专练03 （最新好题速递）马尔科夫链专项必刷（4大题型16题）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）

专练03 数列递推结合概率—马尔科夫链模型强化必刷题（4大题型16题） 题型1 传球模型 一、单选题 1．（23-24高二下·广东广州·期末）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25高二上·广东·期末）甲，乙，丙，丁4人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，经过两次传球后，球在乙手中的概率为 ；经过次传球后，球在甲手中的概率为 （用含有的式子表示）. 三、解答题 3．（2025·安徽蚌埠·二模）某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据： 性别 排球 喜欢 不喜欢 男生 78 122 女生 112 88 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？ (2)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为. （i）求； （ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次传球）中球在乙手中的次数为随机变量，求的数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 题型2 摸球模型 一、填空题 1．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）设有两个罐子，罐中放有个白球、个黑球，罐中放有个白球，现在从两个罐子中各摸一个球交换，这样交换次后，黑球还在罐中的概率为 ． 2．（23-24高二下·山东青岛·期中）有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，…，依次进行．则从第n个盒子中取到红球的概率为 ． 二、解答题 3．（24-25高二下·江苏镇江·开学考试）口袋中有大小相同、质地均匀的3个白球和3个黄球.甲乙两人进行摸球游戏，规则如下：每次摸2个球，观察颜色后放回，若颜色相同时，则摸球人继续摸球；否则由对方摸球.第一次由甲开始摸球，记第n次由甲摸的概率是 (1)求，； (2)证明：数列是等比数列，并求 4．（2024·广东广州·三模）甲进行摸球跳格游戏，图上标有第1格，第2格，，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第格的概率为． (1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为，求的分布列和期望； (2)求的通项公式． 题型3 游走模型 一、单选题 1．（2024高二·全国·专题练习）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0 D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为 二、填空题 2．（24-25高二下·上海·开学考试）一点从正三角形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿顺时针或逆时针方向移动－步.设移动步后回到点的概率为，到达点的概率为，则 . 三、解答题 3．（2025·贵州黔南·三模）在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. (1)假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? (2)若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. (3)若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 题型4 其他常见模型 一、单选题 1．（2025·河南·二模）张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西咸阳·三模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，甲同学回答第题时答错的概率为，，当时，恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（2025·江西·二模）为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛．从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或2级台阶，其中一步上一级台阶的概率为，上两级台阶的概率为，爬楼梯过程中，小明爬到第n个台阶的概率为 (1)求的值； (2)设随机变量表示小明爬3步上的台阶总数，求的分布列及数学期望； (3)求． 4．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有1台玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的1台玩具车和2个不同的玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换． (1)两人进行一次交换后，设小明手中玩具车的台数为，求的分布列及数学期望； (2)两人进行次交换后，记小明手中恰有1个玩具车的概率为． ①求； ②求． 5．（24-25高二下·浙江·期中）甲、乙两盒子中各有枚形状、大小完全相同的棋子，一红一黄.称一次操作是从甲、乙盒中随机取出一枚棋子交换，记次操作后，甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为 . (1)求 ，的值； (2)求数列的通项公式； (3)并求使不等式成立的最小值. 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专练03 数列递推结合概率—马尔科夫链模型强化必刷题（4大题型16题） 题型1 传球模型 一、单选题 1．（23-24高二下·广东广州·期末）甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，求出，根据题意求出数列的递推公式，求出的表达式，即可求得的值. 【详解】设次传球后球在甲手中的概率为，当时，， 设“次传球后球在甲手中”，则， 则． 即， 所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，，所以，， 所以次传球后球在甲手中的概率为． 故选：A 二、填空题 2．（24-25高二上·广东·期末）甲，乙，丙，丁4人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，经过两次传球后，球在乙手中的概率为 ；经过次传球后，球在甲手中的概率为 （用含有的式子表示）. 【答案】 【分析】列举出经2次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算即可求解第一空，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式，结合等比数列的性质可得第二空. 【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为： 甲乙甲，甲乙丙，甲乙丁，甲丙甲，甲丙乙，甲丙丁，甲丁甲，甲丁乙，甲丁丙，共9个结果，它们等可能， 2次传球后球在乙手中的事件有：甲丙乙，甲丁乙，2个结果，所以概率是， 记n次传球后球在甲手中的事件为，对应的概率为，， ， 则 ， 于是得，即， 而，则数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，，即， 所以n次传球后球在甲手中的概率是， 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题第二个空的关键点在于设n次传球后球在甲手上的事件为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可. 三、解答题 3．（2025·安徽蚌埠·二模）某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据： 性别 排球 喜欢 不喜欢 男生 78 122 女生 112 88 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？ (2)在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为. （i）求； （ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次传球）中球在乙手中的次数为随机变量，求的数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)可以认为是否喜欢排球与性别有关联. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）计算卡方结合表中数据判断即可； （2）（i）由题意构造可得，进而可得数列的通项公式，从而求得； （ii）由题意可得，再根据等比数列求和即可. 【详解】（1）零假设为：是否喜欢排球与性别无关联. 根据表中的数据，经计算得到 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，可以认为是否喜欢排球与性别有关联. （2）（i）由题意知， 设，所以，所以，解得， 所以， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，即第次传球后球在乙手中的概率为. （ii）因为， 所以当时，的数学期望 ，即的数学期望为 题型2 摸球模型 一、填空题 1．（23-24高二上·山东德州·阶段练习）设有两个罐子，罐中放有个白球、个黑球，罐中放有个白球，现在从两个罐子中各摸一个球交换，这样交换次后，黑球还在罐中的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，化简得到，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】设表示事件交换次后黑球仍在罐中， 则 ， 所以，可得， 又由，可得， 所以由等比数列性质，得，所以． 故答案为：． 2．（23-24高二下·山东青岛·期中）有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，…，依次进行．则从第n个盒子中取到红球的概率为 ． 【答案】 【分析】由全概率公式得，通过构造得数列是等比数列，利用数列通项求. 【详解】设事件表示“从第i个盒子中取到红球”（）， 则当时， ， 所以， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以． 故答案为：． 二、解答题 3．（24-25高二下·江苏镇江·开学考试）口袋中有大小相同、质地均匀的3个白球和3个黄球.甲乙两人进行摸球游戏，规则如下：每次摸2个球，观察颜色后放回，若颜色相同时，则摸球人继续摸球；否则由对方摸球.第一次由甲开始摸球，记第n次由甲摸的概率是 (1)求，； (2)证明：数列是等比数列，并求 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）代表的是第2次由甲摸球，所以第一次甲摸得球颜色相同，代表的是第3次由甲摸球，这个时候有两种情况； （2）根据题意得到与的关系式，即可证明为等比数列，再根据等比数列的通项公式得到. 【详解】（1）第一次由甲开始摸，， 表示第二次由甲摸球的概率，， 表示第二次由甲摸球或第二次由乙摸球后， 第三次由甲摸球的概率， 所以， （2）当时，表示第次由甲摸球后或由乙摸球后，第 n次由甲摸球的概率， 所以， 即， 所以， 因为，即， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列. 即，， 当时，满足， 所以 4．（2024·广东广州·三模）甲进行摸球跳格游戏，图上标有第1格，第2格，，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第格的概率为． (1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为，求的分布列和期望； (2)求的通项公式． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据超几何分布求出概率，写出分布列，根据期望计算公式求出期望即可； （2）当时，棋子跳到第格有两种可能：第一种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色不同；第二种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色相同；结合概率求得，变形为，利用等比数列定义证明，并结合等比数列前n项和公式，利用累加法求得的通项公式. 【详解】（1）根据题意可知，的所有可能取值为0，1，2， 则，， ， 可得的分布列如下： 0 1 2 期望值为； （2）依题意，当时，棋子跳到第格有两种可能： 第一种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色不同， 第二种，棋子先跳到第格，再摸出两球颜色相同， 又可知摸出两球颜色不同，即跳两格的概率为， 摸出两球颜色相同，即跳一格的概率为， 因此可得，， 所以， 因此可得，且，，， 即数列是首项为，公比为的等比数列， 即， 所以 ， 由题意， 综上，. 题型3 游走模型 一、单选题 1．（2024高二·全国·专题练习）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0 D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为 【答案】B 【分析】分析点运动一次留在下底面和离开下底面的概率，以及移动一次从上底面回到下底面的概率，根据概率乘法公式和加法公式求解可判断A；根据题意寻找与之间的递推关系可判断B；分析点Q由点A移动到点处所需最少次数可判断C；根据递推关系构造数列，由等比数列通项公式可求得，可判断D. 【详解】在正方体中，每一个顶点有3个相邻顶点，其中两个在同一底面， 所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，离开下底面的概率为， 在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动， 所以移动4次后不可能到达点，故C正确， 对于D，因为，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，得， 所以，故D正确. 故选：B. 【点睛】关键点睛：有一些复杂的概率模型可通过找寻与之间的递推关系，从而求出. 二、填空题 2．（24-25高二下·上海·开学考试）一点从正三角形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿顺时针或逆时针方向移动－步.设移动步后回到点的概率为，到达点的概率为，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式求出；设移动步后回到点的概率为，求出的递推公式，再利用构造法求出. 【详解】表示移动2步后回到点的概率，其包含两种情况： 顺时针逆时针各移动1步或逆时针顺时针各移动1步，则， 而表示移动2步后到达点的概率，包含一种情况：逆时针移动2步，则， 设移动步后回到点的概率为， 又， ， 则，而， 因此是首项为，公比为的等比数列，所以. 故答案为：    【点睛】关键点点睛：由已知求出递推公式及是解决问题的关键. 三、解答题 3．（2025·贵州黔南·三模）在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. (1)假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? (2)若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. (3)若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）列出上完步台阶的走法，即可计算时间； （2）依题意可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出取最大值时的值，再由相互独立事件的概率公式计算可得； （3）依题意可得，即可得到，即可证明，从而得到，再由累加法计算可得. 【详解】（1）“机器狼”上完步台阶的走法有： 当时，用时； 当时，用时； 当时，用时； 所以“机器狼”上完这个台阶用时最少为秒； （2）依题意，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值， “机器狼”从地面上到第7步台阶有，，，共4种情况， 则“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率； （3）“机器狼”从地面上到第步台阶，它是由第步台阶上两步到达第步台阶，或由第步台阶上一步到达第步台阶， 记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为， 所以， 所以， 则， 又，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以 ， 即. 题型4 其他常见模型 一、单选题 1．（2025·河南·二模）张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据全概率公式得到数列的递推公式，再根据递推公式求通项公式，可求. 【详解】设表示第个月去公司，则，， 根据题意，得，， 由全概率公式，得 ， 即，整理得， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则. 故选：A 2．（2024·陕西咸阳·三模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为，从第二题开始，甲同学回答第题时答错的概率为，，当时，恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出数列的通项，再借助单调性求出的最小值即可得解. 【详解】依题意，，当时，由，得， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即，显然数列是递增数列， 当时，，而当时，恒成立，于是， 所以的最大值为. 故选：A 二、解答题 3．（2025·江西·二模）为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛．从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或2级台阶，其中一步上一级台阶的概率为，上两级台阶的概率为，爬楼梯过程中，小明爬到第n个台阶的概率为 (1)求的值； (2)设随机变量表示小明爬3步上的台阶总数，求的分布列及数学期望； (3)求． 【答案】(1)， (2)分布列见解析，数学期望为5； (3) 【分析】（1）计算和运用了分步乘法计数原理和分类加法计数原理来计算事件发生的概率； （2）结合乘法公式计算概率，得到随机变量的分布列和期望； （3）通过分析爬台阶的不同情形建立递推关系，再通过变形构造等比数列来求解数列的通项公式． 【详解】（1）由题可知， （2）随机变量所有可能取值为：3，4，5，6， 的分布列 3 4 5 6 ； （3）爬到第个台阶有两种情况： 情形一：爬到第个台阶，下一步上两个台阶爬到第个台阶， 情形二：爬到第个台阶，下一步上一个台阶爬到第个台阶， 故， 则， 所以， ，又，故是等比数列， ， 故. 4．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）为倡导节能环保，实现废旧资源再利用，小明与小亮两位小朋友打算将自己家中的闲置玩具进行交换，其中小明家有1台玩具车和2个不同的玩偶，小亮家也有与小明家不同的1台玩具车和2个不同的玩偶，他们每次等可能的各取一件玩具进行交换． (1)两人进行一次交换后，设小明手中玩具车的台数为，求的分布列及数学期望； (2)两人进行次交换后，记小明手中恰有1个玩具车的概率为． ①求； ②求． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为； (2)①；②； 【分析】（1）首先分析得X的可能取值为0，1，2，再列出其分布列，计算其数学期望即可； （2）①：分两次都交换玩具车、两次都交换玩偶以及一次交换玩具车，一次交换玩偶讨论即可； ②：记小明手中恰有0个玩具车的概率为，利用全概率公式得，再构造等比数列即可得到其表达式. 【详解】（1）由题意知X的可能取值为0，1，2 ， ， X 0 1 2 P 所以． （2）①若两次都交换玩具车，则概率为， 若两次都交换玩偶，则概率为， 若一次交换玩具车，一次交换玩偶， 情况1：每次互换的玩具相同，则概率为， 情况2：每次互换的玩具不同，则概率为， 则. ②重复n复这样的操作后，记小明手中恰有0个玩具车的概率为， 则小明手中恰有2个玩具车的概率为， 根据全概率公式可得，当时，， ∴， 由（1）是，∴， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故， 所以，即 ． 5．（24-25高二下·浙江·期中）甲、乙两盒子中各有枚形状、大小完全相同的棋子，一红一黄.称一次操作是从甲、乙盒中随机取出一枚棋子交换，记次操作后，甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为 . (1)求 ，的值； (2)求数列的通项公式； (3)并求使不等式成立的最小值. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）设事件第次操作时，从甲盒中取出的是红色棋子为，事件第次操作时，从乙盒中取出的是红色棋子为，则事件第一次操作后甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子可表示为，根据概率加法和乘法公式求，再根据关系求； （2）由条件可得，证明数列为等比数列，结合等比数列通项公式求结论； （3）结合（2）的结论化简不等式可得，结合指数函数单调性及，可得结论. 【详解】（1）设事件第次操作时，从甲盒中取出的是红色棋子为， 事件第次操作时，从乙盒中取出的是红色棋子为， 则事件第一次操作后甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子可表示为， 又，事件与事件互为互斥事件，事件与事件独立， 所以， 所以， 若第1次操作后甲、乙盒中各有一红一黄棋子， 则第二次操作后甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为， 若第1次操作后甲盒中为两个红色棋子，乙盒中为两个黄色棋子或甲盒中为两个黄色棋子，乙盒中为两个红色棋子， 则第二次操作后甲、乙盒中仍各有一红一黄棋子的概率为， 所以. （2）因为，故 所以，又， 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以， （3）因为，由（2）可得， 所以 整理得，又，，函数为增函数， 所以的最小值为. 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据全概率公式求得正确答案. （2）①先求得的关系式，然后利用构造法证得为等比数列； ②先求得，然后求得的最大值，由此求得的取值范围. 【详解】（1）设为“第一天选择米饭套餐”：为“第二天选择米饭套餐”， 则为“第一天不选择米饭套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：. （2）①：证明：设为“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，，， 由全概率公式得： 因此，. 是以为首，为公比的等比数列. ②：根据①可得， 所以，下求的最大值， 要求的最大值，则为偶数， 当为偶数时，， 此时是单调递减数列， 所以的最大值为， 因此，则m的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$