专题5.2 分式的运算（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题5.2 分式的运算 · 典例分析 【典例1】已知，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了分式的化简求值，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答, 准确熟练地进行计算是解题的关键． 【解题过程】 解： ， ∵， ∴， 当时，原式， 故答案为：． · 学霸必刷 1．（2025·辽宁朝阳·一模）已知为整式，若计算的结果为，则（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【解题过程】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了分式的混合运算，先求出、、、、、、，得出规律每次一循环，结合即可得解，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． 【解题过程】 解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， …， 由此可得，每次一循环， ∵， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知实数x，y，z，a满足，，，且，则代数式的值等于（    ） A．0 B． C．2 D． 【思路点拨】 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据，可以先将所求式子化简，然后根据，可以得到∶，，，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【解题过程】 解∶∵，，， ∴，，， ∵， ， 故选：B． 4．（24-25八年级下·四川眉山·阶段练习）若，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查分式的化简求值 ，由得出，再把变形为，然后再整体代入计算即可得到答案． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 5．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知为整数，且为正整数，则所有符合条件的的值的和为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 【思路点拨】 本题考查了分式的混合运算和化简，乘法公式等知识点，解题的关键是熟练掌握公式法因式分解和分式的约分．利用分式混合运算法则对原式进行化简，根据要求知道分子是分母的正整数倍，得出符合题意的的值． 【解题过程】 解： ∵为正整数，且为整数， ∴或， ∴的取值为6，4， 则所有符合条件的的值的和为， 故选：B． 6．（2025·安徽合肥·一模）设，，定义新运算：，若，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项利用题中的新定义计算得到结果，即可做出判断． 【解题过程】 解：A．∵， ∴，故不正确； B．∵， ， ∴，故正确； C．∵，， ∴，故不正确； D．，， ∴，故不正确； 故选B． 7．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则的值为（   ）． A．1 B． C．3 D． 【思路点拨】 本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是关键．首先把所求的式子化成的形式，然后根据，即，，代入求解． 【解题过程】 解： ， ，，， ∴原式． 故选：D． 8．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键．先根据分式的加减法则计算每一个等式的左边，然后将三个等式相加，再取其倒数即可得出结果． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．（24-25八年级下·江苏南京·期中）若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 本题考查分式的加减运算，解三元一次方程组，解题的关键是正确化简分式．先将化简计算得到，则得到方程组，即可求解，再代入求值． 【解题过程】 解： ， ∵（A、B、C均为常数）的计算结果为， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 10．（24-25八年级上·浙江温州·期末）若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查分式的混合运算，由已知条件得出，，，，联立，得，代入整理之后对算式进行通分即可． 【解题过程】 解：， ，，，， 联立， 得， ∴原式 ． 故选A． 11．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则 ． 【思路点拨】 本题考查了分式的化简求值，关键是条件的灵活运用．由，代入所求分式进行化简即可得出答案． 【解题过程】 解：∵， ∴ ． 故答案为：5． 12．（2025七年级下·浙江·专题练习）如果是正数，且满足，，那么的值为 ． 【思路点拨】 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 把已知等式变形后代入所求分式中，再利用整体思想将分式化简求值即可． 【解题过程】 解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·山东聊城·期末）对于代数式m，n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【思路点拨】 本题考查了分式的加减法，根据定义运算表示出的式子，再将进行运算，便得到A和B的值，最后代入中，求出结果即可． 【解题过程】 解：， ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：8． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业），为实数，且．设，，则 （填“”“”或“”）． 【思路点拨】 本题考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．将两式分别化简，然后将代入其中，再进行比较，即可得出结论． 【解题过程】 解： ， ； ； ， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·山东东营·期中）化简： ． 【思路点拨】 本题考查了分式的加法运算，根据异分母分式的加法运算法则，依次通分进行计算即可，熟练掌握异分母分式的加法运算法则是解题的关键． 【解题过程】 解：原式 ． 16．（2024八年级·全国·竞赛）已知非0实数a，b，c满足．则 ． 【思路点拨】 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算化简，完全立方公式的推导及变形运用，是解决本题的关键．用第一个括号里的算式分别乘以第二个括号里的三个分式，结合化简，所得三部分合并再化简，结合二数和完全立方式展开变形，代入化简即得． 【解题过程】 解：∵， 同理，，， ∴原式， 又，即， 则， 故原式． 故答案为：9． 17．（23-24八年级上·山东青岛·自主招生）已知a，b，c是非零有理数，且满足，则等于 ． 【思路点拨】 先在等式的两边同时乘非零数，得到，变形为，，再将三个等式代入所求代数式化简即可得出答案． 【解题过程】 解： ，， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （1）先通分，把分母都化为，然后进行同分母的加减运算； （2）先进行同分母的减法运算，然后约分即可； （3）先通分，然后进行同分母的减法运算； （4）先把除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，然后约分即可． 【解题过程】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题考查了分式的混合运算，解题的关键是按照分式的混合运算顺序先进行乘方运算，然后是乘除运算，最后进行加减运算，有括号先算括号里面的． （1）把除法变成乘法，再约分计算； （2）先算括号里面的，再把除法变成乘法约分计算； （3）先算括号里面的，再约分计算； （4）先算括号里面的，再把除法变成乘法约分计算； 【解题过程】 （1）解： = =； （2）解： = = = =； （3） = = = =； （4） = = = = = = 20．（2025年陕西省初中学业水平考试模拟数学试题）先化简，再求值：，其中为满足的整数． 【思路点拨】 本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加法运算，再计算除法运算，得到化简的结果，再根据分式有意义的条件代入计算即可． 【解题过程】 解： ； ∵为满足的整数． ∴或或， ∵分式有意义， ∴，， ∴当时， 原式． 21．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）先化简再求值：，其中是从中选取的一个合适的数． 【思路点拨】 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再选取合适的值代入计算即可求出值． 【解题过程】 解： ∵ ∴时，原式 22．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值 ，其中， ． 【思路点拨】 本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，再根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求出x、y的值，最后代值计算即可． 【解题过程】 解： ， 当，时，原式． 23．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）先化简，再求值：，其中，满足． 【思路点拨】 本题主要考查了分式的化简求值，乘法公式，先根据乘法公式去括号，再把小括号内的式子通分化简，接着把除法变成乘法后约分化简，最后根据非负数的性质求出x、y的值并代值计算即可得到答案． 【解题过程】 解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 24．（2025八年级下·全国·专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： + ； （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【思路点拨】 本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （1）由“和谐分式”的定义对各式变形即可解； （2）由 可解； （3）将原式变形为，据此得出或，再根据分式有意义的条件，据此可得答案． 【解题过程】 （1）解：① ，是和谐分式， ② ，不是和谐分式， ③ ，是和谐分式， ④ ，是和谐分式， 故答案为：①③④； （2）解： ， 故答案为：，； （3）解：原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， ∴或或1或， 又∵分式有意义时， ∴． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 分式的运算 · 典例分析 【典例1】已知，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了分式的化简求值，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答, 准确熟练地进行计算是解题的关键． 【解题过程】 解： ， ∵， ∴， 当时，原式， 故答案为：． · 学霸必刷 1．（2025·辽宁朝阳·一模）已知为整式，若计算的结果为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知实数x，y，z，a满足，，，且，则代数式的值等于（    ） A．0 B． C．2 D． 4．（24-25八年级下·四川眉山·阶段练习）若，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知为整数，且为正整数，则所有符合条件的的值的和为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 6．（2025·安徽合肥·一模）设，，定义新运算：，若，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则的值为（   ）． A．1 B． C．3 D． 8．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·江苏南京·期中）若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25八年级上·浙江温州·期末）若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则 ． 12．（2025七年级下·浙江·专题练习）如果是正数，且满足，，那么的值为 ． 13．（24-25八年级上·山东聊城·期末）对于代数式m，n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业），为实数，且．设，，则 （填“”“”或“”）． 15．（23-24八年级上·山东东营·期中）化简： ． 16．（2024八年级·全国·竞赛）已知非0实数a，b，c满足．则 ． 17．（23-24八年级上·山东青岛·自主招生）已知a，b，c是非零有理数，且满足，则等于 ． 18．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．（2025年陕西省初中学业水平考试模拟数学试题）先化简，再求值：，其中为满足的整数． 21．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）先化简再求值：，其中是从中选取的一个合适的数． 22．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）先化简，再求值 ，其中， ． 23．（24-25八年级下·重庆北碚·期中）先化简，再求值：，其中，满足． 24．（2025八年级下·全国·专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： + ； （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 第 1 页 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