专题一 微重点1 函数的公切线问题-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考数学复习讲义课件（基础版）（课件PPT+word教案）

函数的公切线问题 微重点1 函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养. 考情分析 考点一 考点二 求两函数的公切线 与公切线有关的求值问题 专题强化练 内容索引 考点三 考点四 判断公切线条数 求参数的取值范围 考点一 求两函数的公切线 (2024·泉州模拟)已知直线l既是曲线y=ln x的切线，也是曲线y=-ln(-x) 的切线，则直线l的方程为　　　　　.  例1 y=x 设直线l与曲线y=ln x的切点为(x1，ln x1)且x1>0， 与曲线y=-ln(-x)的切点为(x2，-ln(-x2))且x2<0， 又(ln x)'=，［-ln(-x)］'=-， 则直线l与曲线y=ln x的切线方程为y-ln x1=(x-x1)， 即y=x+ln x1-1， 直线l与曲线y=-ln(-x)的切线方程为y+ln(-x2)=-(x-x2)， 即y=-x+1-ln(-x2)， 则 故直线l的方程为y=x. 规律方法 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y-f(x0) =f'(x0)·(x-x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. (2023·南平模拟)已知曲线y=aln x和曲线y=x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则直线l的方程为　　　　　.  跟踪演练1 2x-y-e=0 设曲线g(x)=aln x和曲线f(x)=x2在公共点(x0，y0)处的切线相同， 则f'(x)=2x，g'(x)=， 由题意知f(x0)=g(x0)，f'(x0)=g'(x0)， 即 解得 故切点为(，e)， 切线斜率k=f'(x0)=2， 所以切线方程为y-e=2(x-)， 即2x-y-e=0. 与公切线有关的求值问题 考点二 (2024·大连模拟)斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2=都相切，则实数a的值为 A.0或2 B.-2或0 C.-1或0 D.0或1 例2 √ 依题意得，设直线l的方程为y=x+b， 由直线和圆x2+y2==，解得b=±1， 当b=1时，y=x+1和y=ln(x+a)相切， 设切点坐标为(x0，x0+1)， ∴ 解得 同理当b=-1时，y=x-1和y=ln(x+a)相切，可得a=0. 综上所述，a=2或a=0. 利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程. 规律方法 (2024·沧州模拟)已知直线l：y=kx是曲线f(x)=ex+1和g(x)=ln x+a的公切线，则实数a=　　　　.  跟踪演练2 3 设直线l与曲线y=f(x)相切于点(x0，y0)， 由f'(x)=ex+1，得k=f'(x0)=，因为l与曲线f(x)=ex+1相切， 所以消去y0， 得x0=，解得x0=1. 设l与曲线y=g(x)相切于点(x1，y1)， 由g'(x)=，得k=e2=，即e2x1=1， 因为(x1，y1)是l与曲线g(x)=ln x+a的公共点， 所以消去y1， 得e2x1=ln x1+a，即1=ln +a，解得a=3. 判断公切线条数 考点三 (2024·广州模拟)曲线C1：y=x2与曲线C2：y=ln x公切线的条数是 A.0 B.1 C.2 D.3 例3 √ 设公切线与y=x2的切点为(x1，)， 与y=ln x的切点为(x2，ln x2)， y=x2的导数为y'=2x，y=ln x的导数为y'=， 则在切点(x1，)处的切线方程为y-=2x1(x-x1)，即y=2x1x-， 则在切点(x2，ln x2)处的切线方程为 y-ln x2=(x-x2)， 即y=x+ln x2-1，∴ 整理得到-ln x1=1+ln 2， 令f(x)=x2-ln x，x∈(0，+∞)， 则f'(x)=2x-=， 令f'(x)>0，得x>； 令f'(x)<0，得0<x<， ∴f(x)在区间上单调递减，  在区间上单调递增， f(x)min=f=+ln 2<1+ln 2， 即函数f(x)与y=1+ln 2的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)的图象与直线y=1+ln 2有两个交点，则方程-ln x1 =1+ln 2有两个不相等的正根，即曲线C1：y=x2与曲线C2：y=ln x公切线的条数是2. 运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况. 规律方法 已知函数f(x)=x3-x，则与曲线y=f(x)和y=x2+均相切的直线l有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 跟踪演练3 √ f(x)=x3-x，所以f'(x)=3x2-1， 所以y=f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为y-(-x1)=(3-1)(x-x1)， 整理得y=(3-1)x-2. 设g(x)=x2+，直线l与g(x)的图象相切于点(x2，g(x2))，因为g'(x)=2x， 所以切线方程为y-=2x2(x-x2)， 整理得y=2x2x-+， 则 (*) 整理得-2-=-2-=(9-8x1-6)=0， 当9-8x1-6=0时，Δ=82+4×9×6>0，方程有两个非零实数根， x1=0也满足方程，故上述方程有3个解， 所以方程组(*)有3组解，故满足题中条件的直线l有3条. 求参数的取值范围 考点四 (2024·曲靖模拟)已知a>0，若点P为曲线C1：y=+ax-m与曲线C2：y=2a2ln x的交点，且两条曲线在点P处的切线重合，则实数m的取值范围是 A. B. C. D.(-∞，2e］ 例4 √ 设点P的横坐标为n(n>0)，则由y=+ax-m可得y'=x+a， 又y=2a2ln x可得y'=， 且两条曲线在点P处的切线重合， 所以切线的斜率k=n+a=(a>0)，解得n=a或n=-2a(舍去)， 即点P的横坐标为a(a>0)， 由点P为曲线C1：y=+ax-m与曲线C2：y=2a2ln x的交点， 所以+a2-m=2a2ln a， 即m=-2a2ln a+a2， 令f(a)=-2a2ln a+a2(a>0)， 则f'(a)=-4aln a+a=a(1-4ln a)， 令f'(a)=0可得a=， 由a>0知，当0<a<时，f'(a)>0， 当a>时，f'(a)<0， 所以f(a)在上单调递减，所以f(a)max=f=， 当a→+∞时，f(a)→-∞， 则实数m的取值范围为. 利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解. 规律方法 若曲线y=ln x与曲线y=x2-k有公切线，则实数k的最大值为 A.+ln 2 B.-ln 2 C.+ln 2 D.-ln 2 跟踪演练4 √ 设在曲线y=ln x上的切点为(x1，ln x1)，且(ln x)'=， 则切线斜率为， 在曲线y=x2-k上的切点为(x2，-k)，且(x2-k)'=2x， 切线斜率为2x2， 所以切线方程分别为y-ln x1=(x-x1)， y-+k=2x2(x-x2)， 即y=x+ln x1-1，y=2x2x--k， 则 整理得k=ln(2x2)-+1， 设f(x)=ln(2x)-x2+1(x>0)， 则f'(x)=-2x=， 令f'(x)>0，得0<x<， 令f'(x)<0，得x>， 故函数f(x)在上单调递增， 在上单调递减， 所以f(x)max=f=+ln =+ln 2， y=f(x)的大致图象如图， 由图可知k≤+ln 2，即k的最大值为+ln 2. 专题强化练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A B D x2+2x (答案不唯一) 0或 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 一、单项选择题 1.已知曲线f(x)=ex在点P(0，f(0))处的切线也是曲线g(x)=ln(ax)的一条切线，则实数a的值为 A. B. C.e D.e2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 因为f(x)=ex，所以f(0)=1，f'(x)=ex，所以f'(0)=1， 所以切线方程为y=x+1， 又g(x)=ln(ax)，所以g'(x)=， 设切线y=x+1与y=g(x)的切点为(m，n)， 可得切线的斜率为=1，即m=1， n=m+1=1+1=2，可得切点为(1，2)， 所以2=ln a，解得a=e2. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 2.已知函数f(x)=ex-ax+b(a，b∈R)，g(x)=x2+x，若这两个函数的图象在公共点A(1，2)处有相同的切线，则a-b的值为 A.e-2 B.e+2 C.e D.e2 因为f(x)=ex-ax+b(a，b∈R)，g(x)=x2+x， 所以f'(x)=ex-a，g'(x)=2x+1， 因为f(x)，g(x)在公共点A(1，2)处有相同的切线， 所以 所以a-b=e-2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 3.已知函数f(x)=x2-4x+4，g(x)=x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为 A.3 B.2 C.1 D.0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，f'(x)=2x-4，g'(x)=-x-2，g'(n)=f'(m)=， 解得m=-+2，代入化简得8n3-8n2+1=0， 构造函数h(x)=8x3-8x2+1， h'(x)=8x(3x-2)， 令h'(x)>0，得x<0或x>； 令h'(x)<0，得0<x<， 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 则h(x)在(-∞，0)，上单调递增， 在上单调递减，极大值h(0)=1>0，极小值h=-<0，故函数h(x)的图象和x轴有3个交点，方程8n3-8n2+1=0有三个解，故公切线有3条. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 4.若直线l与函数f(x)=ex，g(x)=ln x的图象分别相切于点A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，则x1x2-x1+x2等于 A.-2 B.-1 C.1 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 由f(x)=ex，g(x)=ln x， 得f'(x)=ex，g'(x)==， ln =ln ，即x1=-ln x2. 曲线y=f(x)在点A处的切线方程为y=x+(1-x1)， 曲线y=g(x)在点B处的切线方程为y=x-1+ln x2，所以(1-x1)=-1+ln x2， 可得(1-x1)=-1-x1， 整理得x1x2-x1+x2=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 5.已知曲线C1：y=ex+a和曲线C2：y=ln(x+b)+a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的取值范围是 A. B.［0，+∞) C.(-∞，1］ D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 令f(x)=ex+a，g(x)=ln(x+b)+a2， 则f'(x)=ex，g'(x)=， 设斜率为1的切线在曲线C1，C2上的切点横坐标分别为x1，x2， 由题知==1， ∴x1=0，x2=1-b， 两点处的切线方程分别为y-(1+a)=x和y-a2=x-(1-b)， 故a+1=a2-1+b， 即b=2+a-a2=-+≤. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 6.(2024·宜宾模拟)写出与函数f(x)=sin 2x在x=0处有公共切线的一个函数g(x)=　　　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、填空题 x2+2x(答案不唯一) 因为f(x)=sin 2x，所以f'(x)=2cos 2x， 则f'(0)=2，f(0)=0，依题意只需满足g(0)=0，g'(0)=2即可， 不妨令g(x)=x2+2x，则g'(x)=2x+2， 则g'(0)=2，又g(0)=0，符合题意. 7.若直线l为曲线C1：y=x2与曲线C2：y=x3的公切线，则直线l的斜率为 　　　　　.  曲线C1：y=x2，则y'=2x，曲线C2：y=x3，则y'=3x2， 设直线l与曲线C1的切点坐标为(a，a2)，则切线方程为y=2ax-a2， 设直线l与曲线C2的切点坐标为(m，m3)，则切线方程为y=3m2x-2m3， ∴ ∴m=0或m=， ∴直线l的斜率为0或. 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 0或 8.若曲线y=kx-1(k<0)与曲线y=ex有三条公切线，则k的取值范围是　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 令f(x)=kx-1(k<0)，g(x)=ex， 则f'(x)=-，g'(x)=ex， 设点A(x1，f(x1))，则曲线y=f(x)在点A处的切线为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)， 即y=-x+， 设点B(x2，g(x2))，则曲线y=g(x)在点B处的切线为y-g(x2)=g'(x2)(x-x2)， 即y=x+(1-x2)， 由题意 消去x1得-4k=(1-x2)2， 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 由题意，方程-4k=(1-x)2ex有三个不同的实数根， 令φ(x)=(1-x)2ex， 则φ'(x)=(x2-1)ex=(x-1)(x+1)ex， 当x<-1或x>1时，φ'(x)>0，φ(x)单调递增；  当-1<x<1时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减； 故当x=-1时，φ(x)取极大值φ(-1)=； 当x=1时，φ(x)取极小值φ(1)=0， 当x→-∞时，φ(x)→0；当x→+∞时，φ(x)→+∞，y=φ(x)的大致图象如图所示， 由图可知0<-4k<，即-<k<0. 本课结束 THANKS $$ 微重点1　函数的公切线问题 ［考情分析］　函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养. 考点一　求两函数的公切线 例1　(2024·泉州模拟)已知直线l既是曲线y=ln x的切线，也是曲线y=-ln(-x)的切线，则直线l的方程为　　　　　.  答案　y=x 解析　设直线l与曲线y=ln x的切点为(x1，ln x1)且x1>0， 与曲线y=-ln(-x)的切点为(x2，-ln(-x2))且x2<0， 又(ln x)'=，［-ln(-x)］'=-， 则直线l与曲线y=ln x的切线方程为y-ln x1=(x-x1)， 即y=x+ln x1-1， 直线l与曲线y=-ln(-x)的切线方程为y+ln(-x2)=-(x-x2)， 即y=-x+1-ln(-x2)， 则解得 故直线l的方程为y=x. ［规律方法］　求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 跟踪演练1　(2023·南平模拟)已知曲线y=aln x和曲线y=x2有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则直线l的方程为　　　　　.  答案　2x-y-e=0 解析　设曲线g(x)=aln x和曲线f(x)=x2在公共点(x0，y0)处的切线相同， 则f'(x)=2x，g'(x)=， 由题意知f(x0)=g(x0)，f'(x0)=g'(x0)， 即 解得 故切点为(，e)， 切线斜率k=f'(x0)=2， 所以切线方程为y-e=2(x-)， 即2x-y-e=0. 考点二　与公切线有关的求值问题 例2　(2024·大连模拟)斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2=都相切，则实数a的值为(　　) A.0或2 B.-2或0 C.-1或0 D.0或1 答案　A 解析　依题意得，设直线l的方程为y=x+b， 由直线和圆x2+y2=相切可得，=，解得b=±1， 当b=1时，y=x+1和y=ln(x+a)相切， 设切点坐标为(x0，x0+1)， ∴ 解得 同理当b=-1时，y=x-1和y=ln(x+a)相切，可得a=0. 综上所述，a=2或a=0. ［规律方法］　利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程. 跟踪演练2　(2024·沧州模拟)已知直线l：y=kx是曲线f(x)=ex+1和g(x)=ln x+a的公切线，则实数a=　　　　.  答案　3 解析　设直线l与曲线y=f(x)相切于点(x0，y0)， 由f'(x)=ex+1，得k=f'(x0)=，因为l与曲线f(x)=ex+1相切， 所以消去y0， 得x0=，解得x0=1. 设l与曲线y=g(x)相切于点(x1，y1)， 由g'(x)=，得k=e2=，即e2x1=1， 因为(x1，y1)是l与曲线g(x)=ln x+a的公共点， 所以消去y1， 得e2x1=ln x1+a，即1=ln +a，解得a=3. 考点三　判断公切线条数 例3　(2024·广州模拟)曲线C1：y=x2与曲线C2：y=ln x公切线的条数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　设公切线与y=x2的切点为(x1，)， 与y=ln x的切点为(x2，ln x2)， y=x2的导数为y'=2x，y=ln x的导数为y'=， 则在切点(x1，)处的切线方程为y-=2x1(x-x1)，即y=2x1x-， 则在切点(x2，ln x2)处的切线方程为 y-ln x2=(x-x2)， 即y=x+ln x2-1，∴ 整理得到-ln x1=1+ln 2， 令f(x)=x2-ln x，x∈(0，+∞)， 则f'(x)=2x-=， 令f'(x)>0，得x>； 令f'(x)<0，得0<x<， ∴f(x)在区间上单调递减， 在区间上单调递增， f(x)min=f=+ln 2<1+ln 2， 即函数f(x)与y=1+ln 2的图象如图所示， 由图可知，函数f(x)的图象与直线y=1+ln 2有两个交点，则方程-ln x1=1+ln 2有两个不相等的正根，即曲线C1：y=x2与曲线C2：y=ln x公切线的条数是2. ［规律方法］　运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况. 跟踪演练3　已知函数f(x)=x3-x，则与曲线y=f(x)和y=x2+均相切的直线l有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案　C 解析　f(x)=x3-x，所以f'(x)=3x2-1， 所以y=f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为y-(-x1)=(3-1)(x-x1)， 整理得y=(3-1)x-2. 设g(x)=x2+，直线l与g(x)的图象相切于点(x2，g(x2))，因为g'(x)=2x， 所以切线方程为y-=2x2(x-x2)， 整理得y=2x2x-+， 则 (*) 整理得-2-=-2-=(9-8x1-6)=0， 当9-8x1-6=0时，Δ=82+4×9×6>0，方程有两个非零实数根， x1=0也满足方程，故上述方程有3个解， 所以方程组(*)有3组解，故满足题中条件的直线l有3条. 考点四　求参数的取值范围 例4　(2024·曲靖模拟)已知a>0，若点P为曲线C1：y=+ax-m与曲线C2：y=2a2ln x的交点，且两条曲线在点P处的切线重合，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D.(-∞，2e］ 答案　C 解析　设点P的横坐标为n(n>0)，则由y=+ax-m可得y'=x+a， 又y=2a2ln x可得y'=， 且两条曲线在点P处的切线重合， 所以切线的斜率k=n+a=(a>0)，解得n=a或n=-2a(舍去)， 即点P的横坐标为a(a>0)， 由点P为曲线C1：y=+ax-m与曲线C2：y=2a2ln x的交点， 所以+a2-m=2a2ln a， 即m=-2a2ln a+a2， 令f(a)=-2a2ln a+a2(a>0)， 则f'(a)=-4aln a+a=a(1-4ln a)， 令f'(a)=0可得a=， 由a>0知，当0<a<时，f'(a)>0， 当a>时，f'(a)<0， 所以f(a)在上单调递增，在上单调递减，所以f(a)max=f=， 当a→+∞时，f(a)→-∞， 则实数m的取值范围为. ［规律方法］　利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解. 跟踪演练4　若曲线y=ln x与曲线y=x2-k有公切线，则实数k的最大值为(　　) A.+ln 2 B.-ln 2 C.+ln 2 D.-ln 2 答案　C 解析　设在曲线y=ln x上的切点为(x1，ln x1)，且(ln x)'=， 则切线斜率为， 在曲线y=x2-k上的切点为(x2，-k)，且(x2-k)'=2x， 切线斜率为2x2， 所以切线方程分别为y-ln x1=(x-x1)， y-+k=2x2(x-x2)， 即y=x+ln x1-1，y=2x2x--k， 则 整理得k=ln(2x2)-+1， 设f(x)=ln(2x)-x2+1(x>0)， 则f'(x)=-2x=， 令f'(x)>0，得0<x<， 令f'(x)<0，得x>， 故函数f(x)在上单调递增， 在上单调递减， 所以f(x)max=f=+ln =+ln 2，y=f(x)的大致图象如图， 由图可知k≤+ln 2，即k的最大值为+ln 2. 专题强化练 (分值：40分) 一、单项选择题(每小题5分，共25分) 1.已知曲线f(x)=ex在点P(0，f(0))处的切线也是曲线g(x)=ln(ax)的一条切线，则实数a的值为(　　) A. B. C.e D.e2 答案　D 解析　因为f(x)=ex，所以f(0)=1，f'(x)=ex，所以f'(0)=1， 所以切线方程为y=x+1， 又g(x)=ln(ax)，所以g'(x)=， 设切线y=x+1与y=g(x)的切点为(m，n)， 可得切线的斜率为=1，即m=1， n=m+1=1+1=2，可得切点为(1，2)， 所以2=ln a，解得a=e2. 2.已知函数f(x)=ex-ax+b(a，b∈R)，g(x)=x2+x，若这两个函数的图象在公共点A(1，2)处有相同的切线，则a-b的值为(　　) A.e-2 B.e+2 C.e D.e2 答案　A 解析　因为f(x)=ex-ax+b(a，b∈R)，g(x)=x2+x， 所以f'(x)=ex-a，g'(x)=2x+1， 因为f(x)，g(x)在公共点A(1，2)处有相同的切线， 所以即 所以a-b=e-2. 3.已知函数f(x)=x2-4x+4，g(x)=x-1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 答案　A 解析　设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，f'(x)=2x-4，g'(x)=-x-2，g'(n)=f'(m)=， 解得m=-+2，代入化简得8n3-8n2+1=0， 构造函数h(x)=8x3-8x2+1， h'(x)=8x(3x-2)， 令h'(x)>0，得x<0或x>； 令h'(x)<0，得0<x<， 则h(x)在(-∞，0)，上单调递增， 在上单调递减，极大值h(0)=1>0，极小值h=-<0，故函数h(x)的图象和x轴有3个交点，方程8n3-8n2+1=0有三个解，故公切线有3条. 4.若直线l与函数f(x)=ex，g(x)=ln x的图象分别相切于点A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，则x1x2-x1+x2等于(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案　B 解析　由f(x)=ex，g(x)=ln x， 得f'(x)=ex，g'(x)=，则=， ln =ln ，即x1=-ln x2. 曲线y=f(x)在点A处的切线方程为y=x+(1-x1)， 曲线y=g(x)在点B处的切线方程为y=x-1+ln x2，所以(1-x1)=-1+ln x2， 可得(1-x1)=-1-x1， 整理得x1x2-x1+x2=-1. 5.已知曲线C1：y=ex+a和曲线C2：y=ln(x+b)+a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的取值范围是(　　) A. B.［0，+∞) C.(-∞，1］ D. 答案　D 解析　令f(x)=ex+a，g(x)=ln(x+b)+a2， 则f'(x)=ex，g'(x)=， 设斜率为1的切线在曲线C1，C2上的切点横坐标分别为x1，x2， 由题知==1， ∴x1=0，x2=1-b， 两点处的切线方程分别为y-(1+a)=x和y-a2=x-(1-b)， 故a+1=a2-1+b， 即b=2+a-a2=-+≤. 二、填空题(每小题5分，共15分) 6.(2024·宜宾模拟)写出与函数f(x)=sin 2x在x=0处有公共切线的一个函数g(x)=　　　　　　.  答案　x2+2x(答案不唯一) 解析　因为f(x)=sin 2x，所以f'(x)=2cos 2x， 则f'(0)=2，f(0)=0，依题意只需满足g(0)=0，g'(0)=2即可， 不妨令g(x)=x2+2x，则g'(x)=2x+2， 则g'(0)=2，又g(0)=0，符合题意. 7.若直线l为曲线C1：y=x2与曲线C2：y=x3的公切线，则直线l的斜率为　　　　　.  答案　0或 解析　曲线C1：y=x2，则y'=2x，曲线C2：y=x3，则y'=3x2， 设直线l与曲线C1的切点坐标为(a，a2)，则切线方程为y=2ax-a2， 设直线l与曲线C2的切点坐标为(m，m3)，则切线方程为y=3m2x-2m3， ∴ ∴m=0或m=， ∴直线l的斜率为0或. 8.若曲线y=kx-1(k<0)与曲线y=ex有三条公切线，则k的取值范围是　　　　.  答案　 解析　令f(x)=kx-1(k<0)，g(x)=ex， 则f'(x)=-，g'(x)=ex， 设点A(x1，f(x1))，则曲线y=f(x)在点A处的切线为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)， 即y=-x+， 设点B(x2，g(x2))，则曲线y=g(x)在点B处的切线为y-g(x2)=g'(x2)(x-x2)， 即y=x+(1-x2)， 由题意 消去x1得-4k=(1-x2)2， 由题意，方程-4k=(1-x)2ex有三个不同的实数根， 令φ(x)=(1-x)2ex， 则φ'(x)=(x2-1)ex=(x-1)(x+1)ex， 当x<-1或x>1时，φ'(x)>0，φ(x)单调递增； 当-1<x<1时，φ'(x)<0，φ(x)单调递减； 故当x=-1时，φ(x)取极大值φ(-1)=； 当x=1时，φ(x)取极小值φ(1)=0， 当x→-∞时，φ(x)→0；当x→+∞时，φ(x)→+∞，y=φ(x)的大致图象如图所示， 由图可知0<-4k<，即-<k<0. 学科网（北京）股份有限公司 $$