专题05 分式与分式方程100道计算题专项训练（10大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

第05讲 分式与分式方程100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式的加减法 题型三 分式的乘除法 题型四 分式的四则混合运算 题型五 分式的求整问题 题型六 分式方程的解法 题型七 分式方程解的情况求参数 题型八 分式方程的增根无解问题 题型九 分式的规律计算问题 题型十 分式的新定义计算 【经典计算题一 分式的求值】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）按下列条件求分式的值： (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）求下列分式的值： (1)，其中； (2)，其中，． 4．（24-25九年级下·北京·阶段练习）已知，求代数式的值． 5．（2025·北京延庆·模拟预测）已知，求代数式的值． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 7．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 8．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）先化简，再求值：，其中. 9．（24-25八年级上·北京·期末）已知，求代数式的值． 10．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）已知，求分式的值； （2）已知，求分式的值 【经典计算题二 分式的加减法】11．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）化简：． 15．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 16．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)． (2)． 17．（23-24八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 18．（23-24八年级上·北京昌平·期中）计算：． 19．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典计算题三 分式的乘除法】21．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 22．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 23．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 24．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 25．（23-24八年级上·西藏拉萨·期末）计算： (1) (2) 26．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； 27．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）计算：． 28．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）计算：． 29．（24-25八年级上·山东聊城·期中）分式乘除运算： (1) (2) (3) (4) 30．（24-25八年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典计算题四 分式的四则混合运算】 31．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 32．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 33．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 34．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 35．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 36．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 37．（24-25八年级下·全国·单元测试）化简： (1)； (2)． 38．（2025·陕西西安·模拟预测）化简． 39．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算：． 40．（2025·陕西宝鸡·二模）化简：． 【经典计算题五 分式的求整问题】 41．（24-25八年级下·全国·课后作业）若分式的值为整数，求整数x的值． 42．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）求所有的正整数，使得为整数． 43．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）已知为整数，且分式的值是整数，求的所有可能值． 44．（23-24八年级下·山西运城·阶段练习）综合与实践 在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，，一名这样的分式就是真分式． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：． 类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ． (1)分式是_________分式．（填“真”或“假”） (2)参考上面的方法，将分式化为带分式． (3)如果分式的值为整数，求x的整数值． 45．（23-24八年级上·湖南永州·期中）先化简分式，再判断：当整数x取何值时，分式的值是正整数？ 46．（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知分式． (1)当为何值时，该分式无意义； (2)当为何整数值时，该分式的值为正整数． 47．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知为整数，的值是正整数，求的值． 48．（23-24八年级上·全国·课堂例题）学完分式的概念后，老师出了一道题：当取哪些整数时，分式的值是整数？ 小芳的解答如下：当，即，3，5时，分式的值是整数． 小芳的解答对吗？如果不对，请改正． 49．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）先化简分式 ，再讨论：当整数取何值时，能使分式的值是正整数？ 50．（23-24八年级下·江苏·期中）已知分式． (1)若分式无意义，求x； (2)若分式值为0，求x； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【经典计算题六 分式方程的解法】 51．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 52．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 53．（24-25八年级下·全国·期中）解方程： (1)； (2) 54．（24-25八年级下·吉林白城·开学考试）解方程：． 55．（2025·陕西渭南·一模）解方程： 56．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）解分式方程： (1)； (2)． 57．（24-25八年级下·上海·期中）解方程：． 58．（24-25八年级下·江苏常州·期中）解方程： (1)； (2)． 59．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 60．（24-25八年级下·江苏南京·期中）解分式方程： (1)． (2)． 【经典计算题七 分式方程解的情况求参数】 61．（24-25八年级上·山东济南·期中）若关于x的分式方程的解为正整数，则正数m的值为多少？ 62．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）若关于y的方程的解为非负数，求a的取值范围． 63．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知关于的分式方程． (1)若这个分式方程的解是，求的值； (2)若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围． 64．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 65．（2025八年级下·全国·专题练习）关于的方程有整数解，求此时整数的值． 66．（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于的方程的解比的解多，求的值． 67．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）阅读下列材料： 关于的分式方程的解是；的解是；的解是． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于的方程的解为______； (2)直接写出关于的方程的解为______； 68．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）关于的分式方程：． (1)当时，求此时方程的解． (2)若这个方程的解为正数，求的取值范围． 69．（24-25八年级上·北京顺义·期中）若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 70．（2025八年级下·全国·专题练习）若关于x的分式方程的解为非负数，求满足条件的正整数m的值． 【经典计算题八 分式方程的增根无解问题】 71．（24-25八年级下·全国·课后作业）m为何值时，关于x的分式方程无解？ 72．（24-25七年级上·上海·阶段练习）关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的取值范围． 73．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的分式方程无解，求参数a的值． 74．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程无解，求a的值． 75．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x的方程． (1)当此方程的解为时，求k的值； (2)当此方程会产生增根时，求k的值． 76．（2025八年级下·全国·专题练习）关于x的分式方程． (1)当为何值时，分式方程有增根； (2)当为何值时，分式方程无解． 77．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 78．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）若关于的方程的解是增根，求的值． 79．（23-24八年级下·四川雅安·期中）已知关于的分式方程，若方程无解，求的值． 80．（23-24八年级上·湖南娄底·期中）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 【经典计算题九 分式的规律计算问题】 81．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ．．．．．． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式：_____； (2)猜想第个等式：_____（用含的等式表示），并证明． 82．（24-25八年级下·全国·单元测试）观察下列式子： (1)你发现了什么规律？用含n的式子表示这一规律． (2)如果x的取值为大于1的整数，利用（1）中发现的规律计算． 83．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示）； (3)证明（2）中的等式． 84．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 85．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 根据以上规律解答下面问题： (1)直接写出第4个等式：__________； (2)猜想出第个等式（用含的式子表示），并证明． 86．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）观察下列式子，并探索它们的规律： ①，②，③…… (1)请写出第④个等式：__________； (2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明． 87．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）观察下面的变形规律： (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的： (3)化简：． 88．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）观察下面的等式：，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论为______（用含n的等式表示，n为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 89．（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如：与 ，， 是的“关联分式”． (1)已知分式，则__________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)求分式的“关联分式”； (3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 90．（24-25八年级上·广东汕头·期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【经典计算题十 分式的新定义计算】 91．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如：，我们称是的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式是分式的“ 差分式”． (2)分式是分式的“差分式”． （含的代数式表示）； 若的值为正整数，为正整数，求值． 92．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 93．（24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)若分式，，请判断是否为的“雅中式”？若是，请求出关于的“雅中值”；若不是，请说明理由． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”为，试用含的式子表示． 94．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境 如果我们定义一种运算，可以将一个分式转化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“优美分式”．如，，则和都是“优美分式”． 初步验证 （1）下列各式中，属于“优美分式”的是_______（填序号）． ①；②；③；④． （2）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 探究应用 （3）当时，求的最小值． 95．（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 96．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 97．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 98．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如． 解决下列问题： (1)分式是　　（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 99．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 100．（23-24八年级下·福建福州·开学考试）定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分式”，如分式，则A是B的“最友好分式”． (1)已知分式，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由； (2)已知分式，且E是F的“最友好分式”． ①求P（用含x的式子表示）； ②若为定值，求m与n之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 分式与分式方程100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式的加减法 题型三 分式的乘除法 题型四 分式的四则混合运算 题型五 分式的求整问题 题型六 分式方程的解法 题型七 分式方程解的情况求参数 题型八 分式方程的增根无解问题 题型九 分式的规律计算问题 题型十 分式的新定义计算 【经典计算题一 分式的求值】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，正确得到是解题的关键． （1）先求出，再把所求分式中的x用替换，再约分即可得到答案； （2）先求出，再把所求分式中的x用替换，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）按下列条件求分式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把字母的值代入计算即可求出值． （2）把字母的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）求下列分式的值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把字母的值代入计算即可求出值． （2）把字母的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，． 4．（24-25九年级下·北京·阶段练习）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，将分式进行约分化简后，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 5．（2025·北京延庆·模拟预测）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】用表示分子，分母，后变形代入计算即可． 本题考查了已知式子的值，求分式的值，运用整体思想变形解答是解题的关键． 【详解】解： ∴原式． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用整体代入法是解题关键．由已知条件可得，再整体代入分式化简求值即可． 【详解】解：， ， ， ． 7．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了求分式的值，掌握整体代入法是解题的关键．将代入求解即可． 【详解】解：， ． 8．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）先化简，再求值：，其中. 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的性质化简，然后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 9．（24-25八年级上·北京·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的约分，分式的求值，先约分得到结果为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 10．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）已知，求分式的值； （2）已知，求分式的值 【答案】（1）；（2）7 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据可推出，据此代值计算即可； （2）根据完全平方公式得到，则． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 【经典计算题二 分式的加减法】 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键； （1）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （2）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （3）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （4）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式加减法的混合运算，理解通分的运算法则，分式的加减法运算法则是解答关键． （1）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （2）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （3）先通分，再利用分式减法运算法则求解； （4）先变号，再通分，再利用分式减法运算法则求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）原式先通分，再化简即可； （2）先利用平方差公式，再化简即可； （3）先对前两项进行计算，再对最后一项约分，接下来通分，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减混和运算，根据分式的加减混和运算法则计算即可． 【详解】解： ． 15．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，分式的加减乘除混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用分式的加减混合运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式化简，再根据分式的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键； （1）先根据分式的性质进行变形，然后再利用分式的加减运算可进行求解； （2）根据分式的加法运算可进行求解 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 17．（23-24八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式 18．（23-24八年级上·北京昌平·期中）计算：． 【答案】 【分析】先通分，再计算，最后约分进行计算即可得． 【详解】解：原式= = = =． 【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算法则和运算顺序． 19．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】（1）按照同分母分式的加减运算法则进行计算即可； （2）先化为同分母分式，再计算即可； （3）先通分化为同分母分式，再计算即可； （4）先通分化为同分母分式，再计算即可； 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3） ． （4） ． 【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握分式的加减运算的运算法则是解本题的关键． 20．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算即可； （2）利用平方差公式将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算，最后再约分即可； （3）利用平方差公式将分式进行通分，分母则按照十字相乘以及整式的加减乘除混合运算计算即可； （4）先将分式进行约分，再按照整式的加减混合运算计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解： 故答案为：． （4）解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键需要熟练掌握分式加减法则，平方差公式的运用． 【经典计算题三 分式的乘除法】 21．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则，是解题的关键： （1）直接约分化简即可； （2）除法变乘法，约分化简即可； （3）先进行乘方运算，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 22．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除运算，关键是熟练运用因式分解化简分子分母并正确约分； （1）先对提公因式、用平方差公式因式分解，再根据分式乘法法则，约去分子分母公因式得出结果． （2）先对提公因式、用完全平方公式因式分解，接着将除法变乘法，最后约去公因式得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 23．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （）由分式的乘除和约分计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ． 24．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的除法运算法则计算即可； （）根据分式的乘除运算法则计算即可； 本题考查了分式的乘除，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 25．（23-24八年级上·西藏拉萨·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的混合运算． （1）先计算分式的乘方，再计算乘除法即可； （2）把分式的除法变为乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式= ； （2）解：原式= 26．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查的是分式的乘除法，掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）（2）（3）（4）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 27．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题关键． 根据分式的乘除法法则计算即可得出答案． 【详解】解： ． 28．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除法运算法则是解决此题的关键．根据分式的乘除法运算法则，先将除法转化为乘法，再进行乘法运算即可． 【详解】解： ． 29．（24-25八年级上·山东聊城·期中）分式乘除运算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算规则是解题关键； （1）直接利用分式的乘法运算法则计算即可； （2）先将除法变成乘法，再利用分式的乘法运算法则计算即可； （3）先对各分式的分子分母进行因式分解，再利用分式的乘法运算法则计算即可； （4）先将除法变成乘法，同时对各分式的分子分母进行因式分解，再利用分式的乘法运算法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 30．（24-25八年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的乘除混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先计算乘方，再约分即可． （2）先将除法变成乘法，约分即可． （3）先将分子分母因式分解，最后约分即可． （4）先将除法变成乘法，再将分子分母因式分解，最后约分即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ． （3）解：， ， ． （4）解：， ， ． 【经典计算题四 分式的四则混合运算】 31．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是按照分式的混合运算顺序先进行乘方运算，然后是乘除运算，最后进行加减运算，有括号先算括号里面的． （1）把除法变成乘法，再约分计算； （2）先算括号里面的，再约分计算； （3）先算括号里面的，再把除法变成乘法约分计算； 【详解】（1）解： = =； （2） = = = =； （3） = = = = = = 32．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先进行幂的、积的乘方运算，再进行分式的乘除混合运算； （2）利用分式的乘法运算法则计算即可； （3）先将除法化为乘法，再由乘法分配律计算； （4）先通分，化为同分母分式加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 33．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （1）先通分，把分母都化为，然后进行同分母的加减运算； （2）先进行同分母的减法运算，然后约分即可； （3）先通分，然后进行同分母的减法运算； （4）先把除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 34．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的性质是关键． （1）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可； （2）直接利用除法法则进行计算即可； （3）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可； （4）先进行除法运算，再进行减法运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式 ； （4）原式 ． 36．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先把除法写成乘法计算，利用平方差公式因式分解，再利用乘法分配律去括号约分，最后进行同分母加法后，合并同类项再约分即可． （2）先利用乘法分配律去括号，再提公因式后约分，最后合并同类项即可． （3）先把除法写成乘法计算，再提公因式后约分即可． （4）先把除法写成乘法计算，利用平方差公式和完全平方公式因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 37．（24-25八年级下·全国·单元测试）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先通分，然后化简分子，再约分即可； （2）先通分括号内的式子，再计算括号外的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．（2025·陕西西安·模拟预测）化简． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 39．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，先对括号内分式进行通分，再把除法运算转换为乘法运算，进行约分，即可得到结果． 【详解】解： ． 40．（2025·陕西宝鸡·二模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式化简，完全平方公式及平方差公式因式分解．根据题意先将括号内通分化简，再计算除法即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 【经典计算题五 分式的求整问题】 41．（24-25八年级下·全国·课后作业）若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得是整数，则可得到是2的因数，即或，据此求解即可． 【详解】解；∵分式的值为整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或． 42．（23-24九年级·江苏南京·自主招生）求所有的正整数，使得为整数． 【答案】1或3或7 【分析】本题考查了分式的化简；把化为，则为8的正整数因数，即可求得n的值．把分式表示为整式与分式的和的形式是解题的关键． 【详解】解：因为为正整数， 则为整数， 故为正整数， 则为8的正整数因数，且， 故， 故． 43．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）已知为整数，且分式的值是整数，求的所有可能值． 【答案】的所有可能值为0，， 【分析】本题考查了分式的值，解题的关键是得出2是的倍数． 根据x为整数，且分式的值为整数，可得2是的倍数，可得答案． 【详解】解：． 由题意知或或或， ． 又， 舍去， 故的所有可能值为0，，． 44．（23-24八年级下·山西运城·阶段练习）综合与实践 在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，，一名这样的分式就是真分式． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：． 类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ． (1)分式是_________分式．（填“真”或“假”） (2)参考上面的方法，将分式化为带分式． (3)如果分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)真； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” ∴分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：原式 ． ； （3）解： = ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 解得或或或， ∴当或或或时，分式的值为整数． 【点睛】本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 45．（23-24八年级上·湖南永州·期中）先化简分式，再判断：当整数x取何值时，分式的值是正整数？ 【答案】，或 【分析】本题考查了分式的约分、分式的值，先约分，再根据分式的值为整数，即或即可求解，熟练掌握分式的约分是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 要使得原式为正整数，则：或， 解得：或． 46．（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知分式． (1)当为何值时，该分式无意义； (2)当为何整数值时，该分式的值为正整数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据分母等于零，分式无意义可得，求出m的值即可，熟练掌握分式有无意义的条件是解题的关键； （2）根据题意分别令或，求解即可，利用分母是分子的正约数求解是解题的关键． 【详解】（1）解：该分式无意义， ， 解得， 即当时，该分式无意义． （2）解：该分式的值为正整数，且也为整数， 或， 解得或， 即当或时，该分式的值为正整数． 47．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知为整数，的值是正整数，求的值． 【答案】2或3 【分析】把分子分母分解因式，把除法改为乘法，化简后根据值是正整数，解答即可． 【详解】解：原式 ， ∵是正整数， ∴或3， ∴a的值为2或3． 【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算的方法，因式分解的方法是解决问题的关键． 48．（23-24八年级上·全国·课堂例题）学完分式的概念后，老师出了一道题：当取哪些整数时，分式的值是整数？ 小芳的解答如下：当，即，3，5时，分式的值是整数． 小芳的解答对吗？如果不对，请改正． 【答案】小芳的解答不对．改正见解析 【分析】要使式子是整数，分子一定要被分母整除，因而的值是，，，故可以求出的值． 【详解】解：小芳的解答不对， 若使分式值是一个整数，则一定是4的约数，4的约数有，，共6个， 当时，或， 当时，或， 当时，或， 即，，0，2，3，5时，分式的值是整数． 【点睛】本题考查的是分式的值，在解答此题时要找出4的约数，同时要注意验根． 49．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）先化简分式 ，再讨论：当整数取何值时，能使分式的值是正整数？ 【答案】；，，， 【分析】先把分式进行化简，再根据分式的值为正整数求出整数的值即可得到答案． 【详解】解： ， 分式的值是正整数， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 当整数取，，，时，能使分式的值是正整数． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式约分的法则是解答此题的关键． 50．（23-24八年级下·江苏·期中）已知分式． (1)若分式无意义，求x； (2)若分式值为0，求x； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或4或8 【分析】（1）分式无意义，分母值为零，进而可得，再解即可； （2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得，且，再解即可； （3）分式值为整数，将分式变形为，再根据数的整除求解． 【详解】（1）解：∵分式无意义， ∴， 解得：或； （2）∵分式值为0， ∴， 解得：； （3） ∵分式的值为整数， ∴或5或或， 解得：或8或2或， ∵且， ∴整数x的值为或4或8． 【点睛】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式的值，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件． 【经典计算题六 分式方程的解法】 51．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解答本题的关键． （1）去分母，将分式方程化为整式方程，解得的值，再进行检验即可； （2）去分母，将分式方程化为整式方程，解得的值，再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，，， ∴是原分式方程的根； （2）解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，原分式方程无解． 52．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)无解 (4) 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程要先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程求出未知数的值后要把求出的数代入最简公分母检验是否增根． 方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出，再把代入最简公分母检验是否增根即可； 方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出，把代入最简公分母检验是否增根即可； 方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出，把代入最简公分母检验是否增根即可； 方程两边同时乘以，化为整式方程，解整式方程求出，再把代入最简公分母检验是否增根即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解； （2）解：， 整理得： 方程两边同时乘以去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解； （3）解：， 方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 把代入， 可得：， 是原分式方程的增根， 原分式方程无解； （4）解：， 方程两边同时乘以可得：， 整理得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：把代入， 可得：， 是原分式方程的解． 53．（24-25八年级下·全国·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，系数化1，注意验根，即可作答． （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，系数化1，注意验根，即可作答． 【详解】（1）解： ∴去分母得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，，， ∴是原分式方程的根； （2）解：， 去分母得：， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，原分式方程无解． 54．（24-25八年级下·吉林白城·开学考试）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，方程两边同乘以得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可． 【详解】解： 方程左右两边同乘以得：， ， ， ， 把代入得， ∴是原分式方程的解． 55．（2025·陕西渭南·一模）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，方程两边同乘以得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解. 56．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，基本思想是化分式方程为整式方程，注意要检验； （1）方程两边同乘，化为整式方程，再求解并检验即可； （2）方程两边同乘，化为整式方程，再求解并检验即可； 【详解】（1）解：方程两边同乘，得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 故分式方程的解为． （2）解：方程两边同乘，得：， 化简得：， 解得：， 经检验是原方程的增根， 故原方程无解． 57．（24-25八年级下·上海·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】解： ， 解得：，， 经检验：当时，，当时，， ∴原分式方程的解为． 58．（24-25八年级下·江苏常州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)分式方程无解 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： 去分母得到：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是分式方程的解； （2）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是增根，分式方程无解． 59．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是原方程增根，原方程无解 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程，必须要检验． （1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答； （2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． （3）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． （4）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴分式方程无解． （2）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根． （3）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根； （4）解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根； 60．（24-25八年级下·江苏南京·期中）解分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是熟练运用分式方程的解法． （1）根据分式方程的解法即可求出答案． （2）根据分式方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）解： ； 当时，， 故是该分式方程的解； （2）解： ， 当时，； 故该方程无解 【经典计算题七 分式方程解的情况求参数】 61．（24-25八年级上·山东济南·期中）若关于x的分式方程的解为正整数，则正数m的值为多少？ 【答案】正数的值是 6 或 9 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，正确求出方程的解为是解题的关键． 先按照解分式方程的步骤求出，再根据结合分式方程的解为正整数进行求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为 1 得：， ， ∴， ， ， ∵分式方程有正整数解， ∴正数的值是 6 或 9 ． 62．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）若关于y的方程的解为非负数，求a的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解、求不等式的解集，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先解分式方程得出，根据题意得出且，则有且，即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 关于y的分式方程的解为非负数， 且， 且， 解得：且， a的取值范围为且． 63．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知关于的分式方程． (1)若这个分式方程的解是，求的值； (2)若分式方程的解是非负数，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）将代入方程中求解即可； （2）先解分式方程，然后由方程的解是非负数列不等式求解即可，注意分式有意义的条件． 【详解】（1）解：∵这个分式方程的解是， ∴， 解得； （2）解：去分母，得， 解方程，得， ∵分式方程的解是非负数， ∴且， 解得：且． 64．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 根据题意解分式方程，根据分式有意义的条件以及解为非负数，列出不等式，解不等式即可求得m的取值范围． 【详解】解：去分母，得，解得． 为非负数且， 且， 解得且， 的取值范围为且． 65．（2025八年级下·全国·专题练习）关于的方程有整数解，求此时整数的值． 【答案】或或 【分析】此题考查了分式方程的解法、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数的值． 【详解】解：， 去分母得：（）， 解：， ∵有整数解， ∴或且， 解得：或或或且， ∴此时整数的值为或或． 66．（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于的方程的解比的解多，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，求解关于的方程的解是解题的关键．先解方程求得值，再根据题意可求得的解为，将代入方程可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：解方程得， ∵关于的方程的解比的解多， ∴关于的方程的解为， ∴， 解得， ∴ 67．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）阅读下列材料： 关于的分式方程的解是；的解是；的解是． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于的方程的解为______； (2)直接写出关于的方程的解为______； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了分式方程的相关拓展，正确理解阅读材料中的方法、恰当变形是解题的关键． （1）根据阅读材料中方程与解的特征可直接得出答案； （2）先将原方程变形为：，再根据（2）的猜想可得或，进而可得结果． 【详解】（1）解：由题意可猜想：关于的方程的解是，； 故答案为：，； （2）解：方程可变形为：， 即， 则由（1）的猜想可得：方程的解为：或， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解， 所以，． 68．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）关于的分式方程：． (1)当时，求此时方程的解． (2)若这个方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题主要考查了解分式方程及不等式的解法，注意解分式方程要进行检验是解题关键． （1）直接利用解分式方程的方法求解即可； （2）先解分式方程，然后依据题意求解不等式即可． 【详解】（1）解：当时，分式方程为， 方程两边同乘， 解得， 检验：当时，， 所以当时， 分式方程的解为； （2）， 方程两边同乘， 解得， 这个方程的解为正数， 且， 解得且． 69．（24-25八年级上·北京顺义·期中）若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据x的值非负，且不能有增根得到，据此求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵x的值非负， ∴， ∴且． 70．（2025八年级下·全国·专题练习）若关于x的分式方程的解为非负数，求满足条件的正整数m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解求参数的值，解一元一次不等式，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到x的值，再根据方程的解为非负数和分式要有意义列式求出m的值即可． 【详解】解： 方程两边都乘，得， 解得． 由题意，得，即， 解得且． ∴正整数． 【经典计算题八 分式方程的增根无解问题】 71．（24-25八年级下·全国·课后作业）m为何值时，关于x的分式方程无解？ 【答案】 【分析】本题考查解分式方程、分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的解的定义是解决本题的关键． 先求出分式方程的解，再根据分式方程的解的定义解决此题． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵分式方程无解， ∴． ∴． 72．（24-25七年级上·上海·阶段练习）关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． （）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可； （）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 73．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的分式方程无解，求参数a的值． 【答案】a的值为 【分析】本题考查了解分式方程；先按照解分式方程的过程求出x，再根据方程无解的情况即可求得a的值． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得：， 当时，方程无解，从而分式方程无解， 解得：； 当时，方程解为， 分式方程的增根为或， 当时，解得； 当时，解得； 综上，分式方程无解时，a的值为． 74．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键． （1）把代入方程计算，即可求出a的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求a的值即可． 【详解】（1）解：∵分式方程的根是， ∴， 解得 （2）解：去分母，并化简得， 当，即时，方程无解，则分式方程也无解， 当，即时， ∵分式方程无解， ∴， ∴或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，， 解得， 综上，当或时，分式方程无解． 75．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x的方程． (1)当此方程的解为时，求k的值； (2)当此方程会产生增根时，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式方程的解，分式方程的增根， （1）先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1得，再结合得出方程，求出解即可； （2）当时原方程有增根，可得方程，求出解即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 因为，所以． 当此方程的解为时，，解得； （2）当此方程会产生增根时，， 即， 所以， 解得． 76．（2025八年级下·全国·专题练习）关于x的分式方程． (1)当为何值时，分式方程有增根； (2)当为何值时，分式方程无解． 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】本题考查解分式方程、分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的解的定义是解决本题的关键． (1)根据分式方程的增根的定义解决此题． (2)根据分式方程的解的定义解决此题． 【详解】（1）解：， 去分母，得)． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得(． ∵分式方程有增根， ∴ ∴或． （2）解：由()得，． ∵分式方程无解， ∴无解或该分式方程有增根． ∴或或． 77．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)若方程有增根，的取值为或 (2)若方程无解，的取值为或或 (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． （）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可； （）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可； 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 78．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）若关于的方程的解是增根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的增根，解题的关键是掌握解决分式方程增根问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．据此解答即可． 【详解】解：在方程两边同乘以得：， ∵分式方程的解是增根， ∴， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴的值为． 79．（23-24八年级下·四川雅安·期中）已知关于的分式方程，若方程无解，求的值． 【答案】或或 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出的值；由分式方程无解求出的值，代入整式方程求出的值即可．此题考查了分式方程的无解问题，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键． 【详解】解：， 去分母得：， ， ， 由分式方程无解，得到，即或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，方程无解，此时分式方程无解，解得． 故的值是或或． 80．（23-24八年级上·湖南娄底·期中）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1)1 (2) (3)3或 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值， （1）将分式方程转化为整式方程，把代入，求解即可； （2）将分式方程转化为整式方程，求出最简公分母为0时的的值，代入，求解即可； （3）将分式方程转化为整式方程，在（2）的基础上，增加整式方程无解，求解即可； 【详解】（1）解：方程去分母，得：， 整理，得：， ∵分式方程的根是， ∴， ∴； （2）由（1）将分式化为整式方程为：， ∵分式方程有增根， ∴或， ∴或， 当时，，解得：； 当时，无解，舍去； ∴； （3）由（1）将分式化为整式方程为：， 由（2）知，当时，分式方程有增根，无解； 当无解时，即时，分式方程也无解， ∴； 综上：或． 【经典计算题九 分式的规律计算问题】 81．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ．．．．．． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式：_____； (2)猜想第个等式：_____（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的式子． （1）根据题目中的等式，可以写出第7个等式； （2）根据题目中的等式，可以写出第n个等式，然后根据分式的减法和乘法可以将等号左边的式子化简，从而可以证明结论成立． 【详解】（1）解：根据题意得，第7个等式为： （2）解：第个等式为：，理由如下， 证明：左边 右边， 等式成立． 故答案为：． 【点睛】 82．（24-25八年级下·全国·单元测试）观察下列式子： (1)你发现了什么规律？用含n的式子表示这一规律． (2)如果x的取值为大于1的整数，利用（1）中发现的规律计算． 【答案】(1)（，且n为整数） (2) 【分析】题目主要考查分式的混合运算，规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键． （1）根据题意，找出相应规律即可求解； （2）利用（1）中规律变形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得出的规律为：（，且n为整数）； （2） ． 83．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示）； (3)证明（2）中的等式． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类、列代数式，分式加法运算，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． （1）观察前几个等式即可写出第7个等式； （2）结合（1）观察数字的变化规律即可写出第个等式； （3）计算等式右边，验证其结果等于左边即可． 【详解】（1）解：第1个等式：，即：， 第2个等式：，即：， 第3个等式：，即：， 第4个等式：，即：， 第5个等式：，即：， …… 按照以上规律， 第6个等式：，即：； 故答案为：； （2）解：根据（1）可知，第个等式：， 故答案为：； （3）证明：∵等式右边 ； ∴左边右边． 即：． 84．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出第n个等式可表示为是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（2）中的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …， 所以第n个等式可表示为：． 当时， 第7个等式为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知， 第n个等式可表示为：． 证明如下： 左边右边， 所以此等式成立； （3）解：由（2）知， 当时， ， 所以， 则原式． 故答案为：1． 85．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 根据以上规律解答下面问题： (1)直接写出第4个等式：__________； (2)猜想出第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)第个等式是，见解析 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，分式的混合运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题干几个等式，即可找到规律求解； （2）对等式左边进行分式的混合运算，化简求证即可． 【详解】（1）解：由题意得，第4个等式为， 故答案为：； （2）解：第个等式是，理由如下： 证明： ， ∴． 86．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）观察下列式子，并探索它们的规律： ①，②，③…… (1)请写出第④个等式：__________； (2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了分式类规律题，分式的加减运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键． （1）观察给出的3个等式，找出分数的分子、分母的变化规律，即可求解； （2）用含n的等式表示（1）中发现的规律，写出第n个等式，再根据异分母的分式加法法则计算化简即可证明． 【详解】（1）解：由题意得：第④个等式为， 故答案为：； （2）解：由题意得，第n个等式为：， 证明： ． 87．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）观察下面的变形规律： (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的： (3)化简：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了规律探究，相关知识点由：分式的运算，准确探究出规律是解题关键． （1）根据规律即可得出； （2）利用分式的加减计算证明即可； （3）将每一个式子根据规律变形化简即可． 【详解】（1）解：, 故答案为：； （2）证明：， ∴； （3）解： ． 88．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）观察下面的等式：，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论为______（用含n的等式表示，n为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查的是运算规律的探究，分式的加减运算； （1）由已知等式总结归纳可得； （2）先计算等式的右边括号内分式的减法运算，再乘以，再结合运算结果可得结论. 【详解】（1）解：由题意可得：（n为正整数）； （2）证明： ∴这个结论是正确的． 89．（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如：与 ，， 是的“关联分式”． (1)已知分式，则__________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)求分式的“关联分式”； (3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础． （1）根据关联分式的定义判断； （2）仿照和谐小组成员的方法，设的关联分式是N，则，求出N即可； （3）根据（1）（2）的结果找出规律，再利用规律求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的“关联分式”． 故答案为：是； （2）解：设的关联分式是N，则： ， ∴， ∴ ∴； （3）解：由（1）（2）知：的关联分式为：． 故答案为：． 90．（24-25八年级上·广东汕头·期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【答案】(1)与分式是“关联分式”，理由见解析 (2) (3)①；② 【分析】本题属于创新探究类试题，主要考查了分式的混合运算、解不等式组等知识点，理解“关联分式”的定义是解决本题的关键． （1）根据关联分式的定义进行判断即可； （2）仿照题目中给到的方法进行求解即可； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：是的“关联分式”，理由如下： ∵，， ∴是的“关联分式”． （2）解：设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． （3）解：①设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． 故答案为：； ②由题意，可得， 整理得，解得． 【经典计算题十 分式的新定义计算】 91．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如：，我们称是的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式是分式的“ 差分式”． (2)分式是分式的“差分式”． （含的代数式表示）； 若的值为正整数，为正整数，求值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题考查新定义运算，分式的加减法，熟练掌握掌握分式的加减法法则是解答本题的关键． （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； 根据为正整数，即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， 解得，； 为正整数， 当时，，则； 当时，，则； 的值为或． 92．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)2＋，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数． 93．（24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)若分式，，请判断是否为的“雅中式”？若是，请求出关于的“雅中值”；若不是，请说明理由． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”为，试用含的式子表示． 【答案】(1)为的“雅中式”，关于的“雅中值”为，理由见详解 (2) 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的加减运算； 本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简， （1）计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得，即有，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴为的“雅中式”，关于的“雅中值”为 （2）解：∵是的“雅中式”，且关于的“雅中值”为， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ 94．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境 如果我们定义一种运算，可以将一个分式转化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“优美分式”．如，，则和都是“优美分式”． 初步验证 （1）下列各式中，属于“优美分式”的是_______（填序号）． ①；②；③；④． （2）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 探究应用 （3）当时，求的最小值． 【答案】（1）①③④；（2）；（3）的最小值为． 【分析】本题考查分式的约分和化简求值，掌握分式的基本性质是解题关键． （1）根据“优美分式”的定义进行变形解答； （2）将变形为，进而求解即可； （3）首先将变形为，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）①，故①是“优美分式”； ②不是分式，故②不是“优美分式”； ③，故③是“优美分式”； ④，故④是“优美分式”； 综上所述，属于“优美分式”的是①③④； （2） ； （3） ∵ ∴ ∴ ∵在分母上， ∴当取得最大值时，有最小值 ∴当时， ∴的最小值为． 95．（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一元一次方程与分式方程是“相似方程”； (2)不存在，理由如下 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断； （2）根据题意用a表示出的值，再根据“相伴方程”的定义及a为正整数即可求出a的值．然后结合分式方程有意义进行分析，即可作答． 本题主要考查了一元一次方程，分式方程，按照定义求解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：一元一次方程与分式方程是“相似方程”，理由如下： ∵， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 检验：是原分式方程的解 一元一次方程与分式方程是“相似方程”； （2）解：不存在，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 当时，即时，方程有意义 假设关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程” ∴ 则 解得 此时与相矛盾 ∴关于x的一元一次方程与分式方程不是“相伴方程” 96．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是“相似方程”，理由见解析 (2)或3 【分析】本题考查了新定义以及解一元一次方程和解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键， （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：是“相似方程”，理由如下： 解得 解得 经检验，是方程的解 ∵若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”； ∴方程与是“相似方程”． （2）解： ∵x，y，m均为整数 ∴ ∴ ∵m为正整数 ∴或3 97．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，分式的加减混合运算，掌握分式的加减混合运算的运算顺序是解本题的关键； （1）根据新定义列式再通分计算即可； （2）根据新定义列式再通分计算即可； （3）根据新定义列式再通分计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 98．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如． 解决下列问题： (1)分式是　　（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)真分式 (2) (3)化简得； 【分析】本题考查分式的化简及分式的分离整数法，理解材料并掌握分式的运算是解题关键． （1）根据真分式的定义判断即可； （2）根据材料给出的方法运算即可； （3）先化简，再将分式化为带分式，最后再求解，注意分式有意义的条件． 【详解】（1）解：因为分式的分子次数0小于分母次数1， 所以分式是真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3） ， ∵， ∵是整数， ∴或， 解得：，，或， ∵，，或时，原分式无意义， ∴， 即当时，该式的值为整数． 99．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，分式的运算，分式方程的解． （1）根据定义列式计算即可； （2）根据定义列式计算即可； （3）根据定义列出分式方程并解方程及检验即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2） ； （3）由题意得， 解得 经检验，是分式方程的解 原方程的解为． 100．（23-24八年级下·福建福州·开学考试）定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分式”，如分式，则A是B的“最友好分式”． (1)已知分式，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由； (2)已知分式，且E是F的“最友好分式”． ①求P（用含x的式子表示）； ②若为定值，求m与n之间的数量关系． 【答案】(1)C是D的“最友好分式”，理由见解析 (2)①，② 【分析】本题主要考查新定义下分式的混合运算和解一元一次方程， （1）根据“最友好分式”的定义，计算的值即可； （2）①根据题意得，结合E是F的“最友好分式”可求得；②当时，化简得，设，可得，结合定值得且，即可求得m和n之间的关系． 【详解】（1）解：C是D的“最友好分式”，理由： ∵ ∴C是D的“最友好分式”； （2）①∵分式，且E是F的“最友好分式”， ∴， 解得； ②当时，， 设， ∴， ∴， ∵为定值， ∴且， 由解得， 把代入，得 ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$