专题二 微专题1 三角函数-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考数学复习讲义课件（基础版）（课件PPT+word教案）

三角函数 微专题1 1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题. 2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下. 考情分析 考点一 考点二 三角函数的运算 三角函数的图象与解析式 专题强化练 内容索引 考点三 三角函数的性质 三角函数的运算 考点一 1.同角关系：sin2α+cos2α=1，=tan α. 2.诱导公式：在±α，k∈Z的诱导公式中，记住口诀：“奇变偶不变，符号看象限”. 3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)=. 4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α； (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α； (3)tan 2α=. (1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于 A.-3m B.- C. D.3m √ 例1 由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m. ① 由tan αtan β=2得=2， ② 由①②得 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m. (2)(2024·大连模拟)已知a=(4，-2)，b=(cos α，sin α)，若a⊥b，则等于 A.- B. C. D.- √ 因为a⊥b， 则4cos α-2sin α=0，可得tan α=2， 则====， 即=. 二级结论 (1)若α∈，则sin α<α<tan α. (2)由(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α知，sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α三者知一可求二. (1)(2024·辽宁实验中学模拟)已知α∈，3sin 2α=cos 2α+1，则tan 2α等于 A. B. C. D. 跟踪演练1 √ 由3sin 2α=cos 2α+1， 得6sin αcos α=2cos2α， 而α∈，即cos α>0，则tan α=， 所以tan 2α===. (2)(2024·荆州模拟)已知sin θ+cos θ=，则sin θ-cos θ的值为 A. B. C.± D.± √ 由sin θ+cos θ=， 可得(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=， 可得2sin θcos θ=-， 则(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=1+=， 因为2sin θcos θ=-<0， 所以sin θ与cos θ异号，可得θ为第二或第四象限角， 当θ为第二象限角时，可得sin θ-cos θ=； 当θ为第四象限角时，可得sin θ-cos θ=-. 三角函数的图象与解析式 考点二 由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)图象的步骤 (1)(2024·呼和浩特模拟)如图所示的曲线为函数f(x)=Acos(ωx-φ) 的部分图象，则f(x)的解析式为  A.f(x)=cos B.f(x)=2cos C.f(x)=2cos D.f(x)=2cos 例2 √ 由图象可知A=2，=， 则f(x)的一个最低点为， f(x)的最小正周期T=，则ω==3， f=2cos=-2，即-φ=π+2kπ， 所以φ=-2kπ， 又因为|φ|<，所以φ=， 所以f(x)=2cos. (2)(多选)(2024·杭州统考)为了得到函数y=2cos 2x的图象，只要把函数y=2sin图象上所有的点 A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 √ √ 把函数y=2sin个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象，A正确； 把函数y=2sin个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=-2cos的图象，B错误； 把函数y=2sin个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=-2cos的图象，C错误； 把函数y=2sin个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象，D正确. 由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中参数的值 (1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M=A+B，m=-A+B，解得B=，A=. (2)T定ω：由周期公式T=，可得ω=. (3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势. 规律方法 (1)(2024·成都模拟)将函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0) 的图象向左平移个单位长度后，与函数g(x)=cos(ωx+φ)的图象重合，则ω的最小值为 A.9 B.6 C.3 D.2 跟踪演练2 √ 将f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位长度， 得到y=sin=sin=cos(ωx+φ)的图象， 则=+2kπ，k∈Z， 所以ω=3+12k，k∈Z，又ω>0， 所以ω的最小值为3. (2)(2024·晋中模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是 A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin C.f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是偶函数 D.f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 √ 对于A，B选项，由题图可得A=2， T=-=⇒T=π， 因为ω>0，所以ω==2， 所以f(x)=2sin(2x+φ)， 因为图象过点， 所以2sin=2⇒φ=2kπ+，k∈Z， 又|φ|<，所以φ=， 所以f(x)=2sin，故A，B错误； 对于C，D选项，f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是y=2sin=2sin=-2cos 2x， 所以为偶函数，故D错误，C正确. 三角函数的性质 考点三 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)单调性：由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由+2kπ ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递减区间. (2)对称性：由ωx+φ=kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx+φ=kπ+(k∈Z)可得对称轴. (3)奇偶性：当φ=kπ(k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数；当φ=kπ+(k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数. (1)已知直线x=，x=是函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴，且f-f=-4，则f(φ)等于 A.- B. C.-1 D.1 例3 √ 由题意可知T=-=， 所以T=.由T=， 得=，所以ω=4， 因为f-f=-4， 且直线x=，x=是函数f(x)图象的两条相邻的对称轴， 所以A=f=2， 所以f(x)=2sin(4x+φ)， 由f=2sin=2， 得4×+φ=+2kπ，k∈Z， 所以φ=+2kπ，k∈Z， 又|φ|<，所以φ=， 所以f(x)=2sin， 则f(φ)=f=2sin=2sin=1. (2)(多选)(2024·枣庄模拟)已知函数f(x)=sin+cos，则 A.当x∈时，f(x)的取值范围是 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)在［0，π］上有2个零点 D.把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为奇函数 √ √ 函数f(x)=sin+cos =sin+cos =sin+sin=2sin. 选项A，当x∈时，2x+∈， 所以sin∈， 所以f(x)的取值范围是，故A正确； 选项B，当x∈≤2x+≤， f(x)=2sin不单调，故B错误； 选项C，当x∈［0，π］时，≤2x+≤， 可知当2x+=π以及2x+=2π，即x=以及x=时，f(x)=0，在［0，π］上有2个零点，故C正确； 选项D，f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)=2sin=2cos 2x的图象，该函数为偶函数，故D错误. 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+h的形式，然后结合正弦函数y=sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sin t的性质判断各选项. 规律方法 (1)(2024·济宁模拟)已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x-，若f(x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 跟踪演练3 √ 依题意，函数f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin， 当x∈时，2x+∈， 显然sin=sin=-，sin =1， 且正弦函数y=sin x在上单调递减， 由f(x)在区间， 得≤2m+≤， 解得≤m≤， 所以实数m的取值范围是. (2)(多选)(2024·重庆模拟)已知函数f(x)=asin x+cos x的一条对称轴为直线x=，则 A.a= B.y=f(x)+1关于点对称 C.y=f(x)在上单调递增 D.若f=，则sin= √ √ 因为f(x)=asin x+cos x=sin(x+θ)， 由于函数f(x)=asin x+cos x的一条对称轴为直线x=， 所以+=+=-， 解得a=，故A正确； 所以f(x)=sin x+cos x=2sin， 则y=f(x)+1关于点对称，故B错误； 令-+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z， 解得-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z， 所以y=f(x)在上先增后减，故C错误； 由f=， 得sin=， 所以sin=sin =cos 2 =1-2sin2=，故D正确. 专题强化练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A D B C B D 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 AC ABD ABC -(答案不唯一) - 4 ABD B 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.(2024·南充模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，则cos等于 A.- B. C.- D. √ 素养提升 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为角α的终边与单位圆相交于点P，所以sin α=，cos α=-， 所以cos=cos αcos-sin αsin=-×-×=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(2024·石嘴山模拟)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象，则g(x)等于 A.cos 4x B.-cos 4x C.cos x D.-cos x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y=sin 2的图象， 再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)=sin 2的图象， 所以g(x)=sin=cos x. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(2024·郑州模拟)若复数z=sin θ-+i是纯虚数，则tan 2θ等于 A.- B.± C.- D.± √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为z=sin θ-+i是纯虚数， 所以所以sin θ=， 所以cos θ=-=-， 所以tan θ=-，故tan 2θ==-. 答案 4.(2024·渭南模拟)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示.已知A，B，将f(x)的图象向右平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为  A.g(x)=2sin B.g(x)=2sin C.g(x)=-2sin D.g(x)=-2sin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意可知f(x)的周期T满足 =-=2，得T=4， 即=4，得ω=， 所以f(x)=2sin， 因为点B是f(x)图象上的一个点， 所以f=2sin=2，sin=1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 则+φ=+2kπ，k∈Z， 又0<φ<，所以φ=， 所以f(x)=2sin， 将f(x)的图象向右平移2个单位长度， 得到函数g(x)=2sin=-2sin的图象. 5.(2024·湖北省宜荆荆随恩联考)函数f(x)=3cos x-4sin x，当f(x)取得最大值时，sin x等于 A. B.- C. D.- √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)=3cos x-4sin x=5=5cos(x+φ)， 其中cos φ=，sin φ=， 而f(x)=3cos x-4sin x=5cos(x+φ)≤5， 当且仅当x+φ=2kπ(k∈Z)时，等号成立， 此时sin x=sin(-φ)=-sin φ=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈［0，2π］时，曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为 A.3 B.4 C.6 D.8 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为函数y=sin x的最小正周期 T=2π， 函数y=2sin的最小正周期T1=， 所以在x∈［0，2π］上，函数y=2sin有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示， 由图可知，两函数图象有6个交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(2024·长春模拟)已知cos 2α=-，sin(α+β)=-，α∈，β∈，则α-β等于 A. B. C. D.或 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为α∈，所以2α∈［0，π］， 所以sin 2α===， 因为α∈，β∈， 所以α+β∈， 所以cos(α+β)===， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又由α-β=2α-(α+β)知， cos(α-β)=cos［2α-(α+β)］=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) =×+×=-， 又因为α-β∈［0，π］，所以α-β=. 答案 8.(2024·绵阳模拟)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+2cos2ωx的定义域为，在定义域内存在唯一x0，使得f(x0)=3，则ω的取值范围为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 由题意f(x)=sin 2ωx+cos 2ωx+1=2sin+1，x∈， 在定义域内存在唯一x0，使得f(x0)=3， 所以sin=1在x∈上有唯一解， 令t=2ωx+，则t∈， 所以sin t=1在t∈上有唯一解，  则由正弦函数图象性质可知≤ωπ+<⇒≤ω<. 二、多项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(2024·毕节模拟)已知函数f(x)=2sin，则下列说法正确的是 A.f(x)的周期为π B.函数y=f为偶函数 C.函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称 D.函数y=f(x)在上的最小值为 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，f(x)的周期T==π，故A正确； 对于B，令g(x)=f=2sin=2sin 2x， 因为g(-x)=-2sin 2x=-g(x)，所以函数g(x)为奇函数， 即函数y=f为奇函数，故B错误； 对于C，因为f=2sin=-2， 所以函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称，故C正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，由x∈， 得2x+∈， 所以函数y=f(x)在上的最小值为2sin=-，故D错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(2024·芜湖模拟)在平面直角坐标系Oxy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点M(a，b)，|OM|=m(m≠0)，定义f(θ)=，g(θ)=，则 A.f(θ)=sin θ+cos θ B.g(θ)=sin C.若=2，则sin 2θ= D.f(θ)g(θ)是周期函数 √ √ 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得M(a，b)在角θ的终边上，且|OM|=m， 所以cos θ=，sin θ=， 则f(θ)==sin θ+cos θ=sin， g(θ)==sin θ-cos θ=sin，故A，B正确； ===2，解得tan θ=3， 又由sin 2θ=2sin θcos θ====，故C错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(θ)g(θ)=(sin θ+cos θ)(sin θ-cos θ)=sin2θ-cos2θ=-cos 2θ， 因为y=cos 2θ为周期函数， 所以f(θ)g(θ)=-cos 2θ为周期函数，故D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(2024·汕头模拟)如图，函数f(x)=tan(2x+φ)的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，且△DEF的面积为，则  A.点D的纵坐标为1 B.f(x)在上单调递增 C.点是f(x)图象的一个对称中心 D.f(x)的图象可由y=tan x的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不 变)，再将图象向左平移个单位长度得到 √ √ 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 对于A，由周期可知，|EF|=， 所以S△DEF=×|EF|×|OD|=×|OD|=， 则|OD|=1，即点D的纵坐标为1，故A正确； 即f(0)=tan φ=1，且|φ|<， 所以φ=，即f(x)=tan， 对于B，当x∈时， 2x+∈⊆， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 所以f(x)在上单调递增，故B正确； 对于C，f=tan π=0，所以点是f(x)图象的一个对称中心，故C正确； 对于D，将y=tan x的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)， 得y=tan 2x，再将图象向左平移个单位长度得y=tan≠f(x)，故D错误. 三、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(2024·南京联考)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象上的每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的 图象关于y轴对称，写出一个符合条件的φ的值：　　　 　　　.  答案 -(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，所得的图象对应的函数解析式为g(x)=sin=sin， 又g(x)的图象关于y轴对称， 所以+φ=+kπ，k∈Z， 解得φ=kπ-，k∈Z， 令k=0，得φ=-. 答案 13.(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4， tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　由题意得tan(α+β)===-2， 因为α∈， β∈，k，m∈Z， 则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z， 又因为tan(α+β)=-2<0， 则α+β∈((2m+2k)π+，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则sin(α+β)<0， 则=-2， 联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1， 解得sin(α+β)=-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　 因为α为第一象限角，β为第三象限角， 则cos α>0，cos β<0， cos α==， cos β==， 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=cos αcos β(tan α+tan β)=4cos αcos β ====-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知f(x)=+，x∈，则函数y=f(x)的最小值为　　　　　.  答案 4 由题意知，f(x)=+=， 令t=sin x+cos x=sin， 由0<x<<x+<， 所以<sin≤1， 则1<t≤. 由t=sin x+cos x，得t2=(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x， 所以sin xcos x=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 则原函数可化为g(t)===， 显然函数y=t-在(1，］上单调递增， 故当t=时，y=t-，此时g(t)取得最小值4，即函数y=f(x)的最小值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(多选)［正割、余割函数］一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些函数的定义： 思维创新 答案 ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记做sin α，即y=sin α； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记做cos α，即x=cos α； ③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割，记做csc α，即=csc α； ④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割，记做sec α，即=sec α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 下列结论正确的有 A.csc=- B.cos α·sec α=1 C.函数f(x)=sec x的定义域为｛x|x≠kπ，k∈Z｝ D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 csc==-，A正确； cos α·sec α=cos α·=1，B正确； 函数f(x)=sec x的定义域为，C错误； sec2α+sin2α+csc2α+cos2α=1++=1+=1+≥5， 当sin 2α=±1时，等号成立，D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知α，β，γ均是锐角，设sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α的最大值为tan θ，则sin θ(sin θ+cos θ)等于 A. B. C.1 D. 答案 √ 由基本不等式可得sin αcos β≤，sin βcos γ≤， sin γcos α≤， 三式相加，可得sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α≤，当且仅当α，β，γ均为时等号成立， 所以tan θ=， 则sin θ(sin θ+cos θ)===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 本课结束 THANKS $$ 微专题1　三角函数 ［考情分析］　1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下. 考点一　三角函数的运算 1.同角关系：sin2α+cos2α=1，=tan α. 2.诱导公式：在±α，k∈Z的诱导公式中，记住口诀：“奇变偶不变，符号看象限”. 3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)=. 4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α； (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α； (3)tan 2α=. 例1　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于(　　) A.-3m B.- C. D.3m 答案　A 解析　由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m. ① 由tan αtan β=2得=2， ② 由①②得 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m. (2)(2024·大连模拟)已知a=(4，-2)，b=(cos α，sin α)，若a⊥b，则等于(　　) A.- B. C. D.- 答案　B 解析　因为a⊥b， 则4cos α-2sin α=0，可得tan α=2， 则= ===， 即=. ［二级结论］　(1)若α∈，则sin α<α<tan α. (2)由(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α知，sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α三者知一可求二. 跟踪演练1　(1)(2024·辽宁实验中学模拟)已知α∈，3sin 2α=cos 2α+1，则tan 2α等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由3sin 2α=cos 2α+1， 得6sin αcos α=2cos2α， 而α∈，即cos α>0，则tan α=， 所以tan 2α===. (2)(2024·荆州模拟)已知sin θ+cos θ=，则sin θ-cos θ的值为(　　) A. B. C.± D.± 答案　C 解析　由sin θ+cos θ=， 可得(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=， 可得2sin θcos θ=-， 则(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=1+=， 因为2sin θcos θ=-<0， 所以sin θ与cos θ异号，可得θ为第二或第四象限角， 当θ为第二象限角时，可得sin θ-cos θ=； 当θ为第四象限角时，可得sin θ-cos θ=-. 考点二　三角函数的图象与解析式 由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)图象的步骤 例2　(1)(2024·呼和浩特模拟)如图所示的曲线为函数f(x)=Acos(ωx-φ)的部分图象，则f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=cos B.f(x)=2cos C.f(x)=2cos D.f(x)=2cos 答案　D 解析　由图象可知A=2，=， 则f(x)的一个最低点为， f(x)的最小正周期T=，则ω==3， f=2cos=-2，即-φ=π+2kπ， 所以φ=-2kπ， 又因为|φ|<，所以φ=， 所以f(x)=2cos. (2)(多选)(2024·杭州统考)为了得到函数y=2cos 2x的图象，只要把函数y=2sin图象上所有的点(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 答案　AD 解析　把函数y=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象，A正确； 把函数y=2sin图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=-2cos的图象，B错误； 把函数y=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=-2cos的图象，C错误； 把函数y=2sin图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象，D正确. ［规律方法］　由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中参数的值 (1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M=A+B，m=-A+B，解得B=，A=. (2)T定ω：由周期公式T=，可得ω=. (3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势. 跟踪演练2　(1)(2024·成都模拟)将函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0) 的图象向左平移个单位长度后，与函数g(x)=cos(ωx+φ)的图象重合，则ω的最小值为(　　) A.9 B.6 C.3 D.2 答案　C 解析　将f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位长度， 得到y=sin=sin=cos(ωx+φ)的图象， 则=+2kπ，k∈Z， 所以ω=3+12k，k∈Z，又ω>0， 所以ω的最小值为3. (2)(2024·晋中模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin C.f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是偶函数 D.f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数 答案　C 解析　对于A，B选项，由题图可得A=2， T=-=⇒T=π， 因为ω>0，所以ω==2， 所以f(x)=2sin(2x+φ)， 因为图象过点， 所以2sin=2⇒φ=2kπ+，k∈Z， 又|φ|<，所以φ=， 所以f(x)=2sin，故A，B错误； 对于C，D选项，f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是y=2sin=2sin=-2cos 2x， 所以为偶函数，故D错误，C正确. 考点三　三角函数的性质 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)单调性：由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)可得单调递减区间. (2)对称性：由ωx+φ=kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx+φ=kπ+(k∈Z)可得对称轴. (3)奇偶性：当φ=kπ(k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数；当φ=kπ+(k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数. 例3　(1)已知直线x=，x=是函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴，且f-f=-4，则f(φ)等于(　　) A.- B. C.-1 D.1 答案　D 解析　由题意可知T=-=， 所以T=.由T=， 得=，所以ω=4， 因为f-f=-4， 且直线x=，x=是函数f(x)图象的两条相邻的对称轴， 所以A=f=2， 所以f(x)=2sin(4x+φ)， 由f=2sin=2， 得4×+φ=+2kπ，k∈Z， 所以φ=+2kπ，k∈Z， 又|φ|<，所以φ=， 所以f(x)=2sin， 则f(φ)=f=2sin=2sin=1. (2)(多选)(2024·枣庄模拟)已知函数f(x)=sin+cos，则(　　) A.当x∈时，f(x)的取值范围是 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)在［0，π］上有2个零点 D.把f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为奇函数 答案　AC 解析　函数f(x)=sin+cos =sin+cos =sin+sin=2sin. 选项A，当x∈时，2x+∈， 所以sin∈， 所以f(x)的取值范围是，故A正确； 选项B，当x∈时，≤2x+≤， f(x)=2sin不单调，故B错误； 选项C，当x∈［0，π］时，≤2x+≤， 可知当2x+=π以及2x+=2π，即x=以及x=时，f(x)=0，在［0，π］上有2个零点，故C正确； 选项D，f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)=2sin=2cos 2x的图象，该函数为偶函数，故D错误. ［规律方法］　研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+h的形式，然后结合正弦函数y=sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sin t的性质判断各选项. 跟踪演练3　(1)(2024·济宁模拟)已知函数f(x)=(sin x+cos x)cos x-，若f(x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　依题意，函数f(x)=sin xcos x+cos2x-=sin 2x+cos 2x=sin， 当x∈时，2x+∈， 显然sin=sin=-，sin =1， 且正弦函数y=sin x在上单调递减， 由f(x)在区间上的值域为， 得≤2m+≤， 解得≤m≤， 所以实数m的取值范围是. (2)(多选)(2024·重庆模拟)已知函数f(x)=asin x+cos x的一条对称轴为直线x=，则(　　) A.a= B.y=f(x)+1关于点对称 C.y=f(x)在上单调递增 D.若f=，则sin= 答案　AD 解析　因为f(x)=asin x+cos x=sin(x+θ)， 由于函数f(x)=asin x+cos x的一条对称轴为直线x=， 所以+=或+=-， 解得a=，故A正确； 所以f(x)=sin x+cos x=2sin， 则y=f(x)+1关于点对称，故B错误； 令-+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z， 解得-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z， 所以y=f(x)在上先增后减，故C错误； 由f=， 得sin=， 所以sin=sin =cos 2 =1-2sin2=，故D正确. 专题强化练 (分值：84分) 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2024·南充模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，则cos等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　C 解析　因为角α的终边与单位圆相交于点P，所以sin α=，cos α=-， 所以cos=cos αcos-sin αsin =-×-×=-. 2.(2024·石嘴山模拟)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象，则g(x)等于(　　) A.cos 4x B.-cos 4x C.cos x D.-cos x 答案　C 解析　将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y=sin 2的图象， 再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)=sin 2的图象， 所以g(x)=sin=cos x. 3.(2024·郑州模拟)若复数z=sin θ-+i是纯虚数，则tan 2θ等于(　　) A.- B.± C.- D.± 答案　A 解析　因为z=sin θ-+i是纯虚数， 所以所以sin θ=， 所以cos θ=-=-， 所以tan θ=-，故tan 2θ==-. 4.(2024·渭南模拟)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示.已知A，B，将f(x)的图象向右平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　) A.g(x)=2sin B.g(x)=2sin C.g(x)=-2sin D.g(x)=-2sin 答案　D 解析　由题意可知f(x)的周期T满足 =-=2，得T=4， 即=4，得ω=， 所以f(x)=2sin， 因为点B是f(x)图象上的一个点， 所以f=2sin=2，sin=1， 则+φ=+2kπ，k∈Z， 又0<φ<，所以φ=， 所以f(x)=2sin， 将f(x)的图象向右平移2个单位长度， 得到函数g(x)=2sin =-2sin的图象. 5.(2024·湖北省宜荆荆随恩联考)函数f(x)=3cos x-4sin x，当f(x)取得最大值时，sin x等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　B 解析　f(x)=3cos x-4sin x =5=5cos(x+φ)， 其中cos φ=，sin φ=， 而f(x)=3cos x-4sin x=5cos(x+φ)≤5， 当且仅当x+φ=2kπ(k∈Z)时，等号成立， 此时sin x=sin(-φ)=-sin φ=-. 6.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈［0，2π］时，曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 答案　C 解析　因为函数y=sin x的最小正周期 T=2π， 函数y=2sin的最小正周期T1=， 所以在x∈［0，2π］上，函数y=2sin有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示， 由图可知，两函数图象有6个交点. 7.(2024·长春模拟)已知cos 2α=-，sin(α+β)=-，α∈，β∈，则α-β等于(　　) A. B. C. D.或 答案　B 解析　因为α∈，所以2α∈［0，π］， 所以sin 2α===， 因为α∈，β∈， 所以α+β∈， 所以cos(α+β) ===， 又由α-β=2α-(α+β)知， cos(α-β)=cos［2α-(α+β)］=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) =×+×=-， 又因为α-β∈［0，π］，所以α-β=. 8.(2024·绵阳模拟)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+2cos2ωx的定义域为，在定义域内存在唯一x0，使得f(x0)=3，则ω的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意f(x)=sin 2ωx+cos 2ωx+1=2sin+1，x∈， 在定义域内存在唯一x0，使得f(x0)=3， 所以sin=1在x∈上有唯一解， 令t=2ωx+，则t∈， 所以sin t=1在t∈上有唯一解， 则由正弦函数图象性质可知≤ωπ+<⇒≤ω<. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2024·毕节模拟)已知函数f(x)=2sin，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的周期为π B.函数y=f为偶函数 C.函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称 D.函数y=f(x)在上的最小值为 答案　AC 解析　对于A，f(x)的周期T==π，故A正确； 对于B，令g(x)=f=2sin=2sin 2x， 因为g(-x)=-2sin 2x=-g(x)，所以函数g(x)为奇函数， 即函数y=f为奇函数，故B错误； 对于C，因为f=2sin=-2， 所以函数y=f(x)的图象关于直线x=-对称，故C正确； 对于D，由x∈， 得2x+∈， 所以函数y=f(x)在上的最小值为2sin=-，故D错误. 10.(2024·芜湖模拟)在平面直角坐标系Oxy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点M(a，b)，|OM|=m(m≠0)，定义f(θ)=，g(θ)=，则(　　) A.f(θ)=sin θ+cos θ B.g(θ)=sin C.若=2，则sin 2θ= D.f(θ)g(θ)是周期函数 答案　ABD 解析　由题意得M(a，b)在角θ的终边上，且|OM|=m， 所以cos θ=，sin θ=， 则f(θ)==sin θ+cos θ=sin， g(θ)==sin θ-cos θ=sin，故A，B正确； ===2，解得tan θ=3， 又由sin 2θ=2sin θcos θ====，故C错误； f(θ)g(θ)=(sin θ+cos θ)(sin θ-cos θ)=sin2θ-cos2θ=-cos 2θ， 因为y=cos 2θ为周期函数， 所以f(θ)g(θ)=-cos 2θ为周期函数，故D正确. 11.(2024·汕头模拟)如图，函数f(x)=tan(2x+φ)的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，且△DEF的面积为，则(　　) A.点D的纵坐标为1 B.f(x)在上单调递增 C.点是f(x)图象的一个对称中心 D.f(x)的图象可由y=tan x的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将图象向左平移个单位长度得到 答案　ABC 解析　对于A，由周期可知，|EF|=， 所以S△DEF=×|EF|×|OD|=×|OD|=， 则|OD|=1，即点D的纵坐标为1，故A正确； 即f(0)=tan φ=1，且|φ|<， 所以φ=，即f(x)=tan， 对于B，当x∈时， 2x+∈⊆， 所以f(x)在上单调递增，故B正确； 对于C，f=tan π=0，所以点是f(x)图象的一个对称中心，故C正确； 对于D，将y=tan x的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)， 得y=tan 2x，再将图象向左平移个单位长度得y=tan≠f(x)，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2024·南京联考)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象上的每个点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的φ的值：　　　　　　.  答案　-(答案不唯一) 解析　由题意可知，所得的图象对应的函数解析式为g(x)=sin=sin， 又g(x)的图象关于y轴对称， 所以+φ=+kπ，k∈Z， 解得φ=kπ-，k∈Z， 令k=0，得φ=-. 13.(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　.  答案　- 解析　方法一　由题意得tan(α+β) ===-2， 因为α∈， β∈，k，m∈Z， 则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z， 又因为tan(α+β)=-2<0， 则α+β∈((2m+2k)π+，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z， 则sin(α+β)<0， 则=-2， 联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1， 解得sin(α+β)=-. 方法二　 因为α为第一象限角，β为第三象限角， 则cos α>0，cos β<0， cos α==， cos β==， 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =cos αcos β(tan α+tan β) =4cos αcos β= = ==-. 14.已知f(x)=+，x∈，则函数y=f(x)的最小值为　　　　　.  答案　4 解析　由题意知，f(x)=+=， 令t=sin x+cos x=sin， 由0<x<，得<x+<， 所以<sin≤1， 则1<t≤. 由t=sin x+cos x，得t2=(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x， 所以sin xcos x=， 则原函数可化为g(t)===， 显然函数y=t-在(1，］上单调递增， 故当t=时，y=t-取得最大值，此时g(t)取得最小值4，即函数y=f(x)的最小值为4. 15题6分，16题5分，共11分 15.(多选)［正割、余割函数］一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些函数的定义： ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记做sin α，即y=sin α； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记做cos α，即x=cos α； ③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割，记做csc α，即=csc α； ④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割，记做sec α，即=sec α. 下列结论正确的有(　　) A.csc=- B.cos α·sec α=1 C.函数f(x)=sec x的定义域为｛x|x≠kπ，k∈Z｝ D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5 答案　ABD 解析　csc==-，A正确； cos α·sec α=cos α·=1，B正确； 函数f(x)=sec x的定义域为 ，C错误； sec2α+sin2α+csc2α+cos2α=1++ =1+=1+≥5， 当sin 2α=±1时，等号成立，D正确. 16.已知α，β，γ均是锐角，设sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α的最大值为tan θ，则sin θ(sin θ+cos θ)等于(　　) A. B. C.1 D. 答案　B 解析　由基本不等式可得sin αcos β≤，sin βcos γ≤， sin γcos α≤， 三式相加，可得sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α≤，当且仅当α，β，γ均为时等号成立， 所以tan θ=， 则sin θ(sin θ+cos θ)= ==. 学科网（北京）股份有限公司 $$