专题5.1 分式及其基本性质（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题5.1 分式及其基本性质 · 典例分析 【典例1】阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： （1）已知，则分式的值为______，分式的值为______； （2）若分式的值为整数，求整数b的值； （3）已知，则分式的值为______． 【思路点拨】 本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（   ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．不论为何值，分式总有意义 B．当时，分式的值为1 C．若分式的值为零，则 D．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 3．（2024八年级上·全国·专题练习）若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 5．（23-24九年级下·上海·自主招生）a，b，c均为正数且，已知，求（   ） A．1 B． C．3 D．2 6．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）实数满足，则（    ） A．186 B．188 C．190 D．192 7．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·山东聊城·期中）已知，，且．则 ． 10．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 11．（24-25八年级下·四川成都·期中）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 12．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． （1）； （2）． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取什么数时，下列分式有意义？当x取什么数时，下列分式的值等于0？ （1）； （2）； （3）． 16．（2025·四川泸州·三模）化简：． 17．（24-25九年级下·北京·阶段练习）已知，求代数式的值． 18．（23-24八年级上·广东珠海·阶段练习）已知数x，y满足，求的值． 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知x、y、z满足．试求的值． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）给定下列分式：，，，，…． （1）这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ （2）从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ （3）根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 21．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ （1）已知实数满足，求分式的值． （2）已知实数满足，求分式的值． 22．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）用数学的眼光观察： 等式：． 若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： （1）填空：_______； （2）若，求的值； （3）已知，求的值． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： （1）下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． （2）若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 24．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是________（填写序号即可）； （2）若a为整数，且为“和谐分式”，请写出a的值________； （3）在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果________． ；；． 25．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： （1）分式是_____分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 26．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． （1）若将分式拆分成（为整数），则______，______． （2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （3）已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 分式及其基本性质 · 典例分析 【典例1】阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： （1）已知，则分式的值为______，分式的值为______； （2）若分式的值为整数，求整数b的值； （3）已知，则分式的值为______． 【思路点拨】 本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（   ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 【思路点拨】 本题主要考查了分式的定义，分式的性质，分式值为0的条件以及最简分式， 根据各自的定义以及条件和性质一一判断即可． 【解题过程】 解：．是整式不是分式，故该选项不符合题意； ．中x，y都扩大3倍，变成，分式的值扩大了3倍，故该选项不符合题意； ．分式的值为0，则且，解得，故该选项符合题意； ． ，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．不论为何值，分式总有意义 B．当时，分式的值为1 C．若分式的值为零，则 D．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 【思路点拨】 本题考查了分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质等知识，根据分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质对各选项进行判断作答即可． 【解题过程】 解：A、∵， ∴不论为何值，分式总有意义，说法正确，故选项不符合题意； B、当时，分式，说法正确，故选项不符合题意； C、分式的值为零， ∴且， ∴，说法正确，故选项不符合题意； D、分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到， ∴把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的2倍，故选项符合题意； 故选：D． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键． 【解题过程】 解：、∵， ∴不能说明，原选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴ ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【思路点拨】 将，进行变形得到：，，，利用整体思想，将变形为：，再代值计算即可． 【解题过程】 解：∵， ∴，， ∴ ； ∵，当时，，方程不成立， ∴， ∴方程两边同除以得：， ∴， ∴，即：； 故选B． 5．（23-24九年级下·上海·自主招生）a，b，c均为正数且，已知，求（   ） A．1 B． C．3 D．2 【思路点拨】 本题主要考查了分式的求值，先求出，即可得得到，再由即可得到答案． 【解题过程】 解：， ， ∴ ∴， ∵， ， 故选：A． 6．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）实数满足，则（    ） A．186 B．188 C．190 D．192 【思路点拨】 本题考查的是求解分式的值，平方差公式的应用，先由条件可得，可得，同法可得，，再进一步计算即可. 【解题过程】 解：∵ ∴， ∴， 同理可得，，， ∴ ， 故选：D． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，，，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 将原式进行通分，变形为，即，通过计算多项式乘多项式将等式右边展开，于是可得，进而可得，结合已知条件，将原式变形为，即，然后利用同底数幂的乘法及等式的性质即可得出答案． 【解题过程】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 8．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查分式有意义和分式的值为零的条件，熟练掌握是解题的关键． 根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得，从而得到a，b的值，代入即可得到答案． 【解题过程】 解：∵分式，当时，分式没有意义， ∴， ∴； ∵当时，分式的值为零， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·山东聊城·期中）已知，，且．则 ． 【思路点拨】 此题主要考查了分式的值，首先利用，设，，，进而代入求出即可． 【解题过程】 解：∵，且， ∴设，，， ∴． 故答案为：2． 10．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【思路点拨】 本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【解题过程】 解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 11．（24-25八年级下·四川成都·期中）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 【思路点拨】 本题考查了伴随分式的定义，规律问题，读懂题意得到规律是解题的关键．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让，根据结果即可确定． 【解题过程】 解：根据题意， ， ， ， ， ， ， ，……， 即每4个为一循环， ， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了分式的约分，因式分解，读懂题意是关键．根据题意对分母分解因式，从而可以求出相对应的a的值． 【解题过程】 解：由题意可得可以分解因式，且a为整数， ∴，或， ∴ 当时，，符合题意； 当时，，可以约分，不符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 由以上可得：的值是6或． 故答案为：6或． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【思路点拨】 此题考查的是分式的约分，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． （1）根据分式的基本性质约分即可； （2）根据分式的基本性质约分即可； （3）先利用平方差公式和提公因式进行因式分解，再根据分式的基本性质约分即可； （4）先根据，对分子进行变形，再根据分式的基本性质约分即可． （5）先利用平方差公式和完全平方差公式进行提公因式分解，再根据分式的基本性质约分即可； 【解题过程】 （1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【解题过程】 （1）解： ． （2）解： ． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）当x取什么数时，下列分式有意义？当x取什么数时，下列分式的值等于0？ （1）； （2）； （3）． 【思路点拨】 本题考查了分式有意义的条件，分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零． （1）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案． （2）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案． （3）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案． 【解题过程】 （1）解：∵，∴ ∴当x为任何实数时，分式有意义． 当时，分式的值等于0． （2）解：当时，即时，分式有意义． 当时，即时，分式的值等于0． （3）解：当，即，分式有意义． 当时，解得：，当时，分式无意义， 故当时，分式的值为0． 16．（2025·四川泸州·三模）化简：． 【思路点拨】 本题考查方式的化简及因式分解，熟练掌握平方差公式及十字相乘法分解因式是解题关键．先把分子展开，再利用平方差公式及十字相乘法分解因式，最后约分即可得答案． 【解题过程】 解： ． 17．（24-25九年级下·北京·阶段练习）已知，求代数式的值． 【思路点拨】 本题考查分式的求值，根据，得到，将分式进行约分化简后，整体代入法求值即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴ ． 18．（23-24八年级上·广东珠海·阶段练习）已知数x，y满足，求的值． 【思路点拨】 本题考查了分式的加减法，求分式的值，得到是解题的关键． 由去分母得到，代入即可求得答案． 【解题过程】 解： x，y满足， ， ． 19．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知x、y、z满足．试求的值． 【思路点拨】 本题考查了分式的化简求值，将分式的分子分母颠倒位置后计算是解题关键．先将该题中所有分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出的值，从而得出代数式的值． 【解题过程】 解：， ， ， ， ， ， ． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）给定下列分式：，，，，…． （1）这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ （2）从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ （3）根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 【思路点拨】 本题考查分式规律型：数字的变化类，关键是善于观察发现规律． （1）由分式的特点，即可发现分式的分子、分母和符号分别具有特征； （2）计算任意一个分式除以它前面的一个分式，即可发现规律； （3）由分式的特点，即可写出给定的这列分式中的第10个分式． 【解题过程】 （1）解：这列分式的分子是幂的形式，底数x的指数是从3开始的奇数，分母是幂的形式，底数y的指数是从1开始的自然数，第奇数个分式的符号为正，第偶数个分式的符号为负． （2）解：∵，，    ， ∴从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，所得结果都是； （3）解：第10个分式是． 21．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ （1）已知实数满足，求分式的值． （2）已知实数满足，求分式的值． 【思路点拨】 本题主要考查了分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）先求出，再根据求出的值即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∴． 22．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）用数学的眼光观察： 等式：． 若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： （1）填空：_______； （2）若，求的值； （3）已知，求的值． 【思路点拨】 （1）根据完全平方公式进行计算即可求解； （2）根据（1）的方法进行计算即可求解； （3）根据题意得出，再由，从而可得，然后进行求倒数即可求解； 本题考查了完全平方公式的变形求值，分式的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解题过程】 （1）解： ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由， ∴， ∴． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： （1）下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． （2）若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【思路点拨】 本题考查了分式的化简、因式分解． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 24．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是________（填写序号即可）； （2）若a为整数，且为“和谐分式”，请写出a的值________； （3）在下列三个整式中，任意选择2个式子构造分式，分别作为分子分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果________． ；；． 【思路点拨】 本题考查因式分解，分式约分，“和谐分式”概念，解题的关键在于正确理解“和谐分式”概念． （1）根据“和谐分式”概念，逐个进行分析判断，即可解题； （2）根据“和谐分式”得到可以因式分解，进而得到的取值，再结合“和谐分式”不可约分进行分析，即可解题； （3）先将与因式分解，再结合“和谐分式”概念进行求解，即可解题． 【解题过程】 （1）解：①，分子分母不可因式分解，不是“和谐分式”； ②分母可以因式分解，且这个分式不可约分，是“和谐分式”；③分母可以因式分解，且这个分式可约分，不是“和谐分式”； ④分子与分母可以因式分解，且这个分式可约分，不是“和谐分式”． 综上所述，是“和谐分式”的是②， 故答案为：②． （2）解：a为整数，且为“和谐分式”， 可因式分解， 则可以为： ，但其作为分母时，分式可约分，不是“和谐分式”， ， ， ， 当或或时，分解后，分式不可约分，是“和谐分式”， 故答案为：4，，； （3）解：由题知；； “和谐分式”不可约分， 构造的分式是“和谐分式”的有或， 故答案为：或． 25．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： （1）分式是_____分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式； （3）若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【思路点拨】 本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【解题过程】 （1）解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解： ； （3）解：； ∵分式的值为整数，x为整数． ∴或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴整数的值是． 26．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． （1）若将分式拆分成（为整数），则______，______． （2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （3）已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【思路点拨】 本题考查分式的化简求值； （1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可． 【解题过程】 （1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$