专题一 微专题2 基本初等函数、函数与方程-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考数学复习讲义课件（基础版）（课件PPT+word教案）

微专题2　基本初等函数、函数与方程 ［考情分析］　1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型. 考点一　基本初等函数的运算、图象与性质 指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y=x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同. 例1　(1)(2024·深圳模拟)已知a>0，且a≠1，则函数y=loga的图象一定经过(　　) A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限 答案　D 解析　当x=0时，y=loga=-1， 则当0<a<1时，函数图象过二、三、四象限； 当a>1时，函数图象过一、三、四象限， 所以函数y=loga的图象一定经过三、四象限. (2)(2024·成都模拟)已知函数f(x)=的值域为M.若(1，+∞)⊆M，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D. 答案　B 解析　当a=0时，f(x)=2-x+1∈(0，+∞)，符合题意； 当a≠0时，因为函数f(x)=的值域为M，且满足(1，+∞)⊆M， 由指数函数的单调性可知，二次函数y=ax2-x+1的最小值ymin≤0， 当a>0时，依题意有y=ax2-x+1的最小值≤0，即0<a≤； 当a<0时，不符合题意. 综上，0≤a≤. ［规律方法］　(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围. (2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化. 跟踪演练1　(1)(2024·湖北宜荆荆随恩模拟)已知函数f(x)=log5(ax-2)在［1，+∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(1，+∞) B.［ln 2，+∞) C.(2，+∞) D.［2，+∞) 答案　C 解析　若f(x)=log5(ax-2)在［1，+∞)上单调递增， 则必然在x=1处有定义，所以a1-2>0，即a>2. 若a>2，则当x≥1时，ax-2≥a-2>0，所以f(x)在［1，+∞)上有定义， 再由a>2知ax-2在R上单调递增，所以f(x)在［1，+∞)上单调递增，故a的取值范围是(2，+∞). (2)(2024·全国甲卷)已知a>1，且-=-，则a=　　　　.  答案　64 解析　由题知a>1，则log2a>0，- =-log2a=-， 整理得(log2a)2-5log2a-6=0， 则log2a=-1(舍去)或log2a=6， 所以log2a=6=log226， 故a=26=64. 考点二　函数的零点 判断函数零点个数的方法 (1)利用函数零点存在定理判断. (2)代数法：求方程f(x)=0的实数根. (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y=f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性. 考向1　函数零点个数的判断 例2　(2024·邢台模拟)函数f(x)=cos πx-2x+1零点的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　C 解析　令f(x)=cos πx-2x+1=0， 可得cos πx=2x-1， 则函数f(x)=cos πx-2x+1零点的个数为y=cos πx的图象与直线y=2x-1交点的个数， 显然y=cos πx的图象与直线y=2x-1均关于点对称， 又当x=2时，cos 2π>2×2-1， 当x=4时，cos 4π<2×4-1， 再结合两个函数的图象，可得y=cos πx的图象与直线y=2x-1有5个交点，故函数f(x)=cos πx-2x+1零点的个数为5. 考向2　求参数的值或范围 例3　(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1，1)时，曲线y=f(x)和y=g(x)恰有一个交点，则a等于(　　) A.-1 B. C.1 D.2 答案　D 解析　方法一　令f(x)=g(x)， 即a(x+1)2-1=cos x+2ax， 可得ax2+a-1=cos x， 令F(x)=ax2+a-1，G(x)=cos x， 原题意等价于当x∈(-1，1)时， 曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点， 注意到F(x)，G(x)均为偶函数， 可知该交点只能在y轴上， 可得F(0)=G(0)， 即a-1=1，解得a=2， 若a=2，令F(x)=G(x)， 可得2x2+1-cos x=0， 因为x∈(-1，1)，则2x2≥0，1-cos x≥0， 当且仅当x=0时，等号成立， 可得2x2+1-cos x≥0， 当且仅当x=0时，等号成立， 则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0， 即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点， 所以a=2符合题意. 方法二　令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x，x∈(-1，1)， 原题意等价于h(x)有且仅有一个零点， 因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x) =ax2+a-1-cos x=h(x)， 则h(x)为偶函数， 根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0， 即h(0)=a-2=0，解得a=2， 若a=2，则h(x)=2x2+1-cos x，x∈(-1，1)， 又因为2x2≥0，1-cos x≥0， 当且仅当x=0时，等号成立， 可得h(x)≥0，当且仅当x=0时，等号成立， 即h(x)有且仅有一个零点0， 所以a=2符合题意. ［规律方法］　利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法 跟踪演练2　(1)(2024·梅州模拟)三个函数f(x)=x3+x-3，g(x)=ln x+x-3，h(x)=ex+x-3的零点分别为a，b，c，则a，b，c之间的大小关系为(　　) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a 答案　B 解析　因为函数y=x3，y=ln x，y=ex，y=x-3都是增函数， 所以函数f(x)=x3+x-3，g(x)=ln x+x-3，h(x)=ex+x-3均为增函数， 因为f(1)=-1<0，f(2)=7>0， 所以函数f(x)的零点在(1，2)内，即a∈(1，2)， 因为g(2)=ln 2-1<0，g(3)=ln 3>0， 所以函数g(x)的零点在(2，3)内，即b∈(2，3)， 因为h(0)=-2<0，h(1)=e-2>0， 所以函数h(x)的零点在(0，1)内，即c∈(0，1)， 综上，c<a<b. (2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈［-1，1］时，f(x)=x2.令g(x)=f(x)-kx-k，若在区间［-1，3］内，方程g(x)=0有4个不相等实根，则实数k的取值范围是(　　) A.(0，+∞) B. C. D. 答案　C 解析　令g(x)=0，得f(x)=k(x+1)， 由f(x)的周期性，作出y=f(x)在［-1，3］上的图象，如图所示. 设直线y=k1(x+1)经过点(3，1)，则k1=. ∵直线y=k(x+1)经过定点(-1，0)，且由题意知直线y=k(x+1)与y=f(x)的图象在区间［-1，3］内有4个交点，∴0<k≤. 考点三　函数模型及其应用 例4　(1)(2024·重庆模拟)物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)=logb，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的　　　　　倍(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)  A.5.5 B.6 C.6.5 D.7 答案　C 解析　由题意，以n开头的数出现的概率为 Pb(n)=logb，可得P10(1)=lg 2， P10(9)=lg =lg 10-lg 9=1-2lg 3， 所以=≈6.5. (2)(2024·德阳模拟)如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系：y=eax+b(a，b为常数)，若该果蔬在7 ℃的保鲜时间为288小时，在21 ℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过(　　) A.14 ℃ B.15 ℃ C.13 ℃ D.16 ℃ 答案　A 解析　依题意， 则e14a=，即e7a=，显然a<0， 设物流过程中果蔬的储藏温度为t ℃， 于是eat+b≥96=3e21a+b=e-7a·e21a+b=e14a+b， 解得at+b≥14a+b，因此t≤14， 所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14 ℃. ［易错提醒］　构建函数模型解决实际问题的失分点 (1)不能选择相应变量得到函数模型. (2)构建的函数模型有误. (3)忽视函数模型中变量的实际意义. 跟踪演练3　(2024·合肥模拟)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰期，记为T(单位：天).铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1，T2.开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则T1，T2满足的关系式为(　　) A.-2+= B.2+= C.-2+log2=log2 D.2+log2=log2 答案　B 解析　设开始记录时，甲、乙两种物质的质量均为1， 则512天后，甲的质量为， 乙的质量为， 由题意可得==， 所以2+=. 专题强化练 (分值：83分) 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.若幂函数y=f(x)的图象经过点(2，)，则f(16)等于(　　) A. B.2 C.4 D. 答案　C 解析　设幂函数y=f(x)=xα，因为f(x)的图象经过点(2，)， 所以2α=，解得α=， 所以f(x)=，所以f(16)=1=4. 2.(2024·湖北新高考协作体模拟)已知函数f(x)=则f(log212)等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　f(log212)=f(log212-1)=f(log26)=f(log26-1)=f(log23) =+=3+=. 3.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2) 答案　C 解析　由题，显然函数f(x)=2x--a的图象在区间(1，2)内连续，因为f(x)的一个零点在区间(1，2)内，所以f(1)f(2)<0，即(2-2-a)(4-1-a)<0，解得0<a<3. 4.(2024·绵阳模拟)已知函数y=xa，y=bx，y=logcx在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则(　　) A.loc<ba<sin b B.loc<sin b<ba C.sin b<ba<loc D.sin b<loc<ba 答案　B 解析　因为y=xa的图象过点(1，1)，故由图象可得a<0， 又y=bx的图象过点(0，1)，故由图象可得0<b<1， 又y=logcx的图象过点(1，0)，故由图象可得c>1. 故loc<lo1=0， 0<sin b<1，ba>b0=1， 故loc<sin b<ba. 5.2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是(参考数据：ln 2≈0.693，e0.462≈1.587)(　　) A.1.587 B.1.442 C.0.587 D.0.442 答案　C 解析　空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，设空间站运行周期为T，其圆轨道半径为R，则T2=kR3(k>0)，当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为R1，则(2T)2=k， 两式相比得4=， 即ln 4=ln，ln=≈0.462， 故≈e0.462≈1.587， 故圆轨道半径增加的倍数大约是1.587-1=0.587. 6.(2024·温州模拟)已知函数f(x)=则关于x的方程f(x)=ax+2的根的个数不可能是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　作出函数y=f(x)的图象，如图所示，将原问题转化为直线y=ax+2(过定点(0，2))与函数y=f(x)的图象交点的个数，由图可知，当a=0时，直线y=2与函数y=f(x)的图象只有一个交点；当a<0时，直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象没有交点；当a>0时，直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象有三个交点，所以直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象不可能有两个交点. 7.(2024·广州模拟)已知a=，3b=5，5c=8，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a 答案　C 解析　由题意得b=log35，c=log58， 因为a==log3=log3>log35=b，所以a>b， 因为=×=>==>1，所以b>c，故a>b>c. 8.(2024·广州模拟)若x0是方程f(g(x))=g(f(x))的实数解，则称x0是函数y=f(x)与y=g(x)的“复合稳定点”.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)与g(x)=2x-2有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则a的取值范围为(　　) A. B. C.(1，) D.(，+∞) 答案　D 解析　∵f(x)=ax(a>0且a≠1)与g(x)=2x-2有且仅有两个不同的“复合稳定点”， ∴a2x-2=2ax-2， 即(ax)2-2a2ax+2a2=0有两个不同的实根， 令t=ax，则t2-2a2t+2a2=0在(0，+∞)内有两个不同的实根， ∴⇒a2>2⇒a>， 则a的取值范围为(，+∞). 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.在下列四个图形中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=的图象可能是(　　) 答案　ABD 解析　当a>b>0时，A正确；当b>a>0时，B正确； 当b<a<0时，D正确；当a<b<0时，无此选项. 10.已知c>0，且2a=3b=5c，则(　　) A.a>b>c B.a<b<c C.+> D.若a+c=ac，则b=log310 答案　ACD 解析　设2a=3b=5c=k，因为c>0，所以k>1. 对于A，易知a>b>c，选项A正确，B错误； 对于C，因为a=log2k，b=log3k，c=log5k， 所以=logk2，=logk3，=logk5， 于是+=logk2+logk3=logk6>logk5=，选项C正确； 对于D，若a+c=ac，则+=1，即logk2+logk5=logk10=1，则k=10. 则b=log310，选项D正确. 11.(2024·玉溪模拟)已知函数f(x)=sin πx-lg的所有零点从小到大依次记为x1，x2，…，xn，则(　　) A.n=20 B.n=18 C.x1+x2+…+xn=10 D.x1+x2+…+xn=9 答案　AC 解析　令f(x)=sin πx-lg=0⇒sin πx=lg， 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=sin πx与y=lg的图象如图所示， 由图可知共有20个交点，故n=20，则A正确，B错误； 又函数y=sin πx，y=lg的图象都关于直线x=对称， 则==…==， 故x1+x2+…+xn=x1+x2+…+x20=10，则C正确，D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2024·开封模拟)已知alog94=1，则2-a=　　　　.  答案　 解析　由alog94=1可得4a=9，即(2a)2=9，2a=3，故2-a=. 13.(2024·广州联考)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过　　　　　天，甲的“日能力值”是乙的20倍.(参考数据：lg 102≈2.008 6，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0)  答案　100 解析　令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，n天后，甲、乙的“日能力值”分别(1+2%)n，(1-1%)n， 依题意，=20，即=20， 两边取对数得nlg=lg 20， 因此n=≈≈100， 所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍. 14.(2024·榆林模拟)已知函数f(x)=(x2-4x+m)恰有3个零点，则m的取值范围是　　　　　　　　　　.  答案　(-1，0)∪(0，3)∪(3，4) 解析　令f(x)=(x2-4x+m)=0， 得m=-x2+4x或m=-1. 令g(x)=-x2+4x，h(x)=-1，作出两函数的大致图象，如图所示， 这两个函数图象的交点为(0，0)，(3，3)，因为g(x)max=4，h(x)>-1， 所以由图可知m的取值范围是(-1，0)∪(0，3)∪(3，4). 每小题5分，共10分 15.(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b).若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为(　　) A. B. C. D.1 答案　C 解析　方法一　由题意可知，f(x)的定义域为(-b，+∞)， 令x+a=0，解得x=-a； 令ln(x+b)=0，解得x=1-b， 若-a≤-b，当x∈(-b，1-b)时， 可知x+a>0，ln(x+b)<0， 此时f(x)<0，不符合题意； 若-b<-a<1-b，当x∈(-a，1-b)时， 可知x+a>0，ln(x+b)<0， 此时f(x)<0，不符合题意； 若-a=1-b，当x∈(-b，1-b)时， 可知x+a<0，ln(x+b)<0，此时f(x)>0； 当x∈［1-b，+∞)时， 可知x+a≥0，ln(x+b)≥0， 此时f(x)≥0， 可知-a=1-b，符合题意； 若-a>1-b，当x∈(1-b，-a)时， 可知x+a<0，ln(x+b)>0， 此时f(x)<0，不符合题意， 综上所述，-a=1-b，即b=a+1， 则a2+b2=a2+(a+1)2 =2+≥， 当且仅当a=-，b=时，等号成立， 所以a2+b2的最小值为. 方法二　由题意可知，f(x)的定义域为(-b，+∞)， 令x+a=0，解得x=-a； 令ln(x+b)=0，解得x=1-b， 则当x∈(-b，1-b)时，ln(x+b)<0， 若f(x)≥0，则x+a≤0，所以1-b+a≤0； 当x∈(1-b，+∞)时，ln(x+b)>0， 若f(x)≥0，则x+a≥0，所以1-b+a≥0； 故1-b+a=0，即b=a+1， 则a2+b2=a2+(a+1)2 =2+≥， 当且仅当a=-，b=时，等号成立， 所以a2+b2的最小值为. 16.［泰勒展开式］苏格兰数学家科林·麦克劳林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：ln(1+x)=x-+-+…+(-1)n-1+…，试根据此公式估计下面代数式2++…+(-1)n-1+…(n≥5)的近似值为(参考数据：≈1.732 1，ln 2.732 1≈1.005，ln 3.732 1≈1.317)(　　) A.2.322 B.4.785 C.4.755 D.1.005 答案　C 解析　将x=代入ln(1+x)=x-+-+…+(-1)n-1+…， 得ln(1+)=-+-++…+(-1)n-1+… =-+-++…+(-1)n-1+… =-+2++…+(-1)n-1+… ≈ln 2.732 1≈1.005， 所以2++…+(-1)n-1+…≈4.755. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 基本初等函数、函数与方程 微专题2 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型. 2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现. 3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型. 考情分析 考点一 考点二 考点三 基本初等函数的运算、图象与性质 函数的零点 函数模型及其应用 专题强化练 内容索引 基本初等函数的运算、图象与性质 考点一 指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y=x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两种函数图象的异同. (1)(2024·深圳模拟)已知a>0，且a≠1，则函数y=loga的图象一定经过 A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限 √ 例1 当x=0时，y=loga=-1， 则当0<a<1时，函数图象过二、三、四象限； 当a>1时，函数图象过一、三、四象限， 所以函数y=loga的图象一定经过三、四象限. (2)(2024·成都模拟)已知函数f(x)=的值域为M.若(1，+∞)⊆M，则实数a的取值范围是 A. B. C.∪ D. √ 当a=0时，f(x)=2-x+1∈(0，+∞)，符合题意； 当a≠0时，因为函数f(x)=的值域为M，且满足(1，+∞)⊆M， 由指数函数的单调性可知，二次函数y=ax2-x+1的最小值ymin≤0， 当a>0时，依题意有y=ax2-x+1的最小值≤0，即0<a≤； 当a<0时，不符合题意. 综上，0≤a≤. 规律方法 (1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a的取值范围. (2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化. (1)(2024·湖北宜荆荆随恩模拟)已知函数f(x)=log5(ax-2)在［1，+∞)上单调递增，则a的取值范围是 A.(1，+∞) B.［ln 2，+∞) C.(2，+∞) D.［2，+∞) 跟踪演练1 √ 若f(x)=log5(ax-2)在［1，+∞)上单调递增， 则必然在x=1处有定义，所以a1-2>0，即a>2. 若a>2，则当x≥1时，ax-2≥a-2>0，所以f(x)在［1，+∞)上有定义， 再由a>2知ax-2在R上单调递增，所以f(x)在［1，+∞)上单调递增，故a的取值范围是(2，+∞). (2)(2024·全国甲卷)已知a>1，且-=-，则a=　　　　.  64 由题知a>1，则log2a>0，-=-log2a=-， 整理得(log2a)2-5log2a-6=0， 则log2a=-1(舍去)或log2a=6， 所以log2a=6=log226， 故a=26=64. 函数的零点 考点二 判断函数零点个数的方法 (1)利用函数零点存在定理判断. (2)代数法：求方程f(x)=0的实数根. (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y=f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性. (2024·邢台模拟)函数f(x)=cos πx-2x+1零点的个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 例2 考向1　函数零点个数的判断 √ 令f(x)=cos πx-2x+1=0， 可得cos πx=2x-1， 则函数f(x)=cos πx-2x+1零点的个数为y=cos πx的图象与直线y=2x-1交点的个数， 显然y=cos πx的图象与直线y=2x-1均关于点对称， 又当x=2时，cos 2π>2×2-1， 当x=4时，cos 4π<2×4-1， 再结合两个函数的图象，可得y=cos πx的图象与直线y=2x-1有5个交点，故函数f(x)=cos πx-2x+1零点的个数为5. (2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1，1)时，曲线y=f(x)和y=g(x)恰有一个交点，则a等于 A.-1 B. C.1 D.2 考向2　求参数的值或范围 √ 例3 方法一　令f(x)=g(x)， 即a(x+1)2-1=cos x+2ax， 可得ax2+a-1=cos x， 令F(x)=ax2+a-1，G(x)=cos x， 原题意等价于当x∈(-1，1)时， 曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点， 注意到F(x)，G(x)均为偶函数， 可知该交点只能在y轴上， 可得F(0)=G(0)， 即a-1=1，解得a=2， 若a=2，令F(x)=G(x)， 可得2x2+1-cos x=0， 因为x∈(-1，1)，则2x2≥0，1-cos x≥0， 当且仅当x=0时，等号成立， 可得2x2+1-cos x≥0， 当且仅当x=0时，等号成立， 则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0， 即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点， 所以a=2符合题意. 方法二　令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x，x∈(-1，1)， 原题意等价于h(x)有且仅有一个零点， 因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cos x=h(x)， 则h(x)为偶函数， 根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0， 即h(0)=a-2=0，解得a=2， 若a=2，则h(x)=2x2+1-cos x，x∈(-1，1)， 又因为2x2≥0，1-cos x≥0， 当且仅当x=0时，等号成立， 可得h(x)≥0，当且仅当x=0时，等号成立， 即h(x)有且仅有一个零点0， 所以a=2符合题意. 利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法 规律方法 (1)(2024·梅州模拟)三个函数f(x)=x3+x-3，g(x)=ln x+x-3，h(x)=ex+x-3的零点分别为a，b，c，则a，b，c之间的大小关系为 A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a 跟踪演练2 √ 因为函数y=x3，y=ln x，y=ex，y=x-3都是增函数， 所以函数f(x)=x3+x-3，g(x)=ln x+x-3，h(x)=ex+x-3均为增函数， 因为f(1)=-1<0，f(2)=7>0， 所以函数f(x)的零点在(1，2)内，即a∈(1，2)， 因为g(2)=ln 2-1<0，g(3)=ln 3>0， 所以函数g(x)的零点在(2，3)内，即b∈(2，3)， 因为h(0)=-2<0，h(1)=e-2>0， 所以函数h(x)的零点在(0，1)内，即c∈(0，1)， 综上，c<a<b. (2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈［-1，1］时，f(x)=x2.令g(x)=f(x)-kx-k，若在区间［-1，3］内，方程g(x)=0有4个不相等实根，则实数k的取值范围是 A.(0，+∞) B. C. D. √ 令g(x)=0，得f(x)=k(x+1)， 由f(x)的周期性，作出y=f(x)在［-1，3］上的图象，如图所示.   设直线y=k1(x+1)经过点(3，1)，则k1=. ∵直线y=k(x+1)经过定点(-1，0)，且由题意知直线y=k(x+1)与y=f(x)的图象在区间［-1，3］内有4个交点，∴0<k≤. 函数模型及其应用 考点三 (1)(2024·重庆模拟)物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)=logb，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.根据此定律，在十进制的大量随机数据中，以1开头的数出现的概率大约是以9开头的数出现的概率的　　　　　倍(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)  A.5.5 B.6 C.6.5 D.7 √ 例4 由题意，以n开头的数出现的概率为 Pb(n)=logb，可得P10(1)=lg 2， P10(9)=lg =lg 10-lg 9=1-2lg 3， 所以=≈6.5. (2)(2024·德阳模拟)如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系：y=eax+b(a，b为常数)，若该果蔬在7 ℃的保鲜时间为288小时，在21 ℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过 A.14 ℃ B.15 ℃ C.13 ℃ D.16 ℃ √ 例4 依题意， 则e14a=，即e7a=，显然a<0， 设物流过程中果蔬的储藏温度为t ℃， 于是eat+b≥96=3e21a+b=e-7a·e21a+b=e14a+b， 解得at+b≥14a+b，因此t≤14， 所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14 ℃. 易错提醒 构建函数模型解决实际问题的失分点 (1)不能选择相应变量得到函数模型. (2)构建的函数模型有误. (3)忽视函数模型中变量的实际意义. (2024·合肥模拟)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰期，记为T(单位：天).铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1，T2.开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则T1，T2满足的关系式为 A.-2+= B.2+= C.-2+log2=log2 D.2+log2=log2 跟踪演练3 √ 设开始记录时，甲、乙两种物质的质量均为1， 则512天后，甲的质量为， 乙的质量为， 由题意可得==， 所以2+=. 专题强化练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C B C C C D 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 ABD ACD AC 100 (-1，0)∪(0，3)∪(3，4) C C 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.若幂函数y=f(x)的图象经过点(2，)，则f(16)等于 A. B.2 C.4 D. √ 设幂函数y=f(x)=xα，因为f(x)的图象经过点(2，)， 所以2α=，解得α=， 所以f(x)=，所以f(16)=1=4. 素养提升 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(2024·湖北新高考协作体模拟)已知函数f(x)=则f(log212)等于 A. B. C. D. f(log212)=f(log212-1)=f(log26)=f(log26-1)=f(log23)=+=3+=. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是 A.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2) √ 答案 由题，显然函数f(x)=2x--a的图象在区间(1，2)内连续，因为f(x)的一个零点在区间(1，2)内，所以f(1)f(2)<0，即(2-2-a)(4-1-a)<0，解得0<a<3. 4.(2024·绵阳模拟)已知函数y=xa，y=bx，y=logcx在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则  A.loc<ba<sin b B.loc<sin b<ba C.sin b<ba<loc D.sin b<loc<ba 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 因为y=xa的图象过点(1，1)，故由图象可得a<0， 又y=bx的图象过点(0，1)，故由图象可得0<b<1， 又y=logcx的图象过点(1，0)，故由图象可得c>1. 故loc<lo1=0， 0<sin b<1，ba>b0=1， 故loc<sin b<ba. 5.2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是(参考数据：ln 2≈ 0.693，e0.462≈1.587) A.1.587 B.1.442 C.0.587 D.0.442 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，设空间站运行周期为T，其圆轨道半径为R，则T2=kR3(k>0)，当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为R1，则(2T)2=k， 两式相比得4=， 即ln 4=ln，ln=≈0.462， 故≈e0.462≈1.587， 故圆轨道半径增加的倍数大约是1.587-1=0.587. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(2024·温州模拟)已知函数f(x)=则关于x的方程f(x)=ax+2的根的个数不可能是 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 作出函数y=f(x)的图象，如图所示，将原问题转化为直线y=ax+2(过定点(0，2))与函数y=f(x)的图象交点的个数，由图可知，当a=0时，直线y=2与函数y=f(x)的图象只有一个交点；当a<0时，直线y=ax+2 与函数y=f(x)的图象没有交点；当a>0时，直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象有三个交点，所以直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象不可能有两个交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(2024·广州模拟)已知a=，3b=5，5c=8，则 A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a √ 由题意得b=log35，c=log58， 因为a==log3=log3>log35=b，所以a>b， 因为=×=>==>1，所以b>c，故a>b>c. 答案 8.(2024·广州模拟)若x0是方程f(g(x))=g(f(x))的实数解，则称x0是函数y=f(x)与y=g(x)的“复合稳定点”.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)与g(x)=2x-2有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则a的取值范围为 A. B. C.(1，) D.(，+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 ∵f(x)=ax(a>0且a≠1)与g(x)=2x-2有且仅有两个不同的“复合稳定点”， ∴a2x-2=2ax-2， 即(ax)2-2a2ax+2a2=0有两个不同的实根， 令t=ax，则t2-2a2t+2a2=0在(0，+∞)内有两个不同的实根， ∴⇒a2>2⇒a>， 则a的取值范围为(，+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 二、多项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在下列四个图形中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=的图象可能是 √ √ 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 当a>b>0时，A正确； 当b>a>0时，B正确； 当b<a<0时，D正确； 当a<b<0时，无此选项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知c>0，且2a=3b=5c，则 A.a>b>c B.a<b<c C.+> D.若a+c=ac，则b=log310 √ √ 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设2a=3b=5c=k，因为c>0，所以k>1. 对于A，易知a>b>c，选项A正确，B错误； 对于C，因为a=log2k，b=log3k，c=log5k， 所以=logk2，=logk3，=logk5， 于是+=logk2+logk3=logk6>logk5=，选项C正确； 对于D，若a+c=ac，则+=1，即logk2+logk5=logk10=1，则k=10. 则b=log310，选项D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(2024·玉溪模拟)已知函数f(x)=sin πx-lg的所有零点从小到大依次记为x1，x2，…，xn，则 A.n=20 B.n=18 C.x1+x2+…+xn=10 D.x1+x2+…+xn=9 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 令f(x)=sin πx-lg=0⇒sin πx=lg， 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=sin πx与y=lg的图象如图所示，   由图可知共有20个交点，故n=20，则A正确，B错误； 又函数y=sin πx，y=lg的图象都关于直线x=对称， 则==…==， 故x1+x2+…+xn=x1+x2+…+x20=10，则C正确，D错误. 三、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(2024·开封模拟)已知alog94=1，则2-a=　　　　.  答案 由alog94=1可得4a=9，即(2a)2=9，2a=3，故2-a=. 13.(2024·广州联考)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过　　　天，甲的“日能力值”是乙的20倍.(参考数据：lg 102≈2.008 6，lg 99≈1.995 6，lg 2 ≈0.301 0)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，n天后，甲、乙的“日能力值”分别(1+2%)n，(1-1%)n， 依题意，=20，即=20， 两边取对数得nlg=lg 20， 因此n=≈≈100， 所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(2024·榆林模拟)已知函数f(x)=(x2-4x+m)恰有3个零点，则m的取值范围是　 　　　　　　　　　.  (-1，0)∪(0，3)∪(3，4) 答案 令f(x)=(x2-4x+m)=0， 得m=-x2+4x或m=-1. 令g(x)=-x2+4x，h(x)=-1，作出两函数的大致图象，如图所示，  这两个函数图象的交点为(0，0)，(3，3)，因为g(x)max=4，h(x)>-1， 所以由图可知m的取值范围是(-1，0)∪(0，3)∪(3，4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b).若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为 A. B. C. D.1 √ 思维创新 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　由题意可知，f(x)的定义域为(-b，+∞)， 令x+a=0，解得x=-a； 令ln(x+b)=0，解得x=1-b， 若-a≤-b，当x∈(-b，1-b)时， 可知x+a>0，ln(x+b)<0， 此时f(x)<0，不符合题意； 若-b<-a<1-b，当x∈(-a，1-b)时， 可知x+a>0，ln(x+b)<0， 此时f(x)<0，不符合题意； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若-a=1-b，当x∈(-b，1-b)时， 可知x+a<0，ln(x+b)<0，此时f(x)>0； 当x∈［1-b，+∞)时， 可知x+a≥0，ln(x+b)≥0， 此时f(x)≥0， 可知-a=1-b，符合题意； 若-a>1-b，当x∈(1-b，-a)时， 可知x+a<0，ln(x+b)>0， 此时f(x)<0，不符合题意， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上所述，-a=1-b，即b=a+1， 则a2+b2=a2+(a+1)2=2+≥， 当且仅当a=-，b=时，等号成立， 所以a2+b2的最小值为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　由题意可知，f(x)的定义域为(-b，+∞)， 令x+a=0，解得x=-a； 令ln(x+b)=0，解得x=1-b， 则当x∈(-b，1-b)时，ln(x+b)<0， 若f(x)≥0，则x+a≤0，所以1-b+a≤0； 当x∈(1-b，+∞)时，ln(x+b)>0， 若f(x)≥0，则x+a≥0，所以1-b+a≥0； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故1-b+a=0，即b=a+1， 则a2+b2=a2+(a+1)2=2+≥， 当且仅当a=-，b=时，等号成立， 所以a2+b2的最小值为. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.［泰勒展开式］苏格兰数学家科林·麦克劳林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：ln(1+x)=x-+-+…+(-1)n-1+…，试根据此公式估计下面代数式2++…+(-1)n-1+…(n≥5)的近似值为(参考数据：≈1.732 1，ln 2.732 1≈1.005，ln 3.732 1≈1.317) A.2.322 B.4.785 C.4.755 D.1.005 答案 √ 将x=代入ln(1+x)=x-+-+…+(-1)n-1+…， 得ln(1+)=-+-++…+(-1)n-1+… =-+-++…+(-1)n-1+… =-+2++…+(-1)n-1+… ≈ln 2.732 1≈1.005， 所以2++…+(-1)n-1+…≈4.755. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 本课结束 THANKS $$