专题一 微专题4 函数的极值、最值-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考数学复习讲义课件（基础版）（课件PPT+word教案）

微专题4　函数的极值、最值 ［考情分析］　利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等；或者压轴解答题，属综合性问题，难度较大. 考点一　利用导数研究函数的极值 判断函数的极值点，主要有两点 (1)导函数f'(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点. (2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点. 例1　(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 解　(1)当a=1时，则f(x)=ex-x-1， f'(x)=ex-1， 可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1， 即切点坐标为(1，e-2)， 切线斜率k=e-1， 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)， 即(e-1)x-y-1=0. (2)方法一　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增， 无极值，不符合题意； 若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a， 令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，+∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值， 由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0， 令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 则g'(a)=2a+>0， 可知g(a)在(0，+∞)上单调递增， 且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取值范围为(1，+∞). 方法二　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若f(x)有极小值， 则f'(x)=ex-a有零点， 令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a， 可知y=ex与y=a有交点，则a>0， 令f'(x)>0，解得x>ln a； 令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，+∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3， 无极大值，符合题意， 由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0， 令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上均单调递增， 所以g(a)在(0，+∞)上单调递增， 且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取值范围为(1，+∞). ［易错提醒］　(1)不能忽略函数的定义域. (2)f'(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件，即f'(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f'(x)=0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性. (3)函数的极小值不一定比极大值小. 跟踪演练1　(1)(多选)(2024·武汉统考)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的部分图象如图所示，设函数g(x)=，则g(x)(　　) A.在区间(a，b)上单调递减 B.在区间(a，b)上单调递增 C.在x=a时取极小值 D.在x=b时取极小值 答案　BC 解析　结合图象可知，当x<a时，f(x)-f'(x)>0，当a<x<b时，f(x)-f'(x)<0， 当x>b时，f(x)-f'(x)>0. g'(x)=，因为ex>0， 故当x<a时，g'(x)=<0，g(x)在区间(-∞，a)上单调递减； 当a<x<b时，g'(x)=>0，g(x)在区间(a，b)上单调递增； 当x>b时，g'(x)=<0，g(x)在区间(b，+∞)上单调递减，故g(x)在x=a处取得极小值，在x=b处取得极大值. (2)(2024·秦皇岛模拟)已知0是函数f(x)=x3+ax2+1的极大值点，则a的取值范围为(　　) A.(-∞，0) B.(0，+∞) C. D. 答案　A 解析　因为f(x)=x3+ax2+1，所以f'(x)=3x2+2ax=x(3x+2a)， 令f'(x)=0，可得x=0或x=-， 当->0，即a<0时， 令f'(x)>0，得x<0或x>-； 令f'(x)<0，得0<x<-， 所以f(x)在(-∞，0)，上单调递增，在上单调递减， 所以0是函数f(x)的极大值点，满足题意； 当-=0，即a=0时，f'(x)=x(3x+0)≥0恒成立， 则f(x)在R上单调递增，没有极值点，不满足题意； 当-<0，即a>0时， 令f'(x)>0，得x<-或x>0； 令f'(x)<0，得-<x<0， 所以f(x)在，(0，+∞)上单调递增，在上单调递减， 所以0是函数f(x)的极小值点，不满足题意. 综上，a<0，即a的取值范围为(-∞，0). 考点二　利用导数研究函数的最值 1.求函数f(x)在［a，b］上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值. (2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b). (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2.若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值. 例2　(2024·南京模拟)已知函数f(x)=，其中a∈R. (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当a>0时，若f(x)在区间［0，a］上的最小值为，求a的值. 解　(1)当a=0时，f(x)=，则f(1)=， f'(x)=，所以f'(1)=， 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-=(x-1)，即x-ey=0. (2)f'(x)= =-， 令f'(x)=0，解得x=2或x=a， 若0<a<2，当x∈［0，a］时，f'(x)≤0，则f(x)在［0，a］上单调递减， 所以f(x)min=f(a)==. 设g(a)=，g'(a)=， 当0<a<1时，g'(a)>0，g(a)单调递增， 当a>1时，g'(a)<0，g(a)单调递减， 所以g(a)的极大值为g(1)=， 所以由=得a=1； 若a>2，当x∈［0，2］时，f'(x)≤0，则f(x)在［0，2］上单调递减， 当x∈(2，a］时，f'(x)>0，则f(x)在(2，a］上单调递增， 所以f(x)min=f(2)==， 则a=4-e<2，不符合题意； 若a=2，当x∈［0，2］时，f'(x)≤0，则f(x)在［0，2］上单调递减， 所以f(x)min=f(2)=≠，不符合题意. 综上，a=1. ［易错提醒］　(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论. (2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值. 跟踪演练2　(1)(2024·固原模拟)函数f(x)=sin x-(x+2)cos x-1在区间［0，2π］上的最小值、最大值分别为(　　) A.-2π-3，π+1 B.-2π-3，-3 C.-3，π+1 D.-3，2 答案　A 解析　f'(x)=cos x-cos x+(x+2)sin x=(x+2)sin x， 所以在区间［0，π)上，f'(x)≥0，即f(x)单调递增； 在区间(π，2π］上，f'(x)≤0，即f(x)单调递减， 又f(0)=-3，f(2π)=-2π-3，f(π)=π+1， 所以f(x)在区间［0，2π］上的最小值为-2π-3，最大值为π+1. (2)(2024·沧州模拟)已知函数f(x)=若a<b，且f(a)=f(b)，则b-a的取值范围是　　　　　　.  答案　(ln 2，1］ 解析　设f(a)=f(b)=m，如图所示.由f(x)的图象知，1≤m<2，a<0≤b， 则eb=m=a+2， 从而a=m-2，b=ln m， 所以b-a=ln m-m+2. 令g(m)=ln m-m+2，1≤m<2， 则g'(m)=， 当1≤m<2时，g'(m)≤0， 当且仅当x=1时，g'(m)=0， 所以g(m)在［1，2)上为减函数， 所以g(2)<g(m)≤g(1)， 得ln 2<g(m)≤1，即b-a的取值范围是(ln 2，1］. 考点三　已知函数极值、最值求参数 例3　(1)已知函数f(x)=x3-在其定义域(0，+∞)内既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，1)∪ B.(0，1) C. D. 答案　D 解析　f(x)=x3-， 则f'(x)=x2-ax， 要使函数f(x)=x3-在其定义域(0，+∞)内既有极大值也有极小值， 只需方程x2-ax=0，即ln a=在(0，+∞)内有两个不相等的实根， 令g(x)=，则g'(x)=. 当x∈(0，e)时，g'(x)>0， 当x∈(e，+∞)时，g'(x)<0， 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，当x→+∞时，g(x)→0， 当x→-∞时，g(x)→-∞，g(e)=，其图象如图. 所以ln a∈，所以1<a<. (2)若函数f(x)=x3+x2-2在区间(a-4，a)上存在最小值，则a的取值范围是　　　　　.  答案　［1，4) 解析　由f(x)=x3+x2-2得f'(x)=x2+2x=x(x+2)， 所以当x<-2或x>0时，f'(x)>0，当-2<x<0时，f'(x)<0， 于是得f(x)在(-∞，-2)和(0，+∞)上单调递增，在(-2，0)上单调递减， 当x=0时，f(x)取得极小值f(0)=-2. 因为f(x)在区间(a-4，a)上存在最小值，而函数的最值不可能在开区间端点处取得， 于是得0∈(a-4，a)，且f(a-4)≥f(0)， 即 解得1≤a<4， 所以实数a的取值范围为［1，4). ［易错提醒］　方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法.分离参数时，等式或不等式两边符号变化以及除数不能等于0，易忽视. 跟踪演练3　(1)(2024·赤峰模拟)已知函数f(x)=xln x-ax有极值-e，则a等于(　　) A.1 B.2 C.e D.3 答案　B 解析　由题目条件可得，函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=ln x+1-a. 令f'(x)>0，得x>ea-1； 令f'(x)<0，得0<x<ea-1. 所以函数f(x)在区间(0，ea-1)上单调递减， 在(ea-1，+∞)上单调递增. 则ea-1是函数f(x)的极小值点，无极大值点， 故f(ea-1)=ea-1ln ea-1-aea-1=-e，解得a=2. (2)(2024·湘豫名校联考)若x1，x2(x1<x2)是函数f(x)=ln x+x2+(a-1)x的两个极值点，且f(x1)+f(x2)≥-，则实数a的取值范围是　　　　　.  答案　［-2，-1) 解析　因为f(x)=ln x+x2+(a-1)x，x>0， 所以f'(x)=. 因为x1，x2是函数f(x)=ln x+x2+(a-1)x的两个极值点， 所以f'(x)=0有两个不同的正根，即方程x2+(a-1)x+1=0有两个不同的正根x1，x2. 所以解得a<-1. 因为f(x1)+f(x2)=+ =ln x1x2+-x1x2+(a-1)(x1+x2) =ln 1+(1-a)2-1-(a-1)2 =-a2+a-≥-， 即a2-2a-8≤0，解得-2≤a≤4. 综上所述，实数a的取值范围是［-2，-1). 专题强化练 (分值：90分) 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2024·辽宁省部分重点中学协作体模拟)下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是(　　) A.f(x)=xsin x B.f(x)=x+ C.f(x)=ex+ D.f(x)=|x+1|-|x-1| 答案　B 解析　对于A，x∈R，f(-x)=(-x)sin(-x)=xsin x=f(x)，故f(x)为偶函数，不符合题意； 对于B，x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，f(-x)=-x-=-f(x)，故f(x)为奇函数， 令f'(x)=1-=0，得x=±1， 当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 故f(x)存在极小值f(1)=2，故B正确； 对于C，x∈R，f(-x)=e-x+=ex+=f(x)，故f(x)为偶函数，不符合题意； 对于D，f(x)=无极值，不符合题意. 2.(2024·西安模拟)函数f(x)=在［-3，3］上的最大值和最小值分别是(　　) A.，- B.，- C.，- D.，- 答案　D 解析　f'(x)=，x∈［-3，3］， 令f'(x)>0，解得-1<x<1，即f(x)在(-1，1)上单调递增， 令f'(x)<0，解得x∈［-3，-1)∪(1，3］， 即f(x)在［-3，-1)和(1，3］上单调递减. 又f(-3)=-，f(-1)=-，f(1)=，f(3)=，所以函数f(x)在［-3，3］上的最大值为，最小值为-. 3.(2024·银川模拟)若函数f(x)=(x2-ax-2)ex在x=-2处取得极大值，则f(x)的极小值为(　　) A.-6e2 B.-4e C.-2e2 D.-e 答案　C 解析　f'(x)=［x2+(2-a)x-2-a］ex(x∈R)， 因为函数f(x)在x=-2处取得极大值， 则f'(-2)=0， 即4-2(2-a)-2-a=0，所以a=2， 所以f(x)=(x2-2x-2)ex， f'(x)=(x2-4)ex=(x+2)(x-2)ex， 令f'(x)=0，则x=2或x=-2， 当x∈(-∞，-2)∪(2，+∞)时，f'(x)>0， 当x∈(-2，2)时，f'(x)<0， 所以f(x)在(-∞，-2)，(2，+∞)上单调递增，在(-2，2)上单调递减. 所以函数f(x)在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值，极小值为f(2)=-2e2. 4.已知函数f(x)=ln x+ax存在最大值0，则a的值为(　　) A.-2 B.- C.1 D.e 答案　B 解析　因为f'(x)=+a，x>0， 所以当a≥0时，f'(x)>0恒成立，故函数f(x)单调递增，不存在最大值； 当a<0时，令f'(x)=0，得x=-， 所以当x∈时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x∈时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减， 所以f(x)max=f=ln-1=0，解得a=-. 5.(2024·秦皇岛统考)已知f'(x)是函数f(x)的导函数，若函数y=xf'(x)-1的图象大致如图所示，则f(x)极值点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　将函数y=xf'(x)-1的图象向上平移一个单位长度，就可得到函数y=xf'(x)的图象. 由图可知，当x∈(-∞，-4)时，f'(x)<0， 即f(x)在(-∞，-4)上单调递减； 当x∈(-4，0)时，f'(x)>0，即f(x)在(-4，0)上单调递增； 当x∈(0，4)时，f'(x)>0，即f(x)在(0，4)上单调递增； 当x∈(4，+∞)时，f'(x)<0，即f(x)在(4，+∞)上单调递减. 所以f(x)在x=-4处取得极小值，在x=4处取得极大值， 故f(x)极值点的个数为2. 6.(2024·绵阳模拟)已知函数f(x)=a-bx既有极大值，也有极小值，则下列关系式中一定成立的是(　　) A.b>2a B.b<2a C.b=2a D.b2>4a2 答案　D 解析　由题意得f'(x)=a(ex+e-x+x2)-b， 因为f(x)既有极大值，也有极小值， 所以f'(x)=0有两个不同的实数根， 即a(ex+e-x+x2)-b=0有两个不同的实数根， 显然ab≠0，故ex+e-x+x2=有两个不同的实数根. 令g(x)=ex+e-x+x2，则g(x)的图象与直线y=有两个交点， 因为g'(x)=ex-e-x+2x在R上单调递增，且g'(0)=0， 所以当x<0时，g'(x)<0，g(x)单调递减，当x>0时，g'(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)min=g(0)=2， 而当x→+∞时，g(x)→+∞， 当x→-∞时，g(x)→+∞， 所以>2，即>4，即b2>4a2. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)=sin xcos x-2sin x+x，则(　　) A.f(x)在上单调递增 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)在［0，π］上有唯一零点 D.f(x)在［0，π］上有最小值为-2 答案　BD 解析　f'(x)=2cos2x-2cos x=2cos x(cos x-1)， 当x∈时，f'(x)≤0，f(x)在上单调递减， 当x∈时，f'(x)≥0，f(x)在上单调递增， f(x)在x=处取得极小值，为f=-2，f(0)=0，f(π)=π，f(x)在［0，π］上有两个零点x1=0，x2∈，有最小值为-2，所以A，C错误，B，D正确. 8.(2024·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)=(x-1)2(x-4)，则(　　) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 答案　ACD 解析　对于A，因为函数f(x)的定义域为R， f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2 =3(x-1)(x-3)， 易知当x∈(1，3)时，f'(x)<0； 当x∈(-∞，1)或x∈(3，+∞)时，f'(x)>0， 所以函数f(x)在(-∞，1)上单调递增， 在(1，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增， 故x=3是f(x)的极小值点，故A正确； 对于B，当0<x<1时， x-x2=x(1-x)>0，所以1>x>x2>0， 由A选项分析可知，函数f(x)在(0，1)上单调递增， 所以f(x)>f(x2)，故B错误； 对于C，当1<x<2时，1<2x-1<3， 由A选项分析可知，函数f(x)在(1，3)上单调递减， 所以f(1)>f(2x-1)>f(3)， 即-4<f(2x-1)<0，故C正确； 对于D，当-1<x<0时，2-x>x，由A选项分析可知，f(x)在(-1，0)上单调递增，所以f(2-x)>f(x)，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2024·宜宾模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=-1处有极值8，则f(1)=　　　　　.  答案　-4 解析　f'(x)=3x2+2ax+b， 若函数f(x)在x=-1处有极值8， 则 f(-1)=8且f'(-1)=0，即 解得或 当a=3，b=3时，f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0， 此时x=-1不是极值点，故舍去； 当a=-2，b=-7时，f'(x)=3x2-4x-7=(3x-7)(x+1)， 当x>或x<-1时，f'(x)>0， 当-1<x<时，f'(x)<0，故x=-1是极值点， 故a=-2，b=-7符合题意， 故f(x)=x3-2x2-7x+4，故f(1)=-4. 10.(2024·广州模拟)在半径为R的半球内放入一个正四棱柱，使得正四棱柱上底面的四个顶点位于半球面上，下底面与半球的大圆面重合，则正四棱柱体积的最大值为　　　　　.  答案　 解析　显然正四棱柱上底面正方形为与半球底面平行的截面圆的内接正方形， 设正四棱柱的高为x，则正四棱柱上底面外接圆半径为，上底面正方形的边长为， 因此正四棱柱的体积V(x)=2(R2-x2)x=2R2x-2x3，显然0<x<R， 求导得V'(x)=2R2-6x2，当0<x<R时，V'(x)>0， 当R<x<R时，V'(x)<0， 则函数V(x)在上单调递增， 在上单调递减， 当x=R时，V(x)max=R3，所以正四棱柱体积的最大值为. 四、解答题(共27分) 11.(13分)(2024·河南省部分重点高中联考)设函数f(x)的导函数为f'(x)，f'(x)的导函数为f″(x)，f″(x)的导函数为f(x).若f″(x0)=0，且f(x0)≠0，则点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点. (1)判断曲线y=x6是否有拐点，并说明理由；(5分) (2)已知函数f(x)=ax5-5x3，若点为曲线y=f(x)的一个拐点，求f(x)的单调区间与极值.(8分) 解　(1)由函数y=x6，可得y'=6x5，y″=30x4，y=120x3， 由y″=30x4=0，得x=0， 且当x=0时，y=120x3=0，所以曲线y=x6没有拐点. (2)由函数f(x)=ax5-5x3， 可得f'(x)=5ax4-15x2，f″(x)=20ax3-30x=10x(2ax2-3)，f(x)=60ax2-30. 因为点为曲线y=f(x)的一个拐点，所以f″=0， 所以2a×-3=0，解得a=3， 经检验，当a=3时，f≠0，符合题意， 所以f'(x)=15x4-15x2=15x2(x2-1). 当x<-1或x>1时，f'(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(-∞，-1)，(1，+∞)； 当-1<x<1时，f'(x)≤0， 则f(x)的单调递减区间为(-1，1)， 故当x=-1时，f(x)取得极大值，且极大值为2； 当x=1时，f(x)取得极小值，且极小值为-2. 12.(14分)(2024·海南省四校联考)已知函数f(x)=x2-aln x+1，a∈R. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5分) (2)当a>0时，若函数f(x)有最小值2，求a的值.(9分) 解　(1)当a=1时，f(x)=x2-ln x+1， f(x)的定义域为(0，+∞)， 则f'(x)=2x-， 则f'(1)=2-=1，f(1)=1-ln 1+1=2， 所以函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-2=x-1，即x-y+1=0. (2)f(x)=x2-aln x+1，a∈R的定义域为(0，+∞)， f'(x)=2x-=. 当a>0时，令f'(x)>0，解得x>； 令f'(x)<0，解得0<x<， 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)min=f=-aln+1=2， 即-ln -1=0. 令t=>0， 设g(t)=t-tln t-1，g'(t)=-ln t， 令g'(t)<0，解得t>1； 令g'(t)>0，解得0<t<1， 所以g(t)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以g(t)≤g(1)=1-ln 1-1=0， 所以t==1，解得a=2. 13题6分，14题5分，共11分 13.(多选)(2024·鹰潭模拟)已知函数f(x)=xx，x∈(0，+∞)，则下列命题正确的是(　　) A.f(x)有且只有一个极值点 B.f(x)在上单调递增 C.存在实数a∈(0，+∞)，使得f(a)= D.f(x)有最小值 答案　ABD 解析　由y=xx得ln y=xln x，令z=xln x， 则函数z=xln x可以看作函数z=ln y与函数y=xx的复合函数， 因为z=ln y为增函数，所以z=xln x与y=xx的单调性、图象变换等基本一致. z'=ln x+1，由z'=0得x=， 列表如下： x z' - 0 + z ↘ - ↗ 由表知，z=xln x在上单调递减，在上单调递增， 所以当x=时，z取得极小值(最小值)-， 所以f(x)=xx在上单调递增，即B正确； 在x=时，f(x)取得唯一极值(极小值，也是最小值)>，即A，D都正确，C错误. 14.［曲率数］我们通常用“曲率”来衡量曲线弯曲的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大.工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设计.若f'(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f'(x)的导函数，那么曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的曲率K=.已知曲线f(x)=sin x+cos x，则曲线f(x)在点处的曲率为　　　　　；若x∈，则曲线f(x)的曲率的平方K2的最大值为　　　　.  答案　　2 解析　函数f(x)=sin x+cos x，求导得f'(x)=cos x-sin x，f″(x)=-sin x-cos x， 则曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的曲率K=， 当x0=时， K==. 当x0∈时， K2==， 令2-sin 2x0=t，显然2x0∈(0，π)，sin 2x0∈(0，1］，则t∈［1，2)，K2=. 令g(t)==-， 求导得g'(t)=-+=<0，即函数g(t)在［1，2)上单调递减， 当t=1时，g(t)取得最大值2，所以曲线f(x)的曲率的平方K2的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的极值、最值 微专题4 利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答题的形式出现，难度中等；或者压轴解答题，属综合性问题，难度较大. 考情分析 考点一 考点二 考点三 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 已知函数极值、最值求参数 专题强化练 内容索引 考点一 利用导数研究函数的极值 判断函数的极值点，主要有两点 (1)导函数f'(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点. (2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点. (2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 例1 当a=1时，则f(x)=ex-x-1， f'(x)=ex-1， 可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1， 即切点坐标为(1，e-2)， 切线斜率k=e-1， 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)， 即(e-1)x-y-1=0. (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 方法一　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增， 无极值，不符合题意； 若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a， 令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，+∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值， 由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0， 令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 则g'(a)=2a+>0， 可知g(a)在(0，+∞)上单调递增， 且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取值范围为(1，+∞). 方法二　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若f(x)有极小值， 则f'(x)=ex-a有零点， 令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a， 可知y=ex与y=a有交点，则a>0， 令f'(x)>0，解得x>ln a； 令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，+∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3， 无极大值，符合题意， 由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0， 令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上均单调递增， 所以g(a)在(0，+∞)上单调递增，且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取值范围为(1，+∞). 易错提醒 (1)不能忽略函数的定义域. (2)f'(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件，即f'(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f'(x)=0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性. (3)函数的极小值不一定比极大值小. (1)(多选)(2024·武汉统考)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的部分图象如图所示，设函数g(x)=，则g(x)  A.在区间(a，b)上单调递减 B.在区间(a，b)上单调递增 C.在x=a时取极小值 D.在x=b时取极小值 跟踪演练1 √ √ 结合图象可知，当x<a时，f(x)-f'(x)>0， 当a<x<b时，f(x)-f'(x)<0，当x>b时，f(x)-f'(x)>0. g'(x)=，因为ex>0， 故当x<a时，g'(x)=<0，g(x)在区间(-∞，a)上单调递减； 当a<x<b时，g'(x)=>0，g(x)在区间(a，b)上单调递增； 当x>b时，g'(x)=<0，g(x)在区间(b，+∞)上单调递减，故g(x)在x=a处取得极小值，在x=b处取得极大值. (2)(2024·秦皇岛模拟)已知0是函数f(x)=x3+ax2+1的极大值点，则a的取值范围为 A.(-∞，0) B.(0，+∞) C. D. √ 因为f(x)=x3+ax2+1，所以f'(x)=3x2+2ax=x(3x+2a)， 令f'(x)=0，可得x=0或x=-， 当->0，即a<0时， 令f'(x)>0，得x<0或x>-； 令f'(x)<0，得0<x<-， 所以f(x)在(-∞，0)，上单调递减， 所以0是函数f(x)的极大值点，满足题意； 当-=0，即a=0时，f'(x)=x(3x+0)≥0恒成立， 则f(x)在R上单调递增，没有极值点，不满足题意； 当-<0，即a>0时， 令f'(x)>0，得x<-或x>0； 令f'(x)<0，得-<x<0， 所以f(x)在，(0，+∞)上单调递增，在上单调递减， 所以0是函数f(x)的极小值点，不满足题意. 综上，a<0，即a的取值范围为(-∞，0). 利用导数研究函数的最值 考点二 1.求函数f(x)在［a，b］上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值. (2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b). (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2.若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值. (2024·南京模拟)已知函数f(x)=，其中a∈R. (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 例2 当a=0时，f(x)=，则f(1)=， f'(x)=，所以f'(1)=， 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-=(x-1)，即x-ey=0. (2)当a>0时，若f(x)在区间［0，a］上的最小值为，求a的值. f'(x)==-， 令f'(x)=0，解得x=2或x=a， 若0<a<2，当x∈［0，a］时，f'(x)≤0，则f(x)在［0，a］上单调递减， 所以f(x)min=f(a)==. 设g(a)=，g'(a)=， 当0<a<1时，g'(a)>0，g(a)单调递增， 当a>1时，g'(a)<0，g(a)单调递减， 所以g(a)的极大值为g(1)=， 所以由=得a=1； 若a>2，当x∈［0，2］时，f'(x)≤0，则f(x)在［0，2］上单调递减， 当x∈(2，a］时，f'(x)>0，则f(x)在(2，a］上单调递增， 所以f(x)min=f(2)==， 则a=4-e<2，不符合题意； 若a=2，当x∈［0，2］时，f'(x)≤0，则f(x)在［0，2］上单调递减， 所以f(x)min=f(2)=≠，不符合题意. 综上，a=1. (1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论. (2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值. 易错提醒 (1)(2024·固原模拟)函数f(x)=sin x-(x+2)cos x-1在区间［0，2π］上的最小值、最大值分别为 A.-2π-3，π+1 B.-2π-3，-3 C.-3，π+1 D.-3，2 跟踪演练2 √ f'(x)=cos x-cos x+(x+2)sin x=(x+2)sin x， 所以在区间［0，π)上，f'(x)≥0，即f(x)单调递增； 在区间(π，2π］上，f'(x)≤0，即f(x)单调递减， 又f(0)=-3，f(2π)=-2π-3，f(π)=π+1， 所以f(x)在区间［0，2π］上的最小值为-2π-3，最大值为π+1. (2)(2024·沧州模拟)已知函数f(x)=若a<b，且f(a)=f(b)，则b-a的取值范围是　　　　　　.  (ln 2，1］ 设f(a)=f(b)=m，如图所示.由f(x)的图象知，1≤m<2，a<0≤b，  则eb=m=a+2， 从而a=m-2，b=ln m， 所以b-a=ln m-m+2. 令g(m)=ln m-m+2，1≤m<2， 则g'(m)=， 当1≤m<2时，g'(m)≤0， 当且仅当x=1时，g'(m)=0， 所以g(m)在［1，2)上为减函数， 所以g(2)<g(m)≤g(1)， 得ln 2<g(m)≤1，即b-a的取值范围是(ln 2，1］. 已知函数极值、最值求参数 考点三 (1)已知函数f(x)=x3-在其定义域(0，+∞)内既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是 A.(0，1)∪ B.(0，1) C. D. √ 例3 f(x)=x3-， 则f'(x)=x2-ax， 要使函数f(x)=x3-在其定义域(0，+∞)内既有极大值也有极小值， 只需方程x2-ax=0，即ln a=在(0，+∞)内有两个不相等的实根， 令g(x)=，则g'(x)=. 当x∈(0，e)时，g'(x)>0，  当x∈(e，+∞)时，g'(x)<0， 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，当x→+∞时，g(x)→0， 当x→-∞时，g(x)→-∞，g(e)=，其图象如图. 所以ln a∈，所以1<a<. (2)若函数f(x)=x3+x2-2在区间(a-4，a)上存在最小值，则a的取值范围是 　　　　　.  ［1，4) 由f(x)=x3+x2-2得f'(x)=x2+2x=x(x+2)， 所以当x<-2或x>0时，f'(x)>0，当-2<x<0时，f'(x)<0， 于是得f(x)在(-∞，-2)和(0，+∞)上单调递增，在(-2，0)上单调递减， 当x=0时，f(x)取得极小值f(0)=-2. 因为f(x)在区间(a-4，a)上存在最小值，而函数的最值不可能在开区间端点处取得， 于是得0∈(a-4，a)，且f(a-4)≥f(0)， 即 解得1≤a<4， 所以实数a的取值范围为［1，4). 易错提醒 方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法.分离参数时，等式或不等式两边符号变化以及除数不能等于0，易忽视. (1)(2024·赤峰模拟)已知函数f(x)=xln x-ax有极值-e，则a等于 A.1 B.2 C.e D.3 跟踪演练3 √ 由题目条件可得，函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=ln x+1-a. 令f'(x)>0，得x>ea-1； 令f'(x)<0，得0<x<ea-1. 所以函数f(x)在区间(0，ea-1)上单调递减， 在(ea-1，+∞)上单调递增. 则ea-1是函数f(x)的极小值点，无极大值点， 故f(ea-1)=ea-1ln ea-1-aea-1=-e，解得a=2. (2)(2024·湘豫名校联考)若x1，x2(x1<x2)是函数f(x)=ln x+x2+(a-1)x的两个极值点，且f(x1)+f(x2)≥-，则实数a的取值范围是　　　　　.  ［-2，-1) 因为f(x)=ln x+x2+(a-1)x，x>0， 所以f'(x)=. 因为x1，x2是函数f(x)=ln x+x2+(a-1)x的两个极值点， 所以f'(x)=0有两个不同的正根，即方程x2+(a-1)x+1=0有两个不同的正根x1，x2. 所以解得a<-1. 因为f(x1)+f(x2)=+ =ln x1x2+-x1x2+(a-1)(x1+x2) =ln 1+(1-a)2-1-(a-1)2 =-a2+a-≥-， 即a2-2a-8≤0，解得-2≤a≤4. 综上所述，实数a的取值范围是［-2，-1). 专题强化练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C B B D BD ACD 题号 9 10 13 14 答案 -4 ABD 　2 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 11. (1)由函数y=x6， 可得y'=6x5，y″=30x4，y=120x3， 由y″=30x4=0，得x=0， 且当x=0时，y=120x3=0， 所以曲线y=x6没有拐点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 11. (2)由函数f(x)=ax5-5x3， 可得f'(x)=5ax4-15x2，f″(x)=20ax3-30x=10x(2ax2-3)，f''' (x)=60ax2-30. 因为点为曲线y=f(x)的一个拐点， 所以f″=0， 所以2a×-3=0，解得a=3， 经检验，当a=3时，f''' ≠0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 11. 符合题意， 所以f'(x)=15x4-15x2=15x2(x2-1). 当x<-1或x>1时，f'(x)>0， 则f(x)的单调递增区间为 (-∞，-1)，(1，+∞)； 当-1<x<1时，f'(x)≤0， 则f(x)的单调递减区间为(-1，1)， 故当x=-1时，f(x)取得极大值，且极大值为2； 当x=1时，f(x)取得极小值，且极小值为-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12. (1)当a=1时，f(x)=x2-ln x+1，f(x)的定义域为(0，+∞)， 则f'(x)=2x-， 则f'(1)=2-=1，f(1)=1-ln 1+1=2， 所以函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-2=x-1， 即x-y+1=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12. (2)f(x)=x2-aln x+1，a∈R的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2x-=. 当a>0时，令f'(x)>0， 解得x>； 令f'(x)<0，解得0<x<， 所以f(x)在上单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12. 所以f(x)min=f=-aln+1=2， 即-ln -1=0. 令t=>0， 设g(t)=t-tln t-1，g'(t)=-ln t， 令g'(t)<0，解得t>1； 令g'(t)>0，解得0<t<1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12. 所以g(t)在(0，1)上单调递增， 在(1，+∞)上单调递减， 所以g(t)≤g(1)=1-ln 1-1=0， 所以t==1，解得a=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.(2024·辽宁省部分重点中学协作体模拟)下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是 A.f(x)=xsin x B.f(x)=x+ C.f(x)=ex+ D.f(x)=|x+1|-|x-1| √ 素养提升 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于A，x∈R，f(-x)=(-x)sin(-x)=xsin x=f(x)，故f(x)为偶函数，不符合题意； 对于B，x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，f(-x)=-x-=-f(x)，故f(x)为奇函数， 令f'(x)=1-=0，得x=±1， 当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 故f(x)存在极小值f(1)=2，故B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于C，x∈R，f(-x)=e-x+=ex+=f(x)，故f(x)为偶函数，不符合题意； 对于D，f(x)=无极值，不符合题意. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.(2024·西安模拟)函数f(x)=在［-3，3］上的最大值和最小值分别是 A.，- B.，- C.，- D.，- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 f'(x)=，x∈［-3，3］， 令f'(x)>0，解得-1<x<1，即f(x)在(-1，1)上单调递增， 令f'(x)<0，解得x∈［-3，-1)∪(1，3］， 即f(x)在［-3，-1)和(1，3］上单调递减. 又f(-3)=-，f(-1)=-，f(1)=，f(3)=，所以函数f(x)在［-3，3］上的最大值为，最小值为-. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(2024·银川模拟)若函数f(x)=(x2-ax-2)ex在x=-2处取得极大值，则f(x)的极小值为 A.-6e2 B.-4e C.-2e2 D.-e √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 f'(x)=［x2+(2-a)x-2-a］ex(x∈R)， 因为函数f(x)在x=-2处取得极大值， 则f'(-2)=0， 即4-2(2-a)-2-a=0，所以a=2， 所以f(x)=(x2-2x-2)ex， f'(x)=(x2-4)ex=(x+2)(x-2)ex， 令f'(x)=0，则x=2或x=-2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 当x∈(-∞，-2)∪(2，+∞)时，f'(x)>0， 当x∈(-2，2)时，f'(x)<0， 所以f(x)在(-∞，-2)，(2，+∞)上单调递增，在(-2，2)上单调递减. 所以函数f(x)在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值，极小值为f(2)=-2e2. 4.已知函数f(x)=ln x+ax存在最大值0，则a的值为 A.-2 B.- C.1 D.e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 因为f'(x)=+a，x>0， 所以当a≥0时，f'(x)>0恒成立，故函数f(x)单调递增，不存在最大值； 当a<0时，令f'(x)=0，得x=-， 所以当x∈时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x∈时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减， 所以f(x)max=f=ln-1=0，解得a=-. 5.(2024·秦皇岛统考)已知f'(x)是函数f(x)的导函数，若函数y=xf'(x)-1的图象大致如图所示，则f(x)极值点的个数为  A.1 B.2 C.3 D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 将函数y=xf'(x)-1的图象向上平移一个单位长度，就可得到函数y=xf'(x)的图象. 由图可知，当x∈(-∞，-4)时，f'(x)<0， 即f(x)在(-∞，-4)上单调递减； 当x∈(-4，0)时，f'(x)>0，即f(x)在(-4，0)上单调递增； 当x∈(0，4)时，f'(x)>0，即f(x)在(0，4)上单调递增； 当x∈(4，+∞)时，f'(x)<0，即f(x)在(4，+∞)上单调递减. 所以f(x)在x=-4处取得极小值，在x=4处取得极大值， 故f(x)极值点的个数为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(2024·绵阳模拟)已知函数f(x)=a-bx既有极大值，也有极小值，则下列关系式中一定成立的是 A.b>2a B.b<2a C.b=2a D.b2>4a2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 由题意得f'(x)=a(ex+e-x+x2)-b， 因为f(x)既有极大值，也有极小值， 所以f'(x)=0有两个不同的实数根， 即a(ex+e-x+x2)-b=0有两个不同的实数根， 显然ab≠0，故ex+e-x+x2=有两个不同的实数根. 令g(x)=ex+e-x+x2，则g(x)的图象与直线y=有两个交点， 因为g'(x)=ex-e-x+2x在R上单调递增，且g'(0)=0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 所以当x<0时，g'(x)<0，g(x)单调递减，当x>0时，g'(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)min=g(0)=2， 而当x→+∞时，g(x)→+∞， 当x→-∞时，g(x)→+∞， 所以>2，即>4，即b2>4a2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)=sin xcos x-2sin x+x，则 A.f(x)在上单调递增 B.f(x)在上单调递增 C.f(x)在［0，π］上有唯一零点 D.f(x)在［0，π］上有最小值为-2 √ 答案 二、多项选择题 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 f'(x)=2cos2x-2cos x=2cos x(cos x-1)， 当x∈时，f'(x)≤0，f(x)在上单调递减， 当x∈时，f'(x)≥0，f(x)在上单调递增， f(x)在x=处取得极小值，为f=-2，f(0)=0，f(π)=π，f(x)在［0，π］上有两个零点x1=0，x2∈-2，所以A，C错误，B，D正确. 答案 8.(2024·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)=(x-1)2(x-4)，则 A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 √ √ 对于A，因为函数f(x)的定义域为R， f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2 =3(x-1)(x-3)， 易知当x∈(1，3)时，f'(x)<0； 当x∈(-∞，1)或x∈(3，+∞)时，f'(x)>0， 所以函数f(x)在(-∞，1)上单调递增， 在(1，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增， 故x=3是f(x)的极小值点，故A正确； 对于B，当0<x<1时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 x-x2=x(1-x)>0，所以1>x>x2>0， 由A选项分析可知，函数f(x)在(0，1)上单调递增， 所以f(x)>f(x2)，故B错误； 对于C，当1<x<2时，1<2x-1<3， 由A选项分析可知，函数f(x)在(1，3)上单调递减， 所以f(1)>f(2x-1)>f(3)， 即-4<f(2x-1)<0，故C正确； 对于D，当-1<x<0时，2-x>x，由A选项分析可知，f(x)在(-1，0)上单调递增，所以f(2-x)>f(x)，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.(2024·宜宾模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=-1处有极值8，则f(1)= 　　　.  答案 三、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 f'(x)=3x2+2ax+b， 若函数f(x)在x=-1处有极值8， 则 f(-1)=8且f'(-1)=0，即 解得 当a=3，b=3时，f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0， 此时x=-1不是极值点，故舍去； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 当a=-2，b=-7时，f'(x)=3x2-4x-7=(3x-7)(x+1)， 当x>或x<-1时，f'(x)>0， 当-1<x<时，f'(x)<0，故x=-1是极值点， 故a=-2，b=-7符合题意， 故f(x)=x3-2x2-7x+4，故f(1)=-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(2024·广州模拟)在半径为R的半球内放入一个正四棱柱，使得正四棱柱上底面的四个顶点位于半球面上，下底面与半球的大圆面重合，则正 四棱柱体积的最大值为　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 显然正四棱柱上底面正方形为与半球底面平行的截面圆的内接正方形， 设正四棱柱的高为x，则正四棱柱上底面外接圆半径为，  因此正四棱柱的体积V(x)=2(R2-x2)x=2R2x-2x3，显然0<x<R， 求导得V'(x)=2R2-6x2，当0<x<R时，V'(x)>0， 当R<x<R时，V'(x)<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 则函数V(x)在上单调递增， 在上单调递减， 当x=R时，V(x)max=R3，所以正四棱柱体积的最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.(2024·河南省部分重点高中联考)设函数f(x)的导函数为f'(x)，f'(x)的导函数为f″(x)，f″(x)的导函数为f  (x).若f″(x0)=0，且f (x0)≠0，则点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点. (1)判断曲线y=x6是否有拐点，并说明理由； 答案 四、解答题 由函数y=x6，可得y'=6x5，y″=30x4，y  =120x3， 由y″=30x4=0，得x=0， 且当x=0时，y  =120x3=0，所以曲线y=x6没有拐点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 (2)已知函数f(x)=ax5-5x3，若点为曲线y=f(x)的一个拐点，求f(x)的单调区间与极值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 由函数f(x)=ax5-5x3， 可得f'(x)=5ax4-15x2，f″(x)=20ax3-30x=10x(2ax2-3)，f ‴(x)=60ax2-30. 因为点为曲线y=f(x)的一个拐点，所以f″=0， 所以2a×-3=0，解得a=3， 经检验，当a=3时，f ‴≠0，符合题意， 所以f'(x)=15x4-15x2=15x2(x2-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 当x<-1或x>1时，f'(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(-∞，-1)，(1，+∞)； 当-1<x<1时，f'(x)≤0， 则f(x)的单调递减区间为(-1，1)， 故当x=-1时，f(x)取得极大值，且极大值为2； 当x=1时，f(x)取得极小值，且极小值为-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(2024·海南省四校联考)已知函数f(x)=x2-aln x+1，a∈R. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 答案 当a=1时，f(x)=x2-ln x+1， f(x)的定义域为(0，+∞)， 则f'(x)=2x-， 则f'(1)=2-=1，f(1)=1-ln 1+1=2， 所以函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-2=x-1，即x-y+1=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)当a>0时，若函数f(x)有最小值2，求a的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 f(x)=x2-aln x+1，a∈R的定义域为(0，+∞)， f'(x)=2x-=. 当a>0时，令f'(x)>0，解得x>； 令f'(x)<0，解得0<x<， 所以f(x)在上单调递增， 所以f(x)min=f=-aln+1=2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 即-ln -1=0. 令t=>0， 设g(t)=t-tln t-1，g'(t)=-ln t， 令g'(t)<0，解得t>1； 令g'(t)>0，解得0<t<1， 所以g(t)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以g(t)≤g(1)=1-ln 1-1=0， 所以t==1，解得a=2. 13.(多选)(2024·鹰潭模拟)已知函数f(x)=xx，x∈(0，+∞)，则下列命题正确的是 A.f(x)有且只有一个极值点 B.f(x)在上单调递增 C.存在实数a∈(0，+∞)，使得f(a)= D.f(x)有最小值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 思维创新 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由y=xx得ln y=xln x，令z=xln x， 则函数z=xln x可以看作函数z=ln y与函数y=xx的复合函数， 因为z=ln y为增函数，所以z=xln x与y=xx的单调性、图象变换等基本一致. z'=ln x+1，由z'=0得x=， 列表如下： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由表知，z=xln x在上单调递增， 答案 x z' - 0 + z ↘ - ↗ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以当x=时，z取得极小值(最小值)-， 所以f(x)=xx在上单调递增，即B正确； 在x=时，f(x)取得唯一极值(极小值，也是最小值)>，即A，D都正确，C错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.［曲率数］我们通常用“曲率”来衡量曲线弯曲的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大.工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设计.若f'(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f'(x)的导函数，那么曲线y=f(x)在点(x0， f(x0))处的曲率K=.已知曲线f(x)=sin x+cos x，则曲线f(x)在 点处的曲率为　　　；若x∈，则曲线f(x)的曲率的平方K2的最大值为　　　.  答案 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 函数f(x)=sin x+cos x，求导得f'(x)=cos x-sin x，f″(x)=-sin x-cos x， 则曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的曲率K=， 当x0=时， K==. 当x0∈时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 K2==， 令2-sin 2x0=t，显然2x0∈(0，π)，sin 2x0∈(0，1］，则t∈［1，2)，K2=. 令g(t)==-， 求导得g'(t)=-+=<0，即函数g(t)在［1，2)上单调递减， 当t=1时，g(t)取得最大值2，所以曲线f(x)的曲率的平方K2的最大值为2. 本课结束 THANKS $$