专题一 微专题1 函数的图象与性质-【步步高·大二轮专题复习】2025年高考数学复习讲义课件（基础版）（课件PPT+word教案）

微专题1　函数的图象与性质 ［考情分析］　1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题. 考点一　函数的概念与表示 1.复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为［m，n］，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域. (2)若f(g(x))的定义域为［m，n］，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域. 2.分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集. 例1　(1)(多选)给出以下四个判断，其中正确的是(　　) A.已知函数f(x)的定义域为(1，+∞)，则函数F(x)=f(x-1)+的定义域为(2，3］ B.函数f(x)=x2的定义域A⊆R，值域B=｛4｝，则满足条件的f(x)有2个 C.若函数f(lg x)=x，则f= D.函数y=的值域为 答案　ACD 解析　对于A，由题可知，⇒2<x≤3，故函数F(x)的定义域为(2，3］，故A正确； 对于B，令f(x)=x2=4，可得x=±2，故定义域A可以为｛-2｝，｛2｝，｛-2，2｝，共3个，即满足条件的f(x)有3个，故B错误； 对于C，令lg x=，得x=，所以f=，故C正确； 对于D，y==-，因为≠0，所以y≠，所以值域为，故D正确. (2)(2024·临沂模拟)已知函数sgn(x)=则“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x>1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　因为sgn(x)= 当sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0时， 取x=-，则ex-1<0，-x+1>0， 此时sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=-1+1=0，则x>1不成立，即充分性不成立； 当x>1时，ex-1>0，-x+1<0， 所以sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=1-1=0，即必要性成立， 所以“sgn(ex-1)+sgn(-x+1)=0”是“x>1”的必要不充分条件. ［规律方法］　(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则. (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解. 跟踪演练1　(1)(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)=-f(y)成立，则称函数f(x)为“M函数”.下列为“M函数”的是(　　) A.f(x)=sin xcos x B.f(x)=ln x+ex C.f(x)=2x D.f(x)=x2-2x 答案　AB 解析　由题意，得“M函数”的值域关于原点对称.A中，f(x)=sin xcos x=sin 2x∈，其值域关于原点对称，故A是“M函数”；B中，函数f(x)=ln x+ex的值域为R，关于原点对称，故B是“M函数”；C中，因为f(x)=2x>0，其值域不关于原点对称，故C不是“M函数”；D中，f(x)=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，其值域不关于原点对称，故D不是“M函数”. (2)设函数f(x)=则f(f(1))=　　　　　　，若f(a)>1，则实数a的取值范围是　　　　　　.  答案　-7　(-∞，-2)∪(10，+∞) 解析　f(f(1))=f(0)=-8=-7. f(a)>1等价于①或② 由①得a>10，由②得a<-2，则实数a的取值范围是(-∞，-2)∪(10，+∞). 考点二　函数的图象 1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换. 2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点. 考向1　函数图象的识别 例2　(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间［-2.8，2.8］上的大致图象为(　　) 答案　B 解析　f(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x) =-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)， 又函数f(x)的定义域为［-2.8，2.8］， 故该函数为偶函数，可排除A，C， 又f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1->->0， 故可排除D. 考向2　函数图象的变换及应用 例3　(1)已知图1对应的函数为y=f(x)，则图2对应的函数是(　　) A.y=f(-|x|) B.y=f(-x) C.y=f(|x|) D.y=-f(-x) 答案　A 解析　根据函数图象知，当x≤0时，所求函数图象与已知函数相同，当x>0时，所求函数图象与x<0时的图象关于y轴对称，即所求函数为偶函数且x≤0时与y=f(x)相同，故BD不符合要求； 当x≤0时，y=f(-|x|)=f(x)，y=f(|x|)=f(-x)，故A正确，C错误. (2)(多选)已知函数f(x)=若x1<x2<x3<x4，且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则下列结论正确的是(　　) A.x1+x2=-4 B.x3x4=1 C.1<x4<4 D.0<x1x2x3x4≤2 答案　AB 解析　函数f(x)=的图象如图所示， 设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t，则0<t<4， 则直线y=t与函数y=f(x)的图象的4个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4. 对于A，函数y=-x2-4x的图象关于直线x=-2对称，则x1+x2=-4，故A正确； 对于B，由图象可知|log2x3|=|log2x4|，且0<x3<1<x4， 所以-log2x3=log2x4，即log2(x3x4)=0， 所以x3x4=1，故B正确； 对于C，由图象可知log2x4∈(0，4)，则1<x4<16，故C错误； 对于D，由图象可知-4<x1<-2， 当x≤0时，f(x)=-x2-4x=-(x+2)2+4， 所以x1x2x3x4=x1(-4-x1)=--4x1=-(x1+2)2+4=f(x1)∈(0，4)，故D错误. ［规律方法］　(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象. (2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题. 跟踪演练2　(1)(2024·马鞍山模拟)已知函数y=f(x)的大致图象如图所示，则y=f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 答案　D 解析　对于选项A，因为f(1)=>0，与图象不符，故A错误；对于选项B，因为f(1)=>0，与图象不符，故B错误；对于选项C，因为f(1)=>0，与图象不符，故C错误. (2)(2024·南充模拟)已知函数f(x)=，则函数y=f(x-1)+1的图象(　　) A.关于点(1，1)对称 B.关于点(-1，1)对称 C.关于点(-1，0)对称 D.关于点(1，0)对称 答案　A 解析　因为f(x)=，所以f(-x)==-f(x)，又f(x)的定义域为R，所以f(x)的图象关于原点对称，函数y=f(x-1)+1的图象可由f(x)的图象，先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，所以函数y=f(x-1)+1的图象关于点(1，1)对称. 考点三　函数的性质 1.函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有 f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x). (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数). 2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法. 3.函数的周期性 若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x)，则函数y=f(x)的周期为2|a|. 4.函数图象的对称中心和对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称. (2)若函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称. 考向1　单调性与奇偶性 例4　(2024·银川模拟)若f(x)=ln(x2+1)-，设a=f(-3)，b=f(ln 2)，c=f(20.3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.b>c>a C.a>b>c D.a>c>b 答案　D 解析　由题意知x∈(-∞，0)∪(0，+∞)， 由f(-x)=ln［(-x)2+1］-=f(x)， 所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称， 当x>0时，f(x)=ln(x2+1)-， 故f(x)在(0，+∞)上单调递增， 因为a=f(-3)=f(3)，b=f(ln 2)，c=f(20.3)， 且1=20<20.3<21=2，0<ln 2<ln e=1， 所以0<ln 2<20.3<3，所以f(ln 2)<f(20.3)<f(-3)， 即b<c<a，也就是a>c>b. 考向2　奇偶性与周期性、对称性 例5　(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=f(2 024)，且f(2x+1)是奇函数，则(　　) A.f(x)的图象关于点(1，0)对称 B.4为f(x)的一个周期 C.f(2)=1 D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f(2 024)=0 答案　ABD 解析　对于A，由题意知，f(-2x+1)=-f(2x+1)，则f(-x+1)+f(x+1)=0， 所以f(x)的图象的对称中心为(1，0)，故A正确； 对于B，f(x+2)+f(x)=f(2 024)，f(x+4)+f(x+2)=f(2 024)， 两式相减得f(x+4)=f(x)，4为f(x)的一个周期，故B正确； 对于C，又2 024=4×506， 故f(x+2)+f(x)=f(2 024)=f(0)， 令x=0得，f(2)+f(0)=f(0)， 得f(2)=0，故C错误； 对于D，f(x)的周期为4，且f(x)的图象的对称中心为(1，0)， 所以f(1)=0，f(3)=-f(-1)=-f(3)，故f(3)=0， f(4)=f(0)=-f(2)=0， 故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f(2 024)=506×［f(1)+f(2)+f(3)+f(4)］=0，故D正确. ［二级结论］　(1)若f(x+a)=-f(x)，则f(x)的周期为2|a|. (2)若f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称，则f(x)的周期为2|a-b|. (3)若f(x)的图象关于点(a，0)和直线x=b对称，则f(x)的周期为4|a-b|. 跟踪演练3　(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x1，x2∈［0，+∞)，且x1≠x2，有>0，若f(1)=0，则不等式(x-1)f(x)>0的解集是(　　) A.(-1，1)∪(1，+∞) B.(-1，1) C.(-∞，-1)∪(1，+∞) D.(-∞，-1)∪(0，1) 答案　A 解析　已知f(x)是定义在R上的偶函数， 则f(x)=f(-x)， 又对任意x1，x2∈［0，+∞)，且x1≠x2， 都有>0， 所以函数f(x)在［0，+∞)上单调递增， 则函数f(x)在(-∞，0)上单调递减， 又f(1)=0，所以f(-1)=f(1)=0， 根据函数f(x)的单调性可知，(x-1)f(x)>0等价为或 即或 解得x>1或-1<x<1， 即不等式的解集为(-1，1)∪(1，+∞). (2)(多选)(2024·黔南模拟)若函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，f(1)=1，则下列说法正确的是(　　) A.f(3)=-1 B.f(x)的图象关于点(2，0)对称 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f(2 024)=1 答案　ABC 解析　因为f(x+2)=-f(x)，f(1)=1， 对于选项A，令x=1，可得f(3)=-f(1)=-1，故A正确； 对于选项C，因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(x)=-f(-x)， 则f(x+2)=-f(x)=f(-x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，故C正确； 对于选项B，因为f(x+2)=f(-x)，可得f(-x+2)=f(x)， 则f(x+2)=f(-x)=-f(x)=-f(-x+2)， 即f(x+2)+f(-x+2)=0，所以f(x)的图象关于点(2，0)对称，故B正确； 对于选项D，因为f(x+2)+f(-x+2)=0， 令x=0，可得2f(2)=0，f(2)=f(0)=0， 令x=1，可得f(3)+f(1)=0， 又因为f(x+2)=-f(x)，则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， 可知4为f(x)的一个周期，可得f(2)+f(4)=0， 即f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0， 因为2 024=4×506， 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f(2 024)=0，故D错误. 专题强化练 (分值：83分) 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.函数f(x)=的定义域为(　　) A.［3，+∞) B.(-∞，-1)∪［3，+∞) C.(-1，3］ D.(-1，0)∪(0，3］ 答案　D 解析　要使函数有意义，则 解得-1<x≤3且x≠0. 2.(2024·泰安模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=-x5-3x+a-1，则f(-a)的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　由题意得，函数f(x)为奇函数，且定义域为R，由奇函数的性质得，f(0)=a-1=0，解得a=1，经过检验符合题意，所以当x≥0时，f(x)=-x5-3x，所以f(-a)=-f(a)=-f(1)=-(-1-3)=4. 3.(2024·攀枝花模拟)函数f(x)=cos x的部分图象大致是(　　) 答案　D 解析　f(x)=cos x的定义域为｛x|x≠0｝， f(-x)=cos(-x)=-cos x=-f(x)， 所以f(x)为奇函数，故A错误； 当x>0，且x趋近0时，x+>0，cos x>0， 所以f(x)>0，故C错误； 当x=π时，f(π)=cos π=-<0，故B错误. 4.(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，0］ B.［-1，0］ C.［-1，1］ D.［0，+∞) 答案　B 解析　因为f(x)在R上单调递增， 且x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增， 则需满足 解得-1≤a≤0， 即a的取值范围是［-1，0］. 5.(2024·榆林模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-，当x∈(2，4)时，f(x)=1+log3x，则f(99)等于(　　) A.1 B.2 C.- D.-2 答案　B 解析　因为f(x+2)=-， 所以f(x+4)=-=-=f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 所以f(99)=f(3+96)=f(3)=1+log33=2. 6.(2024·武汉模拟)已知函数f(x)=x|x|，则关于x的不等式f(2x)+f(x-1)>0的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由f(x)=x|x|= 故f(x)在R上单调递增， 又f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数， 所以不等式f(2x)+f(x-1)>0，可化为f(2x)>f(1-x)， 故2x>1-x，即x>. 7.(2024·保定模拟)若函数y=f(x)-1是定义在R上的奇函数，则f(-1)+f(0)+f(1)等于(　　) A.3 B.2 C.-2 D.-3 答案　A 解析　设F(x)=f(x)-1，则F(x)+F(-x)=0，即f(x)-1+f(-x)-1=0， 即f(x)+f(-x)=2，所以f(1)+f(-1)=2. 因为F(0)=f(0)-1=0，所以f(0)=1， 所以f(-1)+f(0)+f(1)=2+1=3. 8.(2024·湛江模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)不恒为零，且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，则下列结论错误的是(　　) A.f(0)=1 B.f(x)为偶函数 C.f(x)在x=0处取得极小值 D.若f(a)=0，则4|a|为f(x)的周期 答案　C 解析　对于选项A，令y=0，则2f(x)=2f(x)f(0)，因为f(x)不恒为零， 则f(0)=1，所以选项A正确； 对于选项B，令x=0，则f(0+y)+f(0-y)=2f(y)f(0)，即f(y)=f(-y)， 即f(x)为偶函数，所以选项B正确； 对于选项C，取f(x)=cos x，满足题意，此时x=0不是f(x)的极小值点，所以选项C错误； 对于选项D，令y=a，得f(x+a)+f(x-a)=2f(x)f(a)， 若f(a)=0，则f(x+a)=-f(x-a)，则f(x)=-f(x+2a)， 则f(x+4a)=-f(x+2a)=f(x)，所以选项D正确. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2024·遵义模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=x3+x B.f(x)=tan x C.f(x)=ex-e-x D.f(x)=xsin x 答案　AC 解析　对于A，f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x)，且f(x)的定义域为R， 所以f(x)为奇函数，又因为f'(x)=3x2+1>0， 所以f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，故A正确； 对于B，f(x)为奇函数，但是f(x)在区间(0，+∞)上不单调递增，故B错误； 对于C，f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x)，且f(x)的定义域为R，所以f(x)为奇函数， 又因为f'(x)=ex+e-x>0，所以f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，故C正确； 对于D，f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x)，且f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故D错误. 10.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f(-x)=-f(x)；②∀x1，x2∈［0，+∞)，当x1≠x2时，<0，则下列选项成立的是(　　) A.f(0)=0 B.f(-1)<-f(3) C.若xf(x)<0，则x∈(0，+∞) D.若f(m-1)<0，则m∈(-∞，1) 答案　AB 解析　由∀x∈R，f(-x)=-f(x)得，函数f(x)是R上的奇函数， 由∀x1，x2∈［0，+∞)，当x1≠x2时， <0得，f(x)在［0，+∞)上单调递减， 又f(x)是连续函数，故可得f(x)在R上单调递减. 对于A，f(-x)=-f(x)，令x=0，得f(0)=0，故A正确； 对于B，由f(x)在R上单调递减，可得f(-1)<f(-3)，即f(-1)<-f(3)，故B正确； 对于C，对xf(x)<0，当x>0时，f(x)<0；当x<0时，f(x)>0， 由f(x)在R上单调递减，且f(0)=0可知， xf(x)<0的解集为｛x|x≠0｝，故C错误； 对于D，f(m-1)<0，即f(m-1)<f(0)，则m-1>0，解得m>1，故D错误. 11.已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x-1)的图象关于点对称，f(x+1)=-f(x-1)，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)的图象关于直线x=2对称 C.4是f(x)的周期 D.若f(1)=2，则f(1)+f(2)+…+f(20)=0 答案　CD 解析　对于A，由f(2x-1)的图象关于点对称，所以f(x-1)的图象关于点(1，0)对称， 所以f(x)的图象关于点(0，0)对称，则f(x)是奇函数，且f(0)=0，所以A不正确； 对于B，因为f(x)是奇函数，所以f(x+1)=-f(x-1)=f(1-x)， 所以f(x)的图象关于直线x=1对称，所以B不正确； 对于C，因为f(x+1)=-f(x-1)，所以f(x+2)=-f(x)， 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以4是f(x)的周期，所以C正确； 对于D，因为f(1)=2，f(2)=-f(0)=0， 所以f(3)=-f(1)=-2，f(4)=f(0)=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0， 所以f(1)+f(2)+…+f(20)=5［f(1)+f(2)+f(3)+f(4)］=0，所以D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2024·齐齐哈尔模拟)若f(x)=sin x为偶函数，则a=　　　　　.  答案　1 解析　由f(x)=sin x， 得f(-x)=sin(-x)， 因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)， 即sin(-x)=sin x， 所以-==，解得a=1. 13.已知函数f(x)=若x∈［-1，1］，则f(x)的值域为　　　　　　　；若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　　　.  答案　(-∞，2］　(-∞，-1］∪［0，+∞) 解析　当x∈［-1，0］时，f(x)∈［1，2］，当x∈(0，1］时，f(x)∈(-∞，2］， 故当x∈［-1，1］时，f(x)的值域为(-∞，2］， 因为f(x)在(-∞，0］，(0，+∞)上分别单调递增， 若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≥0或a+1≤0，即a≤-1或a≥0. 14.已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+ex是偶函数，y=f(x)-3ex是奇函数，则f(x)的最小值为　　　　.  答案　2 解析　因为函数y=f(x)+ex为偶函数， 所以f(-x)+e-x=f(x)+ex， 即f(x)-f(-x)=e-x-ex， ① 又因为函数y=f(x)-3ex为奇函数， 所以f(-x)-3e-x=-f(x)+3ex， 即f(x)+f(-x)=3ex+3e-x， ② 联立①②可得f(x)=ex+2e-x， 由基本不等式可得f(x)=ex+2e-x≥2=2， 当且仅当ex=2e-x，即x=ln 2时，等号成立， 故函数f(x)的最小值为2. 每小题5分，共10分 15.［角谷猜想］“角谷猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明.“角谷运算”指的是任取一个大于1的正整数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘以3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的正整数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角谷运算后，最后结果为1.我们记一个正整数n(n≠1)经过J(n)次角谷运算后首次得到1(若n经过有限次角谷运算均无法得到1，则记J(n)=+∞)，以下说法有误的是(　　) A.J(n)可看作一个定义域和值域均为N*的函数 B.J(n)在其定义域上不单调，有最小值，无最大值 C.对任意正整数n(n≠1)，都有J(n)J(2)=J(2n)-1 D.J(2n)=n是真命题，J(2n-1)≤J(2n+1)是假命题 答案　A 解析　依题意，J(n)的定义域是大于1的正整数集，A错误； 由J(4)=2，J(5)=5，J(8)=3，得J(n)在其定义域上不单调，而J(2)=1，J(n)∈N*，则J(n)有最小值1，由n经过有限次角谷运算均无法得到1，记J(n)=+∞，得J(n)无最大值，B正确； 对任意正整数n(n≠1)，J(2n)=J(n)+1，而J(2)=1，因此J(n)J(2)=J(n)=J(2n)-1，C正确； 对任意正整数n，2n每次除以2，最后得到1的次数为n，因此J(2n)=n， 由J(22-1)=J(3)=7，J(22+1)=J(5)=5，知J(2n-1)≤J(2n+1)是假命题，D正确. 16.(2024·喀什模拟)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，g'(x)为g(x)的导函数，且f(x)+g'(x)=2，f(x)-g'(2-x)=2，若g(x)为偶函数，则f(2 023)+g'(2 024)+g'(2 025)=　　　　.  答案　2 解析　由题意f(x)+g'(x)=2，f(x)-g'(2-x)=2可知，g'(x)=-g'(2-x)， ① 令x=1可得，g'(1)=-g'(1)，所以g'(1)=0. 又因为g(x)为偶函数，所以g(-x)=g(x)， 两边同时求导可得，-g'(-x)=g'(x)， ② 令x=0可得，-g'(0)=g'(0)，所以g'(0)=0， 联立①②可得，g'(-x)=g'(2-x)， 则g'(x)=g'(x+2)， 所以g'(x)是周期为2的函数， 所以g'(2 025)=g'(2 023)=g'(1)=0，g'(2 024)=g'(0)=0， 又因为f(x)+g'(x)=2，所以f(2 023)+g'(2 023)=2，所以f(2 023)=2， 所以f(2 023)+g'(2 024)+g'(2 025)=2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的图象与性质 微专题1 1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上. 2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题. 考情分析 考点一 考点二 考点三 函数的概念与表示 函数的图象 函数的性质 专题强化练 内容索引 函数的概念与表示 考点一 1.复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域. (2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域. 2.分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集. 　(1)(多选)给出以下四个判断，其中正确的是 A.已知函数f(x)的定义域为(1，+∞)，则函数F(x)=f(2x-3)+的定义域 为(2，3] B.函数f(x)=x2的定义域A⊆R，值域B={4}，则满足条件的f(x)有2个 C.若函数f(lg x)=x，则f = D.函数y=的值域为 √ √ √ 例1 对于A，由题可知⇒⇒2<x≤3，故函数F(x)的定义域为(2，3]，故A正确； 对于B，令f(x)=x2=4，可得x=±2，故定义域A可以为{-2}，{2}，{-2，2}，共3个，即满足条件的f(x)有3个，故B错误； 对于C，令lg x=得x=所以f =故C正确； 对于D，y==1- 因为≠0，所以y≠1， 所以值域为{y|y≠1}，故D正确. (2)(2024·临沂模拟)已知函数sgn(x)=则“sgn(ex－1)+sgn(－x+1)=0”是“x>1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 因为sgn(x)= 当sgn(ex－1)＋sgn(－x＋1)=0时，取x=－则ex－1<0，－x＋1>0， 此时sgn(ex－1)＋sgn(－x＋1)=－1＋1=0，则x>1不成立，即充分性不成立； 当x>1时，ex－1>0，－x＋1<0，所以sgn(ex－1)＋sgn(－x＋1)=1－1=0，即必要性成立， 所以“sgn(ex－1)＋sgn(－x＋1)=0”是“x>1”的必要不充分条件. 规律方法 (1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则. (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解. (1)(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)=-f(y)成立，则称函数f(x)为“M函数”.下列为“M函数”的是 A.f(x)=sin xcos x B.f(x)=ln x+ex C.f(x)=2x D.f(x)=x2-2x 跟踪演练1 √ √ 由题意，得“M函数”的值域关于原点对称.A中，f(x)=sin xcos x=sin 2x ∈，其值域关于原点对称，故A是“M函数”； B中，函数f(x)=ln x+ex的值域为R，关于原点对称，故B是“M函数”； C中，因为f(x)=2x>0，其值域不关于原点对称，故C不是“M函数”； D中，f(x)=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，其值域不关于原点对称，故D不是“M函数”. (2)设函数f(x)=则f(f(1))=　　　，若f(a)>1，则实数a的取值范围是　 　 　　　　.  -7 (-∞，-2)∪(10，+∞) f(f(1))=f(0)=-8=-7. f(a)>1等价于①或② 由①得a>10，由②得a<-2，则实数a的取值范围是(-∞，-2)∪(10，+∞). 函数的图象 考点二 1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换. 2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点. (2024·全国甲卷)函数f(x)=－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]上的大致图象为 例2 考向1　函数图象的识别 √ f(－x)=－x2＋(e－x－ex)sin(－x)=－x2＋(ex－e－x)sin x=f(x)， 又函数f(x)的定义域为[－2.8，2.8]， 故该函数为偶函数，可排除A，C， 又f(1)=－1＋sin 1>－1＋sin=－1－>>0， 故可排除D. (1)已知图1对应的函数为y=f(x)，则图2对应的函数是   A.y=f(-|x|) B.y=f(-x) C.y=f(|x|) D.y=-f(-x) 考向2　函数图象的变换及应用 √ 例3 根据函数图象知，当x≤0时，所求函数图象与已知函数相同，当x>0时，所求函数图象与x<0时的图象关于y轴对称，即所求函数为偶函数且x≤0时与y=f(x)相同，故BD不符合要求； 当x≤0时，y=f(-|x|)=f(x)，y=f(|x|)=f(-x)，故A正确，C错误. (2)(多选)已知函数f(x)=若x1<x2<x3<x4，且f(x1)=f(x2)=f(x3) =f(x4)，则下列结论正确的是 A.x1+x2=-4 B.x3x4=1 C.1<x4<4 D.0<x1x2x3x4≤2 √ √ 函数f(x)=的图象如图所示，  设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t，则0<t<4， 则直线y=t与函数y=f(x)的图象的4个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4. 对于A，函数y=-x2-4x的图象关于直线x=-2对称，则x1+x2=-4，故A正确； 对于B，由图象可知|log2x3|=|log2x4|，且0<x3<1<x4， 所以-log2x3=log2x4，即log2(x3x4)=0， 所以x3x4=1，故B正确； 对于C，由图象可知log2x4∈(0，4)，则1<x4<16，故C错误； 对于D，由图象可知-4<x1<-2， 当x≤0时，f(x)=-x2-4x=-(x+2)2+4， 所以x1x2x3x4=x1(-4-x1)=--4x1=-(x1+2)2+4=f(x1)∈(0，4)，故D错误. (1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象. (2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题. 规律方法 (1)(2024·马鞍山模拟)已知函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则y＝f(x)的解析式可能为 A.f(x)＝ B.f(x)＝ C.f(x)＝ D.f(x)＝ 跟踪演练2 √ 对于选项A，因为f(1)＝>0，与图象不符，故A错误； 对于选项B，因为f(1)＝>0，与图象不符，故B错误； 对于选项C，因为f(1)＝>0，与图象不符，故C错误. (2)(2024·南充模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x－1)＋1的图象 A.关于点(1，1)对称 B.关于点(－1，1)对称 C.关于点(－1，0)对称 D.关于点(1，0)对称 √ 因为f(x)＝所以f(－x)＝＝－f(x)，又f(x)的定义域为R，所以f(x)的图象关于原点对称，函数y＝f(x－1)＋1的图象可由f(x)的图象，先向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，所以函数y＝f(x－1)＋1的图象关于点(1，1)对称. 函数的性质 考点三 1.函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有 f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x). (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数). 2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法. 3.函数的周期性 若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|. 4.函数图象的对称中心和对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称. (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称. (2024·银川模拟)若f(x)=ln(x2+1)-，设a=f(-3)，b=f(ln 2)，c=f(20.3)，则a，b，c的大小关系为 A.c>a>b B.b>c>a C.a>b>c D.a>c>b 考向1　单调性与奇偶性 √ 例4 由题意知x∈(-∞，0)∪(0，+∞)， 由f(-x)=ln［(-x)2+1］-=f(x)， 所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称， 当x>0时，f(x)=ln(x2+1)-， 故f(x)在(0，+∞)上单调递增， 因为a=f(-3)=f(3)，b=f(ln 2)，c=f(20.3)， 且1=20<20.3<21=2，0<ln 2<ln e=1， 所以0<ln 2<20.3<3，所以f(ln 2)<f(20.3)<f(-3)， 即b<c<a，也就是a>c>b. (多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=f(2 024)，且f(2x+1)是奇函数，则 A.f(x)的图象关于点(1，0)对称 B.4为f(x)的一个周期 C.f(2)=1 D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f(2 024)=0 考向2　奇偶性与周期性、对称性 √ 例5 √ √ 对于A，由题意知，f(-2x+1)=-f(2x+1)，则f(-x+1)+f(x+1)=0， 所以f(x)的图象的对称中心为(1，0)，故A正确； 对于B，f(x+2)+f(x)=f(2 024)，f(x+4)+f(x+2)=f(2 024)， 两式相减得f(x+4)=f(x)，4为f(x)的一个周期，故B正确； 对于C，又2 024=4×506， 故f(x+2)+f(x)=f(2 024)=f(0)， 令x=0得，f(2)+f(0)=f(0)， 得f(2)=0，故C错误； 对于D，f(x)的周期为4，且f(x)的图象的对称中心为(1，0)， 所以f(1)=0，f(3)=-f(-1)=-f(3)，故f(3)=0， f(4)=f(0)=-f(2)=0， 故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f(2 024)=506×［f(1)+f(2)+f(3)+f(4)］=0，故D正确. 二级结论 (1)若f(x＋a)＝－f(x)则f(x)的周期为2|a|. (2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|. (3)若f(x)的图象关于点(a，0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为 4|a－b|. (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，有>0，若f(1)＝0，则不等式(x－1)f(x)>0的解集是 A.(－1，1)∪(1，＋∞) B.(－1，1) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0，1) 跟踪演练3 √ 已知f(x)是定义在R上的偶函数， 则f(x)＝f(－x)， 又对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2， 都有>0， 所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 则函数f(x)在(－∞，0)上单调递减， 又f(1)＝0，所以f(－1)＝f(1)＝0， 根据函数f(x)的单调性可知， (x－1)f(x)>0等价为或 即或 解得x>1或－1<x<1， 即不等式的解集为(－1，1)∪(1，＋∞). (2)(多选)(2024·黔南模拟)若函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x+2)= -f(x)，f(1)=1，则下列说法正确的是 A.f(3)=-1 B.f(x)的图象关于点(2，0)对称 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f(2 024)=1 √ √ √ 因为f(x+2)=-f(x)，f(1)=1， 对于选项A，令x=1，可得f(3)=-f(1)=-1，故A正确； 对于选项C，因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(x)=-f(-x)， 则f(x+2)=-f(x)=f(-x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，故C正确； 对于选项B，因为f(x+2)=f(-x)，可得f(-x+2)=f(x)， 则f(x+2)=f(-x)=-f(x)=-f(-x+2)， 即f(x+2)+f(-x+2)=0，所以f(x)的图象关于点(2，0)对称，故B正确； 对于选项D，因为f(x+2)+f(-x+2)=0， 令x=0，可得2f(2)=0，f(2)=f(0)=0， 令x=1，可得f(3)+f(1)=0， 又因为f(x+2)=-f(x)，则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， 可知4为f(x)的一个周期，可得f(2)+f(4)=0， 即f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0， 因为2 024=4×506， 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f(2 024)=0，故D错误. 专题强化练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D B B A A C 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 AC AB CD 1 (－∞，2] (－∞，－1] ∪[0，＋∞) 2 A 2 对一对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.函数f(x)＝的定义域为 A.[3，＋∞) B.(－∞，－1)∪[3，＋∞) C.(－1，3] D.(－1，0)∪(0，3] √ 要使函数有意义，则　解得－1<x≤3且x≠0. 素养提升 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(2024·泰安模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝－x5－3x＋a－1，则f(－a)的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 由题意得，函数f(x)为奇函数，且定义域为R，由奇函数的性质得，f(0)＝a－1＝0，解得a＝1，经过检验符合题意，所以当x≥0时，f(x)＝－x5－3x，所以f(－a)＝－f(a)＝－f(1)＝－(－1－3)＝4. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(2024·攀枝花模拟)函数f(x)＝cos x的部分图象大致是 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 f(x)＝cos x的定义域为{x|x≠0}， f(－x)＝cos(－x)＝－cos x＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 当x>0，且x趋近0时，x＋>0，cos x>0， 所以f(x)>0，故C错误； 当x＝π时，f(π)＝cos π＝－<0，故B错误. 4.(2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是 A.(－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)在R上单调递增， 且x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)单调递增， 则需满足 解得－1≤a≤0， 即a的取值范围是[－1，0]. 答案 5.(2024·榆林模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－当x∈(2，4)时，f(x)＝1＋log3x，则f(99)等于 A.1 B.2 C.－ D.－2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x＋2)＝－ 所以f(x＋4)＝－＝－＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 所以f(99)＝f(3＋96)＝f(3)＝1＋log33＝2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(2024·武汉模拟)已知函数f(x)=x|x|，则关于x的不等式f(2x)+f(x-1)>0的解集为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)=x|x|= 故f(x)在R上单调递增， 又f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数， 所以不等式f(2x)+f(x-1)>0，可化为f(2x)>f(1-x)， 故2x>1-x，即x>. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(2024·保定模拟)若函数y＝f(x)－1是定义在R上的奇函数，则f(－1)＋f(0)＋f(1)等于 A.3 B.2 C.－2 D.－3 √ 设F(x)＝f(x)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，即f(x)－1＋f(－x)－1＝0， 即f(x)＋f(－x)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝2. 因为F(0)＝f(0)－1＝0，所以f(0)＝1， 所以f(－1)＋f(0)＋f(1)＝2＋1＝3. 答案 8.(2024·湛江模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)不恒为零，且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，则下列结论错误的是 A.f(0)=1 B.f(x)为偶函数 C.f(x)在x=0处取得极小值 D.若f(a)=0，则4|a|为f(x)的周期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 对于选项A，令y=0，则2f(x)=2f(x)f(0)，因为f(x)不恒为零， 则f(0)=1，所以选项A正确； 对于选项B，令x=0，则f(0+y)+f(0-y)=2f(y)f(0)，即f(y)=f(-y)， 即f(x)为偶函数，所以选项B正确； 对于选项C，取f(x)=cos x，满足题意，此时x=0不是f(x)的极小值点，所以选项C错误； 对于选项D，令y=a，得f(x+a)+f(x-a)=2f(x)f(a)， 若f(a)=0，则f(x+a)=-f(x-a)，则f(x)=-f(x+2a)， 则f(x+4a)=-f(x+2a)=f(x)，所以选项D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 二、多项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(2024·遵义模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，+∞)上单调递增的是 A.f(x)=x3+x B.f(x)=tan x C.f(x)=ex-e-x D.f(x)=xsin x √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x)，且f(x)的定义域为R， 所以f(x)为奇函数，又因为f'(x)=3x2+1>0， 所以f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，故A正确； 对于B，f(x)为奇函数，但是f(x)在区间(0，+∞)上不单调递增，故B错误； 对于C，f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x)，且f(x)的定义域为R，所以f(x)为奇函数， 又因为f'(x)=ex+e-x>0，所以f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，故C正确； 对于D，f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x)，且f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故D错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件： ①∀x∈R，f(－x)＝－f(x)；②∀x1，x2∈[0，＋∞)，当x1≠x2时<0，则下列选项成立的是 A.f(0)＝0 B.f(－1)<－f(3) C.若xf(x)<0，则x∈(0，＋∞) D.若f(m－1)<0，则m∈(－∞，1) √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由∀x∈R，f(－x)＝－f(x)得，函数f(x)是R上的奇函数， 由∀x1，x2∈[0，＋∞)，当x1≠x2时， <0得，f(x)在[0，＋∞)上单调递减， 又f(x)是连续函数，故可得f(x)在R上单调递减. 对于A，f(－x)＝－f(x)，令x＝0，得f(0)＝0，故A正确； 对于B，由f(x)在R上单调递减，可得f(－1)<f(－3)，即f(－1)<－f(3)，故B正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，对xf(x)<0，当x>0时，f(x)<0；当x<0时，f(x)>0， 由f(x)在R上单调递减，且f(0)＝0可知， xf(x)<0的解集为{x|x≠0}，故C错误； 对于D，f(m－1)<0，即f(m－1)<f(0)，则m－1>0，解得m>1，故D错误. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x-1)的图象关于点对称，f(x+1)=-f(x-1)，则下列结论正确的是 A.f(x)是偶函数 B.f(x)的图象关于直线x=2对称 C.4是f(x)的周期 D.若f(1)=2，则f(1)+f(2)+…+f(20)=0 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由f(2x-1)的图象关于点对称，所以f(x-1)的图象关于点(1，0)对称， 所以f(x)的图象关于点(0，0)对称，则f(x)是奇函数，且f(0)=0，所以A不正确； 对于B，因为f(x)是奇函数，所以f(x+1)=-f(x-1)=f(1-x)， 所以f(x)的图象关于直线x=1对称，所以B不正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，因为f(x+1)=-f(x-1)，所以f(x+2)=-f(x)， 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以4是f(x)的周期，所以C正确； 对于D，因为f(1)=2，f(2)=-f(0)=0， 所以f(3)=-f(1)=-2，f(4)=f(0)=0，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0， 所以f(1)+f(2)+…+f(20)=5［f(1)+f(2)+f(3)+f(4)］=0，所以D正确. 答案 三、填空题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(2024·齐齐哈尔模拟)若f(x)＝sin x为偶函数，则a＝　　.  1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x)＝sin x， 得f(－x)＝sin(－x)， 因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)， 即sin(－x)＝sin x， 所以－解得a＝1. 答案 13.已知函数f(x)=若x∈［-1，1］，则f(x)的值域为______ 　；若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则实数a的取值范围是____________ ____________.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2] ∪[0，＋∞) 当x∈[－1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(－∞，2]， 故当x∈[－1，1]时，f(x)的值域为(－∞，2]， 因为f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上分别单调递增， 若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0. 答案 (－∞， (－∞，－1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+ex是偶函数，y=f(x)-3ex是奇函数，则f(x)的最小值为　　　　.  答案 2 因为函数y=f(x)+ex为偶函数， 所以f(-x)+e-x=f(x)+ex， 即f(x)-f(-x)=e-x-ex， ① 又因为函数y=f(x)-3ex为奇函数， 所以f(-x)-3e-x=-f(x)+3ex， 即f(x)+f(-x)=3ex+3e-x， ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 联立①②可得f(x)=ex+2e-x， 由基本不等式可得f(x)=ex+2e-x≥2=2， 当且仅当ex=2e-x，即x=ln 2时，等号成立， 故函数f(x)的最小值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.［角谷猜想］“角谷猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明.“角谷运算”指的是任取一个大于1的正整数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘以3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的正整数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角谷运算后，最后结果为1.我们记一个正整数n(n≠1)经过J(n)次角谷运算后首次得到1(若n经过有限次角谷运算均无法得到1，则记J(n)=+∞)，以下说法有误的是 A.J(n)可看作一个定义域和值域均为N*的函数 B.J(n)在其定义域上不单调，有最小值，无最大值 C.对任意正整数n(n≠1)，都有J(n)J(2)=J(2n)-1 D.J(2n)=n是真命题，J(2n-1)≤J(2n+1)是假命题 √ 思维创新 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，J(n)的定义域是大于1的正整数集，A错误； 由J(4)=2，J(5)=5，J(8)=3，得J(n)在其定义域上不单调，而J(2)=1，J(n)∈N*，则J(n)有最小值1，由n经过有限次角谷运算均无法得到1，记J(n)=+∞，得J(n)无最大值，B正确； 对任意正整数n(n≠1)，J(2n)=J(n)+1，而J(2)=1，因此J(n)J(2)=J(n)=J(2n)-1，C正确； 对任意正整数n，2n每次除以2，最后得到1的次数为n，因此J(2n)=n， 由J(22-1)=J(3)=7，J(22+1)=J(5)=5，知J(2n-1)≤J(2n+1)是假命题，D正确. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(2024·喀什模拟)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，g'(x)为g(x)的导函数，且f(x)+g'(x)=2，f(x)-g'(2-x)=2，若g(x)为偶函数，则f(2 023)+g'(2 024) +g'(2 025)=　　　　.  答案 2 由题意f(x)+g'(x)=2，f(x)-g'(2-x)=2可知，g'(x)=-g'(2-x)， ① 令x=1可得，g'(1)=-g'(1)，所以g'(1)=0. 又因为g(x)为偶函数，所以g(-x)=g(x)， 两边同时求导可得，-g'(-x)=g'(x)， ② 令x=0可得，-g'(0)=g'(0)，所以g'(0)=0， 联立①②可得，g'(-x)=g'(2-x)， 则g'(x)=g'(x+2)， 所以g'(x)是周期为2的函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 所以g'(2 025)=g'(2 023)=g'(1)=0，g'(2 024)=g'(0)=0， 又因为f(x)+g'(x)=2，所以f(2 023)+g'(2 023)=2，所以f(2 023)=2， 所以f(2 023)+g'(2 024)+g'(2 025)=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 本课结束 THANKS $$