8.1 幂的运算 讲义 2024-2025学年沪科版七年级数学下册

8.1 幂的运算 第 1 课时 同底数幂的乘法 基础过关全练 知识点 1 同底数幂的乘法 1化简所得的结果是( ) A. a⁷ C. a¹⁰ 2.计算 则x等于 ( ) A.10 B.4 C.8 D.9 3.(2024 江苏苏州中考)计算: 4.(2024 安徽阜阳太和期末)若 则3""+n的值是 . 5.计算: 6.计算机存储容量的基本单位是字节，用B 表示.计算中一般用KB(千字节)、MB(兆字节)或GB(吉字节)作为存储容量的计数单位，它们之间的关系为 1 KB= 一种新款电脑的硬盘存储容量为640 GB，它相当于多少千字节? (结果用科学记数法表示 能力提升全练 实战演练 能力检验答案 P127 7.(2024北京期末,13,☆)已知 则 8.(2024 安徽宿州泗县月考,11,)若 则x的值等于 .( 9.(2024安徽合肥五十中期中,16, ) 已知2°=2, 则 a+b+c+d的值为 . 10.规定 . (1)填空:3*1= . (2)如果2﹡(x-5)=81,求x的值. 11.如果 b,那么我们规定(a,b)=c,如:因为 所以(2,8)=3. (1)根据上述规定填空:(3,27)= ,(-2,4)= . (2)记(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c.求证:c-b=a. 第2 课时幂的乘方与积的乘方 基础过关全练 知识点 2 幂的乘方 1.(2024 江苏南京期末改编)下列运算正确的是 ( ) 2.新独家原创若( 则 m的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 3.计算( 的结果为 ( ) A. a⁷ C. a¹⁰ 4.教材变式计算： 5.(2024广西贵港覃塘期末)若2 则x的值为 . 6.(2024 四川雅安期末)若 m+3n+1=3,则 3m·27"= . 7.计算: （. 知识点3 积的乘方 8.(2024安徽合肥瑶海二模)计算( 的结果是 ( ) 9.新独家原创若( 则m的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 10.(2024 安徽 宿 州 埔桥 期 中 )计算 的结果为 ( ) A.-1 B.4 C.1 D.-4 11.(2024安徽合肥四十五中期中)若3*=6,9'=2,则 的值为 ( ) A.6 B.8 C.12 D.24 12.下列各选项的几何示意图中，能直观解释‘ 的是 ( ) 13.计算: 14.计算:(M7208001) (1)(-5ab)³. 15.用简便方法计算: 16.已知 c，请用含 a，b，c的式子表示下列代数式: (1)2m+n. (3)36". 能力提升全练 17.(2024 广东中考,5,☆)下列计算正确的是 ( ) C.-2a+5a=7a 18.(2024安徽宿州泗县月考,6, )若2°=6,2ˣ=3,则2²ˣ⁺ʸ∣的值为 ( ) A.18 B.108 C.9 D.39 19.(2024 安徽淮北期末,6, 7 的值为 ( ) A.-2 C.2 D. 20.(2024安徽蚌埠期末,5, )若2a+3b-1=0,则 的值为 ( ) A. B.1 C.2 D.4 21.已知2x-5y+4=0,则 的值是 . 22.阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法. ①比较2° 和2ᵇ的大小: 当a>b时，2°>2ᵇ，即当底数相同时，指数越大值越大； ②比较3⁵⁰和2⁷⁵的大小: 因为 所以 即指数相同时，底数越大值越大.根据上述材料，解决下列问题. (1)比较3²⁰和9¹⁵的大小. (2)已知 试比较a,b,c的大小. 23. 在数学活动课上，同学们一起利用球的体积公式 为球的半径)计算出地球的体积约是 1.08×10¹²立方千米，接着老师问道：“太阳的半径约是地球的10² 倍，那么太阳的体积约是多少立方千米呢?”你能求出结果吗? 第3课时 同底数幂的除法 基础过关全练 知识点 4 同底数幂的除法 1.(2024 安徽蚌埠二模)计算( 的结果是 ( ) A. m⁴ C. m³ 2.计算 得 t△,则“△”的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2024 浙江中考)下列式子运算正确的是( ) 4.(2024安徽合肥瑶海一模)下列各式中，计算结果等于a⁵的是 ( ) 5.(2024安徽合肥模拟)下列算式中，计算结果不是a⁸ 的是 ( ) 6.(2024天津中考)计算 的结果为 . 7.根据里氏震级的定义，地震所释放的相对能量 E 与地震级数 n 的关系为 E=10〞，那么9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的 倍 8.对于整数a，b，我们定义： 例如：5▲3= 则(2▲1)-(6△3)的值为 9.计算: 10.已知xᵃ=2,xᵇ=6 (1)求x²⁻ᵇ的值. (2)求 的值. 能力提升全练 11.(2024 安徽合肥蜀山期中,6, )已知2*=3,4ˣ=5,则 ( ) D.15A. B. C. 12.(2024安徽合肥瑶海期中,18,☆☆)已知 xᵇ=6,x°=12 (1)求证:a+c=2b. (2)求 的值. 第4课时零次幂与负整数指数幂 基础过关全练 知识点 5零指数幂、负整数指数幂的运算性质 1.(2024吉林长春德惠期末)计算2 024⁻¹的结果是 ( ) A.2 024 B.1 C.0 2.(2024 四川雅安中考)计算(1-3)⁰的结果是 ( ) A.-2 B.0 C.1 D.4 3.(2024安徽宿州泗县月考)计算 的结果是 ( ) A.9 B.-9 D. 4.新独家原创若代数式(m-2)⁰有意义，则m的值不能为 ( ) A.2 B.-2 C.-1 D.0 5.计算: (1)(2024 安徽黄山期末) ; (2)(2024 安徽阜阳颍州期末) 1 6.计算: (3)(-mn)³÷(mn)⁵. (4)(-4abc)⁴÷(-4abc)⁴. 7.计算: (1)(2024安徽合肥蜀山一模) |-3|. (2) 能力提升全练 8.若a=-0.2²,b= 则它们的大小关系是 ( ) A. c<b<a B. a<b<c C. a<c<b D. b<a<c 9.已知 求整数x的值 第5课时 科学记数法表示绝对值小于 1 的数 基础过关全练 知识点 6 科学记数法 1.可乐和奶茶中含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天摄入的咖啡因不能超过 0.000 085 kg,将数据0.000 085用科学记数法表示为 ( ) 2.有一种球状细菌的直径用科学记数法表示为 米，则这个细菌的直径是 ( ) A.2 160 000米 B.0.000 216米 C.0.000 021 6米 D.0.000 002 16米 3.“墙角数枝梅，凌寒独自开.遥知不是雪，为有暗香来.”出自宋代诗人王安石的《梅花》.梅花的花粉直径约为0.000 036 m,用科学记数法表示为3.6×10" m,则 n的值为 ( ) A.-4 B.-5 C.4 D.5 4.跨物理·金属的导电性下列金属材料在20℃时的电阻率如表所示： 材料 银 铜 铝 钨 电阻率/(Ω·m) 1.6×10⁻⁸ 1.7×10⁻⁸ 2.9×10⁻⁸ 5.3×10⁻⁸ 已知电阻率越高，导电能力越差，则在20℃时，导电能力最强的是 ( ) A.铝 B.铜 C.钨 D.银 5.古语有云：“滴水穿石”.若水珠不断滴在一块石头上，经过若干年后，石头上会形成一个深为 0.000 000 052 cm 的小洞,数据0.000 000 052 用科学记数法表示为 6.用科学记数法表示下列各数 (1)0.008 1. (2)-0.005 06. (3)0.000 063. (4)-0.000 000 002. 能力提升全练 7.某公司设计的麒麟9006C 芯片采用5 nm制程工艺和架构设计，性能更高，功耗更低.已知 1 nm =0.000 000 001 m,5 nm 用科学记数法表示为5×10〞m,则n的值为 ( ) A.-8 B.-9 C.-10 D.-11 素养探究全练 8. 应用意识跨物理·黑洞“黑洞”是恒星演化的最后阶段.根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其核心开始坍缩，当它的半径达到施瓦氏半径时，其引力就会变得相当强大，以至于光也不能从中逃脱出来，从而成为一个看不见的星体——黑洞.施瓦氏半径(单位：m)的计算公式是 R= 其中 为万有引力常数;M 表示星球的质量(单位:kg);c=3×10⁸m/s，为光在真空中的传播速度.已知太阳的质量约为 计算太阳的施瓦氏半径. 8.1 幂的运算 第1 课时 同底数幂的乘法 基础过关全练 1B 原式 故选 B. 2A 根据题意，得 则2+x=12,解得x=10.故选 A. ③答案 x⁵ 解析 原式 ④答案 30 解析 因为 所以 6=30. ⑤解析 (1)原式: (2)原式 (3)原式: (4)原式 6解析 故它相当于 千字节. 能力提升全练 7.答案 18 解析 因为 所以 3=18. 8 答案 3 解析 则2+2x=8,解得x=3. 9答案 4 解析 因为 所以a+b+c+d=4. ⑩解析 (1)由题意得 (2)由题意得 所以2+x-5=4, 解得x=7. ⑪解析 本题利用新定义的形式来考查同底数幂的乘法. (1)因为 所以(3,27)=3, 因为 ,所以(-2,4)=2. 故答案为3；2. (2)证明:因为(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c, 所以 所以 即 所以c=a+b,即c-b=a. 第2课时 幂的乘方与积的乘方 基础过关全练 ① 选项A: 故该选项不正确；选项 B：a² 与a³不是同类项，不能合并，故该选项不正确；选项 故该选项不正确；选项D: 故该选项正确.故选 D. ②B 由等式可知m为奇数且2m=6,解得m=3.故选B. ③B 原式 故选 B. ④答案 (1)-a⁵ (2)-a¹² 解析 (1)原式: (2)原式: ⑤答案 2 解析 因为 所以 则 即 所以3x+1=7,解得x=2. ⑥答案 9 解析 因为m+3n+1=3,所以m+3n=2,所以3ⁿ⋅ 。 ⑦解析 8D 原式 故选 D. 9 C 因为 所以2m=8,解得m=4.故选 C. 10 B 原式: (-4)=(-1)×(-4)=4.故选 B. 11 C 因为9ˣ=2,所以 又因为3*=6,所以 .故选C. 12 D 选项 A 能解释( 选项 B能解释3×3a=9a;选项C能解释((3×3)×(3a)=27a;选项D能解释( 故选 D. ⑬答案64x⁶ 解析 ( ⑭解析 (1)原式: (2)原式: (3)原式 (4)原式 ⑮解析 (1)原式 (2)原式 ⑯解析 (1)因为2ⁿ²=a,2"=b, 所以 (2)因为 所以 (3)因为2ⁿ=a,3m=c,所以 能力提升全练 故本选项错误； 故本选项错误； C.-2a+5a=(-2+5)a=3a,故本选项错误; 故本选项正确. 故选 D. 故选 B. ⑲A 原式 .故选 A. 20C 因为2a+3b-1=0,所以2a+3b=1,所以 故选 C. ㉑答案 8 解析 因为2x-5y+4=0,所以2x-5y=-4,所以 ㉒解析 (1)因为 所以 所以 (2)因为 所以 所以a>b>c. ㉓解析 设地球的半径为r千米，则太阳的半径约为10²r千米, 因为地球的体积 立方千米，所以太阳的体积 (立方千米). 答：太阳的体积约是1.08×10¹⁸立方千米. 第3课时 同底数幂的除法 基础过关全练 1 D 原式 故选 D. 2D 根据题意，得 ,则△=5-2=3.故选 D. ③Dx³和x²不是同类项，不能合并，故选项 A错误； 故选项 B 错误； 故选项 C错误； 故选项 D正确.故选 D. ④ C a² 与a³不是同类项，不能合并，故计算结果不为 故选项 C符合题意. 5A a²与a⁶不是同类项，不能合并，故选项 A 符合题意； 故选项B不符合题意；( 故选项C不符合题意； 故选项 D不符合题意.故选 A. 6答案 x² 解析 7答案 100 解析 因为地震所释放的相对能量 E 与地震级数n的关系为E=10"，所以9级地震所释放的相对能量为10⁹，7级地震所释放的相对能量为 ，即9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的100 倍. ⑧答案 0 解析 由题意得( 9解析 ( ⑩解析 (1)因为 所以 (2)因为 所以 能力提升全练 11 C 因为2*=3,4²=5,所以 故选 C. ⑫解析 (1)证明：因为 所以 所以(a+c=2b. =18. 第4课时 零次幂与负整数指数幂 基础过关全练 全练版 P36 1 D 根据 得 故选 D. 2 C 原式: 故选 C. ③A 原式 故选 A. ④A 因为代数式(m-2)⁰有意义,所以m-2≠0,解得m≠2.故选 A. ⑤答案 (1)-26 (2)-6 解析 (1)原式=1-27=-26. (2)原式=-5-1=-6. ⑥解析 (1)原式 (2)原式 (3)原式 (4)原式 ⑦解析 (1)原式=1+4×2-3 =1+8-3 =6. (2)原式=-9-4+1-2 =-14. 能力提升全练 8C 因为 1,所以b>c>a,即a<c<b.故选 C. ⑨解析 分三种情况： 当x+2=0,x-1≠0时,x=-2,则 =1; 当.x-1=1,x+2为任意数时,x=2,则( =1; 当x-1=-1,x+2为偶数时,x=0,则( 综上所述，整数x的值为-2或2或0. 易错警示 本题应分指数为0或底数为±1 的情况进行讨论，防止漏解. 第5课时 科学记数法表示绝对值小于 1 的数 基础过关全练 ① B 0.000 085=8.5×0.000 01=8.5×10⁻⁵.故选 B. 2B 2.16×10⁻⁴米=2.16×0.000 1米=0.000 216米,即这个细菌的直径是0.000 216米.故选 B. ③B 0.000036m=3.6×10⁻⁵m,则n=-5.故选B. 则在20 ℃时，导电能力最强的是银. ⑤答案 解析 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10⁻ⁿ,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数(包括小数点前面的一个 0)所决定.0.000 000 052= ⑥解析(1)0.0081=8.1×10⁻³. (2)-0.00506=-5.06×10⁻³. (3)0.000 063=6.3×10⁻⁵. (4)-0.000 000 002=-2×10⁻⁹. 能力提升全练 7B 因为 1 nm = 0.000 000 001 m,所以 5 nm=0.000 000 005 m=5×10⁻⁹m,所以n=-9. 素养探究全练 ⑧ 解 析 答：太阳的施瓦氏半径约为 学科网（北京）股份有限公司 $$