答． 【解答】解：（x﹣y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）+3x（x+y） ＝x2﹣2xy+y2﹣（4x2﹣y2）+3x2+3xy ＝x2﹣2xy+y2﹣4x2+y2+3x2+3xy ＝xy+2y2， 当x＝﹣3，y＝2时，原式＝﹣3×2+2×22 ＝﹣6+2×4 ＝﹣6+8 ＝2． 【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．（6分）如图是由边长为1的小正方形组成的网格图形（每个小正方形的顶点都叫做格点），△ABC的三个顶点都在格点上，利用网格画图． （1）将△ABC向右平移8个单位长度，向下平移2个单位长度后得△A1B1C1； ①画出△A1B1C1； ②△A1B1C1的面积为　　 ． （2）画出线段AC绕点C顺时针旋转90°后的线段A2C． 【考点】作图﹣旋转变换；三角形的面积；作图﹣平移变换．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力． 【答案】（1）①见解答． ②． （3）见解答． 【分析】（1）①根据平移的性质作图即可． ②利用割补法求三角形的面积即可． （3）根据旋转的性质作图即可． 【解答】解：（1）①如图，△A1B1C1即为所求． ②△A1B1C1的面积为． 故答案为：． （2）如图，线段A2C即为所求． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、三角形的面积、作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． 21．（6分）如图，已知△ABC中． （1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，分别交边BC，AB于点D，E（不写作法、保留作图痕迹并标明字母）； （2）连接AD，若AB＝8，△ABC的周长是18，求△ACD的周长． 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】尺规作图；几何直观． 【答案】（1）见解答． （2）10． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）由题意得AC+BC＝10，由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，则可得△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝10． 【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求． （2）连接AD， ∵△ABC的周长是18， ∴AB+AC+BC＝8+AC+BC＝18， ∴AC+BC＝10． ∵直线DE为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝10． 【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 22．（6分）定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c与bx+ay＝c互为“对称二元一次方程”，其中a≠b如二元一次方程2x+y＝3与二元一次方程x+2y＝3互为“对称二元一次方程”． （1）直接写出二元一次方程4x﹣y＝5的“对称二元一次方程”　﹣x+4y＝5　 ； （2）二元一次方程3x+2y＝2025与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【考点】二元一次方程的解；解二元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）﹣x+4y＝5； （2）m的值为405，n的值为405． 【分析】（1）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程4x﹣y＝5的“对称二元一次方程”是﹣x+4y＝5； （2）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程3x+2y＝2025的“对称二元一次方程”是2x+3y＝2025，结合二元一次方程3x+2y＝2025与它的“对称二元一次方程”的公共解为，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值． 【解答】解：（1）根据题意得：二元一次方程4x﹣y＝5的“对称二元一次方程”是﹣x+4y＝5． 故答案为：﹣x+4y＝5； （2）二元一次方程3x+2y＝2025的“对称二元一次方程”是2x+3y＝2025， ∵二元一次方程3x+2y＝2025与它的“对称二元一次方程”的公共解为， ∴， 解得：． 答：m的值为405，n的值为405． 【点评】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据“对称二元一次方程”的定义，找出给定二元一次方程的“对称二元一次方程”是解题的关键． 23．（7分）观察以下等式： 第1个等式：（3×1+4）2﹣（3×1+2）2＝3×4×（1+1）； 第2个等式：（3×2+4）2﹣（3×2+2）2＝3×4×（2+1）； 第3个等式：（3×3+4）2﹣（3×3+2）2＝3×4×（3+1）； 第4个等式：（3×4+4）2﹣（3×4+2）2＝3×4×（4+1）； …． 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式　（3×5+4）2﹣（3×5+2）2＝3×4×（5+1）　 ． （2）试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． 【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．版权所有 【专题】规律型；运算能力． 【答案】（1）（3×5+4）2﹣（3×5+2）2＝3×4×（5+1）；（2）（3×n+4）2﹣（3×n+2）2＝3×4×（n+1），证明见解析． 【分析】（1）根据数字的变化规律，直接写出第5个等式； （2）根据数字的变化规律，直接写出第n个等式，再证明即可； 【解答】解：（1）根据数字的变化规律可知， 第5个等式为：（3×5+4）2﹣（3×5+2）2＝3×4×（5+1）， 故答案为：（3×5+4）2﹣（3×5+2）2＝3×4×（5+1）； （2）第n个等式为：（3×n+4）2﹣（3×n+2）2＝3×4×（n+1），证明如下： 左边＝（3×n+4）2﹣（3×n+2）2＝[（3×n+4）+（3×n+2）][（3×n+4）﹣（3×n+2）]＝2（2×3×n+6）＝3×4×（n+1）， ∴左边＝右边， ∴（3×n+4）2﹣（3×n+2）2＝3×4×（n+1）． 【点评】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出规律是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 24．（7分）请运用幂的运算性质解决下列问题： （1）若xa＝4，xb＝32，求x3a﹣2b的值； （2）计算：． 【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．版权所有 【专题】实数；整式；运算能力． 【答案】（1）； （2）8． 【分析】（1）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，把所求幂写成含有xa，xb的形式，再代入进行计算即可； （2）先把8101写成8100×8，然后利用乘法的运算律和积的乘方法则进行简便计算即可． 【解答】解：（1）∵xa＝4，xb＝32， ∴x3a﹣2b的 ＝x3a÷x2b ＝（xa）3÷（xb）2 ＝43÷322 ＝（22）3÷（25）2 ＝26÷210 ＝2﹣4 ； （2）原式 ＝（﹣1）200×8 ＝1×8 ＝8． 【点评】本题主要考查了整式和实数的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的的除法法则、幂的乘方法则和积的乘方法则． 25．（9分）【提出问题】如图1，已知在直线l同侧有两点A、B，请在直线l上找一点C，使得AC+BC最小． 【分析问题】如图2，作B关于直线的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是所求的点． 因为直线l是点B，B′的对称轴，点C在l上，由此可得CB＝CB'． 所以AC+BC＝AC+　CB′　 ＝ 　AB′　 ． 以上问题的解决过程中运用的数学基本事实是 　两点之间线段最短　 ． 【解决问题】如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，在边AB，BC上分别确定点P，点Q，使得△DPQ周长最小． （1）尺规作图：作出△DPQ（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若∠ADC＝130°，求∠PDQ的度数． 【考点】作图—复杂作图；轴对称﹣最短路线问题；角的计算．版权所有 【专题】作图题；几何直观． 【答案】[分析问题]CB′，AB′．两点之间线段最短； [解决问题]①见解析；②80°． 【分析】[分析问题]利用轴对称的性质，两点之间线段最短解决问题； [解决问题]①作点D关于AB的对称点D′，关于BC的对称点C′，连接C′D′分别交AB于点P，交BC于点Q，连接DP，DQ即可； ②求出∠DPQ+∠DQP＝100°可得结论． 【解答】解：[分析问题]：如图2中，作B关于直线的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是所求的点． 因为直线l是点B，B′的对称轴，点C在l上，由此可得CB＝CB'． 所以AC+BC＝AC+CB′＝AB′． 上问题的解决过程中运用的数学基本事实是：两点之间线段最短； 故答案为：CB′，AB′．两点之间线段最短； [解决问题]：①如图3中，△PDQ即为所求； ②∵∠ADC＝130°， ∴∠C′+∠D′＝50°， ∵PD＝PD′，QD＝QC′， ∴∠D′＝∠PDD′，∠C′＝∠QDC′， ∴∠DPQ＝2∠D′，∠DQP＝2∠C′， ∴∠DPQ+∠DQP＝2（∠D′+∠C′）＝100°， ∴∠PDQ＝180°﹣100°＝80°． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，轴对称最短问题，角的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26．（9分）（1）用4个长和宽均为a，b的长方形拼成如图1的大正方形，可用两种方法来表示图中阴影部分的面积，方法一：（a﹣b）2，方法二：　（a+b）2﹣4ab　 ，可得等式：　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab　 ． （2）若x﹣y＝4，xy＝9，求（x+y）2的值． （3）将两个正方形卡片以图2方式摆放，使A，M，B在同一直线上．若AB＝10，且两个正方形面积之和为52，求阴影部分的面积． 【考点】完全平方公式的几何背景．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】（1）（a+b）2﹣4ab，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （2）52； （3）24． 【分析】（1）根据阴影部分的面积可以看作大正方形与4个长方形的面积差进行解答即可； （2）利用（1）的结论代入计算即可； （3）设AM＝a，MB＝b，由题意可得a+b＝10，a2+b2＝52，根据S阴影部分＝ab代入计算即可． 【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作大正方形与4个长方形的面积差，即（a+b）2﹣4ab， 所以有（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， 故答案为：（a+b）2﹣4ab，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （2）∵x﹣y＝4，xy＝9， ∴（x+y）2 ＝（x﹣y）2+4xy ＝16+36 ＝52； （3）设AM＝a，MB＝b，则a+b＝AM+MB＝AB＝10，a2+b2＝S1+S2＝52， ∴S阴影部分abab ＝ab ＝24． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 27．（10分）如图1，将两个完全相同的透明直角三角板放置在一起，点C，F重合，点A在FE的延长线上，点D在CB的延长线上，AB与DE交于点G．∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝∠D＝30°． （1）∠AGE的度数是 　30　 °； （2）将图1中的△ABC绕点C以每秒10°的速度按逆时针方向旋转，旋转180°后停止运动，设旋转时间为t秒． ①当t＝3时，判断边AC与边DE的位置关系，并说明理由； ②在旋转的过程中，△ABC恰有一边与边DE平行，求t的值． 【考点】三角形综合题．版权所有 【专题】几何综合题；推理能力． 【答案】（1）30； （2）①AC⊥DE，理由见解答； ②t的值是3或40或50． 【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余和三角形外角的性质即可解答； （2）①如图2，根据三角形的内角和定理可得∠CHE＝90°，即可得结论； ②分三种情况：i）如图2，BC∥DE，ii）如图3，AC∥DE，iii）如图4，AB∥DE，延长BC交DE于点G，根据平行线的性质即可解答． 【解答】解：（1）如图1，∵∠D＝30°，∠DFE＝90°， ∴∠DEF＝90°﹣30°＝60°， ∵∠A＝30°， ∴∠AGE＝∠DEF﹣∠A＝60°﹣30°＝30°， 故答案为：30； （2）①当t＝3时，边AC与边DE的位置关系是：AC⊥DE，理由如下： 如图2，当t＝3时，∠ACE＝30°， ∵∠E＝60°， ∴∠CHE＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴AC⊥DE； ②分三种情况： i）如图2，由①可得∠CHE＝90°＝∠ACB， ∴BC∥DE， 此时t＝3； ii）如图3，AC∥DE， ∴∠ACD＝∠D＝30°， ∴3t＝30+90， ∴t＝40； iii）如图4，AB∥DE，延长BC交DE于点G， ∴∠B＝∠BGE＝60°， ∵∠D＝30°， ∴∠DCG＝60°﹣30°＝30°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴3t＝60+90， ∴t＝50， 综上，t的值是3或40或50． 【点评】此题是三角形的综合题，考查了平行线的性质，旋转的性质，三角形内角和，三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$