第4章 因式分解（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第4章 因式分解（单元测试·培优卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）下列变形中是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解的定义：把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 解：A. 中，是整式乘法，故A错误； B. 故B错误； C. 不是把多项式转化成几个整式积的形式，故C错误； D. ，故D正确． 故选：D． 2．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 解：， 则余下的部分是x． 故选：C． 3．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）杨辉是我国南宋数学家，他著作的《详解九章算法》中有一道计算问题：已知，，①由，可得；②由，可得依此方法计算的值是（   ） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，因式分解，掌握多项式乘多项式法则是正确解答的关键． 根据题目所提供的方法进行计算即可． 解：已知， ①由，可得； ②由，可得； ③由，可得； ④由，可得； ⑤由，可得； ⑥由，可得； 故选：A． 5．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）若，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，由可得，即得，再对多项式因式分解得，最后把的值代入计算即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， \∴， ∴， 故选：． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解、多项式乘以多项式，熟练掌握利用十字相乘法分解因式是解题关键．先计算，，根据甲的结果可求出的值，根据乙的结果可求出的值，再利用十字相乘法分解因式即可得． 解：， ， ∵甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为， ∴，， ∴， 故选：B． 7．（24-25八年级上·福建福州·期中）若三边满足，判断的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的判定，由已知等式可得，根据三角形的三边关系可得，据此即可判断求解，正确对等式左边进行因式分解是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故选：． 8．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 下列回答错误的是（　　） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； 首先利用提取公因式法进行因式分解，然后再用平方差公式法因式分解，即可解答． 解： 其中运用的方法是提取公因式法和平方差公式法， 所以， *代表，故选项A说法正确，不符合题意； ☆代表，故选项B说法正确，不符合题意； 在运算过程中运用了提取公因式法和平方差公式法，△和□分别代表了提公因式法和平方差公式法中的一种，没有运用到完全平方公式法，故选项C说法正确，不符合题意；选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 9．（23-24八年级下·河南郑州·期末）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、因式分解的方法等知识点，掌握因式分解的方法成为解题的关键． 根据整式的加减运算、因式分解等知识点逐项判断即可解答． 解：A. 甲：，能进行因式分解，进入下一轮，即该选项不符合题意； B. 乙： ，能进行因式分解，进入下一轮，即该选项不符合题意； C. 丙：，能进行因式分解，进入下一轮，即该选项不符合题意； D. 丁：，不能进行因式分解，被淘汰，即该选项符合题意．     故选D． 10．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（x必然存在），互异性（三个数互不相等，如），无序性（即改变元素的顺序，集合不变），若集合，我们说．已知集合，集合 ，若，则的值是（　　） A．4 B．2 C．0 D．﹣2 【答案】D 【分析】本题考查实数，代数式求值及有理数的运算，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．根据题意求得x，y的值后代入中计算即可； 解：由题可得，集合A中， ， ∴集合B中的， ， ， ∵， ∴x与y都为负数， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ． 故选：D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（21-22八年级下·广东清远·期末）单项式与的公因式是 【答案】 【分析】本题考查了单项式的公因式，熟悉掌握公因式的概念是解题的关键． 根据公因式的概念解答即可． 解：与的公因式是：； 故答案为：． 12．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个． 【答案】无数 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握整式和因式分解的关系是解决本题的关键．先设分解的两个因式为（a，b都是整数），根据因式分解与整式的关系得与间关系，判断满足条件的a、b得结论． 解：在整数范围内可以分解成两个一次因式， 设分解的两个因式为（a，b都是整数）， ， 在整数范围内，满足两个整数的和为的a、b有无数对， 满足条件的k有无数个． 故答案为：无数． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，同时考查了因式分解，注意灵活应用．把的因式分解，再代入计算． 解： ， 故答案为：． 14．（2025·山东日照·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”．例如：，，，因此8，16，24都是“登高数”，求不超过2024的所有“登高数”的和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，因式分解的应用，设两个连续的正奇数为（n为正整数），求出，则任意的“登高数”一定是8的倍数，再根据可得不超过2024的所有“登高数”的和即为1到253的自然数之和的8倍，据此求解即可． 解：设两个连续的正奇数为（n为正整数）， ， ∵n为正整数， ∴为正整数， ∴任意的“登高数”一定是8的倍数， ∵， ∴不超过2024的所有“登高数”的和为， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·山西长治·期末）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，三角形三边关系的应用．熟练掌握完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用是解题的关键．由，可得，可求，由三角形三边关系可求，由是正整数，可得，进而可求周长． 解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可． 解：原式 ； 故答案为：． 17．（22-23七年级上·上海闵行·期中）已知a，b，c是三个连续的正整数，，，那么 ． 【答案】33489 【分析】利用平方差公式得到，再根据a、b、c是三个连续正整数得到，于是可计算出，然后可得c，从而得到b的值． 解：， ∵a、b、c是三个连续正整数， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：33489． 【点拨】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题． 18．（2023·广东珠海·二模）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解 = ． 【答案】 【分析】把图2可有两种计算方法：①三个长方体相加；②大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即可解答． 解：将图2看作三个长方体相加时，可得式子： ； 原式两边提取，可得原式． 故答案为：；． 【点拨】本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形的体积如何计算是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）因式分解 （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的几种基本分解方法并能灵活应用是关键； （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）先用完全平方公式分解，再利用十字相乘法分解即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·河南南阳·期末）把下列多项式分解因式 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用提取公因式法直接求解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得到结果； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式即可得到结果； （4）用两次提取公因式法直接求解即可． 解：（1）解：． （2）解： ． （3）解：． （4）解：． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）已知实数a，b满足． （1）求代数式的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1）34；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先将变形为，然后把已知条件代入计算即可； （2）先将变形为，然后代入计算即可． 解：（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级上·北京大兴·期末）已知：如图，在中，，设，，如果． （1）求证：是等边三角形； （2）的中线，交于点O，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，非负数的性质，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）先把配方得出，然后根据等边三角形的判定即可得证； （2）利用等腰三角形三线合一的性质可得，，然后利用直角三角形中角的性质可得，从而得出结论． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形； （2）解： 理由：∵等边的中线，交于点O， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（本小题满分10分）（2025·广东清远·一模）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，因此8，16都是“正巧数”． （1）请写出一个30到50之间的“正巧数”：______； （2）已知，为正整数，且，若是“正巧数”，求的最小值． 【答案】（1）32（或40或48）；（2） 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算；难点是理解“正巧数”都是8的倍数，如果一个数是8的倍数，那么这个数一定是“正巧数”． （1）根据“正巧数”的定义设0到50之间的“正巧数”为：，为正整数，则，解不等式求出的值即可得出答案； （2）先计算，设两个连续正奇数为，，则， 可得，再求解即可． 解：（1）解：根据“正巧数”的定义：“正巧数”等于两个正奇数的平方差， 设0到50之间的“正巧数”为：，为正整数， 则：， 整理得：， 解得：， 为正整数， ，5，6， 到50之间的“正巧数”共有3个，它们分别是：32，40，48． 即：，，． 在32，40，48中任选一个即可， 故答案为：32（或40或48）； （2）解：， 设两个连续正奇数为，， 则，  ， ，为正整数且， 当时，（舍去）； 当时，， ， ，， ． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）阅读材料：根据代数式的特征进行如下变形后可将其因式分解． 例如： 【探究】请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； 【拓展】（1）把代数式因式分解； （2）当时，求出的值． 【答案】【探究】； 【拓展】；或． 【分析】本题主要考查了因式分解、因式分解法解一元二次方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，利用材料中提供的思路解题． 【探究】读懂材料中的解题思路，根据材料中的解题思路先配方，配成完全平方公式，把多项式中的一部分利用完全平方公式分解因式，然后再利用平方差公式继续分解因式； 【拓展】仿照材料中的解题思路分解因式即可； 根据中分解因式的解果可知，把二元二次方程转化为两个二元一次方程，从而可求的值． 解：【探究】解： ； 【拓展】解： ； ， ， 或， 由可得：， 由可得：， 或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 因式分解（单元测试·培优卷） 一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）下列变形中是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）杨辉是我国南宋数学家，他著作的《详解九章算法》中有一道计算问题：已知，，①由，可得；②由，可得依此方法计算的值是（   ） A．29 B．30 C．31 D．32 5．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）若，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）甲、乙两个同学分解因式时，甲把看错分解结果为，乙把看错分解结果为，那么多项式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·福建福州·期中）若三边满足，判断的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 8．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 下列回答错误的是（　　） A．*代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 9．（23-24八年级下·河南郑州·期末）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（　　） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 10．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）我们把叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（x必然存在），互异性（三个数互不相等，如），无序性（即改变元素的顺序，集合不变），若集合，我们说．已知集合，集合 ，若，则的值是（　　） A．4 B．2 C．0 D．﹣2 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（21-22八年级下·广东清远·期末）单项式与的公因式是 12．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，则 ． 14．（2025·山东日照·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”．例如：，，，因此8，16，24都是“登高数”，求不超过2024的所有“登高数”的和 ． 15．（24-25八年级上·山西长治·期末）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，则的周长为 ． 16．（24-25八年级上·福建厦门·期中）计算： ． 17．（22-23七年级上·上海闵行·期中）已知a，b，c是三个连续的正整数，，，那么 ． 18．（2023·广东珠海·二模）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证．观察图1，．接下来，观察图2，通过类比思考，因式分解 = ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）因式分解 （1）． （2）． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级上·河南南阳·期末）把下列多项式分解因式 （1）； （2）； （3）； （4）． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）已知实数a，b满足． （1）求代数式的值； （2）求代数式的值． 22．（本小题满分10分）（23-24八年级上·北京大兴·期末）已知：如图，在中，，设，，如果． （1）求证：是等边三角形； （2）的中线，交于点O，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 23．（本小题满分10分）（2025·广东清远·一模）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，因此8，16都是“正巧数”． （1）请写出一个30到50之间的“正巧数”：______； （2）已知，为正整数，且，若是“正巧数”，求的最小值． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）阅读材料：根据代数式的特征进行如下变形后可将其因式分解． 例如： 【探究】请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； 【拓展】（1）把代数式因式分解； （2）当时，求出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$