专题二 微重点2 平面向量数量积的最值与范围问题-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考数学复习讲义课件（基础版）（课件PPT+word教案）

微重点2　平面向量数量积的最值与范围问题 ［考情分析］　平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法. 考点一　求向量数量积的最值(范围) 例1　(1)(2024·辽宁省重点高中协作校联考)在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为BC的中点，P为平面ABCD内一点，||=1.则的取值范围为(　　) A.［-2，8］ B.［-2，2］ C.［-4，8］ D.［-4，2］ 答案　A 解析　如图，建立平面直角坐标系， 则D(0，2)，E(4，1)， 因为||=1，可设P(cos θ，sin θ)， 则=(-cos θ，2-sin θ)， =(4-cos θ，1-sin θ)， 可得=-cos θ(4-cos θ)+(2-sin θ)(1-sin θ)=3-(3sin θ+4cos θ)=3-5sin(θ+φ)， 其中cos φ=，sin φ=， 因为sin(θ+φ)∈［-1，1］，所以的取值范围为［-2，8］. (2)［极化恒等式］向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图1所示，a·b=(||2-||2)，我们称为极化恒等式.如图2，正六边形的边长为2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为(　　) A.［4，5］ B.［5，7］ C.［4，6］ D.［5，8］ 答案　B 解析　由向量极化恒等式知，=||2-||2=||2-1， 当OM与正六边形的边垂直时，||min=， 当点M运动到正六边形的顶点时，||max=2， 所以≤||≤2， 则6≤||2≤8， 5≤||2-1≤7， 即的取值范围为［5，7］. ［规律方法］　向量数量积最值(范围)问题的解题策略 (1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断. (2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决. 跟踪演练1　(1)(2024·渭南模拟)已知菱形ABCD的边长为1，cos∠BAD=，O为菱形的中心，E是线段AB上的动点，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意点O为BD的中点， 设=λ，0≤λ≤1， 则=-=λ-，==-， 故=(λ-)· =λ+- =λ+- =λ+， 当λ=0时，取得最小值. (2)(2024·大连统考)已知在△ABC中，AB=4，AC=3，=2，P为△ABC所在平面内一点，=8，则的最小值为(　　) A.-5 B.- C.0 D. 答案　D 解析　在△ABC中，AB=4，AC=3，由=2， 得+4+4=52， 则=0，即AB⊥AC，以点A为原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示. 则A(0，0)，B(4，0)，C(0，3)，设P(x，y)， 则=(x，y)，=(4，0)，=(x，y-3)， 由=8，得4x=8，解得x=2， 则==x2+y(y-3) =4+- =+≥， 当且仅当y=时取等号， 所以的最小值为. 考点二　求向量模、夹角的最值(范围) 例2　(1)(2024·咸阳模拟)已知a，b是互相垂直的两个单位向量，若向量c满足=2，则的最大值为(　　) A.2- B.2+ C. D.2 答案　B 解析　依题意，设a，b分别是x轴与y轴正方向上的单位向量， 则a=(1，0)，b=(0，1)，a+b=(1，1)，设c=(x，y)，则c-a-b=(x-1，y-1)， 因为|c-a-b|==2， 所以(x-1)2+(y-1)2=4， 故c=，点C的轨迹是以(1，1)为圆心，2为半径的圆， 圆心M(1，1)到原点的距离为|OM|==，|c|max=|OM|+r=+2. (2)(2024·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，+=，λ∈［，3］，则cos∠BAD的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设与同方向的单位向量=e1，与同方向的单位向量=e2，与同方向的单位向量=e3， 由题意，e1+3e2=λe3， 所以(e1+3e2)2=λ2， 即+6e1·e2+9=λ2， 所以1+6×1×1×cos∠BAD+9=λ2， 所以cos∠BAD=， 因为λ∈［，3］，所以λ2∈［7，9］， 所以∈， 即cos∠BAD的取值范围是. ［规律方法］　(1)求向量模的取值范围或最值的常见方法：通过|a|2=a2转化为实数问题；数形结合；坐标法. (2)求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系. 跟踪演练2　(1)设向量=(1，log2x)，=(-1，1)，当x>4时，cos〈，〉的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　cos〈，〉==， 令log2x-1=t(t>1)，则log2x=t+1， 所以cos〈，〉= ==， 当t>1时，0<+=2-<4， 则<<， 所以cos〈，〉的取值范围是. (2)(2024·黄冈模拟)已知e为单位向量，向量a满足a·e=3，=1，则的最大值为　　　　　　.  答案　 解析　方法一　根据条件得(a-λe)2=|a|2+λ2-2a·eλ=λ2-6λ+|a|2=1， 得到|a|2=-(λ2-6λ-1)=-(λ-3)2+10≤10， ∴|a|≤，即|a|的最大值为. 方法二　设a=(x，y)，e=(1，0)， 则a·e=x=3，∴a=(3，y)， ∴λe-a=(λ-3，-y)， 又|λe-a|=1， ∴=1⇒y2=1-(λ-3)2， 又|a|==， ∴当λ=3时，|a|max=. 考点三　求参数的最值(范围) 例3　(1)(2024·哈尔滨模拟)在△ABC中，=，P是线段AD上的动点(与端点不重合)，设=x+y，则的最小值是　　　　　.  答案　2+4 解析　因为在△ABC中，=， 所以=3， 又因为=x+y，则=x+3y， 因为A，P，D三点共线，则x+3y=1，结合题意知x>0，y>0， 所以=+=(x+3y)， =++4≥2+4=2+4， 当且仅当 即时，等号成立. 故的最小值是2+4. (2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|=2|b|=2，且不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为(　　) A.［-1，3］ B.［-1，5］ C.［-7，3］ D.［5，7］ 答案　A 解析　∵非零向量a，b的夹角为θ，|a|=2|b|=2， ∴|a|=2，|b|=1， a·b=2×1×cos θ=2cos θ， ∵不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意的θ恒成立， ∴(2a+b)2≥(a+λb)2， ∴4a2+4a·b+b2≥a2+2λa·b+λ2b2， 整理可得(13-λ2)+(8-4λ)cos θ≥0恒成立， ∵cos θ∈［-1，1］， ∴解得-1≤λ≤3. ［规律方法］　利用共线向量定理及推论 (1)a∥b⇔a=λb(b≠0). (2)=λ+μ(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ+μ=1. 跟踪演练3　在平面直角坐标系中，点P为圆O：x2+y2=1上的任一点，A(2，0)，B(-1，1).若=λ+μ，则2λ+μ的最大值为(　　) A. B.2 C. D. 答案　C 解析　设P(cos θ，sin θ)， 则=(cos θ，sin θ)， 又=λ+μ=(2λ-μ，μ)， 所以 即 所以2λ+μ=2sin θ+cos θ=sin(θ+φ)， 其中tan φ=， 所以当sin(θ+φ)=1时，2λ+μ有最大值. 专题强化练 (分值：52分) 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知非零向量a，b的夹角为，=2，λ∈R，则|a+λb|的最小值为(　　) A.2 B. C.1 D. 答案　C 解析　因为a，b的夹角为，|a|=2， 所以a·b=|b|， |a+λb|2=|b|2λ2+2|b|λ+4=(|b|λ+)2+1≥1. 故|a+λb|的最小值为1. 2.(2024·北京朝阳区模拟)在△ABC中，AB=AC=2，BC=2，点P在线段BC上.则的取值范围为(　　) A. B. C.［0，6］ D. 答案　B 解析　如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 由AB=AC=2，BC=2，则OA==1， 所以A(0，1)，B(-，0)，C(，0)， 设P(x，0)，-≤x≤， 则=(-x，1)，=(--x，0)， 则=-x·(--x)=x2+x=-，x∈， 所以的取值范围为. 3.(2024·银川模拟)在△ABC中，=2，过点D的直线分别交直线AB，AC于点E，F，且=m，=n，其中m>0，n>0，则m+2n的最小值为(　　) A.2 B. C.3 D. 答案　C 解析　如图所示，因为=2，易知=+=+=+=+， 又=m，=n，其中m>0，n>0， 所以=+=+， 易知E，F，D三点共线，利用共线定理可得+=1， 又m>0，n>0， 所以m+2n=(m+2n)=+++≥2+=2×+=3， 当且仅当=，即m=n=1时，等号成立， 所以m+2n的最小值为3. 4.(2024·双鸭山模拟)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2，a=4，cos B=，动点M位于线段BC上，则的最小值为(　　) A.0 B. C.- D.- 答案　C 解析　方法一　基底法 由题知==+=+2cos=-2×=-，而0≤≤4， 所以当||=时，取得最小值为-. 方法二　极化恒等式 取AB的中点为D(图略)，由极化恒等式知=-=-1， 当DM⊥BC时，||最小， 此时||=||sin B=1×=， 所以=-1≥-1=-. 5.已知向量a，b，单位向量e，若a·e=1，b·e=2，a·b=3，则|a+b|的最小值为(　　) A.3 B. C. D.6 答案　C 解析　设e=(1，0)，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 由a·e=1得x1=1， 由b·e=2得x2=2， 由a·b=x1x2+y1y2=3，可得y1y2=1， 则|a+b|== =≥=， 当且仅当y1=y2=1时，取等号.故|a+b|的最小值为. 6.已知非零且不垂直的平面向量a，b满足+=6，若a在b方向上的投影向量的长度与b在a方向上的投影向量的长度之和等于(a·b)2，则a，b夹角的余弦值的最小值为(　　) A.-1 B.- C. D. 答案　D 解析　因为+=6， 所以|a||b|≤=9， 当且仅当==3时取等号. 设a，b的夹角为θ，则由题意得cos θ+cos θ==cos2θ， 易知≠0，≠0且cos θ≠0， 则+=cos θ， 所以cos θ==≥=， 所以a，b夹角的余弦值的最小值为. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2024·濮阳统考)已知向量a，b满足=1，=2，则(　　) A.的最大值是3 B.的最小值是0 C.+的最大值是2 D.+的最小值是4 答案　ACD 解析　因为==a2+b2-2a·b=5-4cos〈a，b〉∈［1，9］， 所以1≤≤3，当且仅当a，b反向时取得最大值，同向时取得最小值，故A正确； 因为==a2+b2+2a·b=5+4cos〈a，b〉∈［1，9］， 所以1≤≤3，当且仅当a，b反向时取得最小值，同向时取得最大值，故B错误； 设〈a，b〉=θ，由A，B可知，y=+=+， 所以y2=10+2∈［16，20］，所以4≤y≤2，故CD正确. 8.正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，=λ+μ(λ，μ∈R)，则(　　) A.λ的最大值为 B.μ的最大值为1 C.的最大值为2 D.的最大值为+2 答案　BCD 解析　如图，以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，则A(-1，0)，D(-1，2)，E(1，1)，连接OP， 设∠BOP=α(α∈［0，π］)， 则P(cos α，sin α)， =(cos α+1，sin α)， =(0，2)，=(2，1)，由=λ+μ， 得2μ=cos α+1且2λ+μ=sin α，α∈［0，π］， 所以λ=(2sin α-cos α-1) =sin(α-θ)-≤，故A错误； 当α=0时，μmax=1，故B正确； =2sin α≤2，故C正确； =sin α+2cos α+2 =sin(α+φ)+2≤+2(tan φ=2)，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2024·安庆模拟)已知非零向量a，b的夹角为θ，=2，且≥，则夹角θ的取值范围为　　　　　　　.  答案　 解析　由=4得 ++2cos θ=4， 即4≥2(1+cos θ)≥(1+cos θ)， 前一个等号成立条件为|a|=|b|， 整理得cos θ≤.由于θ∈［0，π］，所以≤θ≤π. 10.(2024·武汉模拟)已知△ABC是边长为4的正三角形，点P是△ABC所在平面内的一点，且满足|++|=3，则||的取值范围是　　　　　　.  答案　［3，5］ 解析　以AC所在直线为x轴，以AC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 则A(-2，0)，B(0，6)， C(2，0)， 设P(x，y)， 则=(x+2，y)，=(x，y-6)， =(x-2，y)， ∵|++|=3， 即=3， 化简得x2+(y-2)2=1， ∴点P的轨迹方程为x2+(y-2)2=1， 设圆心为G，则G(0，2)， 又|AG|==4， 故||的最小值为|AG|-1=4-1=3， ||的最大值为|AG|+1=4+1=5， 故||的取值范围是［3，5］. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平面向量数量积的最值与范围问题 微重点2 平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法. 考情分析 考点一 考点二 求向量数量积的最值(范围) 求向量模、夹角的最值(范围) 专题强化练 内容索引 考点三 求参数的最值(范围) 考点一 求向量数量积的最值(范围) (1)(2024·辽宁省重点高中协作校联考)在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为BC的中点，P为平面ABCD内一点，||=1.则的取值范围为 A.［-2，8］ B.［-2，2］ C.［-4，8］ D.［-4，2］ 例1 √ 如图，建立平面直角坐标系，  则D(0，2)，E(4，1)， 因为||=1，可设P(cos θ，sin θ)， 则=(-cos θ，2-sin θ)，=(4-cos θ，1-sin θ)， 可得=-cos θ(4-cos θ)+(2-sin θ)(1-sin θ)=3-(3sin θ+4cos θ)= 3-5sin(θ+φ)， 其中cos φ=，sin φ=， 因为sin(θ+φ)∈［-1，1］，所以的取值范围为［-2，8］. (2)［极化恒等式］向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图1所示，a·b=(||2-||2)，我们称为极化恒等式.如图2，正六边形的边长为2，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为  A.［4，5］ B.［5，7］ C.［4，6］ D.［5，8］ √ 由向量极化恒等式知，=||2-||2=||2-1， 当OM与正六边形的边垂直时，||min=， 当点M运动到正六边形的顶点时，||max=2， 所以≤||≤2， 则6≤||2≤8，5≤||2-1≤7， 即的取值范围为［5，7］. 规律方法 向量数量积最值(范围)问题的解题策略 (1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断. (2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决. (1)(2024·渭南模拟)已知菱形ABCD的边长为1，cos∠BAD=，O为菱形的中心，E是线段AB上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 跟踪演练1 √ 由题意点O为BD的中点，  设=λ，0≤λ≤1， 则=-=λ-==-， 故=(λ-)· =λ+-=λ+-=λ+， 当λ=0时，. (2)(2024·大连统考)已知在△ABC中，AB=4，AC=3，=2，P为△ABC所在平面内一点，=8，则的最小值为 A.-5 B.- C.0 D. √ 在△ABC中，AB=4，AC=3，由=2，  得+4+4=52， 则=0，即AB⊥AC，以点A为原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示. 则A(0，0)，B(4，0)，C(0，3)，设P(x，y)， 则=(x，y)，=(4，0)，=(x，y-3)， 由=8，得4x=8，解得x=2， 则==x2+y(y-3) =4+-=+≥， 当且仅当y=时取等号， 所以. 考点二 求向量模、夹角的最值(范围) (1)(2024·咸阳模拟)已知a，b是互相垂直的两个单位向量，若向量c满足=2，则的最大值为 A.2- B.2+ C. D.2 例2 √ 依题意，设a，b分别是x轴与y轴正方向上的单位向量，  则a=(1，0)，b=(0，1)，a+b=(1，1)，设c=(x，y)，则c-a-b=(x-1，y-1)， 因为|c-a-b|==2， 所以(x-1)2+(y-1)2=4， 故c=，点C的轨迹是以(1，1)为圆心，2为半径的圆， 圆心M(1，1)到原点的距离为|OM|==，|c|max=|OM|+r=+2. (2)(2024·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，+=，λ∈［，3］，则cos∠BAD的取值范围是 A. B. C. D. √ 设与=e1，与=e2，与=e3， 由题意，e1+3e2=λe3， 所以(e1+3e2)2=λ2， 即+6e1·e2+9=λ2， 所以1+6×1×1×cos∠BAD+9=λ2， 所以cos∠BAD=， 因为λ∈［，3］，所以λ2∈［7，9］， 所以∈， 即cos∠BAD的取值范围是. (1)求向量模的取值范围或最值的常见方法：通过|a|2=a2转化为实数问题；数形结合；坐标法. (2)求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系. 规律方法 (1)设向量=(1，log2x)，=(-1，1)，当x>4时，cos〈，〉的取值范围是 A. B. C. D. 跟踪演练2 √ cos〈〉==， 令log2x-1=t(t>1)，则log2x=t+1， 所以cos〈〉===， 当t>1时，0<+=2-<4， 则<<， 所以cos〈. (2)(2024·黄冈模拟)已知e为单位向量，向量a满足a·e=3，=1，则的最大值为　　　　　　.  方法一　根据条件得(a-λe)2=|a|2+λ2-2a·eλ=λ2-6λ+|a|2=1， 得到|a|2=-(λ2-6λ-1)=-(λ-3)2+10≤10， ∴|a|≤，即|a|的最大值为. 方法二　设a=(x，y)，e=(1，0)， 则a·e=x=3，∴a=(3，y)， ∴λe-a=(λ-3，-y)， 又|λe-a|=1， ∴=1⇒y2=1-(λ-3)2， 又|a|==， ∴当λ=3时，|a|max=. 考点三 求参数的最值(范围) (1)(2024·哈尔滨模拟)在△ABC中，=，P是线段AD上的动点(与端点不重合)，设=x+y，则的最小值是　　　　　.  例3 2+4 因为在△ABC中，=， 所以=3， 又因为=x+y=x+3y， 因为A，P，D三点共线，则x+3y=1，结合题意知x>0，y>0， 所以=+=(x+3y)，=++4≥2+4=2+4， 当且仅当 即时，等号成立. 故的最小值是2+4. (2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|=2|b|=2，且不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为 A.［-1，3］ B.［-1，5］ C.［-7，3］ D.［5，7］ √ ∵非零向量a，b的夹角为θ，|a|=2|b|=2， ∴|a|=2，|b|=1， a·b=2×1×cos θ=2cos θ， ∵不等式|2a+b|≥|a+λb|对任意的θ恒成立， ∴(2a+b)2≥(a+λb)2， ∴4a2+4a·b+b2≥a2+2λa·b+λ2b2， 整理可得(13-λ2)+(8-4λ)cos θ≥0恒成立， ∵cos θ∈［-1，1］， ∴解得-1≤λ≤3. 利用共线向量定理及推论 (1)a∥b⇔a=λb(b≠0). (2)=λ+μ(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ+μ=1. 规律方法 在平面直角坐标系中，点P为圆O：x2+y2=1上的任一点，A(2，0)，B(-1，1).若=λ+μ，则2λ+μ的最大值为 A. B.2 C. D. 跟踪演练3 √ 设P(cos θ，sin θ)， 则=(cos θ，sin θ)， 又=λ+μ=(2λ-μ，μ)， 所以 即 所以2λ+μ=2sin θ+cos θ=sin(θ+φ)， 其中tan φ=， 所以当sin(θ+φ)=1时，2λ+μ有最大值. 专题强化练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C C D ACD BCD ［3，5］ 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 一、单项选择题 1.已知非零向量a，b的夹角为，=2，λ∈R，则|a+λb|的最小值为 A.2 B. C.1 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 因为a，b的夹角为，|a|=2， 所以a·b=|b|， |a+λb|2=|b|2λ2+2|b|λ+4=(|b|λ+)2+1≥1. 故|a+λb|的最小值为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 2.(2024·北京朝阳区模拟)在△ABC中，AB=AC=2，BC=2，点P在线段BC上.则的取值范围为 A. B. C.［0，6］ D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，  由AB=AC=2，BC=2，则OA==1， 所以A(0，1)，B(-，0)，C(，0)， 设P(x，0)，-≤x≤， 则=(-x，1)，=(--x，0)， 则=-x·(--x)=x2+x=-，x∈， 所以. 3.(2024·银川模拟)在△ABC中，=2，过点D的直线分别交直线AB，AC于点E，F，且=m，=n，其中m>0，n>0，则m+2n的最小值为 A.2 B. C.3 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 如图所示，因为=2=+=+=+=+，  又=m=n，其中m>0，n>0， 所以=+=+， 易知E，F，D三点共线，利用共线定理可得+=1， 又m>0，n>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 所以m+2n=(m+2n)=+++≥2+=2×+=3， 当且仅当=，即m=n=1时，等号成立， 所以m+2n的最小值为3. 4.(2024·双鸭山模拟)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2，a=4，cos B=，动点M位于线段BC上，则的最小值为 A.0 B. C.- D.- √ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 方法一　基底法 由题知==+=+2cos=-2×=-，而0≤≤4， 所以当||=取得最小值为-. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 方法二　极化恒等式 取AB的中点为D(图略)，由极化恒等式知=-=-1， 当DM⊥BC时，||最小， 此时||=||sin B=1×=， 所以=-1≥-1=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 5.已知向量a，b，单位向量e，若a·e=1，b·e=2，a·b=3，则|a+b|的最小值为 A.3 B. C. D.6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 设e=(1，0)，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 由a·e=1得x1=1， 由b·e=2得x2=2， 由a·b=x1x2+y1y2=3，可得y1y2=1， 则|a+b|== =≥=， 当且仅当y1=y2=1时，取等号.故|a+b|的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 6.已知非零且不垂直的平面向量a，b满足+=6，若a在b方向上的投影向量的长度与b在a方向上的投影向量的长度之和等于(a·b)2，则a，b夹角的余弦值的最小值为 A.-1 B.- C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 √ 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 因为+=6， 所以|a||b|≤=9， 当且仅当==3时取等号. 设a，b的夹角为θ，则由题意得cos θ+cos θ= =cos2θ， 易知≠0，≠0且cos θ≠0， 则+=cos θ， 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 所以cos θ==≥=， 所以a，b夹角的余弦值的最小值为. 9 10 7.(2024·濮阳统考)已知向量a，b满足=1，=2，则 A.的最大值是3 B.的最小值是0 C.+的最大值是2 D.+的最小值是4 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、多项选择题 9 10 √ √ √ 因为==a2+b2-2a·b=5-4cos〈a，b〉∈［1，9］， 所以1≤≤3，当且仅当a，b反向时取得最大值，同向时取得最小值，故A正确； 因为==a2+b2+2a·b=5+4cos〈a，b〉∈［1，9］， 所以1≤≤3，当且仅当a，b反向时取得最小值，同向时取得最大值，故B错误； 设〈a，b〉=θ，由A，B可知，y=+= +， 所以y2=10+2∈［16，20］，所以4≤y≤2，故CD正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 8.正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意一点，=λ+μ(λ，μ∈R)，则  A.λ的最大值为 B.μ的最大值为1 C.的最大值为2 D.的最大值为+2 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 如图，以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，则A(-1，0)，D(-1，2)，E(1，1)，连接OP， 设∠BOP=α(α∈［0，π］)  则P(cos α，sin α)， =(cos α+1，sin α)， =(0，2)，=(2，1)，由=λ+μ， 得2μ=cos α+1且2λ+μ=sin α，α∈［0，π］， 所以λ=(2sin α-cos α-1)=sin(α-θ)-≤，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 当α=0时，μmax=1，故B正确； =2sin α≤2，故C正确； =sin α+2cos α+2 =sin(α+φ)+2≤+2(tan φ=2)，故D正确. 9.(2024·安庆模拟)已知非零向量a，b的夹角为θ，=2，且≥， 则夹角θ的取值范围为　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 三、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 由=4得 ++2cos θ=4， 即4≥2(1+cos θ)≥(1+cos θ)， 前一个等号成立条件为|a|=|b|， 整理得cos θ≤.由于θ∈［0，π］，所以≤θ≤π. 9 10 10.(2024·武汉模拟)已知△ABC是边长为4的正三角形，点P是△ABC所在平面内的一点，且满足|++|=3，则||的取值范围是　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 ［3，5］ 1 2 3 4 5 6 7 答案 8 9 10 以AC所在直线为x轴，以AC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，  则A(-2，0)，B(0，6)，C(2，0)， 设P(x，y)， 则=(x+2，y)，=(x，y-6)，=(x-2，y)， ∵|++|=3， 即=3， 化简得x2+(y-2)2=1， 1 2 3 4 5 6 7 答案 8 9 10 ∴点P的轨迹方程为x2+(y-2)2=1， 设圆心为G，则G(0，2)， 又|AG|==4， 故||的最小值为|AG|-1=4-1=3， ||的最大值为|AG|+1=4+1=5， 故||的取值范围是［3，5］. 本课结束 THANKS $$