专题10.8 二元一次方程组（全章常考知识点分类专题）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题10.8 二元一次方程组（全章常考知识点分类专题） 【考点目录】 【知识点一】概念定义的理解 【考点1】二元一次方程及其解.....................................................................................................................1 【考点2】二元了一次方程组及其解..............................................................................................................3 【知识点二】解二元一次方程组 【考点3】解二元一次方程组........................................................................................................................4 【考点4】整体思想解二元一次方程组.........................................................................................................6 【考点5】解大数据二元一次方程组.............................................................................................................8 【考点6】构造二元一次方程组求解...........................................................................................................11 【考点7】二元一次方程错解复原问题.......................................................................................................13 【考点8】已知二元一次方程的解求参数...................................................................................................14 【考点9】二元一次方程组的同解原理.......................................................................................................16 【考点10】二元一次方程组的有解、无解、无数组解................................................................................18 【知识点三】解三元一次方程组 【考点11】解三元一次方程组....................................................................................................................20 【考点12】解三元一次方程组求比值.........................................................................................................22 【知识点四】二元一次方程组的应用 【考点13】方案问题...................................................................................................................................23 【考点14】销售与利润问题........................................................................................................................25 【考点15】古代问题...................................................................................................................................27 【考点16】行程与工程问题........................................................................................................................29 【题型展示与解析】 【知识点一】概念定义的理解 【考点1】二元一次方程及其解 1．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）若关于的方程是二元一次方程，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键：、定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程．如：方程，，等都是二元一次方程；、注意：①在方程中“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数；②“含未知数的项的次数是”是指含有未知数的项（单项式）的次数是，如的次数是，所以方程不是二元一次方程；③二元一次方程的左边和右边都必须是整式，例如方程的左边不是整式，所以它不是二元一次方程． 根据二元一次方程的定义可得且，解方程或不等式即可求出m的值． 解：由题意得： 且， 且， 解得：， 故选：． 2．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）若是关于字母，的二元一次方程的一个解，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，以及代数式求值，把作为一个整体是解题的关键，而也需要运用公式变形，以便计算． 把，代入原方程可得的值，把代数式变形为，然后计算． 解：把，代入，得， ， ， ， ， 故答案为：． 3.（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）方程在正整数范围内的解（    ） A．有无数对 B．只有一对 C．只有三对 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．根据题意得到方程的正整数解，即可得到答案． 解：方程在正整数范围内的解有或或， 故选C． 【考点2】二元一次方程组组及其解 1．（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：． 2．（23-24七年级下·河南周口·期末）解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键． 解：、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 故选：． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程组中求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， 解得， ∴， 故答案为；． 【知识点二】解二元一次方程组 【考点3】解二元一次方程组 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）解关于，的二元一次方程组，将代入，消去后所得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解答本题的关键是熟练掌握消元的思想． 根据消元的思想解答即可． 解：将代入，消去后所得到的方程是， 去括号，得， 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，则用x表示y的关系式为 ． 【答案】/ 【分析】考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元的思想是解题的关键，根据消元的方法进行计算即可． 解：， 由①得：， 将③代入②，得：，即． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解二元一次方程组： （1）用代入法解方程组 （2）用适当方法解方程组 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可． 解：（1）解：， 由①得，③， 将③代入②得，， 解得， 将代入③得，， 所以原方程组的解为； （2）解：原方程组可变为， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， 所以原方程组的解为． 【考点4】整体思想解二元一次方程组 1．（24-25九年级上·广西来宾·期末）小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；根据题意及整体思想可进行求解． 解：由题意可知用整体代入法代入后得：； 故选C． 2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）阅读下列材料： 解方程组： 解：由①得③，将③代入②，得， 解这个一元一次方程，得．从而求得． 这种思想被称为“整体思想”．请用“整体思想”解决下面问题： （1）解方程组：； （2）在（1）的条件下，若x，y是两条边的长，第三边z的长是奇数，求第三边z的值． 【答案】（1）；（2）第三边长是5或7 【分析】此题考查了解二元一次方程组和三角形的三边关系，解决本题的关键是解二元一次方程组． （1）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解． （2）根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，从而确定第三边的值，即可解答． 解：（1）解： 由①得：， 将代入②得：，即， 将代入得：， 则方程组的解为． （2）解：∵两条边长是6和2， ∴第三边长小于8并且大于4， ∵第三边的长是奇数， ∴第三边长是5或7． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解得，所以，再解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，运用换元法进行变形得，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 解：设，， 方程组变形得： 整理得： 得：， 即， 把代入①得：， ∴， ，得， 解得， 把代入，解得， 解得：． 【考点5】解大数据二元一次方程组 1．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读下面解方程组的方法，然后解决问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的． 解：，得，所以③． ，得④． ，得，将代入③，得． 所以原方程组的解是 请用上述方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，利用题意解方程即可，熟练计算是解题的关键． 解：解法一：， ，得，即③， ，得， 把代入③，得， 所以原方程组的解为； 解法二：， ，得，即， 所以③．把③代入②， 得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为． 2．（22-23七年级下·北京通州·期末）解答题： 解方程组时，由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ①②得，所以③， ③①得， 解得，从而， 所以原方程组的解是． 请你运用上述方法解方程组：． 【答案】 【分析】仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解． 解：， 得：， ∴③， ③①得：， 解得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解为． 【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）先由得③，，得④，将原方程组简化后再解方程组即可； （2）先由，得，即，再用代入消元法解方程组即可． 解：（1）解：， ，得，即③， ，得，即④， 联立③④，得， 解得， 故原方程组的解为； （2）解：， ，得，即， 把代入①，得， 解得， 把代入，得， 故原方程组的解为． 【考点6】构造二元一次方程组求解 1．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，和分别平分和，若则的度数为（   ）． A．26 B．36 C．46 D．52 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质及角的和差关系．根据平行线的性质得到是解决本题的关键． 过点作，过点作，证与、与、间关系，再由角平分线的性质及角的和差关系计算得结论． 解：过点作，过点作， ， 又∵和分别平分和， 故选：D． 2．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在等式中，当时，；当时，，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、代数式求值等知识点，审清题意、列二元一次方程组是解题的关键， 先根据题意列出方程组求得k、b的值，然后代入代数式求值即可． 解：由题意可得：，解得：， 所以． 故答案为：4． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如果，且，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程是解答本题的关键．化简得，再联立，解方程组即可求出、的值． 解：化简得， ， 解得： ，． 【考点7】二元一次方程错解复原问题 2．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a、b、c正确的值应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键是理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 解：把代入方程组得： ， 把代入得：， 联立得：，解得：， 由，得到， 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在解方程时，小明把看错了，得而他看后面正确的答案是，则 ， ， ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解及解二元一次方程组的应用． 根据题意得出，，，先求出，然后联立，再解出，的值即可． 解：∵解方程时，小明把看错了，得， ∴， ∵正确的答案是， ∴，， 解得：，联立， 解得：， 故答案为：，，． 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）乐乐，果果两人同解方程组时，乐乐看错了方程①中的，解得，果果看错了方程②中的，解得，求的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程和代数式求值等知识点，解题的关键是列出关于、的一元一次方程求得、的值．把代入②得出可求出，把代入①得出可求出，然后再代入求代数式的值即可． 解：∵由题意，把代入②， 得， 解得：， 把代入①， 得， 解得：， ∴ ． 【考点8】已知二元一次方程的解求参数 1．（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）已知实数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解一元一次方程，方程组中两方程相加求出，然后根据列式求出的值即可．熟知方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 解：， ①②得：， ∵， ∴， ∴，即的值为． 故选：C． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组的解为正整数，则非负整数a的值为 ． 【答案】0或2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，把a看作常数，利用加减消元法求解，根据求出的方程组的解是正整数，a为非负整数，得出或4，求解即可． 解：， 得，， 解得， 将代入①得， 解得， ∵方程组有正整数解，a为非负整数， ∴或4， 解得或2， 故答案为：0或2． 3．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）二元一次方程组，它的解x和y值相等，求a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据x和y值相等进行计算即可得到答案． 解：， 它的解x和y值相等， 解①得：， ， 将代入②，得， 解得． 【考点9】二元一次方程的同解原理 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，再代入计算即可． 解：由题意得：， 解得：， 则有， 解得：， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知方程组和方程组解相同，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，求代数式的值等知识，理解两个方程组的解相同是解题的关键；根据两个方程组的解相同，则的解与两个方程组的解相同，求得方程组的解，再分别代入两个方程组中含有字母a、b的方程中，得到关于a、b的方程组，即可求得a、b的值，从而求得代数式的值． 解：由于方程组和方程组解相同， 则的解与两个方程组的解相同， 解方程组得：； 把分别代入中，得， 解得：， 则； 故答案为：1． 3．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）已知关于的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解． （2）求和的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查同解方程组： （1）将不含参数的两个方程组成新的方程组，进行求解即可； （2）把两个含参数的方程组成新的方程组，将（1）中的解代入，解关于参数的方程组即可． 解：（1）解：∵关于的方程组和有相同的解， ∴方程组的解也与方程组和有相同的解， 解，得：， ∴程组和的解为：； （2）联立，把代入，得： ，解得：． 【考点10】二元一次方程组的有解、无解、无数组解 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如果关于x，y的方程组无解，则k值为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组，先把两方程相加消去y，得到根据方程组无解可得，解之即可． 解：两方程相加得：， ∵方程组无解， ∴， 解得， 故选：B． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若关于x，y的方程组有无数组解，其中m、n不为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程两边同乘2，得，该方程与完全一样时，方程组有无数组解，即可求出、的值，再计算的值． 解：， ②，得， 关于，的方程组有无数组解，、不为0， ，， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）先阅读下列知识，然后回答后面的问题∶ 二元一次方程组的解的情况有以下三种：当时，方程组有无数个解；当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解． （1）判断二元一次方程组的解的情况：___________；判断二元一次方程组的解的情况：___________． （2）小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“”，他知道这是不可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下． 解方程组： 解：由①得，代入②得，得 【答案】（1）有无数个解；有唯一解；（2）见分析 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义； （1）根据二元一次方程组的解与系数的关系求解即可； （2）根据（1）的结论可知，原方程组无解，所以出现错误． 解：（1）解：对于第一个二元一次方程组， ，，，由于， 所以该方程组有无数个解； 对于第二个二元一次方程组， ，，，由于， 所以该方程组有唯一解． （2）解：∵ ∴二元一次方程组无解，故小明出现错误． 【知识点三】解三元一次方程组 【考点11】解三元一次方程组 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征，即可得解． 解：， 得： ， 得： ， 方程组变形为，刚好消去， 故选：C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，直接利用加减消元法消元解方程即可． 解：， ，得：④； ，得：⑤； ，得：，解得：； 把代入④得：，解得：； 把，代入①得：，解得：； ∴方程组的解为：， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等，求，，的值． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，理解消元的思想方法并类比应用是解决本题的关键．将x，y对应值代入等式可得三个三元一次方程构成的方程组，通过消元即可解得． 解：依题意，得． ①-②得： 解得： 把代入③得， 解得： 把，代入①得 解得： 解得：． 【考点12】解三元一次方程组求比值 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三元一次方程组的求解，解题的关键是正确用将表示出来，并代入代数式求解．用将表示出来，代入式子，求解即可． 解：联立，可得 ，即，解得 将代入可得 ， 故选：B． 2．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知方程组，则 ． 【答案】 【分析】根据方程组系数的特点，先消去未知数，得出与的关系，再得出与的关系，最后求比值．本题考查了解三元一次方程组．关键是把其中一个未知数当作已知数，求另外两个未知数与这个未知数的关系． 解：， ①②得：，， ①②得：，， ． 故答案为：． 3．（23-24九年级下·江苏南京·期末）已知，则 ． 【答案】1 【分析】该题主要考查了三元一次方程组，解题的关键是加减消元． 根据算出，再根据算出，代入即可求解； 解：， 得：，即， 得：，即， ∴， 故答案为：1． 【知识点四】二元一次方程组的应用 【考点13】方案问题 1．（2023·湖南张家界·中考真题）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】（1）参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；（2）租14辆45座客车较合算 【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）由（1）结论求出所需费用比较即可． 解：（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆 依题意得 解得：， 答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆； （2）∵要使每位师生都有座位， ∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆， ，， ∵ ∴租14辆45座客车较合算． 【点拨】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键． 2．（2021·四川泸州·中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨． （1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ （2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少． 【答案】（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）共有3种租车方案，方案1：租用A型车8辆，B型车2辆；方案2：租用A型车5辆，B型车6辆；方案3：租用A型车2辆，B型车10辆；租用A型车8辆，B型车2辆最少． 【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨”列方程组求解可得； （2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆．根据“共有190吨货物”列出二元一次方程组，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据． 解：（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨， 根据题意可得：， 解得：， 答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨； （2）设安排A型车m辆，B型车n辆， 依题意得：20m+15n=190，即， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种运输方案， 方案1：安排A型车8辆，B型车2辆； 方案2：安排A型车5辆，B型车6辆； 方案3：安排A型车2辆，B型车10辆． 方案1所需费用：5008+4002=4800（元）； 方案2所需费用：5005+4006=4900（元）； 方案3所需费用：5002+40010=5000（元）； ∵4800＜4900＜5000， ∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据据总费用=500×安排A型车的辆数+400×B型车的辆数分别求出三种运输方案的总费用． 【考点14】销售与利润问题 1．（2022·安徽·中考真题）某地区2020年进出口总额为520亿元．2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额＋出口额． （1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表： 年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元 2020 x y 520 2021 1.25x 1.3y （2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额度分别是多少亿元？ 【答案】（1）1.25x+1.3y；（2）2021年进口额亿元，出口额亿元． 【分析】（1）根据进出口总额＝进口额＋出口额计算即可； （2）根据2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，列方程1.25x+1.3y=520+140，然后联立方程组，解方程组即可． 解：（1）解： 年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元 2020 x y 520 2021 1.25x 1.3y 1.25x+1.3y 故答案为：1.25x+1.3y； （2）解：根据题意1.25x+1.3y=520+140， ∴， 解得：， 2021年进口额1.25x=亿元，2021年出口额是亿元． 【点拨】本题考查列二元一次方程组解应用题，列代数式，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤是解题关键． 2．（2020·江西·中考真题）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元． （1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格； （2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明． 【答案】（1）5元，3元；（2）当两人共同购买笔芯，享受整盒购买的优惠时，能让两人既买到各自的文具又都买到小工艺品． 【分析】（1）根据小贤买3支笔芯，2本笔记本花费19元，可知等量关系：笔芯的单价×3+笔记本单价×2=小贤花费金额，同样可得小艺的等量关系，这两个等量关系可列方程组解答； （2）小贤买3支笔芯，小艺4支笔芯，凑起来即为一盒，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元，可知优惠5元，再加上小贤剩余两元即可让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品． 解：（1）设单独购买一支笔芯的价格为x元，一本笔记本的价格为y元， 有，解得； 故笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元． （2）两人共有金额19+26+2=47元， 若两人共购买10支笔芯（一盒），3本笔记本，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠0.5元， 故两人买到各自的文具需要花费10×2.5+3×5=40（元），剩余47-40=7（元），可购买两件单价为3元的小工艺品； 故只有当两人一同购买笔芯，享受整盒购买优惠，即可能让他们既买到各自的文具，又都买到小工艺品． 【点拨】（1）本题主要考查了二元一次方程组的求解，其中根据题目信息找到等量关系，；列出方程组是解题的关键； （2）本题主要是对题目中关键信息的理解以及应用，其中观察到整盒购买享受优惠是成功让两人既买到各自的文具，又都买到小工艺品的关键． 【考点15】古代问题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键． 设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 2．（2022·江苏徐州·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？ 根据译文，解决下列问题： （1）设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ； （2）求兽、鸟各有多少． 【答案】（1）；（2）兽有8只，鸟有7只． 【分析】（1）根据“兽与鸟共有76个头与46只脚”，即可得出关于x、y的二元一次方程组； （2）解方程组，即可得出结论． 解：（1）解：∵兽与鸟共有76个头， ∴6x+4y=76； ∵兽与鸟共有46只脚， ∴4x+2y=46． ∴可列方程组为． 故答案为：； （2）解：原方程组可化简为， 由②可得y=23-2x③， 将③代入①得3x+2（23-2x）=38， 解得x=8， ∴y=23-2x=23-2×8=7． 答：兽有8只，鸟有7只． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【考点16】行程与工程问题 1．（2019·广西百色·中考真题）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时． （1）求该轮船在静水中的速度和水流速度； （2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？ 【答案】（1）该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时；（2）甲、丙两地相距千米． 【分析】（1）设该轮船在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时，根据路程＝速度×时间，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲、丙两地相距千米，则乙、丙两地相距千米，根据时间＝路程÷速度，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：（1）设该轮船在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 答：该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时； （2）设甲、丙两地相距千米，则乙、丙两地相距千米， 依题意，得：， 解得：， 答：甲、丙两地相距千米． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 2．（2021·江苏泰州·中考真题）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？ 【答案】甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米 【分析】设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据原计划每月修建和甲提高效率后每月修建列出二元一次方程组求解即可． 解：设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据题意得， 解得， 答：甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米 【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.8 二元一次方程组（全章常考知识点分类专题） 【考点目录】 【知识点一】概念定义的理解 【考点1】二元一次方程及其解.....................................................................................................................1 【考点2】二元了一次方程组及其解..............................................................................................................2 【知识点二】解二元一次方程组 【考点3】解二元一次方程组........................................................................................................................2 【考点4】整体思想解二元一次方程组.........................................................................................................3 【考点5】解大数据二元一次方程组.............................................................................................................3 【考点6】构造二元一次方程组求解.............................................................................................................4 【考点7】二元一次方程错解复原问题.........................................................................................................5 【考点8】已知二元一次方程的解求参数.....................................................................................................5 【考点9】二元一次方程组的同解原理.........................................................................................................6 【考点10】二元一次方程组的有解、无解、无数组解..................................................................................6 【知识点三】解三元一次方程组 【考点11】解三元一次方程组......................................................................................................................7 【考点12】解三元一次方程组求比值...........................................................................................................7 【知识点四】二元一次方程组的应用 【考点13】方案问题......................................................................................................................................7 【考点14】销售与利润问题...........................................................................................................................8 【考点15】古代问题......................................................................................................................................9 【考点16】行程与工程问题...........................................................................................................................9 【题型展示与解析】 【知识点一】概念定义的理解 【考点1】二元一次方程及其解 1．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）若关于的方程是二元一次方程，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 2．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）若是关于字母，的二元一次方程的一个解，代数式的值是 ． 3.（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）方程在正整数范围内的解（    ） A．有无数对 B．只有一对 C．只有三对 D．以上都不对 【考点2】二元一次方程组组及其解 1．（23-24六年级下·上海闵行·期末）下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24七年级下·河南周口·期末）解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值为 ． 【知识点二】解二元一次方程组 【考点3】解二元一次方程组 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）解关于，的二元一次方程组，将代入，消去后所得到的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知，则用x表示y的关系式为 ． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解二元一次方程组： （1）用代入法解方程组 （2）用适当方法解方程组 【考点4】整体思想解二元一次方程组 1．（24-25九年级上·广西来宾·期末）小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）阅读下列材料： 解方程组： 解：由①得③，将③代入②，得， 解这个一元一次方程，得．从而求得． 这种思想被称为“整体思想”．请用“整体思想”解决下面问题： （1）解方程组：； （2）在（1）的条件下，若x，y是两条边的长，第三边z的长是奇数，求第三边z的值． 3．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解得，所以，再解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组 【考点5】解大数据二元一次方程组 1．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读下面解方程组的方法，然后解决问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的． 解：，得，所以③． ，得④． ，得，将代入③，得． 所以原方程组的解是 请用上述方法解方程组 2．（22-23七年级下·北京通州·期末）解答题： 解方程组时，由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ①②得，所以③， ③①得， 解得，从而， 所以原方程组的解是． 请你运用上述方法解方程组：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： （1）； （2） 【考点6】构造二元一次方程组求解 1．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，和分别平分和，若则的度数为（   ）． A．26 B．36 C．46 D．52 2．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在等式中，当时，；当时，，则的值为 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如果，且，求，的值． 【考点7】二元一次方程错解复原问题 2．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a、b、c正确的值应为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在解方程时，小明把看错了，得而他看后面正确的答案是，则 ， ， ． 3．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）乐乐，果果两人同解方程组时，乐乐看错了方程①中的，解得，果果看错了方程②中的，解得，求的值． 【考点8】已知二元一次方程的解求参数 1．（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）已知实数，满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组的解为正整数，则非负整数a的值为 ． 3．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）二元一次方程组，它的解x和y值相等，求a的值． 【考点9】二元一次方程的同解原理 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知方程组和方程组解相同，则 ． 3．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）已知关于的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解． （2）求和的值． 【考点10】二元一次方程组的有解、无解、无数组解 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如果关于x，y的方程组无解，则k值为（   ） A． B．0 C． D．2 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若关于x，y的方程组有无数组解，其中m、n不为0，则 ． 3．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）先阅读下列知识，然后回答后面的问题∶ 二元一次方程组的解的情况有以下三种：当时，方程组有无数个解；当时，方程组无解；当时，方程组有唯一解． （1）判断二元一次方程组的解的情况：___________；判断二元一次方程组的解的情况：___________． （2）小明在解下面的二元一次方程组时，碰到了一个非常“严重”的问题，发现“”，他知道这是不可能的，但是又找不到错误的原因，请你解释一下． 解方程组： 解：由①得，代入②得，得 【知识点三】解三元一次方程组 【考点11】解三元一次方程组 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025七年级下·全国·专题练习）的解是 ． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等，求，，的值． 【考点12】解三元一次方程组求比值 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知方程组，则 ． 3．（23-24九年级下·江苏南京·期末）已知，则 ． 【知识点四】二元一次方程组的应用 【考点13】方案问题 1．（2023·湖南张家界·中考真题）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 2．（2021·四川泸州·中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨． （1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ （2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少． 【考点14】销售与利润问题 1．（2022·安徽·中考真题）某地区2020年进出口总额为520亿元．2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额＋出口额． （1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表： 年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元 2020 x y 520 2021 1.25x 1.3y （2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额度分别是多少亿元？ 2．（2020·江西·中考真题）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元． （1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格； （2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明． 【考点15】古代问题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 2．（2022·江苏徐州·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？ 根据译文，解决下列问题： （1）设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ； （2）求兽、鸟各有多少． 【考点16】行程与工程问题 1．（2019·广西百色·中考真题）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时． （1）求该轮船在静水中的速度和水流速度； （2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？ 2．（2021·江苏泰州·中考真题）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$