专题二 微重点1 三角函数中ω，φ的范围问题-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考数学复习讲义课件（基础版）（课件PPT+word教案）

微重点1　三角函数中ω，φ的范围问题 ［考情分析］　三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上. 考点一　三角函数的单调性与ω，φ的取值范围 例1　(2024·湛江模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A.［2，5］ B.［1，14］ C.［9，10］ D.［10，11］ 答案　D 解析　由题意得k∈Z， 解得24k-14≤ω≤12k-1，k∈Z， 则24k-14≤12k-1，故k≤， 又ω>0，只有当k=1时，10≤ω≤11成立， 所以ω的取值范围为［10，11］. ［规律方法］　若三角函数在区间［a，b］上单调递增，则区间［a，b］是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解. 跟踪演练1　(2024·南通模拟)已知函数y=sin ωx+cos ωx(ω>0)在区间上单调递增，则ω的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为y=sin ωx+cos ωx=2sin，又ω>0， 由-+2kπ≤ωx+≤+2kπ，k∈Z， 得到≤x≤，k∈Z， 所以函数y=sin ωx+cos ωx的单调递增区间为(k∈Z)，依题意知 ⊆(k∈Z)， 又ω>0， 则解得0<ω≤， 故ω的最大值为. 考点二　三角函数的对称性与ω，φ的取值范围 例2　(多选)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象经过点，若函数f(x)在区间［0，π］上有3条对称轴，下列说法正确的是(　　) A.f(x)在区间［0，π］上有2个极大值点 B.f(x)在区间［0，π］上有2个零点 C.f(x)在区间［0，π］上零点个数不确定 D.ω的取值范围为 答案　ACD 解析　因为函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象经过点， 所以sin φ=，又|φ|<，所以φ=. 因为x∈［0，π］，所以ωx+∈， 结合y=sin x的图象可知，f(x)在区间［0，π］上有2个极大值点和1个极小值点， 所以f(x)在区间［0，π］上可能有3个零点，也可能有2个零点，故A，C正确，B错误； 因为函数f(x)在区间［0，π］上有3条对称轴， 所以≤ωπ+<，解得≤ω<，故D正确. ［规律方法］　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围. 跟踪演练2　(2024·衡水模拟)已知直线x=是函数f(x)=sin(3πx+φ)的一条对称轴，f(x)在区间(-t，t)(t>0)内恰好存在3个对称中心，则t的取值范围为　　　　　　　.  答案　 解析　由题意知直线x=是函数f(x)=sin(3πx+φ)的一条对称轴， 故+φ=+kπ(k∈Z)， 解得φ=+kπ(k∈Z)， 因为0<φ<，故φ=， 故f(x)=sin， 令3πx+=k'π(k'∈Z)， 解得x=-+， 原点附近的6个对称中心分别为点，，，，，， 若3个对称中心恰好是点，，， 则则t不存在，不符合题意； 若3个对称中心恰好是点，，， 则则<t≤， 故当<t≤时，符合题意. 故t的取值范围为. 考点三　三角函数的零点与ω，φ的取值范围 例3　(2024·晋城模拟)将函数f(x)=2sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间(0，φ)上恰有2个零点，则φ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　将函数f(x)=2sin的图象向右平移φ个单位长度， 得g(x)=2sin的图象，由0<x<φ， 得-3φ<3x+-3φ<， 又g(x)在(0，φ)上恰有2个零点，所以-2π≤-3φ<-π， 解得<φ≤，即实数φ的取值范围为. ［规律方法］　已知函数的零点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式直接求函数的零点，进而得所求的取值范围. 跟踪演练3　(2024·沧州模拟)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)，若在区间［0，π］上有唯一的x0，使得f(x0)+=0，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　f(x)=sin ωx-cos ωx=2=2sin. 因为x0∈［0，π］，所以ωx0-∈. 由f(x0)+=0，知sin=-， 所以≤ωπ-<， 解得≤ω<. 考点四　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 例4　(2024·临汾模拟)已知函数f(x)=2sin，若f(x)在上的最小值为-1，则t的最大值是　　　　.  答案　 解析　f(x)=2sin， 要使f(x)在上的最小值为-1， 则y=sin在上的最小值为-， 当x∈时，2x+∈， 又sin=sin=-， 所以-<2t+≤， 解得-<t≤，即t的最大值是. ［规律方法］　求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围. 跟踪演练4　已知函数f(x)=sin(ω>0)，若f=f，且f(x)在区间内有最大值，无最小值，则ω=　　　　　　.  答案　 解析　由题意知当x=时，f(x)取得最大值， 即ω+=2kπ+(k∈Z)， 解得ω=6k+(k∈Z)， 又-=≤T，即≥，所以ω≤6， 又ω>0，所以ω=. 专题强化练 (分值：42分) 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1.若函数f(x)=2sin ωx(ω>0)的图象在区间上只有一个极值点，则ω的取值范围是(　　) A.<ω<3 B.≤ω<3 C.<ω≤3 D.ω≥ 答案　C 解析　当x∈时， ωx∈， 则函数f(x)=2sin ωx(ω>0)唯一的极值点只能是ωx=， 所以得<ω≤3. 2.(2024·张家口统考)已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x，若f(x)在区间上是单调函数，则实数θ的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　f(x)=sin xcos x-cos2x =sin 2x- =sin 2x-cos 2x- =sin-， 令t=2x-， 则y=sin t-， 因为x∈， 所以t∈， 又因为f(x)在区间上是单调函数， 则y=sin t-在区间上是单调函数， 所以-π<2θ-≤-， 解得-<θ≤-. 3.(2024·沧州统考)已知函数y=sin2-(ω>0)在区间上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围是(　　) A.(2，4) B. C. D.(2，4］ 答案　C 解析　y=sin2- =-cos+， 令-cos+=0， 则cos=， 所以2ωx-=±+2kπ，k∈Z， 所以x=或x=，k∈Z， 又ω>0，故函数的正零点从小到大排列为，，，，，…， 要使在区间上有且仅有3个零点， 需要满足解得<ω≤4. 4.(2024·安庆模拟)已知函数f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1(ω>0)的图象关于点对称，且f(x)在上没有最小值，则ω的值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1=cos 2ωx+sin 2ωx=sin， 因为f(x)的图象关于点对称， 所以f=sin=0， 故+=kπ，k∈Z，即ω=2k-，k∈Z， 当2ωx+=-+2k'π，即x=-+，k'∈Z时，函数f(x)取得最小值， 因为f(x)在上没有最小值， 所以≥，即ω≤， 由ω=2k-≤，解得k≤， 又ω>0，故k=1，得ω=. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.(2024·葫芦岛模拟)已知f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值可以为(　　) A. B.1 C. D.7 答案　ACD 解析　f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin， 当x∈时， 由ω>0，则ωx+∈， 因为f(x)在上单调递增， 则有k∈N， 解得k∈N， 即-5+12k≤ω≤+8k，k∈N， 有-5+12k≤+8k，k∈N， 即k≤，即k=0或k=1， 当k=0时，有0<ω≤，当k=1时，有7≤ω≤， 故ω的取值范围为∪. 6.(2024·辽阳模拟)已知函数f(x)=2cos+2(ω>0)在区间上单调递减，且在区间［0，π］上有且仅有一个零点，则ω的值可以为(　　) A. B. C. D. 答案　BC 解析　由2kπ≤ωx+≤2kπ+π，k∈Z， 得≤x≤，k∈Z. 又函数f(x)在区间上单调递减，ω>0， 所以⇒ 又因为k∈Z，ω>0，所以k=0，0<ω≤1， 因为0≤x≤π，所以≤ωx+≤ωπ+， 因为f(x)在区间［0，π］上有且仅有一个零点， 所以cos=-1在区间［0，π］上有且仅有一个实数根， 所以π≤ωπ+<3π，解得≤ω<， 综上，≤ω≤1，故BC正确，AD错误. 三、填空题(每小题5分，共10分) 7.(2024·德阳统考)若函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象在内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数ω的取值范围是　　　　　　　　　.  答案　 解析　方法一　由题意，得f(x)=sin ωx+cos ωx=sin， 令ωx+=kπ+(k∈Z)， 解得x=(k∈Z)， 令k=0，1，2，得x=，，； 令ωx+=mπ(m∈Z)， 解得x=(m∈Z)， 令m=1，2，得x=，. 根据题意，得 解得<ω≤. 故ω的取值范围为. 方法二　由题意得f(x)=sin ωx+cos ωx=sin， ∵x∈， ∴ωx+∈， 又∵f(x)的图象在内有且仅有两条对称轴和一个对称中心， ∴<ω+≤2π， 解得<ω≤， 故ω的取值范围为. 8.设函数f(x)=2sin(ωx+φ)-1的最小正周期为4π，且f(x)在［0，5π］内恰有3个零点，则φ的取值范围是　　　　　.  答案　∪ 解析　因为T==4π，所以ω=， 由f(x)=0，即2sin-1=0，得sin=， 当x∈［0，5π］时，x+φ∈， 又0≤φ≤，则≤φ+≤3π， 因为y=sin x-在［0，3π］内的零点为，，，， 且f(x)在［0，5π］内恰有3个零点， 所以 或 解得0≤φ≤或≤φ≤， 故φ的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角函数中ω，φ的范围问题 微重点1 三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上. 考情分析 考点一 考点二 三角函数的单调性与ω，φ的取值范围 三角函数的对称性与ω，φ的取值范围 专题强化练 内容索引 考点三 考点四 三角函数的零点与ω，φ的取值范围 三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 考点一 三角函数的单调性 与ω，φ的取值范围 (2024·湛江模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是 A.［2，5］ B.［1，14］ C.［9，10］ D.［10，11］ 例1 √ 由题意得k∈Z， 解得24k-14≤ω≤12k-1，k∈Z， 则24k-14≤12k-1，故k≤， 又ω>0，只有当k=1时，10≤ω≤11成立， 所以ω的取值范围为［10，11］. 规律方法 若三角函数在区间［a，b］上单调递增，则区间［a，b］是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解. (2024·南通模拟)已知函数y=sin ωx+cos ωx(ω>0)在区间上单调递增，则ω的最大值为 A. B. C. D. 跟踪演练1 √ 因为y=sin ωx+cos ωx=2sin，又ω>0， 由-+2kπ≤ωx+≤+2kπ，k∈Z， 得到≤x≤，k∈Z， 所以函数y=sin ωx+cos ωx的单调递增区间为(k∈Z)，依题意知 ⊆(k∈Z)， 又ω>0， 则解得0<ω≤， 故ω的最大值为. 考点二 三角函数的对称性与ω，φ的取值范围 (多选)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象经过点，若函数f(x)在区间［0，π］上有3条对称轴，下列说法正确的是 A.f(x)在区间［0，π］上有2个极大值点 B.f(x)在区间［0，π］上有2个零点 C.f(x)在区间［0，π］上零点个数不确定 D.ω的取值范围为 例2 √ √ √ 因为函数f(x)=sin(ωx+φ)， 所以sin φ=，又|φ|<，所以φ=. 因为x∈［0，π］，所以ωx+∈， 结合y=sin x的图象可知，f(x)在区间［0，π］上有2个极大值点和1个极小值点， 所以f(x)在区间［0，π］上可能有3个零点，也可能有2个零点，故A，C正确，B错误； 因为函数f(x)在区间［0，π］上有3条对称轴， 所以≤ωπ+<≤ω<，故D正确. 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围. 规律方法 (2024·衡水模拟)已知直线x=是函数f(x)=sin(3πx+φ)的一条对称轴，f(x)在区间(-t，t)(t>0)内恰好存在3个对称中心，则t的取 值范围为　　　　　　　.  跟踪演练2 由题意知直线x=是函数f(x)=sin(3πx+φ)的一条对称轴， 故+φ=+kπ(k∈Z)， 解得φ=+kπ(k∈Z)， 因为0<φ<，故φ=， 故f(x)=sin， 令3πx+=k'π(k'∈Z)， 解得x=-+， 原点附近的6个对称中心分别为点， 若3个对称中心恰好是点， 则则t不存在，不符合题意； 若3个对称中心恰好是点， 则<t≤， 故当<t≤时，符合题意. 故t的取值范围为. 考点三 三角函数的零点与ω，φ的取值范围 (2024·晋城模拟)将函数f(x)=2sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间(0，φ)上恰有2个零点，则φ的取值范围是 A. B. C. D. 例3 √ 将函数f(x)=2sin的图象向右平移φ个单位长度， 得g(x)=2sin的图象，由0<x<φ， 得-3φ<3x+-3φ<， 又g(x)在(0，φ)上恰有2个零点，所以-2π≤-3φ<-π， 解得<φ≤，即实数φ的取值范围为. 已知函数的零点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式直接求函数的零点，进而得所求的取值范围. 规律方法 (2024·沧州模拟)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)，若在区间［0，π］上有唯一的x0，使得f(x0)+=0，则ω的取值范围是 A. B. C. D. 跟踪演练3 √ f(x)=sin ωx-cos ωx=2=2sin. 因为x0∈［0，π］，所以ωx0-∈. 由f(x0)+=0，知sin=-， 所以≤ωπ-<， 解得≤ω<. 考点四 三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 (2024·临汾模拟)已知函数f(x)=2sin，若f(x)在上的 最小值为-1，则t的最大值是　　　　.  例4 f(x)=2sin， 要使f(x)在上的最小值为-1， 则y=sin上的最小值为-， 当x∈时，2x+∈， 又sin=sin=-， 所以-<2t+≤， 解得-<t≤，即t的最大值是. 求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围. 规律方法 已知函数f(x)=sin(ω>0)，若f=f，且f(x)在区间 内有最大值，无最小值，则ω=　　　.  跟踪演练4 由题意知当x=时，f(x)取得最大值， 即ω+=2kπ+(k∈Z)， 解得ω=6k+(k∈Z)， 又-=≤T，即≥，所以ω≤6， 又ω>0，所以ω=. 专题强化练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C B ACD BC 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 一、单项选择题 1.若函数f(x)=2sin ωx(ω>0)的图象在区间上只有一个极值点，则ω的取值范围是 A.<ω<3 B.≤ω<3 C.<ω≤3 D.ω≥ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 当x∈时， ωx∈， 则函数f(x)=2sin ωx(ω>0)唯一的极值点只能是ωx=， 所以<ω≤3. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 2.(2024·张家口统考)已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x，若f(x)在区间上是单调函数，则实数θ的取值范围是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 f(x)=sin xcos x-cos2x=sin 2x- =sin 2x-cos 2x-=sin-， 令t=2x-， 则y=sin t-， 因为x∈， 所以t∈， 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 又因为f(x)在区间上是单调函数， 则y=sin t-上是单调函数， 所以-π<2θ-≤-， 解得-<θ≤-. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 3.(2024·沧州统考)已知函数y=sin2-(ω>0)在区间上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围是 A.(2，4) B. C. D.(2，4］ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 y=sin2-=-cos+， 令-cos+=0， 则cos=， 所以2ωx-=±+2kπ，k∈Z， 所以x=或x=，k∈Z， 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 又ω>0，故函数的正零点从小到大排列为，…， 要使在区间上有且仅有3个零点， 需要满足<ω≤4. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 4.(2024·安庆模拟)已知函数f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1(ω>0)的图象关于点对称，且f(x)在上没有最小值，则ω的值为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1=cos 2ωx+sin 2ωx=sin， 因为f(x)的图象关于点对称， 所以f=sin=0， 故+=kπ，k∈Z，即ω=2k-，k∈Z， 当2ωx+=-+2k'π，即x=-+，k'∈Z时，函数f(x)取得最小值， 因为f(x)在上没有最小值， 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 所以≥，即ω≤， 由ω=2k-≤，解得k≤， 又ω>0，故k=1，得ω=. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 5.(2024·葫芦岛模拟)已知f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值可以为 A. B.1 C. D.7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、多项选择题 √ √ f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin， 当x∈时， 由ω>0，则ωx+∈， 因为f(x)在上单调递增， 则有k∈N， 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 解得k∈N， 即-5+12k≤ω≤+8k，k∈N， 有-5+12k≤+8k，k∈N， 即k≤，即k=0或k=1， 当k=0时，有0<ω≤，当k=1时，有7≤ω≤， 故ω的取值范围为∪. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 6.(2024·辽阳模拟)已知函数f(x)=2cos+2(ω>0)在区间上单调递减，且在区间［0，π］上有且仅有一个零点，则ω的值可以为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 由2kπ≤ωx+≤2kπ+π，k∈Z， 得≤x≤，k∈Z. 又函数f(x)在区间上单调递减，ω>0， 所以⇒ 又因为k∈Z，ω>0，所以k=0，0<ω≤1， 因为0≤x≤π，所以≤ωx+≤ωπ+， 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 因为f(x)在区间［0，π］上有且仅有一个零点， 所以cos=-1在区间［0，π］上有且仅有一个实数根， 所以π≤ωπ+<3π，解得≤ω<， 综上，≤ω≤1，故BC正确，AD错误. 7.(2024·德阳统考)若函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象在内有且 仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数ω的取值范围是　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题 方法一　由题意，得f(x)=sin ωx+cos ωx=sin， 令ωx+=kπ+(k∈Z)， 解得x=(k∈Z)， 令k=0，1，2，得x=； 令ωx+=mπ(m∈Z)， 解得x=(m∈Z)， 令m=1，2，得x=. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 根据题意，得 解得<ω≤. 故ω的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 方法二　由题意得f(x)=sin ωx+cos ωx=sin， ∵x∈， ∴ωx+∈， 又∵f(x)的图象在内有且仅有两条对称轴和一个对称中心， ∴<ω+≤2π， 解得<ω≤， 故ω的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 8.设函数f(x)=2sin(ωx+φ)-1的最小正周期为4π，且f(x) 在［0，5π］内恰有3个零点，则φ的取值范围是　　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ∪ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 因为T==4π，所以ω=， 由f(x)=0，即2sin-1=0，得sin=， 当x∈［0，5π］时，x+φ∈， 又0≤φ≤≤φ+≤3π， 因为y=sin x-在［0，3π］内的零点为， 且f(x)在［0，5π］内恰有3个零点， 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 所以或 解得0≤φ≤≤φ≤， 故φ的取值范围是∪. 本课结束 THANKS $$