数学（江苏卷03）-学易金卷：2025年高考押题预测卷

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考押题预测卷 高三数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025年高考押题预测卷 高三数学（新高考江苏专用）参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 6 8 A B B 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9 10 11 BCD BC ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.36 13.0.3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.【详解】(1)设AE1BC,垂足为E, 在△ABD中，SAo)ABAD.sin∠BAD=BDB, -1分 2 在1cD中，又o4CAD-n∠CD=CDAE, -3分 因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAD,于是有sin∠BAD=sin CAD, 5分 因批有 1 AB.AD.sin ZBAD ⊥BD·AE AB BD → -7分 24C4D-sin∠CMD CD-AE AC CD 1/7 高学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B DE (2)因为D为BC上靠近B的三等分点， 所以8D=Bc=aC-), -8分 因为D=丽+D=+aC-丽到=B+4c, -10分 所以o-居衣-6丽+5C+cg4兮1 41.4 ×2×1× 21 -13分 9 9 16.【详解】(1)依题意，f(x=2x2-3x-lnr,x∈(0，+o, f=4x-3-1=4r2-3x-l_4x+x- -2分 x 故当xe(0,时，'(x<0,当xe(L,+时，f'(x>0, -4分 故函数fx的单调递减区间为0,1，单谓递增区间为1，+0.------ --6分 (2)依@意，了八x=4x-3+2_4r-3x+2, --7分 令f'(x=0,得4x2-3x+元=0， -9分 令g=4-3x+元，放问题转化为8到在区间日5 上有两个不等的变号零点， △=9-16元>0， 1 散840 -12分 g5)>0, 解得2 16 -14分 综上所述， 实数入的取值范围为 -15分 17.【详解】(1)X的所有可能取值为0,1,2，且X服从超几何分布. P(X=0)= C25 -3分 X的分布列为 0 /2 2/7 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 X的数学期望EX)=0×+1x+2x=1. -5分 5 5 (2)(1)记C=“每位员工经过培训合格”，A=“每位员工第i轮培训达到优秀”(i=1,2,3), C=AA,AUAA,AUAA,AUA4,A,,根据概率加法公式和事件相互独立定义得， 6分 P(C)=P(444)+P(444)+P(A44)+P(444) =P(4)P(4)P(4)+P(4)P(4)P(4)+P(4)P(4)P(4)+P(4)P(4)P(4) 2111112112121 一×一×一+一×一×+一×一×一十一×一×一 9分 3233233233232 即每位员工经过培训合格的概率为}。 --10分 （)记么B两部门开展Dg培请后合格的人数为Y,则r~B50》】 -12分 E)=50×225,则25x30+25x20-50x3=100(万元) -----14分 即估计A,B两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元. -15分 9 18.【详解】1)因为椭圆E:三+上=1经过点 别代入可料4+1解得=3 m 4 所以椭圆E的方程为二， y =1； -3 34 分 (2)由愿意，直线CD的斜率一定存在，设C(x,,D(x2,J,直线CD的方程为y=:+m,-4分 联立椭圆和直线CD的方程得3k2+4)x2+6kmx+3m2-4)=0, -5分 由韦达定理可得x+与=3+43+4 -6km 3m2-4 一6分 由点斜式可知直线4C的方程为y=二2x+2,直线BD的方程为y=上+2 x-2. 一-7分 两武相海子2。图为点P在我-上，所之 X +25 8分 又点D在椭圆上，所以至+生：1，变形得去，=3必2所以-22= 一9分 34 2+2 4x2 25 3/7 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 将直线CD方程代入得低+m-2+m-2_4.即西+m-2玉++m-24 xX2 x ’-10分 将韦达定理结果代入得m2-10m+16=0,解得m=2或8， 因为C,D均不与椭圆E上下顶点重合，所以m=2舍去，即m=8, 直线CD的方程为y=+8,过定点(0,8)--- --12 分 (3)由题意可知M》N》,显然C,D在直线y=的两侧，不姊设头>分： 则sw-》e-8引e合小 -13分 设存在常数t,使得S,S2,S为等比数列，则S=SS, 即2[*5P-]-+为小- -14分 由(2)可知y+2=(x+x)+16 3+45=(+8到+8=64-3 64 3k2+4 代入化简可特94-2则-545-90则：一一 -----15分 由(2)知联立后的方程△=(48k)-4×180×3k2+4>0→k2>20, 所以2= 45(k2-20).1645.1 1442-20*225X44,解得1=± 16分 所以存在1=±号，使得S,S,S总为等比数列 -17分 9【详解)1)因为球面三角形4BC的三条边长均为，R:V 所以球面三角形每条边所对的圆心角均为及， 所以四面体0ABC为正四面体--1分 4/7 学科网，·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 假OA的中点E,连接E,CE,则BE⊥0ACE⊥0A,且BECE= -2分 则∠BEC为二面角B-A0-C的平面角 99-3 由余弦定理可得cos∠BBC=BE+CE-BC'_4 1 2BE·CE 9 2 3 4 所以此球面三角形一个内角的余弦值为 1 -3 分 (2)因为DB⊥平面ABC,所以DB⊥AC,DB⊥AB 设BC=aa>0),则AB=√5a,AC=2a,BD=√5a,所以AD=√6a -4分 由勾股定理的逆定理可得AC⊥BC,又BDOBC=B, 所以AC⊥平面BCD,又CDc平面BCD,所以AC⊥CD, 因为直线DC与平面4BC所成的角为弩所以∠DCB=子 -5分 易知在Rt△ACD和Rt△ADB中，斜边AD的中点到点A,B,C,D的距离相等，即AD为球O的直径，所以 AD=√6a=25,a=√ 、 6分 以点C为坐标原点，直线CB,CA分别为x,y轴，过点C且与BD平行的直线为：轴，建立如图所示的空间直 角坐标系 7分 (i)由题可知C(0,0,0),A0,2,0,BV2,0,0,D2,0,6), AD=(2,-2,6),BC=-2,0,0,BD=(0,0,6 810分 设与AD,BC都垂直的向量为i=(x,5,, 5/7 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 而=2x-2y+6=0令：=6，则i=0,3.6), BC.i=-√2x=0, 9分 所以线段MN长度的最小值 BD。6=2压 55 10分 m段c-ea,由题可a0,e停a0aaaq停写 则o99}-9c 11分 设平面0BC的一个法向量为m=(x,,), mBC=-2x=0, 则 号5+男+5与=0取之，可将后=6 mco=5。 12 2-0 分 设平面GPQ的一个法向量为p=(x21), p.PO- 25乃=0 则 取x,=2,可得方=2,4，-1 -13分 i:0G= 25+6=0 设平面OBC与平面GPQ的夹角为O, 因为eoc0=os<mp-m-月 W61+2551+2 m同10V32+153r2+1 =5 W3+y-5x +26+1 5×V3+15*V --14分 32+1 266 令s=26+1,则se13,4=-, 8, 2√6f+1 8s 8 可得31（s-+ 1-25+9 8一 =2 9 -2 6-2 -16分 当且仅当=3，即1=5时等号成立，此时c050取得最大值， 6 6/7 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故BG=V6 17分 717 2025年高考押题预测卷 高三数学（新高考江苏专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的分位数是（   ） A．114 B．115 C．120.5 D．121 3．已知为定义在上的奇函数，且也为奇函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 4．在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ）. A．1 B． C． D． 5．已知纸的长宽比约为．现将一张纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等于纸的长时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于纸的宽时，设其体积为，轴截面的面积为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 6．已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则（   ） A． B． C．z在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数满足，则的最大值为 10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），.记数列的前项和为，若，则（    ） A．或32 B． C．当最小时的“雹程”是2步 D．或4747 11．已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 13．某市高三年级男生的体重（单位：kg）近似服从正态分布．若，则 ． 14．如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时之间的距离为，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为BC上一动点. (1)若AD平分，求证：； (2)若D为BC上靠近B的三等分点，当，时，求AD的长. 16．（15分）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若在区间上有2个极值点，求实数的取值范围． 17．（15分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 18．（17分）已知上下顶点分别为的椭圆经过点为直线上的动点，且不在椭圆上，与椭圆的另一交点为与椭圆的另一交点为（均不与椭圆上下顶点重合）. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线过定点； (3)设（2）问中定点为，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．（17分）球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点.    (1)若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值. (2)在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为. （i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值； （ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考押题预测卷 数学（新高考江苏专用）·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知且，解得， 所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集， 因为只有选项A中的是的真子集， 故选：A 2．已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的分位数是（   ） A．114 B．115 C．120.5 D．121 【答案】D 【详解】共10个数据，按顺序排列为：114，116，117，117，119，120，120，121，122，123， ， 则第75%分位数是第8个数据121， 故选：D. 3．已知为定义在上的奇函数，且也为奇函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为为奇函数，所以， 用代替得， 又为定义在上的奇函数，所以， 所以，是以4为周期的周期函数， 因为，所以. 故选：D 4．在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ）. A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】 由图可知：，， 因为，所以， 整理得：， 根据平面向量基本定理可得：，解得， 所以， 故选：A． 5．已知纸的长宽比约为．现将一张纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等于纸的长时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于纸的宽时，设其体积为，轴截面的面积为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】不妨设纸的长宽分别为； 当圆柱的高等于纸的长时，也即圆柱高为时，设其底面圆半径为，则，解得， 故， 此时矩形轴截面的两条边长分别为，故； 当圆柱的高等于纸的宽时，也即圆柱高为时，设其底面圆半径为，则，解得， 故， 此时矩形轴截面的两条边长分别为，故； 综上所述，，. 故选：B. 6．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， 两边同时除以， ， ， ， ，解得，. 故选：C 7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设与渐近线的交点为，则为的中点，且， 又为的中点，所以，即，所以， 要使，则点在以为圆心，为半径的圆的内部， 根据对称性可知，即的取值范围是. 故选：B 8．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，函数是增函数，且， 当时，，不合题意，故，函数是增函数， 令，得，由题意， 并结合，的图象， 则，即， 则，设，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，即的最小值为． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则（   ） A． B． C．z在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【详解】复数，，故A错误； ，，故B正确； z的实部为4大于零，虚部为-1，小于零，则z在复平面内对应的点位于第四象限，故C正确； 因为复数满足，设在单位圆上，则表示和点z之间的距离， 其最大值为z到原点的距离加半径，最大值为，故D正确， 故选：BCD 10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），.记数列的前项和为，若，则（    ） A．或32 B． C．当最小时的“雹程”是2步 D．或4747 【答案】BC 【详解】对于A，因为，所以； 或；或， ，即或5或4，故A错误； 对于B，因为，所以从开始，周期为3，又， 所以，故B正确； 对于C，由A选项得的最小值为4，故雹程是2步，故C正确； 对于D，当时，； 当时，； 当时，，故D错误. 故选：BC. 11．已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】ACD 【详解】， 令，得，解得； 令，则，又， 所以，得， 对于任意的都成立，所以为奇函数，故B错误； 令，得①， 把换成，得②， 又为奇函数，所以，又， 所以①②得，故D正确； 令，得， 所以，又， 所以，则， 所以函数的周期为4，得，故A正确； ，等式两边同时对求导， 得， 令，得，即③， 由，得，所以为偶函数， 由，得， 所以，所以函数的周期为4. 令，由③得， 同理可得， 所以，故C正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 【答案】 【详解】根据题意，所给模型中， 则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为， 因为，所以， 所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块. 故答案为：36. 13．某市高三年级男生的体重（单位：kg）近似服从正态分布．若，则 ． 【答案】0.3 【详解】因为体重近似服从正态分布， 所以正态密度曲线关于对称， 所以， 则， 所以， 故答案为：0.3. 14．如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时之间的距离为，则 . 【答案】 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴，轴的垂线相交于点， 连接，则， 由余弦定理得， 由上可知，轴垂直于，又平面， 所以轴垂直于平面，又轴，所以平面， 因为平面，所以， 因为的周期，所以， 由勾股定理得，解得 由图知，的图象过点，且在递减区间内， 所以即 因为，点在递减区间内，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为BC上一动点. (1)若AD平分，求证：； (2)若D为BC上靠近B的三等分点，当，时，求AD的长. 【详解】（1）设，垂足为， 在中，，--------------------------------------------------------1分 在中，，---------------------------------------------------------3分 因为AD平分， 所以，于是有，------------------------------------------------------5分 因此有；---------------------------------------------------7分 （2）因为D为BC上靠近B的三等分点， 所以，-----------------------------------------------------------------------------------8分 因为，----------------------------------------------------10分 所以---13分 16．（15分）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若在区间上有2个极值点，求实数的取值范围． 【详解】（1）依题意，，， ， ------------------------------------------------------------2分 故当时，，当时，， ----------------------------------------------4分 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．----------------------------------------6分 （2）依题意，， --------------------------------------------------------7分 令，得，---------------------------------------------------------------------------------9分 令，故问题转化为在区间上有两个不等的变号零点， 故--------------------------------------------------------------------------------------------12分 解得，-----------------------------------------------------------------------------------------------14分 综上所述，实数的取值范围为．-----------------------------------------------------------15分 17．（15分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布． -------------------------------------3分 的分布列为 0 1 2 的数学期望．--------------------------------------------------------------------5分 （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，--------------------------6分 ．------------------------------------------------------------------------9分 即每位员工经过培训合格的概率为．----------------------------------------------------------------------------------10分 （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，------------------------12分 ，则（万元）---------------------------------------------------14分 即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．---------------------15分 18．（17分）已知上下顶点分别为的椭圆经过点为直线上的动点，且不在椭圆上，与椭圆的另一交点为与椭圆的另一交点为（均不与椭圆上下顶点重合）. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线过定点； (3)设（2）问中定点为，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【详解】（1）因为椭圆经过点，代入可得，解得， 所以椭圆的方程为；-------------------------------------------------------------------------------------------3分 （2）由题意，直线的斜率一定存在，设，直线的方程为，-----4分 联立椭圆和直线的方程得，--------------------------------------------------5分 由韦达定理可得，-----------------------------------------------------------------------6分 由点斜式可知直线的方程为，直线的方程为，------------------------7分 两式相比得，因为点在直线上，所以，-----------------------8分 又点在椭圆上，所以，变形得，所以，----------------9分 将直线方程代入得，即，-------10分 将韦达定理结果代入得，解得或， 因为均不与椭圆上下顶点重合，所以舍去，即， 直线的方程为，过定点.----------------------------------------------------------------------------------12分 （3）由题意可知，显然在直线的两侧，不妨设， 则，---------------------------------------13分 设存在常数，使得，，为等比数列，则， 即，-------------------------------------------------14分 由（2）可知， 代入化简可得，---------------------------------------------------------15分 由（2）知联立后的方程， 所以，解得，--------------------------------------------------------------16分 所以存在，使得，，总为等比数列.-----------------------------------------------------------------17分 19．（17分）球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点.    (1)若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值. (2)在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为. （i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值； （ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长. 【详解】（1）因为球面三角形的三条边长均为， 所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，所以四面体为正四面体.-----------------------------1分 取的中点，连接，则，且，--------------------------------------2分 则为二面角的平面角. 由余弦定理可得 所以此球面三角形一个内角的余弦值为.---------------------------------------------------------------------------------3分 （2）因为平面，所以. 设，则，所以.------------------------------------------4分 由勾股定理的逆定理可得，又， 所以平面，又平面，所以， 因为直线与平面所成的角为，所以.-------------------------------------------------------5分 易知在和中，斜边的中点到点的距离相等，即为球的直径，所以.----------------------------------------------------------------------------------------------------------6分 以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7分    （i） 由题可知， .---------------------------------------------------------------------810分 设与都垂直的向量为， 则令，则，------------------------------------------------------------9分 所以线段长度的最小值为.----------------------------------------------------------------------10分 （ii）设，由题可知， 则.------------------------------------------------------------------11分 设平面的一个法向量为， 则取，可得.-------------------------------------------------12分 设平面的一个法向量为， 则取，可得.--------------------------------------------------------13分 设平面与平面的夹角为. 因为 ，------------------------------------------------------------------------14分 令，则， 可得，------------------------------16分 当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值， 故.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17分 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025年高考押题预测卷 高三数学（新高考江苏专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．已知一组数据为：123，117，117，121，122，120，116，114，120，119，则这组数据的分位数是（   ） A．114 B．115 C．120.5 D．121 3．已知为定义在上的奇函数，且也为奇函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 4．在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ）. A．1 B． C． D． 5．已知纸的长宽比约为．现将一张纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等于纸的长时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于纸的宽时，设其体积为，轴截面的面积为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 6．已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，上一点关于一条渐近线的对称点恰为右焦点．若是上的一个动点，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则（   ） A． B． C．z在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数满足，则的最大值为 10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），.记数列的前项和为，若，则（    ） A．或32 B． C．当最小时的“雹程”是2步 D．或4747 11．已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 13．某市高三年级男生的体重（单位：kg）近似服从正态分布．若，则 ． 14．如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时之间的距离为，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为BC上一动点. (1)若AD平分，求证：； (2)若D为BC上靠近B的三等分点，当，时，求AD的长. 16．（15分）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若在区间上有2个极值点，求实数的取值范围． 17．（15分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 18．（17分）已知上下顶点分别为的椭圆经过点为直线上的动点，且不在椭圆上，与椭圆的另一交点为与椭圆的另一交点为（均不与椭圆上下顶点重合）. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线过定点； (3)设（2）问中定点为，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19．（17分）球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点.    (1)若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值. (2)在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为. （i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值； （ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$