2026届高考考前回归-函数导数讲义

该高中数学讲义聚焦函数与导数高考核心考点，涵盖函数概念与性质（奇偶性、单调性、周期性等）及导数应用（切线、极值、零点、不等式），按考情分析、易错提醒、真题讲解、分层练习的逻辑架构梳理知识内在联系。通过考点精准定位、方法错解剖析、真题实战训练等教学环节，帮助学生突破抽象函数、含参单调性等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义以“数学思维”和“数学语言”为指导，创新采用“考情-易错-真题-练习”四步复习法。例如在导数单调性教学中，通过错解案例分析“导数恒大于0”的认知误区，培养学生逻辑推理能力；在零点问题中用分离参数结合数形结合构建解题模型，提升符号表达与应用意识。分层练习设计确保高效突破，助力教师把控复习节奏，提升学生应考能力。

2026高考考前精准回归--函数与导数 【考情--心中有数】 考查内容 考题统计 考情分析 函数的概念与性质 2025年Ⅰ卷5、8 2025年Ⅱ卷10 根据偶函数求参数 利用函数图象和性质比较函数值大小 奇偶性和导数结合研究解析式，函数值，不等式，极值 2024年Ⅰ卷6、8 2024年Ⅱ卷6、8 交根据分段函数单调性求参数范围； 抽象函数函数值判断大小 根据函数交点情况求参数 2023年Ⅰ卷4、11 2023年Ⅱ卷4 根据复合函数单调性求参数 抽象函数函数值，奇偶性，极值点 根据偶函数求参数 2022年Ⅰ卷7、10、12 2022年Ⅱ卷8 构造函数比较大小 三次函数的极值点，零点，对称中心，切线 抽象函数及其导函数的奇偶性，对称性，周期性 根据函数性质求函数值和 2021年Ⅰ卷13 2021年Ⅱ卷7、8、14 根据偶函数求参数 根据指对幂函数比较大小 根据函数奇偶性和对称性判断函数值 给定函数性质求解析式 一元函数导数及其应用 2025年Ⅰ卷12、19 2025年Ⅱ卷13、18 利用导数求切线及参数 三角导数结合比较大小和恒成立问题 根据导数极值求参数值 利用导数研究极值和零点，比较大小 2024年Ⅰ卷13、18 2024年Ⅱ卷16 利用导数求切线及参数 导数的综合应用 利用导数求切线，利用极值求参数 2023年Ⅰ卷19 2023年Ⅱ卷6、11，22 利用导数研究单调性，证明不等式 根据单调性求参数 利用极值求参数范围 利用导数证明不等式，根据极值点求参数范围 2022年Ⅰ卷15、22 2022年Ⅱ卷14、22 导数与切线求参数范围 根据函数零点个数求参数范围，利用导数研究两个函数交点个数，交点横坐标大小关系 分段函数过原点的切线方程 利用导数讨论单调性，有不等式求参数范围，证明不等式 2021年Ⅰ卷7、15、22 2021年Ⅱ卷22 利用导数研究切线问题 分段函数的最小值 利用导数讨论单调性，证明不等式 利用导数讨论研究单调性，证明不等式 近五年高考中，函数导数为必考内容，函数部分一般是中档题，多以选填形式出现。导数部分解答题必考，可能是压轴题，也可能是中档题。通常考查三小一大，总分30分左右。函数部分核心考查函数基本概念与基本性质（包括奇偶性、单调性、周期性与对称性），特别是奇偶性、周期性与对称性综合在一起的抽象函数问题是考查热点；导数部分侧重切线方程、含参函数单调性讨论，极值最值、函数零点、不等式恒成立与能成立、函数不等式的证明、导数与 三角函数综合问题等。整体考查稳中有变，聚焦基础、能力与核心素养。 【失分--易错提醒】 1. 对函数单调性的充要条件理解不清致错 （1）已知函数在区间上单调递增，求实数的取值范围。 【错解】对函数求导，得 因为在区间上单调递增，所以在上恒成立。 令，这是一个开口向上的抛物线。要使在上恒成立，只需保证区间端点的函数值大于等于0，即： 所以实数的取值范围是。 【错因分析】错解依然犯了“单调递增导数恒大于0”的错误，将充要条件错写成了。 实际上，正确的充要条件应该是在上恒成立，且在该区间内的任意子区间上不恒为0（即导数为0的点只能是孤立点）。 错解中虽然列出了端点大于等于0，但前提是“”，这在逻辑上是自相矛盾的。更致命的是，如果按照去思考，就会发现当时，导数会在区间内的某一点恰好等于0，这是完全允许的，而错解的推导过程掩盖了这一点。 【正解】因为在区间单调递增， 所以在上恒成立，且不恒为0。 令，这是一个开口向上的二次函数。 要使在上恒成立，只需保证该二次函数在区间上的最小值大于等于0。 二次函数的对称轴为。 ①当对称轴在区间内，即时，最小值为顶点纵坐标： 解得，即。 结合前提，此时的范围是。 ②当对称轴在区间左侧或重合，即时，函数在上单调递增，最小值趋近于。 需。与前提矛盾，无解。 ③当对称轴在区间右侧或重合，即时，函数在上单调递减，最小值趋近于。 需。与前提矛盾，无解。 综上所述，实数的取值范围是。 2.一个函数在某点导数等于0是这个函数在该点取得极值的必要不充分条件 （2）已知函数在处取得极值为10，则 【错解】，根据题意可知且，得方程组或，所以或.错误的主要原因是满足的的值不一定满足为函数的极值.事实上，当，时，。在上为单调增函数，因此不是函数的极值点.所以这类问题在求出值后，应该再代入导函数以检验是否符合题意. 【正解】经检验，不是符合题意的解；当，时，为函数的极小值点，因此只能取，，所以. 3．分段函数单调性漏条件 （3）设函数， ①若有两个零点，则实数的一个取值可以是； ②若是上的增函数，则实数的取值范围是． 【错解】根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增， 函数在上单调递增，则 在上，也单调递增，则，即在区间上恒成立，即，即， 综上： 【正解】（内的值都可以）或 【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解； ②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解. 【详解】①函数在上单调递增，， 所以函数在区间上无零点， 则函数在上有2个零点， 即，，则，或或，， 则，解得：， 所以的一个值是； ②函数在上单调递增， 则在上，也单调递增，且， 若函数在在区间单调递增， 则，即在区间上恒成立， 即，即， 不等式，解得：或， 综上可知，或. 故答案为：（内的值都可以）；或. 4．抽象函数忘记定义域 （4）已知函数，求函数的值域． 【错解】设，函数的值域 【错因】求函数定义域时，应考虑 【正解】因为的定义域为，，解得的定义域 为，设， 所以函数的值域 【典型真题】 1.函数的性质及应用 例1（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 例2（多选）（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 例3(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数. (2)证明：曲线是中心对称图形. 【典型解法】法一：，， 关于中心对称. 法二：将向左平移一个单位关于中心对称，平移回去关于中心对称. 【方法总结】函数关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数；“函数的图像关于成轴对称的充要条件是函数为偶函数. 例4（2020·新课标Ⅱ卷）已知函数 （1）若，求的取值范围； （2）设时，讨论函数的单调性． 解：（1） [方法一]【最优解】： 等价于 设 ，则..............2分 当时，，所以在区间内单调递增； 当时，，所以在区间内单调递减． 故，所以，即，所以的取值范围是．.............4分 [方法二]：切线放缩 若，即，即 当 时恒成立， 而在点处的切线为，从而有，.............2分 当时恒成立，即 ，则．所以的取值范围为．.............4分 [方法三]：利用最值求取值范围 函数的定义域为： ， 设，则有 ， 当时，,单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，函数有最大值， 即，.............2分 要想不等式在上恒成立， 只需； 所以c的取值范围为．.............4分 (2) .............6分 因此，设 ， 则有，.............9分 当时，，所以， 单调递减，因此有，即 ，所以单调递减； 当时，，所以， 单调递增，因此有，即 ，所以单调递减， 所以函数在区间和 上单调递减，没有递增区间..............12分 【方法总结】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力. (1)方法一：分类参数之后构造函数是处理恒成立问题的最常用方法，它体现了等价转化的数学思想，同时是的导数的工具也得到了充分利用； 方法二：切线放缩体现了解题的灵活性，将数形结合的思想应用到了解题过程之中，掌握常用的不等式是使用切线放缩的基础. 方法三：利用最值确定参数取值范围也是一种常用的方法，体现了等价转化的数学思想. 2. 函数的恒成立和能成立 例5.（2024·天津）设函数． (1)求图象上点处的切线方程； (2)若在时恒成立，求的取值范围； 【解析】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的取值范围是. 例6 (2024年新高考Ⅰ卷第18题)已知函数 (3)当且仅当，求的取值范围． 解法：构造函数+虚设零点 要证 只需证 且 令， 当，即 时，上单调递增， 当单调递减，，不符合题意； 当，即 时，则,在上单调递增 当且仅当 综上， 例7（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 例8（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 3.函数与不等式问题 例7、(2023年新高考Ⅰ卷第19题) 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【典型解法】(1)因为函数的定义域为R， 所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一.（函数最值） 当时，由（1）知.当时, 取最小值. 所以. 从而 设,则. 当时，，当时，. 所以在单调递减，在单调递增， 故当时，.（可不写） 从而当时，，即. 方法二.（整体构造） 令， 由，令得 易知在取得最小值, ， 设，则，往后同上. 方法三.（指数函数切线放缩） 先证成立. 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增，又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为，（放缩） 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法四.（函数最值+对数函数放缩） 当时，由（1）知.当时,取最大值. 所以. 要证,只需证,即证， 由得，故成立. 方法五.（导数法换元） 当时，由（1）知.当时, 取最大值. 所以. 从而， 要证，只需证， 即证. 设，则只需证， 设，则， 所以在单调递减，在单调递增， 方法六.（换元+切线放缩） 当时，由（1）知.当时, 取最大值. 所以. 从而 要证，只需证， 即证. 由. 又由，得. 方法七.（指对同时切线放缩） 类比方法二的证明，可证，. 当时，要证.即证， 只需证， 因为，故， 又因为，故， 又，从而显然成立， 所以成立. 方法总结 对待函数不等式恒成立问题，可转化为最值问题：利用导数求出单调性，期间函数直接求导，单调性不能往往直接得出，需要构造函数或者对参数进行讨论或者将函数分段，每段运用不同方法求最值，例如三角函数有限性、不等式放缩、试根等方法的联合运用，配之以数形结合，最终得证。 总之，需要大胆猜想（试根/举例/函数增速快慢感觉），小心求证（运用上述方法，反复尝试）。 4.函数的零点问题 例8、（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 例9.(2024年新高考Ⅰ卷第18题)已知函数 (3)当当且仅当，求的取值范围． 解法：构造函数+虚设零点 要证 只需证 且 令， 当，即 时，上单调递增， 当单调递减，，不符合题意； 当，即 时，则,在上单调递增 当且仅当 综上， 例9、（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意 ， 所以. 方法总结 对待函数零点问题，可分参、分类讨论、分两边，各有优缺点，需要灵活选用；并外，在具体选用方法过程中，需要数形结合或者对定义域进行分段处理、对参数适当讨论，虚拟设根等具体手段，灵活运用，严谨推理。 【好题—得分必练】 1. 导数的概念及意义 火箭发射后，其高度（单位：m）为．求： （1）在这段时间里，火箭爬高的平均速度； （2）发射后第时，火箭爬高的瞬时速度． 【知识点】平均变化率、导数定义中极限的简单计算 【分析】（1）根据平均速度的计算公式求解； （2）根据导数的概念求解. 【详解】（1）因为， 所以在这段时间里，火箭爬高的平均速度为； （2）因为 所以发射后第时，火箭爬高的瞬时速度. 2. 导数的运算 1．已知函数满足，求在的导数． 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】首先求出函数的导函数，再将代入计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以，解得 2．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值． 【知识点】已知切线（斜率）求参数、已知直线垂直求参数 【分析】求导后计算出在点（0,1）处的切线斜率，结合题中两直线垂直计算出结果. 【详解】解：， ， 所以在点（0,1）处的切线斜率为， 又因为切线与直线垂直， ， . 3. 导数在研究函数中的应用 1. 设，，，两个函数的图象如图5.3-8所示．判断，的图象与，之间的对应关系． 图5.3-8 解：因为，，所以 ，． 当时，； 当时，； 当时，． 所以，，在上都是增函数．在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；在区间上，的图象比的图象要“平缓”． 所以，，的图象依次是图5.3-8中的，． 2.证明不等式：， 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】构造，利用导数研究在上单调性并确定最小值，即可证明结论. 【详解】由题设，要证只需证即可， 令，则，而， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故，即在上恒成立， ∴，得证. 3. 给定函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程解的个数． 解：（1）函数的定义域为． ． 令，解得． ，的变化情况如表5.3-4所示． 表5.3-4 x － 0 ＋ 单调递减 单调递增 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，有极小值． （2）令，解得． 当时，；当时，． 所以，的图象经过特殊点，，． 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而； 当时，，． 根据以上信息，我们画出的大致图象如图5.3-17所示． 图5.3-17 （3）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数． 由（1）及图5.3-17可得，当时，有最小值． 所以，关于方程的解的个数有如下结论： 当时，解为0个； 当或时，解为1个； 当时，解为2个． 4．作函数的大致图象． 【知识点】画出具体函数图象、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】首先利用导数说明函数的单调性，求出几个关键点的函数值，即可得到函数的大致图象； 【详解】解：，定义域为，则，所以当或时，当或时，即函数在和上单调递增，在和单调递减，当时，，，，所以，又，，所以函数的大致图象如下所示： 5．已知函数．当时，求证． 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】由,故只需证明当时,,求导后利用函数的单调性求得函数的最小值，证得最小值大于0即可. 【详解】当时, , 故只需证明当时, , 当时，函数与函数在上单调递增, 所以函数在上单调递增, 又,故在 有唯一 实数根，记为， 且, 当时，单调递减; 当时，单调递增, 从而当时，取得最小值, 由得, 即， 故>0 综上，当m≤2时，. 6.．已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【详解】 （1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 学科网（北京）股份有限公司 $