精品解析：山东省德州市庆云县2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

八年级期中数学试题 一．选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知 中，a、b、c分别是的对边，下列条件不能判断 是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，逆命题是假命题的是（ ） A. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 B. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C. 如果，那么 D. 同位角相等 5. 如图，在中，E是 边上一点，，连接 ，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，D、E分别是斜边 和直角边 上的点．把 沿着直线 折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边 的中点上，则的长是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 9. 如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且，那么图中小正方形的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接和分别为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 12. 如图，已知四边形为正方形．为对角线 上一点，连接 ，过点 作，交 的延长线于点 ，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）． 13. 如果是二次根式，那么x的取值范围是________． 14. 如图， ，是平行四边形的对角线，且对角线交点为 ，E，F是上两点，且，连接， ， ，，添加一个条件______，使四边形是矩形． 15. 若实数x，y满足，则的值是______． 16. 如图，在平行四边形中，对角线 ，相交于点O，过点O，交于点F，交 于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是______． 17. 如图，以矩形的顶点 为圆心，长为半径画弧交 的延长线于 ；过点 作交 于点 ，连接，则_________． 18. 先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … 请你利用发现的规律，计算： ______． 三．解答题（本大题共7小题，共78分） 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，的对角线 ，相交于点 ，点 ， 在 上，且． （1）求证：； （2）过点 作，垂足为 ，交于点，若的周长为，求四边形的周长． 21. 如图，解放广场的草坪上有、、、、 五条小路，且，，，． （1）求小路的长度； （2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点O处，小狗从点O开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，设奔跑中小狗的位置为点Q，小狗奔跑的时间为；当小狗在小路上奔跑时，求出淇淇与小狗的最近距离，并求此时t的值； 22. 如图，在四边形中，，，对角线 ，交于点O， 平分 ，过点C作交 的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 如图，点D、E是两直角边 、 上的一点，连接，已知点F、G、H分别是 、、 的中点． （1）求证：． （2）连接，取中点M，连接、，若，求的长． 24. 阅读下列例题． 在学习二次根式性质时我们知道； 例题求的值． 解：设，两边平方得：，即，， ． ，． （1）则的值是______． （2）请利用上述方法，求的值． （3）若，求n的值． 25. 在正方形中，点P是边上点，点E在的延长线上，将线段绕点A顺时针旋转，到线段 ，连接 （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，若正好经过点B， ①求证：； ②探究、、三条线段的数量关系并证明你的结论； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期中数学试题 一．选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意； 故选：Ｃ． 2. 已知 中，a、b、c分别是的对边，下列条件不能判断 是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．可判断A、C选项；根据三角形内角和定理可判断B、D选项． 【详解】解：A.∵， ∴设，，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B.∵ ∴设，则，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； C.∵， ∴，即， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； D.∵，， ∴，解得， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的计算解答即可. 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 【详解】解：A. ， 故该选项错误； B. ， 故该选项正确； C. ， 故该选项错误； D. ， 故该选项错误； 故选：B. 4. 下列命题中，逆命题是假命题的是（ ） A. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 B. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C. 如果，那么 D. 同位角相等 【答案】D 【解析】 【分析】先写出逆命题，再判断真假． 本题考查了命题，逆命题，熟练掌握逆命题的写法，正确判断是解题的关键． 【详解】解：A. 如果四边形是菱形，那么对角线互相垂直且平分，真命题， 故A不符合题意； B. 在角的内部，角平分线上的点到角的两边距离相等，真命题， 故B不符合题意； C. 如果，那么，真命题； 故C不符合题意； D. 如果两个角相等，那么这两个角是同位角，是假命题； 故D符合题意； 故选：D． 5. 如图，在中，E是 边上一点，，连接 ，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键．由四边形是平行四边形，得，，则有，，根据等腰三角形的性质得出，从而有． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴，利用网格特定求得，进而利用数轴上点的距离公式求解即可． 【详解】解：如图，设直角顶点C与数轴上表示的点重合， 由题意，， ∴数轴上点A所表示的数为， 故选：C． 7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的化简，绝对值的化简，熟练掌握实数的大小比较，绝对值的化简是解题的关键． 先判断 ，，，化简计算即可． 【详解】解：根据题意得， ，， ∴ ∴ ． 故选：A． 8. 如图，在中，，D、E分别是斜边 和直角边 上的点．把 沿着直线 折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边 的中点上，则的长是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得，，则， 根据勾股定理，得，解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 沿着直线 折叠，顶点B的对应点是点．且点落在直角边 的中点上， ∴，， 则， 根据勾股定理，得， 解得， 则， 故选：D． 9. 如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且，那么图中小正方形的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后根据求得即可求得的值，结合即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积是16， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵小正方形的边长为：， ∴． 故选C 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，勾股定理的应用，熟记完全平方公式的灵活应用是解本题的关键． 10. 对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：B． 11. 如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接和分别为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】连接 ，得到是的中位线，当时， 最小，得到最小值，计算 即可． 【详解】连接 ，如图所示：    ∵四边形是菱形， ∴， ∵G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时， 最小，得到最小值， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故的最小值为． 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形性质，三角形中位线的性质是解题的关键． 12. 如图，已知四边形为正方形．为对角线 上一点，连接 ，过点 作，交 的延长线于点 ，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②矩形是正方形；③；④平分．其中结论正确的序号有（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】连接，作于点H，于点L，由正方形的性质得， 垂直平分，则，因为平分，所以，再推导出，进而证明，得，所以，可判断①正确；由四边形是矩形，，证明四边形是正方形，可判断②正确；再证明，得，可判断③正确；可证明，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点H，于点L，则， ∵四边形是正方形， ∴，， 垂直平分， ∵E为 上一点， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形，故②正确； ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分， 故④正确． 故选：D． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）． 13. 如果是二次根式，那么x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即，由此即可得． 【详解】解：∵是二次根式， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题关键． 14. 如图， ，是平行四边形的对角线，且对角线交点为 ，E，F是上两点，且，连接， ， ，，添加一个条件______，使四边形是矩形． 【答案】答案不唯一， 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形．结合，得证，即可证明四边形是矩形． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ，是平行四边形的对角线，且对角线交点为 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 15. 若实数x，y满足，则的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知和二次根式的性质求出x、y的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x、y的值代入化简后的式子计算即可． 本题考查了二次根式的性质，求代数式的值，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 16. 如图，在平行四边形中，对角线 ，相交于点O， 过点O，交于点F，交 于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】12 【解析】 【分析】先利用勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再根据全等三角形的性质可得，从而可得阴影部分的面积等于，然后根据平行四边形的性质求解即可得． 本题考查了勾股定理的逆定理、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，且，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 17. 如图，以矩形的顶点 为圆心，长为半径画弧交 的延长线于 ；过点 作交 于点 ，连接，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质得，，则，再证明四边形是平行四边形，由作图得，则四边形是菱形，所以，则，可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， 由作图得， ∴四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键． 18. 先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … 请你利用发现的规律，计算： ______． 【答案】## 【解析】 【分析】①；②；③，得到，列式计算即可． 本题考查了二次根式中规律探索，实数的计算，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【详解】解：①； ②； ③， 故， 故 ， 故答案为：． 三．解答题（本大题共7小题，共78分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据计算即可． （2）根据，解答即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：． 【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的乘除，绝对值的化简，二次根式的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20. 如图，的对角线 ，相交于点 ，点 ， 在 上，且． （1）求证：； （2）过点 作，垂足为 ，交于点 ，若的周长为，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ； （2）四边形的周长为24 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，，，求得，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的周长为12， ， . 四边形的周长为24. 21. 如图，解放广场的草坪上有、 、、、 五条小路，且，，，． （1）求小路的长度； （2）淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点O处，小狗从点O开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，设奔跑中小狗的位置为点Q，小狗奔跑的时间为；当小狗在小路上奔跑时，求出淇淇与小狗的最近距离，并求此时t的值； 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理先求出 ，然后在中根据勾股定理求出即可； （2）根据垂线段最短，结合三角形面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：在中根据勾股定理得： ， 在中根据勾股定理得： ， 即小路的长度为； 【小问2详解】 解：过点O作于点Q，如图所示： ∵垂线段最短， ∴当时，淇淇与小狗的距离最小， ∵， ∴， 在中根据勾股定理得： ， ∴此时． 22. 如图，在四边形中，，，对角线 ，交于点O， 平分 ，过点C作交 的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵ 为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 23. 如图，点D、E是两直角边 、 上的一点，连接，已知点F、G、H分别是 、、 的中点． （1）求证：． （2）连接，取中点M，连接、，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）先证明，得到． 结合即可． （2）连接，取中点M，连接、，证明四边形为矩形． 再利用勾股定理得． 【小问1详解】 证明：∵F、G、H分别是 、、 的中点， ∴． ∴． ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接、，， ∵M、H分别是和 的中点， ∴． 同理：． ∴ ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． ∴，， ∵G、H、M，F分别是、 、、 的中点，， ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握中位线定理，矩形的判定和性，勾股定理是解题的关键． 24. 阅读下列例题． 在学习二次根式性质时我们知道； 例题求的值． 解：设，两边平方得：，即，， ． ，． （1）则的值是______． （2）请利用上述方法，求的值． （3）若，求n的值． 【答案】（1） （2） （3）32 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算和性质，理解题中运算方法是解答的关键． （1）利用二次根式的性质求解即可； （2）仿照题干方法，利用二次根式的运算法则和性质求解即可； （3）仿照题干方法，给等式两边乘方，再利用二次根式的运算法则和性质求解即可． 【小问1详解】 解：由二次根式性质得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设，两边平方得：， 即，， ． ∵， ； 【小问3详解】 解：给两边平方， 得， ∴， 整理，得， ∴，解得． 25. 在正方形中，点P是边上点，点E在的延长线上，将线段绕点A顺时针旋转，到线段 ，连接 （1）如图1，连接，求证：； （2）如图2，若 正好经过点B， ①求证：； ②探究、、三条线段的数量关系并证明你的结论； 【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ② 【解析】 【分析】（1）证明即可得证． （2）①根据得到，结合，，得到即可证明． ②连接，证明，再证，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵正方形，线段绕点A顺时针旋转，到线段 ， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①∵正方形，线段绕点A顺时针旋转，到线段 ， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②、、三条线段的数量关系是．理由如下： 连接， ∵正方形，线段绕点A顺时针旋转，到线段 ， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，垂直定义，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $