专题09 借助导数解决函数的零点（方程的根）问题（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第三册）

专题09 借助导数解决函数的零点（方程的根）问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 零点中的参数问题】 2 【题型二 判断、证明函数零点的个数问题】 6 【压轴能力测评（12题）】 13 一、函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 二、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 三、利用导数确定函数零点的常用方法 (1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）． (2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 四、利用函数的零点求参数范围的方法 (1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 【题型一 零点中的参数问题】 一、单选题 1．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数无零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数无零点，将其转化为方程在上没有实根，研究函数的值域，即可求得参数的取值范围. 【详解】函数无零点，即关于的方程在上没有实根， 也即方程在上没有实根. 设，则， 由可得，由可得， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极大值为， 当则，当则， 作出函数的图象，可得其值域为，故. 故选：B. 2．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）若函数与的零点个数相同，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数确定的零点的个数，进而利用导数确定的极值，进而由，求解即可. 【详解】由，得， 当，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 又，所以只有一个零点． 由，可得， 令，得或，，， 若只有1个零点，则，所以或． 故选：C． 3．（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知函数有两个不同的零点，则实数的最大值为（   ） A．0 B． C． D．2e 【答案】C 【分析】首先参变分离为，转化为函数与有两个不同的交点，利用导数分析函数的图象，即可求解. 【详解】令，即得，即方程有两个不同的解， 即直线与曲线有两个不同的交点， 可得， 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图所示，所以实数的最大值为. 故选：C 4．（24-25高二下·河南·期中）设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先画的图像，求导得到其单调性以及极值，然后再画的图像，结合函数的图像，即可得到结果. 【详解】 当时，，则． 由得，所以在上单调递减； 由得，所以在上单调递增． 当时，，当时，， 当时，， 当时，取得极小值，． 又当时，，所以函数的大致图象如图． 由图可知，当时，函数的图象与直线有三个交点， 所以实数b的取值范围是， 故选：D． 5．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有一个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】， 则， 若函数存在唯一极值点， 则在上有唯一的根， 所以由可得，则有唯一的根， 直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 又， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以函数的极大值为， 且当时，，当时，， 则函数的图象如下图所示： 所以当时， 即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 因此，实数的取值范围是． 故选：D. 6．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导函数，设切点为，利用导数的几何意义求出过点P的切线方程，代入点P坐标，化简为，根据这个方程有三个不等根即可求解. 【详解】设切点为，过点P的切线方程为， 代入点P坐标可得， 化简为， 过点可以作三条直线与曲线相切，即这个方程有三个不等根. 令，求导得：. 令，解得：，所以在上递增； 令，解得：或， 所以在和上递减. 有极小值，有极大值 要使方程有三个不等根即可. 只需，即. 故选：D 【题型二 判断、证明函数零点的个数问题】 一、解答题 1．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知函数， (1)当时，求的对称中心； (2)证明：有唯一零点 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设对称中心为，利用中心对称则公式即可求对称中心； （2）由得到，设，求出的单调性，结合零点存在定理即可判断. 【详解】（1）当时，， 设的对称中心为， 则， 所以， 整理得， 所以，解得， 所以的对称中心为 （2）由于，所以等价于， 设，则， 仅当时，因此在单调递增， 即至多有一个零点，从而至多有一个零点 又因为，， 故在内存在零点， 综上所述，可知有唯一零点 2．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2)答案见解析 【分析】（1）求导后分析单调性可得； （2）先将问题转化为与的交点个数，再由（1）画出函数图象后可得. 【详解】（1），， 令， 所以当时，，为单调递减函数； 当时，，为单调递增函数； 当时，，为单调递增函数， 所以的极大值为，极小值为. （2）的零点个数即为与的交点个数， 由，可得，， 时；时；时， 结合（1）画出图象如下： 所以，当时，函数无零点； 当或，函数有一个零点； 当或时，函数有两个零点； 当时，函数有三个零点. 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数． (1)若，求在上的值域； (2)若，求在上的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析； 【分析】（1）多次求导后，可判断在上单调递增，据此可得值域； （2）时，多次求导后，可得在上单调递增，在上单调递减，其中，然后由零点存在性定理可得答案. 【详解】（1）时，，此时， 令，. 则，则在上单调递增， 则，故在上单调递增， 则； （2）由题，令，. 则，，， 时，，根据正弦函数性质知在上的零点个数为0； 时，所以， 故在上单调递减. 又，则，使. 则， 故在上单调递增，在上单调递减. 又注意到，，结合在上单调递增， 则时，，，又， 结合在上单调递减.则存在，使. 综上，当时，在上的零点个数为0， 当时，在上的零点个数为1. 4．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)讨论的零点个数，并证明. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义，利用可求出的值. （2）根据零点概念计算得到或．构造函数，对进行分类讨论，借助导数研究函数单调性和最值，分析函数的零点情况即可. 【详解】（1）由题意可得，则，解得． （2）当时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点． 证明如下： 令，得或． 设函数． ① 当时，恒成立，没有零点，则有唯一的零点； ② 当时，，故是上的增函数， 由得. ∵，， ∴有唯一的零点，则有两个零点； ③ 当时，． 由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴． 若，则，，则， ，则没有零点，故有唯一的零点； 若，则，，则有一个零点，故有两个零点； 若，则，，， ， 又，时，， ∴在和内各有一个零点，即有两个大于0的零点，则有三个零点． 综上，当时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点． 5．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知，函数，其中…为自然对数的底数. (1)证明：函数在上有唯一零点； (2)记为函数在上的零点，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】1）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论； （2）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式. 【详解】（1） 在上单调递增， ， 所以由零点存在定理得在上有唯一零点； （2）， ， 令 一方面： ， 在单调递增，， ， 另一方面：， 所以当时，成立， 因此只需证明当时， 因为 当时，，当时，， 所以， 在单调递减，，， 综上，. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 6．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若. ①证明：有3个不同的零点； ②证明：的所有零点之和为定值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）由导数知识可得切线方程斜率，即可得答案； （2）①由题设，由导数知识结合零点存在性定理可得在R上的零点情况，进而可得单调性，最后再由零点存在性定理可完成证明； ②设的三个零点分别为，其中，注意到，据此可完成证明. 【详解】（1），时 ，所以在处的切线方程为， 即； （2）①由题， 令令； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以，又，所以，且当时，时，； 所以在与上各有一个零点，不妨分别记为， 所以时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 且，所以；则，又当时，时，； 所以在与上各有一个零点，且，所以有且仅有三个零点. ②设的三个零点分别为，不妨设，则； 则， 同乘，即， 再同乘，得. 则 又，，，所以， 即，得，因此该函数所有零点之和为. 【压轴能力测评】 一、单选题 1．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）函数在区间内有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数研究在区间上的单调性，结合零点存在定理列出不等式组，解不等式可得答案. 【详解】因为函数，，所以在上恒成立，则在上单调递增， 要使函数在区间内有一个零点，根据零点存在定理可得：，即， 解得：，即实数的取值范围是； 故选：D 2．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求定义域，求导，当时，在上单调递减，不合要求，当时，得到函数单调性和极值，最值情况，得到不等式，求出答案. 【详解】定义域为， ， 当时，，故在上单调递减， 故不会有2个零点，舍去， 当时，令得，，令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 又趋向于0时，趋向于负无穷，趋向于正无穷时，趋向于负无穷， 要想函数有两个零点，则，解得. 故选：D 3．（23-24高二下·辽宁·期末）已知过点作的曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据导数求出切线斜率，再构造函数把有两条切线转化为函数有两个交点解决问题即可. 【详解】设切点为，由题意得，所以， 整理得，此方程有两个不等的实根． 令函数，则． 当时，，所以在上单调递增; 当时，，所以在上单调递减,且． ，方程有两个不等的实根,故． 故选：D. 4．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，求出函数有两个变号零点的的范围即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数恰有两个极值点，得函数有两个变号零点， 即方程有两个不等实根，令，因此函数的图象与直线有两个交点， 求导得，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 因此函数在处取得最小值， 而，，且当时，恒成立， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图：    观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：C 5．（23-24高二下·北京通州·期末）已知函数；若方程恰有三个根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合导数分析函数的性质，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，数形结合求出范围. 【详解】当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，求导得， 由，得，由，得，即函数在上递增，在上递减， 当时，取得极大值，且当时，恒成立， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数的图象有3个公共点，即方程恰有三个根， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 6．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数有两个零点，等价于有两个根，即有两个根，转化为两个函数图象有两个交点，结合导数画出图象草图，即可得解. 【详解】函数有两个零点,等价于有两个根，即有两个根， 令，， 令，，所以在R上单调递增； 又， 所以当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值为， 当时，当时， 要想有两个根，只需要，即 故选：A. 二、解答题 7．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知函数． (1)判断在上的单调性，并证明； (2)求在上的零点个数． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析； (2)一个. 【分析】（1）先判断单调性，再求导函数根据导函数正负证明函数单调性； （2）结合函数单调性及极值结合零点存在定理得出零点个数. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 因为， 所以， 又因为，从而， 所以， 所以在上单调递增． （2）由(1)知：， 因为， 令，得． 与在区间上的情况如下： 0 + 极小 因为，， 所以由零点存在定理及单调性可知，在上恰有一个零点． 8．（2024·河南郑州·三模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据已知条件及导数的求导法则，利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）利用导数法求含参函数的单调性，进而求出函数的最值，结合函数的单调性、函数的最值关系和函数零点存在定理对a的范围进行分类讨论，即可求解函数零点个数. 【详解】（1）若，则. 又,切点为， 曲线在处的斜率， 故所求切线方程为即. （2）由题． 1°当时，在上单调递减，又. 故存在一个零点，此时零点个数为1. 2°当时，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故的最小值为. 当时，的最小值为0，此时有一个零点. 当时，的最小值大于0，此时没有零点． 当时，的最小值小于0，， 时，，此时有两个零点. 综上，当或时，有一个零点； 当时，有两个零点； 当时，没有零点. 9．（23-24高二下·河南·期末）已知函数，． (1)当时，证明：在上恒成立； (2)若有2个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）只需证明在上恒成立，利用导函数与单调性、最值的关系证明即可； （2）将问题转化为方程有两个不等的实数根，利用导数与单调性、最值的关系，作出的图象，数形结合求解即可. 【详解】（1）证明：当时，设， 则． 由函数和均在上单调递增， 知在上单调递增，且， 所以当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增, 所以， 即在上恒成立． （2）由，得． 令，则f（x）有2个零点等价于函数的图象与直线有2个交点． 令，得， 当时，； 当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故，且当时，， 当x趋向于正无穷时，趋向于0，且函数值大于0． 作出函数的大致图象，如图所示． 结合图象可知，当时，函数的图象与直线有2个交点， 即有2个零点，故a的取值范围是． 10．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数 ，其中 . (1)讨论 的单调性； (2)证明: 在 上均恰有一个零点. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过求导，根据导数的正负来判断函数的增减区间； （2）结合函数的单调性以及特殊点的函数值，结合零点存在性定理来确定零点个数. 【详解】（1）首先求函数的定义域和导数. 函数的定义域为. 对求导可得，，. 然后令，即，则，解得或. 接着分情况讨论： 当时，，当且仅当时取等号.所以在上单调递增. 当时，. 在区间和上，，所以在，上单调递增； 在区间上，，所以在上单调递减. 当时，. 在区间和上，，所以在，上单调递增； 在区间上，，所以在上单调递减.    综上所得， 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）当时，；当时，，且，由（1）可知， 当时，在取得极大值，在上恰有一个零点. 当时，在上单调递增. 在上恰有一个零点. 当时，在取得极大值，且， 所以在上恰有一个零点.   综上所得，，在上均恰有一个零点. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用，考查转化能力，通过构造函数，利用导数求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 11．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有2个零点，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不相等的实数根，记其中一个实数根为，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解； （2）由，分和两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间，即可根据极值求解. （3）分析可得要证，，令，利用导数证得，即可得证． 【详解】（1）由可得， ，， 故切线方程为，即 （2）函数定义域为，， 当时，，此时在上单调递减；此时至多有一个零点，不符合题意，舍去， 当时，令，得， 此时在上，在单调递增， 在上，在单调递减， 当， 故要使有两个零点，则需要，解得 （3）由可得 由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根，且， 则要证，即证，即证， 而，则（，否则方程不成立）， 所以即证，化简得， 令，则， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以，而，所以， 所以，得证． 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明，利用构造函数的方法即可. 12．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知函数． (1)求证：对．曲线在点处的切线恒过定点； (2)当时，判断函数的零点的个数，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，再证明其经过定点即可； （2）根据函数的定义域分和两种情况讨论函数的零点情况，利用求导判断函数的单调性，再借助于零点存在定理判断零点个数即得. 【详解】（1）由求导可得，， 依题意，， 故曲线在点处的切线为， 即，因，故有，解得， 即切线恒过点，得证； （2）的定义域为，由（1）已得：，， ①当时，，则在上单调递增. 由，而， 因（下面证明），故， 即，由零点存在定理可得，在上有且仅有一个零点， 即在上只有一个零点； 下证：.设，则， 即在上单调递增，故，即成立. ②当时，，则在上单调递增. 由，因，则，而，故， 又， 因在上单调递增，故， 即，由零点存在定理可得，在上有且仅有一个零点, 即在上只有一个零点. 综上所述，时，在上有两个零点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 借助导数解决函数的零点（方程的根）问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 零点中的参数问题】 2 【题型二 判断、证明函数零点的个数问题】 2 【压轴能力测评（12题）】 3 一、函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 二、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 三、利用导数确定函数零点的常用方法 (1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）． (2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 四、利用函数的零点求参数范围的方法 (1)分离参数()后，将原问题转化为的值域(最值)问题或转化为直线与的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解． 【题型一 零点中的参数问题】 一、单选题 1．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数无零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）若函数与的零点个数相同，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽宿州·期中）已知函数有两个不同的零点，则实数的最大值为（   ） A．0 B． C． D．2e 4．（24-25高二下·河南·期中）设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型二 判断、证明函数零点的个数问题】 一、解答题 1．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知函数， (1)当时，求的对称中心； (2)证明：有唯一零点 2．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若，讨论函数的零点个数. 3．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数． (1)若，求在上的值域； (2)若，求在上的零点个数． 4．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)讨论的零点个数，并证明. 5．（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知，函数，其中…为自然对数的底数. (1)证明：函数在上有唯一零点； (2)记为函数在上的零点，证明：. 6．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若. ①证明：有3个不同的零点； ②证明：的所有零点之和为定值. 【压轴能力测评】 一、单选题 1．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）函数在区间内有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·辽宁·期末）已知过点作的曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·北京通州·期末）已知函数；若方程恰有三个根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·福建三明·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 7．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知函数． (1)判断在上的单调性，并证明； (2)求在上的零点个数． 0 + 极小 8．（2024·河南郑州·三模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的零点个数. 9．（23-24高二下·河南·期末）已知函数，． (1)当时，证明：在上恒成立； (2)若有2个零点，求a的取值范围． 10．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数 ，其中 . (1)讨论 的单调性； (2)证明: 在 上均恰有一个零点. 11．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有2个零点，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不相等的实数根，记其中一个实数根为，求证：. 12．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知函数． (1)求证：对．曲线在点处的切线恒过定点； (2)当时，判断函数的零点的个数，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$