北京市西城区北京师范大学附属实验中学2024-2025学年下学期期中考试数学试卷

北师大实验中学 2024-2025 学年度初二第二学期期中数学答案 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C B D A C B 二、填空题（本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分） 题号 9 10 11 12 答案 x≥1 3 2 y=-1.5x ①5；②4.8 题号 13 14 15 16 答案 ①3；② 2 5 2 2 2 ①1 或 3 ②-9≤m≤3 三、解答题（共 8 小题，第 17、19、22、24 题各 8 分，第 18、20、21、23 题各 9 分，共 68 分） 17．计算：（1）  3 6 12 3 6 3    ； （2）     2 2 2 1 2 1   ． 解：原式=  18 12 3 3 6 3    解：原式=     2 2 1 2 1      =  3 2 2 3 2  =  2 2 1 =-2 =1 18．（1）0.5； （2）20； （3）解：∵小萌速度为 20km/h，∴设直线 BC 的解析式为 y=20x+b， 将点 B（1,10）代入得 10=20×1+b，解得 b=-10， ∴直线 BC 解析式为 y=20x-10． （4）1.75． 19．（1）① 2 0y   ； ② 3x  ； （2） 2 1k    ． 20．（1）（-2,0）；（-1,3）； （2）解：当 y=0 时，xB= 0+2=2，点 B 的坐标为（2,0）， AB=xB-xA=4， S△ABC=AB×yC÷2=6． （3）2＜b＜3． 21．（1）证明：∵AE=OE，∠AEF=∠OED，FE=DE， ∴△AEF≌△OED（SAS）． ∴AF=OD，∠AFE=∠ODE， ∴AF∥OD． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠AOB=90°，OD=BD， ∴AF=BO． 又∵AF∥BO，∴四边形 AOBF 是平行四边形． 又∵∠AOB=90°，∴□AOBF 是矩形． （2）解：∵四边形 AOBF 是矩形，∴∠FBD=∠AOB=90°，AO=BF=1， ∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60°，∴BD=2BO，∠ABO=30°， 又∵∠AOB=90°，∴AB=2BO=2， 2 2 3BO AB AO   ， 2 2 3BD DO  ， ∵∠FBD=90°，∴ 2 2 13DF BF BD   ． 22．（1）函数图像如图所示： x -1 2 y 0 -3 （2）①减小； ②2；小；-3； ③ 1 3x   ． 23．（1）证明：∵∠1=∠2，AC=AC，∠5=∠6， ∴△ABC≌△ADC（ASA）， ∴AB=AD，BC=CD， ∴AC 垂直平分 BD， ∵∠3=∠4，BO=BO，∠AOB=∠BOC=90°， ∴△ABO≌△CBO（ASA）， ∴AO=OC， 又∵BO=OD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵AB=AD，∴□ABCD 是菱形． （2）反例如图：四边形 ABCD 即为反例． 图①满足 AB=AD≠BC=CD； 图① 图② 图②满足：AB=AD=CD≠AD 且 AD∥BC； 图③满足：CA、BD 是△BCE 的两条角平分线． （3）②③④． 图③ 24．（1）证明：作 NH⊥AB 于 H， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A=∠B=∠DCE=∠ADC=90°，CD=AD， 又∵∠AHN=90°，∴四边形 AHND 是矩形， ∴HN=AD=CD， 在四边形 BMFE 中，∠BMF+∠B+∠CED+∠MFE=360°， ∵∠B=∠MFE=90°，∴∠BMF+∠CED=180°， 又∵∠BMF+∠AMF=180°，∴∠AMF=∠CED， ∵∠AMF=∠CED，∠NHM=∠DCE，HN=CD，∴△NHM≌△DCE（AAS）， ∴MN=DE． （2）证明：连接 DG、EG，设 EG 交 CD 于 P， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC=CD，∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA=45°， 又∵CG=CG，∴△BCG≌△DCG，（SAS） ∴∠CBG=∠CDG，BG=GD， ∵GF 垂直平分 DE，∴GE=GD=BG， ∴∠GEB=∠CBG=∠CDG， 又∵∠CDG+∠DGE=∠DPE=∠GEB+∠DCE，∠DCE=90°，∴∠DGE=∠DCE=90°， ∴△DGE 是等腰直角三角形， ∴ 2 2MN DE DG BG   ． 四、附加题（本题共 2 小题，第 1 题 4 分，第 2 题 6 分，共 10 分） 1．（1）如图，面积为 7；（2）5mn． 2．（1） 5 ； （2）解：如图，OA 中点为 A’（2,0），OB 中点为 B’（0,1），OH 中点为 H’（0.5a，0）， 由△A’B’H’面积为 2 可得 A’H’=4，∴0.5a=-2 或 6，a=-4 或 12． （3） 10 60t   ． 北师大实验中学 2024-2025 学年度第二学期期中试卷 八年级数学第1页，共8页 北师大实验中学 2024-2025 学年度第二学期期中试卷 初二年级数学 班级：________姓名：________________学号：________成绩：____________ 考 生 须 知 1．本试卷共 8 页，共 4 道大题，26 道小题；答题纸共 3 页． 满分 110 分．考试时间 100 分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用 2B 铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字 迹签字笔作答． 命题人：刘中国 韩璐 胡波平 审题人：杨洁 一、 单项选择题（本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分．在每小题给出的 四个选项中，只有一项符合题意） 1．下列图象中，y 不是．．x 的函数的是（ ） A B C D 2．下列各等式中，正确的是（ ） A． 5 2 7+ = B． ( ) 2 3 3− = − C． 1 6 3 2  = D． 12 3 2= 3．如图，学校的旗杆 AB 垂直立于地面，当阳光与地面夹角 为 60°时，旗杆的影子 BC 长 9 米，则学校旗杆 AB 的高度 为（ ）米． A．4.5 B．3 3 C．9 3 D．18 4．下列条件中，不能．．判定△ABC 是直角三角形的一组条件是（ ） A．AB:BC:AC=5:12:13 B．∠A:∠B:∠C=3:4:5 C．∠A+∠B=∠C D． 2 2AB BC AC= = 北师大实验中学 2024-2025 学年度第二学期期中试卷 八年级数学第2页，共8页 5．已知一次函数 1y kx k= + + ，y 随 x 的增大而减小，且图象与 y 轴交于正半 轴，则 k 的取值范围是（ ） A． 1k  − 或 1k  B． 1 1k−   C．0 1k  D． 1 0k−   6．如图，在□ABCD 中，AC 交 BD 于点 O，经过点 O 的直线分别交直线 AB、 CD、AD、BC 于点 E、F、M、N，下列结论错误．．的是（ ） A．AM=CF B．∠E=∠F C．DM=BN D．EM=FN 7．如图，在□ABCD 中，AB=BD，点 E 在 BD 上，CE=BC．如果∠A=70°， 那么∠DCE=（ ） A．20° B．25° C．30° D．35° 8．如图，在△ABC 中，∠C=90°，在线段 AB 上有一动点 D，作 DE⊥AC 于 E， DF⊥BC 于 F，连接 EF．在点 D 从点 A 运动到点 B 的过程中（D 不与 A、 B 重合），下列关于线段 EF 长度变化的描述中，正确的是（ ） A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．一直变短 D．始终保持不变 第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 二、 填空题（本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分） 9．二次根式 1x− 有意义，则 x 的取值范围是________． 10．将 3 4 化为最简二次根式的结果是________． 11．正比例函数图象过点（-2，3），那么它的函数解析式为：____________． 12．如图，在菱形 ABCD 中，AC=6，BD=8，则 AB=________， 作 AE⊥BC 于 E，则 AE=________． 第 12 题图 北师大实验中学 2024-2025 学年度第二学期期中试卷 八年级数学第3页，共8页 13．如图，在□ABCD 中，AE⊥BC 于 E，DE 平分∠ADC，AB=5，AD=8，则 BE=________，若点 F 是线段 DE 的中点，则 AF=________． 14．如图，点 A 和 B 在数轴上，它们所对应的数分别为 0 和 2，以 AB 为直角 边，B 为直角顶点向上作等腰 Rt△ABC，再以 A 为圆心，AC 长为半径作 弧交数轴于点 D，则 D 在数轴上所对应的数为________． 15．如图，在地面 l 上有一口井，井口位于点 A 的位置，井身与地面垂直．一 个孩子在玩耍时不慎掉入井中卡在距离地面 15 米的点 B 位置．救援人员 接到通知后迅速赶到商讨救援方案，由于井身太窄，救援人员无法直接进 入，在井身附近挖掘又怕引起塌方伤到孩子．最终决定从距离井口 10 米 的点 C 处开始斜向径直挖掘到与点 B 同一水平高度的点 D 处，再横向挖 掘到点 B．若计划挖掘隧道的总长度为 19 米，则点 D 与点 B 的水平距离 为________米． 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 16．对于点 ( )x y， ，若满足 x y= ，则称该点为“完备点”．已知点 ( )P a b， 是直线 2y x m= + 上的“完备点”：①当 a=-1 时，则 m=________； ②当 1 3a−   时，则 m 的取值范围是____________． 三、 解答题（本题共 8 小题，第 17、19、22、24 题各 8 分，第 18、20、21、 23 题各 9 分，共 68 分） 17．计算：（1） ( )3 6 12 3 6 3 − +  ；（2） ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1+  − ． 北师大实验中学 2024-2025 学年度第二学期期中试卷 八年级数学第4页，共8页 18．周末，小萌骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发半小时后到达甲地， 游玩一段时间后按原速前往乙地．小萌离家 1 小时 20 分钟后，妈妈从家驾 车沿相同路线前往乙地，如图是他们行驶的路程 y(km)与小萌离家时间 x(h) 的函数图象．已知小萌骑车的速度始终不变，妈妈驾车的速度是小萌骑车 速度的 3 倍．请根据相关信息，回答下列问题： （1）小萌在甲地游玩的时间是________h； （2）小萌骑车的速度是________km/h； （3）求直线 BC 的函数解析式（不要求写出自变 量取值范围）； （4）小萌出发________h 后被妈妈追上． 19．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y kx b= + （k、b 为常数且 k≠0）． （1）若 k=-1，b=1， ①当 1≤x≤3 时，y 的取值范围是____________； ②当 y＜-2 时，x 的取值范围是____________； （2）若 b=1，点 A 为（2，-3），点 B 为（3，-2）， 直线 y kx b= + 与线段 AB 有交点： 则 k 的取值范围是__________． 20．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1： 3 6y x= + 与 x 轴交于点 A，直线 l2： 2y x= − + 与 x 轴交于点 B，直线 l1 与直线 l2 相交于点 C． （1）点 A 的坐标是________，点 C 的坐标是________； （2）求△ABC 的面积； （3）直线 y=b 与直线 l1、直线 l2 分别交于 点 1 1( )D x y， 、点 2 2( )E x y， ， 当 1 22 0x x−    时，直接写出 b 的取值范围． 北师大实验中学 2024-2025 学年度第二学期期中试卷 八年级数学第5页，共8页 21．如图，菱形 ABCD的对角线 AC、BD交于点 O，E为 OA中点．连接并延 长 DE至点 F，使得 EF=DE．连接 AF、BF． （1）求证：四边形 AFBO是矩形； （2）若∠ABC=60°，BF=1，求 DF的长度． 22．小婧为了研究函数 2 2 5y x x= − + − 的性质，对其进行了如下探究： （1）完成表格，画出函数图象： x …… -2 -1 0 1 2 3 4 …… y …… 1 -1 -2 0 3 …… （2）根据函数图象，回答下列问题： ①当 x＜1 时，y随 x的增大而________； ②当 x=______时，函数取到最____值为______； ③观察图象可知，不等式 2 2 5 0x x− + −  的 解集是________________． 23．小远同学从“对角线平分对角”的角度探究菱形的判定方法，请你帮助小 远完成下面的问题： （1）小远认为“三个角被对角线平分的四边形是菱形”，并写出了这个命题 的已知和求证，请你帮他完成证明： 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O， ∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6．求证：四边形 ABCD 是菱形． 北师大实验中学 2024-2025 学年度第二学期期中试卷 八年级数学第6页，共8页 （2）小远将（1）中的条件弱化为“两个角被对角线平分”，发现不能证出四 边形是菱形，请你帮他画出一个反例．（画出一个凸四边形满足两个角 被对角线平分，却不是菱形，并注明条件） （3）小远在以 “四边形一个或两个内角被对角线平分”为条件的基础上加入 边相等的条件，给出了下列四组条件（如图），其中能判定四边形 ABCD 是菱形的有________________． ①BC=CD=AD，∠1=∠2； ②BC=CD=AD，∠5=∠6； ③BC=CD，∠3=∠4，∠5=∠6； ④AB=CD，∠1=∠2，∠5=∠6． 24．如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 延长线上一点，连接 DE．点 F 在线段 DE 上，过点 F 作 DE 的垂线分别交 AB、CD 于 M、N． （1）求证：MN=DE； （2）如图 2，当点 F 是 DE 中点时，连接 AC 交 MN 于 G，连接 BG．写出 BG 和 MN 的数量关系，并证明． 图 1 图 2 北师大实验中学 2024-2025 学年度第二学期期中试卷 八年级数学第7页，共8页 四、附加题（本题共 2 小题，第 1 题 4 分，第 2 题 6 分，共 10 分） 1．在解决“已知三角形三边长，求三角形的面积”的问题中，某些情况下， 我们可以在边长为 1 的正方形格点中构造三角形，再利用割补法计算该三 角形的面积． 例如：△ABC， 5AB = ， 10BC = ， 13AC = ，由于 2 25 1 2AB = = + ， 故 AB 可以画为格点中 1×2 矩形的对角线，同理 BC 可以画为 1×3 矩形的 对角线，AC 可以画为 2×3 矩形的对角线，如图 1，由割补法可求出△ABC 面积为 3.5． 根据材料回答下列问题： （1）请在图 2 中画出三边长度分别为 5、2 2 、 29 的三角形（长度为 2 2 的 边已在图中给出），该三角形的面积是________； （2）如果三角形三边的边长分别为 2 216m n+ 、 2 29 4m n+ 、 2 22 m n+ （其 中m＞0，n＞0，m≠n），用含m、n的代数式表示三角形的面积为________． 图 1 图 2 备用图 北师大实验中学 2024-2025 学年度第二学期期中试卷 八年级数学第8页，共8页 2．在平面直角坐标系 xOy 中，图形 G 和图形 W 的“中位形”的定义如下： 点 P 是图形 G 上任意一点，点 Q 是图形 W 上任意一点，取 PO 中点 M， 取 QO 中点 N，由所有线段 MN 所组成的图形叫做图形 G 和图形 W 的“中 位形”．（当两个点重合时，连接这两点的线段和线段的中点都视为此点） 已知点 (4 0)A ， 、点 (0 2)B ， ． （1）点 A 和点 B 的“中位形”的长度是________； （2）已知点 ( 0)H a， ，若点 H 和线段 AB 的“中位形”面积为 2，求 a 的值． （3）已知点 (10 0)E ， 、点 (0 10)F −， ，以线段 AB 为边作两条对角线都在坐标 轴上的菱形ABCD．将菱形ABCD沿着直线 y=x平移得到菱形 ' ' ' 'A B C D ， 设菱形 ' ' ' 'A B C D 的对角线交点坐标为 ( )t t， ．若线段EF和菱形 ' ' ' 'A B C D 的“中位形”与菱形 ABCD 有公共点，直接写出 t 的取值范围．