专题07 分式与分式方程易错必刷题型专训（78题26个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题07 分式与分式方程易错必刷题型专训（78题26个考点） 【易错必刷一分式的判断 】 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下列各式：，，，中，分式共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键； 根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有字母的式子叫分式． 【详解】解：，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． ，的分母中含有字母，因此是分式，共个． 故选：B 2．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）在，，，，，中，分式的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．熟练掌握分式的定义是解答本题的关键． 【详解】解：在所列代数式中，分式有，，，，共4个． 故选：D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）在中， 是整式， 是分式． 【答案】 【分析】本题主要考查的是分式和整式的定义，掌握分式和整式的定义是解题的关键． 根据整式和分式的定义即可解答，形如，A、B是整式，B中含有字母，这样的式子叫分式． 【详解】解：整式有； 分式有； 故答案为：；． 【易错必刷二 分式的规律性问题】 4．（24-25八年级上·云南文山·期末）一组按规律排列的式子：，，，，…（，n为正整数），第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了探索规律，先根据分子、分母的变化得出规律，再根据分式符号的变化得出规律是解题的关键．根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母的变化得出分母变化的规律，根据分数符号的变化规律得出分数符号的变化规律，即可得到该组式子的变化规律． 【详解】解：分子为，其指数为2，5，8，11，…其规律为， 分母为，其指数为1，2，3，4，…其规律为， 分数符号为，，，，，其规律为， 所以第个式子． 故选：C． 5．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，，，，，，，即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题，从题目所给的式子中发现并总结出一般规律是解题的关键． 先找到一般规律：的值每个一循环，再求出，由可得，于是得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 的值每个一循环， ， 且， ， 故答案为：． 6．（2023九年级下·安徽·专题练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第个等式： ； (2)用含有的代数式表示第个等式并证明（为正整数）． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）观察前个等式找到规律即可，左边式子的分子为，分母是两个整数的积，之间相差，且下一个式子的第一个数字是上一个式子的最后一个数，右边裂项成对应的减法； （2）观察已给的三个等式，找到规律即可解答． 【详解】（1）解：按规律列出第个等式：， 故答案为：； （2）． 证明：右边 ． ∴． 【点睛】本题考查的是数字变化类的规律问题，掌握分式的加减法法则是解本题的关键． 【易错必刷三 按要求构造分式】 7．（23-24七年级下·广西贺州·期末）春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．求出原计划用的天数，再求出实际用的天数，作差即可． 【详解】解：由题意得，原计划用的天数为天，实际用的天数为天， 这些消毒液提前天用完． 故选：C． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）小红家距学校，若小红步行上学的速度为，则小红步行的时间为 ；若小红计划用到学校，则小红步行的速度为 ．上述式子中，是分式的有 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查了分式的定义，形如的形式，A，B都时整式，且中含有字母的式子叫做分式． 根据时间路程速度和速度路程时间列式，然后根据分式的定义求解即可． 【详解】∵小红家距学校，若小红步行上学的速度为， ∴小红步行的时间为； 若小红计划用到学校， ∴小红步行的速度为； ∴上述式子中，是分式的有，． 故答案为：；；，． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）解答下列问题： (1)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长的路，小明步行需，骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少．骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价后的售价为a元，该商品的原价是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了列分式，正确理解题意是解题的关键． （1）把工作总量看做单位“1”，根据工作效率等于工作总量除以工作时间即可得到答案； （2）由题意得骑自行车需要的时间为，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案； （3）根据题意可得现价是原价的，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵某项工程，甲队需t天完成， ∴该队每天完成的工作量是； （2）解：由题意得，骑自行车的平均速度是； （3）解：∵某商品降价后的售价为a元， ∴该商品的原价是元． 【易错必刷四 分式有无意义的条件】 10．（24-25八年级下·重庆·期中）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式中的被开方数必须是非负数以及分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，解得：， 故选：B． 11．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取什么数时，分式有意义？当x取什么数时，该分式无意义？ 【答案】且，或 【分析】本题考查分式有无意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，分式的分母为0时，分式无意义，进行求解即可． 【详解】解：当有意义时：， ∴且； 当无意义时：， ∴或． 【易错必刷五 分式值为零的条件】 13．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）若分式的值为0，则x的值是（   ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】A 【分析】本题考查分式为零的条件，分式的值为0，分子为0且分母不能为0，据此作答． 【详解】∵分式的值为0 ∴，， ∴，． 故选：A． 14．（2025·山东泰安·一模）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * * * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有无意义，及分式的值为0， 根据分式的分子等于0时，分式的值为0，可得分式的分子，再根据分式的分母等于0时，分式无意义得出分母即可. 【详解】解：当时，，可知分式的分子中含有因式； 当时，分式无意义，可知分式的分母中含有因式， 所以y代表的分式可能是. 故选：B. 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知分式的值为0，则x的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 【易错必刷六 分式的求值】 16．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）已知，则的值为（   ） A．14 B． C．7 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：． 故选：A． 17．（24-25八年级下·四川内江·期中）分式，则分式的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的求值，根据题意得出是解决问题的关键．先根据题意得出，再代入分式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ； 故选：A． 18．（24-25八年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的约分和求值，先把分子提取公因式x分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，再把分子和分母约分，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当时，原式． 【易错必刷七 分式值为整数时的求值】 19．（2025·河北唐山·一模）分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值．先利用分式的运算法则把原式进行化简，再根据分式的值为整数求出的取值即可判断． 【详解】解：， 当和时，分式的结果都等于一个整数， 观察四个选项，选项D符合题意； 故选：D． 20．（2025·吉林·模拟预测）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】或/6或2 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质化简是解题的关键． 根据题意，将分式化简为，结合正整数的定义进行判定，代入求值即可． 【详解】解：，该分式为正整数，也为正整数，且， ∴当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 21．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）求所有的正整数，使得为整数． 【答案】1或3或7 【分析】本题考查了分式的化简；把化为，则为8的正整数因数，即可求得n的值．把分式表示为整式与分式的和的形式是解题的关键． 【详解】解：因为为正整数， 则为整数， 故为正整数， 则为8的正整数因数，且， 故， 故． 【易错必刷八 分式变形】 22．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）若把分式中的a，b都缩小为原来的，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的9倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质，进行计算即可求解． 【详解】解：由题意得： ， ∵， 将分式中的与的值都缩小为原来的，则这个分式的值将扩大为原来的3倍， 故选：D． 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）用分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入： （2）；括号内应填入： （3）．括号内应填入： 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，涉及整式乘法、因式分解等知识，根据题中各分式分子分母，结合整式乘法及因式分解，由分式性质求解即可得到答案．熟记分式基本性质是解决问题的关键． （1）由分子可知，进而得到分母，从而得到答案； （2）由分母可知，进而得到分子，从而得到答案； （3）由分子可知，进而得到分母为，从而得到答案． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：； （2）， ， ， 故答案为：； （3）， ， 故答案为：． 24．（23-24八年级上·全国·课后作业）在括号中填上恰当的式子： （1）；     （2）； （3）；     （4）（且）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解； （4）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：    （2）； 故答案为： （3）； 故答案为：     （4）． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【易错必刷九 分式的分子分母化简问题】 25．（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 26．（24-25七年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子与分母中各项系数都为整数，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】此题考查分式的基本性质，解题关键在于掌握其性质． 根据分式的基本性质把分子分母都乘以2即可； 【详解】解：， 故答案为：． 27．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点． （1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案； （2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【易错必刷十 最简分式】 28．（24-25八年级下·全国·单元测试）分式、、、中，最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据最简分式的定义分析即可． 【详解】解：，，故不是最简分式，不符合题意； ，是最简分式，符合题意； 故选C． 29．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解及最简分式的判断，掌握因式分解的方法以及最简分式的判断依据是解题的关键，把每个分式分子分母分解因式，再根据最简分式的定义“分子分母中不含有公因式，不能再约分”，进行判断即可． 【详解】解：A. ，能约分，不是最简分式； B. ，能约分，不是最简分式； C. ，能约分，不是最简分式； D. ，不能约分，是最简分式； 故选：D． 30．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在分式，，，中，最简分式有 个 【答案】2 【分析】本题考查最简最简分式，最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此判断即可解答． 【详解】解：，故不是最简分式； ，故不是最简分式； ，不能继续化简，是最简分式． ∴最简分式有2个． 故答案为：2． 【易错必刷十一 约分】 31．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的约分，先把分母利用平方差公式分解因式，再把分子和分母约分即可得到答案． 【详解】解； ， 故答案为；． 32．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： ． 【答案】 【分析】本题考查分式化简，涉及提公因式法因式分解、约分等知识，先将分式的分子利用提公因式法因式分解后约分即可得到答案．熟练掌握分式运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 33．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式化简，涉及因式分解、约分等知识，熟练掌握分式运算法则是解决问题的关键． （1）直接约分即可得到答案； （2）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案； （3）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案； （4）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【易错必刷十二 最简公分母】 34．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简公分母“确定最简公分母的一般方法：1、如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积；2、如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母”，熟练掌握确定最简公分母的方法是解题关键．根据确定最简公分母的一般方法即可得． 【详解】解：∵，， ∴分式和的最简公分母是， 故选：B． 35．（2025七年级下·全国·专题练习）分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 根据最简公分母的定义即可求出答案． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 故选：A． 36．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）分式，，的最简公分母为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的最简公分母；先把各分式的分母进行因式分解，找出所有因式的最高次幂的乘积即是最简公分母． 【详解】解：， 故最简公分母为：； 故答案为：． 【易错必刷十三 通分】 37．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，分别把已知的三个等式的分子分母倒过来，然后利用分式的性质化简，最后把所求分式也倒过来即可求解． 【详解】解：因为，，， 所以①，②，③， 得， 通分可得， 所以， 所以． 故答案为：． 38．（24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质． （1）根据通分的定义把分式变形即可； （2）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：，，． 39．（24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质． （1）根据通分的定义把分式变形即可； （2）根据通分的定义把分式变形即可； （3）根据通分的定义把分式变形即可； （4）根据通分的定义把分式变形即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：，； （3）解：，； （4）解：，． 【易错必刷十四 分式的加减法】 40．（2022八年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）分式的分母相同，直接相减进行计算； （2）分式的公分母为，先通分，在进行计算； （3）直接进行通分，在进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减，找公分母，通分是解题的关键． 41．（23-24八年级下·北京丰台·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】直接将分式的分子分解因式，进而化简，再进行加减计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了分式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键． 42．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据分式加减法则计算即可； （2）先通分，再根据分式加减法则计算即可． 【详解】（1）解： = =． （2）解： = = =． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练掌握分式加减法则，准确进行计算． 【易错必刷十五 分式加减的实际应用】 43．（24-25八年级下·全国·课后作业）从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是，其中第一条路是平路，第二条有的上坡路、的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为． (1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？ (2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？ 【答案】(1) (2)走第一条路花费时间少，少 【分析】本题考查了速度，路程，时间之间的关系，异分母分式的加减运算的实际应用，解题的关键是理解题意，掌握速度，路程，时间之间的关系． （1）分别表示出上坡路的时间和下坡路的时间，然后相加即可； （2）表示出走第一条路所用时间，然后作差求解即可． 【详解】（1）解：走第二条路所用时间：； （2）解：走第一条路所用时间： ∴ ∴走第一条路花费时间少，少． 44．（23-24八年级下·内蒙古包头·期末）小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 【答案】(1)两次共采购的件数为件 (2)第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍 【分析】本题考查分式运算的实际应用： （1）根据数量等于总价除以单价，求出每次采购的数量，再相加即可； （2）用第一次的数量除以第二次的数量进行求解即可． 【详解】（1）解：第一次采购该商品的件数为， 第二次采购该商品的件数为， 所以，两次共采购的件数为（件）． （2）， 第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍． 45．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）为了鼓励学生加强锻炼，增强体质，实验中学准备购买一些健身器材供学生使用．经调查，某厂家有A，B两种健身器材可供选择，如果购买A种健身器材套需要2万元，如果购买B种健身器材套需要12万元． (1)请用含x的代数式分别表示这两种健身器材的单价； (2)一套A种健身器材和一套B种健身器材一共多少元？ 【答案】(1)A种健身器材的单价为：万元；B种健身器材的单价为：万元 (2)万元 【分析】本题考查列代数式的应用，分式加法的应用，掌握，分式加法法则是解题的关键． （1）根据，列式即可． （2）用A种健身器材的单价+B种健身器材的单价，列式计算即可． 【详解】（1）解：A种健身器材的单价为：万元； B种健身器材的单价为：． （2）解： ， 答：一套A种健身器材和一套B种健身器材一共万元 【易错必刷十六 分式乘除法】 46．（24-25八年级上·全国·假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算．利用分式的除法和乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 47．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，掌握因式分解是解题的关键． 先进行因式分解，再把除法转为乘法约去公因式即可求解． 【详解】解： ． 48．（24-25八年级上·全国·单元测试）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算．先把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】解： ． 【易错必刷十七 分式乘方】 49．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的乘方运算法则计算即可； （）根据分式的乘方运算法则计算即可； 本题考查了分式的乘方运算，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 50．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘法即可； （2）先计算乘方，再计算除法即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式. 51．（24-25八年级上·山东淄博·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果． 【详解】解： ． 【易错必刷十八 分式的化简求值】 52．（2025·江苏苏州·一模）化简：，并从，1，2中任取一个数作为a的值，求代数式的值． 【答案】，3 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则计算得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， ， 由题意得，，， 则，， ， 当时，原式． 53．（2023·甘肃天水·一模）先化简：，然后在0，1，2中选取合适的值代入求值． 【答案】，1 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵，， ∴x取2，则原式． 54．（24-25九年级下·福建福州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则，熟练运用整体思想是解题关键． 根据分式的混合运算法则化简分式，然后整体代入条件求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【易错必刷十九 分式方程的定义】 55．（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：关于的方程中，分母不含未知数，不是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 故选：C． 56．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）下列关于的方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义：分母中含有未知数的有理方程是解本题的关键．根据分式方程的定义，判断即可得到结果． 【详解】解：、分母中不含未知数，故本选项不符合题意； 、分母中不含未知数，故本选项不符合题意； 、是无理方程，故本选项不符合题意； 、是分式方程，故本选项符合题意； 故选：． 57．（2025八年级下·全国·专题练习）下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 【答案】⑤ 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，是解此题的关键． 【详解】解：方程①、②、③、④的分母中都不含未知数，不是分式方程，⑤的分母中含有未知数，是分式方程， 所以分式方程有⑤． 故答案为：⑤． 【易错必刷二十 解分式方程】 58．（24-25八年级下·上海·期中）解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 59．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)无解 (3) (4) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本方法，是解题的关键， （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （3）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （4）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的根； （4）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的根． 60．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：去分母得， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解； （2）解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 【易错必刷二十一 根据分式方程解的情况求参数】 61．（23-24八年级上·山东济南·期中）已知关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】此题考查了解分式方程，表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出m的范围；利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【详解】解：依题意， 则化为整式，得 则， ∵方程有解，且解为负数， ∴ 解得， 则且， 所以m的取值范围为且． 62．（23-24八年级下·四川达州·期末）已知关于的分式方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据解分式方程的方法解出，根据解为正数可得，，解不等式即可求解． 【详解】解：方程两边同乘得：，解得：， 根据分式方程的解为正数，得到，解得：， ∴的取值范围为． 【点睛】本题主要考查根据分式方程的解求参数，掌握解分式方程的方法，解不等式的解集的方法是解题的关键． 63．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）若关于x的方程的解为非负数，求a的取值范围． 【答案】且 【分析】解分式方程得出，根据分式方程的解为非负数可得关于的不等式（同时保证），解之可得． 【详解】解：方程两边都乘以，得：， 解得， 分式方程的解为非负数， 且， 解得且． 【点睛】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【易错必刷二十二 分式方程的增根、无解问题】 64．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）当a为何值时，关于x的方程会产生增根？ 【答案】当时，关于x的方程会产生增根． 【分析】先将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，可知增根为，再将代入，即可得出的值． 【详解】解：去分母，得． ∵方程的增根是， ∴把代入，即， 解得． ∴当时，关于x的方程会产生增根． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，先把分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母为0，则这个整式方程的解就是分式方程的增根． 65．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“△”看不清楚． (1)若“△”表示的数为4，求分式方程的解； (2)小颖说：“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“△”代表的数． 【答案】(1) (2)原分式方程中“△”代表的数为2 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程一定注意要验根． （1）把△代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设△为m，利用分式方程无解得到增根，解答即可． 【详解】（1）解：，方程两边同乘， 得，解得， 经检验，得是原分式方程的解； （2）解：设，，方程两边同乘， 得． ∵原分式方程无解，即原方程产生增根， ∴， ∴是增根， 把代入， 得． 得， ∴原分式方程中“△”代表的数为2． 66．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】m的值为或或 【分析】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， ， ， 由分式方程无解，得到 即， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当，整式方程无解， 解得， 故m的值为或或． 【易错必刷二十三 分式方程的行程问题】 67．（24-25八年级下·全国·单元测试）某部门距离抢修工地．抢修车装载材料先从该部门出发，后，维修工乘轿车从同一地点出发，结果同时到达抢修工地．已知轿车的速度是抢修车的倍，求抢修车的速度． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设抢修车的速度为x千米/时，则轿车的速度为千米/时，根据题意列出方程求解即可，注意单位换算． 【详解】设抢修车的速度为x千米/时，则轿车的速度为千米/时． 由题意得， 解得， 经检验是原方程的根， 答：抢修车的速度为． 68．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）一列火车从甲站开出，到相距450千米的乙站，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，然后把速度提高到原来的1.2倍，结果准时到达目的地．求这列火车原来的速度． 【答案】这列火车原来的速度为75千米／时 【分析】此题主要考查了列分式方程解应用题，关键是弄清题意，找出等量关系，列出方程． 设这列火车原来的速度为每小时x千米，那么提速后的速度为每小时千米，根据等量关系：3小时后，按原速度行驶所用时间－提速后时间，列出方程，求解即可． 【详解】解：设这列火车原来的速度为x千米／时， 根据题意，得． 解得． 经检验知是原方程的解． 所以，这列火车原来的速度为75千米／时． 69．（2025·云南玉溪·一模）2024年10月5日，主题为“跃动玉溪·前进前进”的2024玉溪马拉松在玉溪市红塔区聂耳音乐广场开跑，来自各地的10560名马拉松选手在聂耳的故乡与风竞速，用汗水浇灌梦想的种子，感受这座城市的活力脉动，体验滇中明珠的独特魅力．小许参加了这次马拉松比赛，全程42千米，小许出发后按原计划的速度跑了一半，后来将平均速度提高到原计划的1.2倍，结果比原计划提前小时到达终点，求小许原计划的平均速度是多少？ 【答案】小许原计划的平均速度是10.5千米/小时 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意设原计划的速度，进而表示提速后的速度，再根据后一半路程原计划所用时间减去提速后所用时间等于列出方程，求出解即可． 【详解】解：设小许原计划的平均速度为x千米/小时，提速后的平均速度为千米/小时， 根据题意得：， 解方程得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：小许原计划的平均速度是10.5千米/小时． 【易错必刷二十四 分式方程的工程问题】 70．（24-25八年级下·全国·课后作业）甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工．已知甲队比乙队每天多安装2台，乙队每天安装多少台？ (1)设乙队每天安装x台，根据题意，下列方程中，正确的是（   ）； A． B． C． D． (2)求解你选择的方程； (3)检验方程的解是否符合原方程且具有实际意义． 【答案】(1)D (2) (3)符合 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键： （1）根据两队同时开工且恰好同时完工，列出方程，进行判断即可； （2）去分母，将方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可； （3）根据方程的解，进行检验即可． 【详解】（1）解：设乙队每天安装x台，根据题意，得：； 故选D； （2）解：， 去分母，得：， 解得：； 经检验是原方程的解． （3）由（2）知方程的解为， 当时，， 把代入方程：左边右边， ∴左边等于右边， ∴方程的解符合原方程且具有实际意义． 71．（24-25八年级下·全国·课后作业）某工程由乙单独完成比甲单独完成多用3天．计划甲、乙合做2天后，再由乙单独完成．如果乙一共所用的天数刚好与甲单独完成工程所用的天数相等，求甲单独完成该工程所用的时间． 【答案】甲单独完成该工程所用的时间为6天 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设甲单独完成工程所用的时间为x天，则乙单独完成该工程所用的时间为天，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设甲单独完成工程所用的时间为x天，则乙单独完成该工程所用的时间为天． 根据题意，可列方程， 解得． 经检验，是原方程的根， 答：甲单独完成该工程所用的时间为6天． 72．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料，由题意型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解： 设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料， 根据题意得：， 解得：， 经检验，为原方程的解，且符合题意， 则， ∴种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料． 【易错必刷二十五 分式方程的经济问题】 73．（2025·山西大同·二模）随着农业数字化转型加速推进，某乡村振兴示范县积极发展特色农产品电商产业．当地一家农产品电商店铺计划购进两种以本地特色花卉为原料的加工产品，已知购进一个A产品比购进一个B产品多5元，且用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等．求购进一个A产品，一个B产品各需要多少元？ 【答案】购进一个A产品元，购进一个B产品元 【分析】本题主要考查分式的运用，理解数量关系，正确列分式方程求解是关键． 设购进一个B产品元，则购进一个A产品元，根据数量关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设购进一个B产品元，则购进一个A产品元， ∵用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等 ∴， 解得，， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解，则（元） ∴购进一个A产品元，购进一个B产品元． 74．（24-25九年级下·云南曲靖·阶段练习）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录，该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ 【答案】购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键．设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，根据各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶，购进两种玩偶的数量共15个，据此列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， 由题意可得，， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 即（元） ∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元． 75．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）为了调动同学们弘扬传统文化的积极性，某校开展了“一带一路”——多元文化节的艺术活动，计划从某商店购买水杯和笔记本作为奖品．已知该商店销售水杯的单价是笔记本的2倍，用180元购买笔记本的数量比用240元购买水杯的数量多6件． (1)请分别求出水杯与笔记本的单价； (2)学校设置了优秀奖和参与奖共25个，优秀奖的奖品为水杯，参与奖的奖品为笔记本，学校计划在购买奖品的经费不超过350元的情况下尽可能多地设置优秀奖，则学校应设置优秀奖和参与奖各多少个? 【答案】(1)水杯的单价为20元，笔记本的单价为10元 (2)学校应设置优秀奖和参与奖各为10个 【分析】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设笔记本的单价为x元，则水杯的单价为元，由题意易得，然后求解即可； （2）设学校应设置优秀奖为m个，则参与奖为个，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设笔记本的单价为x元，则水杯的单价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：水杯的单价为20元，笔记本的单价为10元． （2）解：设学校应设置优秀奖为m个，则参与奖为个，由题意得： ， 解得：， ∵要尽可能多地设置优秀奖， ∴； 答：学校应设置优秀奖和参与奖各为10个． 【易错必刷二十六 分式方程的新定义问题】 76．（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一元一次方程与分式方程是“相似方程”； (2)不存在，理由如下 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断； （2）根据题意用a表示出的值，再根据“相伴方程”的定义及a为正整数即可求出a的值．然后结合分式方程有意义进行分析，即可作答． 本题主要考查了一元一次方程，分式方程，按照定义求解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：一元一次方程与分式方程是“相似方程”，理由如下： ∵， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 检验：是原分式方程的解 一元一次方程与分式方程是“相似方程”； （2）解：不存在，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 当时，即时，方程有意义 假设关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程” ∴ 则 解得 此时与相矛盾 ∴关于x的一元一次方程与分式方程不是“相伴方程” 77．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是“相似方程”，理由见解析 (2)或3 【分析】本题考查了新定义以及解一元一次方程和解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键， （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：是“相似方程”，理由如下： 解得 解得 经检验，是方程的解 ∵若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”； ∴方程与是“相似方程”． （2）解： ∵x，y，m均为整数 ∴ ∴ ∵m为正整数 ∴或3 78．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1)1 (2)a的值为 【分析】本题考查有理数的混合运算，解分式方程等知识，理解定义的运算是解题的关键． （1）运用定义运算代入计算即可； （2）运用定义运算代入得到一个分式方程，求解这个分式方程即可，注意检验． 【详解】（1）解：； （2）， 去分母得：， 解得：， 经检验：是方程的解， ⸫a的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 分式与分式方程易错必刷题型专训（78题26个考点） 【易错必刷一分式的判断 】 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下列各式：，，，中，分式共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）在，，，，，中，分式的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）在中， 是整式， 是分式． 【易错必刷二 分式的规律性问题】 4．（24-25八年级上·云南文山·期末）一组按规律排列的式子：，，，，…（，n为正整数），第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，，，，，，，即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为 ． 6．（2023九年级下·安徽·专题练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第个等式： ； (2)用含有的代数式表示第个等式并证明（为正整数）． 【易错必刷三 按要求构造分式】7．（23-24七年级下·广西贺州·期末）春秋季节，是病毒活跃期，某学校为了做好病毒消杀工作，从市场上购买了瓶消毒液，原计划每天用瓶，后由于提高了消毒要求，每天多用了瓶消毒液，则这些消毒液提前几天用完？？（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）小红家距学校，若小红步行上学的速度为，则小红步行的时间为 ；若小红计划用到学校，则小红步行的速度为 ．上述式子中，是分式的有 ． 9．（24-25八年级下·全国·课后作业）解答下列问题： (1)某项工程，甲队需t天完成，该队每天完成的工作量是多少？ (2)一段长的路，小明步行需，骑自行车所用的时间比步行所用时间的一半少．骑自行车的平均速度是多少？ (3)某商品降价后的售价为a元，该商品的原价是多少元？ 【易错必刷四 分式有无意义的条件】 10．（24-25八年级下·重庆·期中）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 11．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取什么数时，分式有意义？当x取什么数时，该分式无意义？ 【易错必刷五 分式值为零的条件】 13．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）若分式的值为0，则x的值是（   ） A．2 B． C．2或 D．0 14．（2025·山东泰安·一模）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 无意义 * * * … A． B． C． D． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知分式的值为0，则x的值是 ． 【易错必刷六 分式的求值】 16．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）已知，则的值为（   ） A．14 B． C．7 D．4 17．（24-25八年级下·四川内江·期中）分式，则分式的值为（      ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【易错必刷七 分式值为整数时的求值】 19．（2025·河北唐山·一模）分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 20．（2025·吉林·模拟预测）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 21．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）求所有的正整数，使得为整数． 【易错必刷八 分式变形】 22．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）若把分式中的a，b都缩小为原来的，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的9倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）用分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入： （2）；括号内应填入： （3）．括号内应填入： 24．（23-24八年级上·全国·课后作业）在括号中填上恰当的式子： （1）；     （2）； （3）；     （4）（且）． 【易错必刷九 分式的分子分母化简问题】 25．（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子与分母中各项系数都为整数，化简的结果为 ． 27．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【易错必刷十 最简分式】 28．（24-25八年级下·全国·单元测试）分式、、、中，最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 29．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25八年级上·山东泰安·期末）在分式，，，中，最简分式有 个 【易错必刷十一 约分】 31．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： ． 32．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： ． 33．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷十二 最简公分母】 34．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 35．（2025七年级下·全国·专题练习）分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 36．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）分式，，的最简公分母为 ． 【易错必刷十三 通分】 37．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，，则 ． 38．（24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)． 39．（24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷十四 分式的加减法】 40．（2022八年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)． 41．（23-24八年级下·北京丰台·阶段练习）计算：． 42．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【易错必刷十五 分式加减的实际应用】 43．（24-25八年级下·全国·课后作业）从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是，其中第一条路是平路，第二条有的上坡路、的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为． (1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？ (2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？ 44．（23-24八年级下·内蒙古包头·期末）小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 45．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）为了鼓励学生加强锻炼，增强体质，实验中学准备购买一些健身器材供学生使用．经调查，某厂家有A，B两种健身器材可供选择，如果购买A种健身器材套需要2万元，如果购买B种健身器材套需要12万元． (1)请用含x的代数式分别表示这两种健身器材的单价； (2)一套A种健身器材和一套B种健身器材一共多少元？ 【易错必刷十六 分式乘除法】 46．（24-25八年级上·全国·假期作业）计算： ． 47．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： 48．（24-25八年级上·全国·单元测试）化简： 【易错必刷十七 分式乘方】 49．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 50．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 51．（24-25八年级上·山东淄博·期中）计算： 【易错必刷十八 分式的化简求值】 52．（2025·江苏苏州·一模）化简：，并从，1，2中任取一个数作为a的值，求代数式的值． 53．（2023·甘肃天水·一模）先化简：，然后在0，1，2中选取合适的值代入求值． 54．（24-25九年级下·福建福州·期中）先化简，再求值：，其中． 【易错必刷十九 分式方程的定义】 55．（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 56．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）下列关于的方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 57．（2025八年级下·全国·专题练习）下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 【易错必刷二十 解分式方程】 58．（24-25八年级下·上海·期中）解方程：． 59．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 60．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列分式方程： (1)； (2)． 【易错必刷二十一 根据分式方程解的情况求参数】 61．（23-24八年级上·山东济南·期中）已知关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 62．（23-24八年级下·四川达州·期末）已知关于的分式方程的解为正数，求的取值范围． 63．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）若关于x的方程的解为非负数，求a的取值范围． 【易错必刷二十二 分式方程的增根、无解问题】 64．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）当a为何值时，关于x的方程会产生增根？ 65．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“△”看不清楚． (1)若“△”表示的数为4，求分式方程的解； (2)小颖说：“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“△”代表的数． 66．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）若关于的分式方程无解，求的值． 【易错必刷二十三 分式方程的行程问题】 67．（24-25八年级下·全国·单元测试）某部门距离抢修工地．抢修车装载材料先从该部门出发，后，维修工乘轿车从同一地点出发，结果同时到达抢修工地．已知轿车的速度是抢修车的倍，求抢修车的速度． 68．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）一列火车从甲站开出，到相距450千米的乙站，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，然后把速度提高到原来的1.2倍，结果准时到达目的地．求这列火车原来的速度． 69．（2025·云南玉溪·一模）2024年10月5日，主题为“跃动玉溪·前进前进”的2024玉溪马拉松在玉溪市红塔区聂耳音乐广场开跑，来自各地的10560名马拉松选手在聂耳的故乡与风竞速，用汗水浇灌梦想的种子，感受这座城市的活力脉动，体验滇中明珠的独特魅力．小许参加了这次马拉松比赛，全程42千米，小许出发后按原计划的速度跑了一半，后来将平均速度提高到原计划的1.2倍，结果比原计划提前小时到达终点，求小许原计划的平均速度是多少？ 【易错必刷二十四 分式方程的工程问题】 70．（24-25八年级下·全国·课后作业）甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工．已知甲队比乙队每天多安装2台，乙队每天安装多少台？ (1)设乙队每天安装x台，根据题意，下列方程中，正确的是（   ）； A． B． C． D． (2)求解你选择的方程； (3)检验方程的解是否符合原方程且具有实际意义． 71．（24-25八年级下·全国·课后作业）某工程由乙单独完成比甲单独完成多用3天．计划甲、乙合做2天后，再由乙单独完成．如果乙一共所用的天数刚好与甲单独完成工程所用的天数相等，求甲单独完成该工程所用的时间． 72．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【易错必刷二十五 分式方程的经济问题】 73．（2025·山西大同·二模）随着农业数字化转型加速推进，某乡村振兴示范县积极发展特色农产品电商产业．当地一家农产品电商店铺计划购进两种以本地特色花卉为原料的加工产品，已知购进一个A产品比购进一个B产品多5元，且用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等．求购进一个A产品，一个B产品各需要多少元？ 74．（24-25九年级下·云南曲靖·阶段练习）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录，该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ 75．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）为了调动同学们弘扬传统文化的积极性，某校开展了“一带一路”——多元文化节的艺术活动，计划从某商店购买水杯和笔记本作为奖品．已知该商店销售水杯的单价是笔记本的2倍，用180元购买笔记本的数量比用240元购买水杯的数量多6件． (1)请分别求出水杯与笔记本的单价； (2)学校设置了优秀奖和参与奖共25个，优秀奖的奖品为水杯，参与奖的奖品为笔记本，学校计划在购买奖品的经费不超过350元的情况下尽可能多地设置优秀奖，则学校应设置优秀奖和参与奖各多少个? 【易错必刷二十六 分式方程的新定义问题】 76．（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 77．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 78．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$