阶段测评3 [范围：6.1]（Word练习）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

阶段测评(三)[范围：6.1] (时间：50分钟　满分：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f(x)＝5x2在[2，6]上的平均变化率为(　　) A．10　　　　　 　　 B．20 C．40 D．60 解析　平均变化率为＝＝40，故选C. 答案　C 2．(2025·北京通州高二期中)已知函数f(x)＝ln (2x＋3)，则f′(x)＝(　　) A． B． C． D． 解析　由f(x)＝ln (2x＋3)可得f′(x)＝×(2x＋3)′＝. 答案　B 3．(2025·内蒙古赤峰高二期中)函数f(x)＝3x＋sin 2x的图象在x＝1处的切线斜率为(　　) A．3ln 3＋2cos 2 B．3＋2cos 2 C．3ln 3＋cos 2 D．3＋cos 2 解析　f′(x)＝3x ln 3＋2cos 2x， 所以f′(1)＝3ln 3＋2cos 2. 答案　A 4．(2025·天津河东高二期中)已知函数f(x)＝f′sin x－cos x，那么f′的值为(　　) A．＋1 B．－1 C．2＋2 D．2－2 解析　因为f(x)＝f′sin x－cos x，则f′(x)＝f′cos x＋sin x，所以f′＝f′cos ＋sin ＝f′＋，解得f′＝＋1. 答案　A 5．设定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x＋1)＝2f(x)，f′(x)＞0，则＝(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析　f(x＋1)＝2f(x)两边对x求导，得f′(x＋1)·(x＋1)′＝2f′(x)，即＝2，所以＝2，＝2，…，＝2，累乘可得＝25＝32. 答案　D 6．若直线l是曲线y＝ln x－1与y＝ln (x－1)的公切线，则直线l的方程为(　　) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋1 D．y＝ex 解析　由y＝ln x－1，得y′＝，由y＝ln (x－1)，得y′＝. 设直线l与曲线y＝ln x－1相切于点(x1，ln x1－1)， 与曲线y＝ln (x－1)相切于点(x2，ln (x2－1))， 则＝，故x1＝x2－1. 又＝， 解得x1＝1，x2＝2，所以直线l过点(1，－1)，斜率为1， 即直线l的方程为y＝x－2. 答案　A 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．下列结论不正确的是(　　) A．若y＝cos ，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝x sin 2x，则y′＝x sin 2x 解析　对于A，y＝cos ，则y′＝sin ，故错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2x cos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；对于D，y＝x sin 2x，则y′＝sin 2x＋x cos 2x，故错误． 答案　ACD 8．某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：h)近似满足函数关系：V(t)＝H(H为常数)，其图象如图所示，记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为(单位：m3/h)，t1，t2，t3，t4时刻的瞬时融化速度分别为v1，v2，v3，v4(单位：m3/h)，那么下列各式正确的是(　　) A．v1< B．v2> C．v3＋>0 D．v4＋<0 解析　平均融化速度为＝，反映的是V(t)的图象与坐标轴交点连线的斜率，如图，观察可知t1，t2处瞬时速度(即切线的斜率)小于平均速度，t3，t4处瞬时速度及都小于0.故选AD. 答案　AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．若曲线y＝e－x在点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标为________． 解析　设P(x0，y0).∵y＝e－x，∴y′＝－e－x. ∴曲线y＝e－x在点P处的切线的斜率k＝－e－x0＝－2， ∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2， ∴y0＝eln 2＝2，∴点P的坐标为(－ln 2，2). 答案　(－ln 2，2) 10．曲线f(x)＝在点处的切线方程是________________． 解析　由f(x)＝，得f′(x)＝， 则f′＝－8且f＝4， 所以曲线y＝f(x)在点处的切线方程是y－4＝－8，即8x＋y－8＝0. 答案　8x＋y－8＝0 11．若直线y＝kx＋b既是曲线y1＝ln x＋2的切线，又是曲线y2＝ln (x＋1)的切线，则k＝________． 解析　由y1＝ln x＋2可得y1′＝， 由y2＝ln (x＋1)可得y2′＝， 设直线y＝kx＋b与y1＝ln x＋2和y2＝ln (x＋1)的切点分别为(x1，kx1＋b)，(x2，kx2＋b)，则由导数的意义可得k＝＝， 解得x1＝x2＋1，因为切点也在两条曲线上，所以kx1＋b＝ln x1＋2，kx2＋b＝ln (x2＋1)，两式相减得k(x1－x2)＝ln x1＋2－ln (x2＋1)， 即k＝ln x1＋2－ln x1＝2. 答案　2 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)求下列函数的导数． (1)f(x)＝x2＋； (2)f(x)＝＋8； (3)f(x)＝ln (3x2－1). 解析　(1)f(x)＝x2＋，f′(x)＝(x2)′＋′＝2x－. (2)f(x)＝＋8， f′(x)＝＝. (3)f(x)＝ln (3x2－1)，f′(x)＝·(3x2－1)′＝. 13．(15分)已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x). (1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率相同，求a的值； (2)若存在一点，使得曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在该点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围． 解析　(1)因为f′(x)＝1＋，g′(x)＝－， 所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率为g′(1)＝－a，由已知，得f′(1)＝g′(1)，得a＝－3. (2)由题意，得1＋＝－(x>0)， 则a＝－x－≤－2， 当且仅当x＝时，等号成立， 故实数a的取值范围为(－∞，－2]. 14．(15分)设过曲线f(x)＝－ex－2x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总有过曲线g(x)＝ax＋2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，求实数a的取值范围． 解析　由f(x)＝－ex－2x， 得f′(x)＝－ex－2<－2， 设切线l1的斜率为k1，则有k1<－2， 因此－∈. 由g(x)＝ax＋2cos x，得g′(x)＝a－2sin x， 设切线l2的斜率为k2， 则有k2∈[a－2，a＋2]，因为l1⊥l2， 所以k1·k2＝－1，即－＝k2， 因为过曲线f(x)＝－ex－2x上任意一点处的切线为l1，总有过曲线g(x)＝ax＋2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2， 所以解得－≤a≤2. 所以实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $