第11章 不等式与不等式组（思维导图+知识梳理+易错点拨+9大考点讲练+优选真题难度分层练 共47题）-2024-2025学年人教版数学七年级下学期期末培优知识串讲【2024新教材】

2024-2025学年人教版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第11章 不等式与不等式组 （思维导图+知识梳理+易错点拨+9大考点讲练+优选真题难度分层练 共47题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 2 知识点梳理01:不等式 2 知识点梳理02:一元一次不等式 3 知识点梳理03:一元一次不等式组 4 易错考点点拨汇总 4 易错知识点01：不等式基本性质应用错 4 易错知识点02：解集表示与数轴标注错误 4 易错知识点03：解一元一次不等式的步骤错误 5 易错知识点04：含参数不等式的分类讨论错误 5 易错知识点05：不等式组解集判断错误 5 易错知识点06：实际应用题建模错误 5 易错知识点07：易混淆概念对比 6 期末真题考点汇编讲练 6 期末考向一：不等式 6 重点考点讲练01：不等式的解集 6 期末考向二：一元一次不等式 9 重点考点讲练02：求一元一次不等式的解集 9 重点考点讲练03：求一元一次不等式的整数解 12 重点考点讲练04：在数轴上表示不等式的解集 14 重点考点讲练05：用一元一次不等式解决实际问题 15 期末考向三：一元一次不等式组 18 重点考点讲练06：求不等式组的解集 18 重点考点讲练07：求一元一次不等式组的整数解 20 重点考点讲练08：由一元一次不等式组的解集求参数 22 重点考点讲练09：一元一次不等式组的其他应用 24 优选真题难度分层练 27 中档题—夯实基础能力 27 压轴题—强化解题技能 32 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01:不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 【易错点剖析】 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02:一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点梳理03:一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【易错点剖析】 （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 易错知识点01：不等式基本性质应用错 1.忽略变号条件 错误表现：不等式两边乘（或除以）负数时未改变不等号方向。 示例：解不等式 -3x > 6，误解得 x > -2（正确应为 x < -2）。 避错策略：操作前先判断系数符号，负数运算后立即翻转不等号。 2.混淆等式与不等式性质 错误表现：将等式移项规则直接用于不等式，未注意变号限制。 示例：由 5x - 3 < 2x + 6 移项得 3x < 9（正确，但若两边乘负系数需变号）。 易错知识点02：解集表示与数轴标注错误 1.解集边界点标注混淆 错误表现： 含“≤”或“≥”时未用实心点，含“<”或“>”时误用实心点。 示例：解集x≤3在数轴上误标为空心点。 避错策略：口诀“实心包含，空心不包”，结合符号判断。 2.方向标注错误 错误表现：数轴上解集方向画反（如 x > 2 向右却标向左）。 避错策略：遵循“同大向右，同小向左”规则。 易错知识点03：解一元一次不等式的步骤错误 1.去分母漏乘项 错误表现：去分母时漏乘不含分母的项。 示例：解3时，误写为 x-1 > 3（正确应为 x-1 > 6）。 2.去括号符号错误 错误表现：括号前为负号时，去括号未改变内部符号。 示例：解2−(3x−4)<5时，误去括号为 2 - 3x - 4 < 5（正确应为 2 - 3x + 4 < 5）。 易错知识点04：含参数不等式的分类讨论错误 1.忽略参数正负性 错误表现：未讨论参数的正负对不等号方向的影响。 示例：解 mx > 5 时未分 m > 0 和 m < 0 两种情况讨论，导致解集错误。 2.临界值处理不当 错误表现：参数取临界值时未验证等号是否成立。 示例：已知不等式组无解，求 m 范围时漏掉等号（如m≤−1/4）。 易错知识点05：不等式组解集判断错误 1.公共解集混淆 错误表现：未正确找到两个不等式解集的公共部分。 2.口诀误用 错误表现：错误使用“同大取大，同小取小”口诀。 示例：解集为 x > 3 和 x > 5 时，误取 x > 3（正确应为 x > 5）。 易错知识点06：实际应用题建模错误 1.隐含条件未挖掘 错误表现：忽略“至少”“不超过”等关键词对应的符号（如“至少”对应“≥”）。 示例：“至少买3支笔”误建为 x > 3（正确应为x≥3）。 2.整数解漏解 错误表现：求整数解时未列出所有可能值或忽略边界值。 例：解集 1.5 < x < 4 的整数解误写为2,3（正确应为2,3,4需验证是否包含4）。 易错知识点07：易混淆概念对比 概念 易错点 正确理解 不等式性质 乘负数时忘变号 乘负数必须变号 解集与解的个数 认为解集是有限个解 解集是无限个符合条件的数 含参不等式参数讨论 未分参数正负讨论解集 参数正负直接影响解集方向 期末考向一：不等式 重点考点讲练01：不等式的解集 【母题精讲】（23-24七年级下·江西赣州·期末）解不等式组，请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①得______． (2)解不等式②得______． (3)把不等式的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集，基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变 基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解不了”的原则是解答此题的关键． （1）根据不等式的性质求解即可，即可得到答案； （2）根据不等式的性质求解即可，即可得到答案； （3）在数轴上分别表示两个不等式的解集即可； （4）根据数轴确定不等式解集的公共部分即可． 【规范解答】（1） ， ， 解得：； 故答案为：； （2） ， ， 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如下 （4）解：原不等式组的解集为：， 故答案为：． 【训练1】（21-22七年级下·黑龙江七台河·期末）下面说法错误的个数有（　 　） ①若﹥，则﹥；②如果﹥，那么﹥；③﹥4是不等式+3≥6的解的一部分；④不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变；⑤不等式+3﹤3的整数解是0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】利用不等式的基本性质，解集与解的定义判断即可． 【规范解答】解：①若m>n且a 0，则，故错误，符合题意； ②如果﹥，那么a>b，故正确，不符合题意； ③∵不等式x+3≥6的解集为x≥3， ∴x>4是不等式x+3≥6的解的一部分，故正确，不合题意； ④不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，故错误，符合题意； ⑤∵不等式x+3<3的解集为x<0，故错误，符合题意． 故选：C． 【训练2】（20-21七年级下·浙江台州·期末）某校七年级有个班，共人，（1）班至（4）班的人数分别，，， ．已知（1）班的人数不少于人，且，则（4）班人数为 ． 【答案】47或48人 【思路点拨】根据题意令，满足，由于，得， 又根据，得，可得，当①时，，枚举出所有情况；同理当②时，，同理，，，，，，枚举出所有的情况，选出满足条件的情况即可． 【规范解答】解：， 令（）， 由于， 故有， 得， 又， 故， ， 而， ， 当①时，， 根据， 枚举一下，只有下列情况满足， 0 3 6 7 0 4 5 7 1 4 5 6 即此时存在三种情况满足： ， ， ， ②时，， 根据， 即使， 由于， 最大取5， 而此时， 有， 不符合要求， 故此时没有情况满足， 同理，， ， ， ， ， 均没有情况满足， 综上所述，（4）班的人数为47或48人， 故答案是：47或48人． 期末考向二：一元一次不等式 重点考点讲练02：求一元一次不等式的解集 【母题精讲】（23-24七年级下·全国·期末）已知关于，的方程组的解满足，，求实数的取值范围． 【答案】 【思路点拨】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解二元一次方程组和不等式组的方法，属于中考常考题型． 解方程组求出x，y，再结合，，得到关于m的不等式组，解不等式组可得结论． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：． ∴实数的取值范围为． 【训练1】（23-24七年级下·福建·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． (1)求k的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值． 【答案】(1)； (2) 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，根据数量关系列出一元一次不等式组是解决本题的关键． （1）根据题目中方程组的特点，将两个方程作差，即可用含k的代数式表示出，再根据，即可求得k的取值范围，本题得以解决． （2）不等式的解集为，根据不等式得性质得到，得到k的取值范围，再根据（1）中k的范围，求得k最终的取值范围，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：， ，得， ∵， ∴， 解得，； （2）解：不等式移项得：， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 又∵， ∴k的取值范围为， ∴整数k的值为． 【训练2】（23-24七年级下·山东德州·期末）（1）解不等式：，并把其解集在数轴上表示出来 （2）解不等式组 【答案】（1），图见解析；（2）； 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）利用不等式的性质进行化简计算即可，然后在数轴上表示解集，注意空心点和实心点所对应的含义即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，然后再求其解集公共部分即得到不等式组的解集； 【规范解答】解：（1） 解得． 不等式的解集为． 数轴表示为： （2）由不等式得， 解得， 由不等式得， 解得， 不等式组的解集为． 重点考点讲练03：求一元一次不等式的整数解 【母题精讲】（22-23七年级下·江苏·阶段练习）（1）观察发现： 材料：解方程组， 将①整体代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为　　 （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组 （3）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的m的所有正整数值　　 ． 【答案】（1）；（2）；（3），2，3 【思路点拨】（1）仿照题干中给出的解方程组的方法，解方程组即可； （2）用整体代入法解方程组即可； （3）根据方程组得出，根据，得出，解不等式组得出，即可得出答案． 【规范解答】解：（1）， 由①得：， 把代入②得， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴方程组的解为； 故答案为：； （2） 由①得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （3）， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， ∴满足条件的m的所有正整数值为，2，3． 故答案为：，2，3． 【训练1】（21-22七年级下·贵州黔西·期末）若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】先按解一元一次不等式的步骤进行计算，求出该不等式的最小整数解为12，然后把x＝12代入方程中进行计算即可解答． 【规范解答】解：， ， ， ， ， 该不等式的最小整数解为12， 把代入方程中， ， ， ， 故选：． 【训练2】（21-22七年级下·湖北襄阳·期末）求不等式的正整数解． 【答案】1，2 【思路点拨】根据解一元一次不等式的方法和步骤求出解集，再根据解集找到整数解即可． 【规范解答】去分母得，3（2+x）2(2x-4)+12， 6+3x4x-8+12， 解得，， ∴正整数解为1，2． 重点考点讲练04：在数轴上表示不等式的解集 【母题精讲】（22-23七年级下·宁夏吴忠·期末）解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【思路点拨】题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【规范解答】解：解不等式得，                    解不等式解得，                         所以，                          把这个不等式组的解集表示在数轴上： 【训练1】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【思路点拨】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可． 【规范解答】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：， 数轴表示如图： 【训练2】（2024·山东聊城·三模）如图数轴上表示了某个关于的不等式的解集，若是该不等式的一个解，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是利用数轴表示不等式的解集，一元一次不等式的解法，熟练的建立不等式解题是解本题的关键． 由数轴可得不等式的解集为，再结合是该不等式的一个解，可得， 再解不等式可得答案． 【规范解答】不等式的解集为，且是该不等式的一个解 解得： 故答案为： 重点考点讲练05：用一元一次不等式解决实际问题 【母题精讲】（23-24七年级下·全国·期末）为了积极防控新冠肺炎，团结中学进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶．乙种9元/瓶． (1)如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（请用二元一次方程组的知识来解答） (2)该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数比甲种瓶数的2倍多16瓶，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？ 【答案】(1)甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶 (2)甲种消毒液最多再购买44瓶 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设再次购买甲种消毒液a瓶，则购买乙种消毒液瓶，利用总价单价数量，结合总价不多于1200元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设甲种消毒液购买x瓶，乙种消毒液购买y瓶 由题意，得 解得：， 答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶 （2）设再次购买甲种消毒液a瓶，则购买乙种消毒液瓶 由题意，得 解得 答：甲种消毒液最多再购买44瓶． 【训练1】（22-23七年级下·吉林四平·期末）星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？ 【答案】小明的爸爸至少以的速度，才能在20分钟内追上小明． 【思路点拨】先设小明爸爸的速度为，由题意知小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程，由此不等关系列出不等式求解． 【规范解答】解：设小明爸爸的速度为，依题意有： ， 解得． 故小明的爸爸至少以的速度，才能在20分钟内追上小明． 【训练2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．例如，，，．因此，，，，所以有，其中． （1）若，则 ，a＝ ． （2）已知．则x= ． 【答案】 0.7 或 【思路点拨】本题主要考查了新定义下的不等式的应用： （1）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （2）由材料中的条件可得，由，可求得的范围，根据为整数，分情况讨论即可求得x的值． 【规范解答】解：（1）根据题意得：， ∵， ∴ ∴， ∴； 故答案为：；； （2）∵其中， ∴, ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴或0或． 当时，，； 当时，，； 当时，， ∴或． 故答案为：或 期末考向三：一元一次不等式组 重点考点讲练06：求不等式组的解集 【母题精讲】（23-24七年级下·河北张家口·期末）解不等式组：，并把解集表示在下面的数轴上．    【答案】，数轴见解析 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，关键是根据不等式的解集找出不等式组的解集． 根据不等式的性质分别求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，再用数轴表示出不等式解集即可． 【规范解答】解：由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：． 把解集表示在数轴上为：    【训练1】（23-24七年级下·河北沧州·期末）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解． 【答案】，数轴表示见解析，整数解为. 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组解集的求解，一元一次不等式组的整数解，在数轴上表示不等式解集，分别求出不等式①②的解集，得到不等式组的解集，在数轴上表示出来，再找出其非负整数解即可． 【规范解答】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 故原不等式组的解集为． 把解集在数轴上表示为： 则不等式组的整数解为． 【训练2】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“友好方程”． (1)下列方程是不等式组的“友好方程”的是___________；（填序号） ①；    ②；    ③． (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3) 【思路点拨】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【规范解答】（1）解：解不等式组，得， 解方程得：； 解方程得：； 解方程得：， ∴①是不等式组的“友好方程”， 故答案为：①； （2）解：解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“友好方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； （3）解：解方程得， 解方程得， ∵方程，都是关于x的不等式组的“友好方程”， ， 所以分为两种情况：①当时，不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以m的取值范围是． 重点考点讲练07：求一元一次不等式组的整数解 【母题精讲】（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）x取哪些整数值时，不等式与都成立？ 【答案】（1），见解析；（2）0或1 【思路点拨】本题主要考查了解不等式和不等式组，解题的关键是熟练掌握熟练掌握解不等式的一般步骤，准确计算． （1）先去分母，然后去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1，并把解集表示在数轴上； （2）先求出两个不等式的解集，然后得出不等式组的解集，再求出整数解即可． 【规范解答】解：（1）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 用数轴表示如下： （2）由题意可列出不等式组， 解这个不等式组，得， 为整数， 的植为0或1． 【训练1】（23-24七年级下·河南南阳·期末）若有理数满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．求出不等式组的解集，结合求出整数解，然后求和即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴不等式组的整数解有：，，，，或，，， ∴或． 故答案为：或． 【训练2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围 ． 【答案】/ 【思路点拨】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有4个整数解”是解本题的关键．表示出不等式组的解集，根据解集中有且只有4个整数解，确定出a的范围即可． 【规范解答】解：， 由①不等式得：， 由不等式②得： 不等式组的解集为：， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴分别为：0，1，2，3， ∴， 故答案为：． 重点考点讲练08：由一元一次不等式组的解集求参数 【母题精讲】（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组的解集是，则（　　） A．0 B． C．1 D．2023 【答案】B 【思路点拨】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再结合已知可得，，然后进行计算可求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答． 【规范解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组的解集是， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【训练1】（20-21七年级下·湖北武汉·期末）已知关于x、y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则z的取值范围是 【答案】−5≤z≤−2 【思路点拨】解方程组得出，由方程组的解都是非负数得，解之可得−1≤a≤1，据此得出3≤−2a＋5≤7，即3≤b≤7，结合2≤b≤5知3≤b≤5，继而得出−5≤−b≤−3，由b＝5−2a，结合b的取值范围再求出a的另一个范围，两者结合可最终确定a的范围，从而得出a−b的范围，即可得出答案． 【规范解答】解：解方程组，得， ∵方程组的解都是非负数， ∴，解得：−1≤a≤1， ∴−2≤−2a≤2， 则3≤−2a＋5≤7， ∵2a＋b＝5，即b＝5−2a， ∴3≤b≤7， ∵2≤b≤5， ∴3≤b≤5， 则−5≤−b≤−3， ∴3≤5−2a≤5， 解得0≤a≤1， ∴−5≤a−b≤−2，即−5≤z≤−2， 故答案为：−5≤z≤−2． 【训练2】（20-21七年级下·北京·期末）若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】分别求出各不等式的解集，再根据不等式的解集是x＞3求出a的取值范围即可． 【规范解答】 ∵解不等式①得：，解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 故选：D． 重点考点讲练09：一元一次不等式组的其他应用 【母题精讲】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）对于一个实数x，按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于89？”为一次操作，如果只进行一次就停止，则x的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元一次不等式的应用，根据题意得，，再解不等式即可． 【规范解答】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 【训练1】（22-23七年级下·广西南宁·期末）围棋是中国传统棋种，古代称为“弈”，距今已有四千多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为丰富学生课余生活，计划到甲超市购买一批象棋和围棋．已知购买2副象棋和3副围棋共需140元，购买4副象棋和1副围棋共需130元． (1)求每副象棋和围棋的单价． (2)若学校准备购买象棋和围棋共80副，总费用不超过2250元，那么最多能购买多少副围棋？ (3)若甲超市对围棋进行促销，方案一：围棋一律打九折；方案二：办理超市会员卡60元，围棋一律打七折．若学校购买10副象棋和若干副围棋，则学校选用哪种方案购买围棋花费少？ 【答案】(1)每副象棋的价格是25元，每副围棋的价格是30元 (2)最多能购买 50 副围棋 (3)当购买围棋少于10副时，选用方案一购买围棋花费少；当购买围棋等于10副时，选择两个方案购买围棋花费相同；当购买围棋多于10副时，选用方案二购买围棋花费少 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及数学常识，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）分，及三种情况，求出的取值范围或的值． （1）设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元，根据“购买2副象棋和3副围棋共需140元，购买4副象棋和1副围棋共需130元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买副围棋，则购买副象棋，利用总价单价数量，结合总价不超过2250元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）设学校购买副围棋，则选用方案一所需费用为元，选用方案二所需费用为元，分，及三种情况，求出的取值范围或的值，此问得解． 【规范解答】（1）解：设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元， 根据题意得，解得， 答：每副象棋的价格是25元，每副围棋的价格是30元； （2）解：设购买副围棋，则购买副象棋， 根据题意得，解得， 的最大值为50， 答：最多能购买50副围棋； （3）解：设学校购买副围棋，则若学校购买10副象棋和副围棋， 选用方案一所需费用为元； 选用方案二所需费用为元． 当时，， 当时，选用方案一购买围棋花费少； 当时，， 当时，选用两个方案购买围棋花费相同； 当时，， 当时，选用方案二购买围棋花费少； 答：当购买围棋少于10副时，选用方案一购买围棋花费少；当购买围棋等于10副时，选择两个方案购买围棋花费相同；当购买围棋多于10副时，选用方案二购买围棋花费少． 【训练2】（23-24七年级下·重庆·期末）为了支持一次大型活动，某物流公司需要运输一批展览材料．根据调查得知，辆重型卡车与辆轻型卡车可以一次共同运输箱：辆重型卡车与辆轻型卡车可以一次共同运输箱． (1)求辆重型卡车和辆轻型卡车分别能够单独运输多少箱展览材料？ (2)计划用两种类型的货车总共辆来完成这批物资的运输任务，每趟每辆重型货车的费用为元，每趟每辆轻型货车的费用为元．如果要求至少使用台重型货车，并且总费用不超过元，请列出所有可能的配送方案，并指出哪种方案最经济实惠以及所需最低费用是多少？ 【答案】(1)辆重型卡车能够单独运输箱展览材料，辆轻型卡车能够单独运输箱展览材料； (2)方案：使用辆重型货车，台轻型货车；方案：使用辆重型货车，台轻型货车；方案：使用辆重型货车，台轻型货车；使用辆重型货车，台轻型货车最经济实惠，所需最低费用是元． 【思路点拨】 （）设辆重型卡车能够单独运输箱展览材料，辆轻型卡车能够单独运输箱展览材料， 根据题意可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （）设使用台重型货车，则使用台轻型货车，根据题意列出不等式组即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组． 【规范解答】（1） 设辆重型卡车能够单独运输箱展览材料，辆轻型卡车能够单独运输箱展览材料， 根据题意得：， 解得： ， 答：辆重型卡车能够单独运输箱展览材料，辆轻型卡车能够单独运输箱展览材料； （2）设使用台重型货车，则使用台轻型货车， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴可以为，，， ∴共有种配送方案， 方案：使用辆重型货车，台轻型货车； 方案：使用辆重型货车，台轻型货车； 方案：使用辆重型货车，台轻型货车； 选择方案所需费用为（元）； 选择方案所需费用为（元）； 选择方案所需费用为（元）； ∵， ∴使用辆重型货车，台轻型货车最经济实惠，所需最低费用是元． 中档题—夯实基础能力 1．（24-25七年级下·全国·期末）某校开展了科技知识竞赛活动，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得5分，不选或错选倒扣2分，如果得分不低于80分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的应用；设至少答对x道题才能获奖，根据题意列出不等式，解不等式求得其最小整数解即可. 【规范解答】解：设答对x道题才能获奖，根据题意得： ， 解得：， ∵只能取整数， ∴的最小整数解为，即至少要选对道题才能获奖. 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组，得出，然后根据不等式组的解集为，求出m的取值范围即可． 【规范解答】解：解不等组式得：， ∵不等式组的解集为， ∴的范围为． 故选：D． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查解不等式，并在数轴上表示不等式的解集．先解不等式，再根据不等式在数轴上的表示方法求解即可． 【规范解答】解：， 解得，， 把不等式的解集在数轴上表示如下： 故选：A． 4．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）已知关于x，y的方程组以下结论： ①存在实数，使得； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③不论取什么实数，的值始终不变； ④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组在的应用，注意计算的准确性即可．，得：；则，即可判断①；当时，方程组为相加得，即可判断②；解方程组得，即可判断③；将方程组的每一组解都写成有序数对，则有序数对为，若这些点落在第三象限．则，即可判断④； 【规范解答】解：， 得：； 若，则； 解得：； ∴存在实数，使得；故①正确； 当时，方程组为 相加得，即方程组的解也是方程的解；故②错误； 解方程组得， ∴，即不论取什么实数，的值始终不变；故③正确； 由③得：若将方程组的每一组解都写成有序数对，则有序数对为； 若这些点落在第三象限．则， 该不等式组无解，即这些点不可能落在第三象限．故④正确； 故答案为：①③④ 5．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）若，则b的值可以为 ．（填一个合适的数即可） 【答案】（填一个负数即可） 【思路点拨】本题考查的是不等式的基本性质，由条件可得，再写一个符合条件的数即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一） 6．（20-21六年级下·上海松江·期末）已知，则 （填“”或“”）． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质．利用不等式的基本性质求解即可． 【规范解答】解： ， ， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）解不等式（组） (1)解不等式： (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1求解即可； （2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分． 【规范解答】（1）解：， 去分母：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为1：， 不等式的解集为； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为． 8．（23-24七年级下·河南信阳·期末）某大型企业为了保护环境，准备购A、B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万，一台B型设备的单价为10万元，经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，如果该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而且使这两种设备每月的污水处理量不低于2005吨，请通过计算说明这种方案是否可行． 【答案】该企业计划投入不超过106万购买这两种设备不可行． 【思路点拨】本题考查的是不等式组的实际应用．设购买型污水处理设备台，根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题． 【规范解答】解：该企业投入106万购买这两种设备不可行， 理由：设购买型污水处理设备台， ， 解得且， 该不等式组无解， ∴该企业计划投入不超过106万购买这两种设备不可行． 9．（21-22八年级上·河北保定·期中）暑假即将来临，某运动馆推出针对学生两种暑期优惠方案： 方案一：先办理VIP卡需100元，然后每次按全票价打五折； 方案二：学生每次按全票价打九折； 已知运动馆全票价为20元/次，回答下面问题： （1）设方案一、方案二的费用分别为y1、y2，直接写出y1、y2与去运动馆次数x的关系式； （2）某同学估计暑假要去运动馆大概10次，请你帮他分析办VIP卡划算吗？ （3）去俱乐部健身至少 　 　次办VIP卡才合算． 【答案】（1）y1＝100+10x，y2＝18x；（2）办VIP不划算，理由见解析；（3）13 【思路点拨】（1）先求出打折后单次的价格，再根据方案一、方案二，表示题中的数量关系，即可列出函数关系式； （2）将x＝10代入（1）中的函数关系式，即可求出方案一及方案二的费用，继而判断是否需要办VIP； （3）根据题意可得100+10x＜18x，进而解不等式即可求得答案． 【规范解答】解：（1）根据题意可得：20×50%＝10（元/次），20×90%＝18（元/次）， ∴y1＝100+10x，y2＝18x， （2）办VIP不划算，理由如下： 当x＝10时， 方案一的费用为y1＝100+10×10＝200， 方案二的费用为y2＝18×10＝180， ∵200＞180， ∴y1＞y2， ∴办VIP不划算； （3）由题意可得：y1＜y2， ∴100+10x＜18x， 解得：x＞12.5， ∴x的最小整数解为13， ∴去俱乐部健身至少13次办VIP卡才合算， 故答案为：13． 10．（20-21七年级下·宁夏吴忠·期末）小华和小丽两位班干部到学校旁边的文具店购买A、B两种水笔，已知A种水笔的单价是3元，B种水笔的单价是5元．若本次购进A种水笔的数量比B种水笔的数量的2倍还少10支，总金额不超过320元，请求出B种水笔最多购买多少支？ 【答案】B种水笔最多购买31支． 【思路点拨】根据购买总金额不超过320元列不等式求解即可． 【规范解答】设购进B种水笔x支，则购进A种水笔（2x﹣10）支， 依题意得：3(2x﹣10)+5x≤320， 解得：x≤． 又∵x为整数， ∴x可取的最大值为31． 答：B种水笔最多购买31支． 压轴题—强化解题技能 11．（22-23七年级下·河南新乡·期末）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【思路点拨】根据不等式的基本性质逐项排查即可解答． 【规范解答】解：A．，，A选项正确； B．，，，B选项正确； C．当时，由得到，C选项错误； D．，，，D选项正确． 故选C． 12．（22-23八年级下·贵州·期末）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列不等式中，错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】由数轴可知，，然后根据不等式的基本性质逐项分析即可． 【规范解答】解：由数轴可知，， 则：，故A选项错误，符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项正确，不符合题意； ，故D选项正确，不符合题意． 故选：A． 13．（22-23七年级下·江苏南通·期末）已知实数，b满足，若，则m的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D． 【答案】B 【思路点拨】先根据题意用a表示出b，再代入，由即可得出结论． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，m有最大值，最大值为7． 故选：B． 14．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】根据一元一次不等式定义，抓住一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数最高次数为1次列式求解即可得到答案． 【规范解答】解： 是关于的一元一次不等式， ，解得， 故答案为：． 15．（22-23七年级下·重庆彭水·期末）已知是各位数字都不为零的三位自然数，从的各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，我们把这六个两位数叫做数的“关联数”．数的所有“关联数”之和与22的商记为，例如，． （1）若，则 ． （2）数x，y分别是两个各位数字都不为零的三位自然数，它们都有“关联数”，已知（，），（），若，则在所有满足条件的对应x，y的值中，的最大值是 ． 【答案】 【思路点拨】（1）根据新定义运算法则即可； （2）先根据，百位，十位，个位数字依次是，百位，十位，个位数字依次是，再求出，得再求出的取值范围，代入消元即可． 【规范解答】解：（1）． 故答案为：； （2），百位，十位，个位数字依次是， 百位，十位，个位数字依次是， ， ， ， ， ， ， ， ，且为整数， 故，即或2或3， ， 把代入，得， ， 当时，有最大值． 故答案为：． 16．（22-23七年级下·广东广州·期末）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为，若规定实数m的整数部分记为，小数部分记为，可得：，．按照此规定计算的值 ． 【答案】/ 【思路点拨】根据材料，理解题意，按要求计算即可得到答案． 【规范解答】解： ，即， ，即， ， 规定实数m的整数部分记为，小数部分记为， ， 故答案为：． 17．（23-24七年级下·广西河池·期末）解不等式并在数轴上表示解集． 【答案】，见解析 【思路点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【规范解答】解： 解不等式①： ， ， ， ， ， 解不等式②： ， ， ， ， 在数轴上表示如下： 不等式组的解集为． 18．（22-23八年级下·山东烟台·期末）（1）解不等式：，并在数轴上表示其解集； （2）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 【答案】（1），数轴见解析；（2），它的所有非负整数解为：，， 【思路点拨】本题考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组，熟练掌握运算方法是解此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得出不等式的解集，再表示在数轴上即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再写出非负整数解即可． 【规范解答】解：（1）去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴原不等式的解集为：， 表示在数轴上如图所示： （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴它的所有非负整数解为：，，． 19．（23-24七年级下·山东烟台·期末）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查解一元一次不等式的整数解、解一元一次方程、代数式求值，先解一元一次不等式求得不等式的最小整数解是，再代入方程求得，最后代入代数式求值即可． 【规范解答】解：， 解得， ∴不等式的最小整数解是， ∵不等式的最小整数解是关于x的方程的解， ∴把代入得，， 解得， 把代入得，． 20．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）黔南州某市通过网络直播带货助力乡村振兴，在直播间销售黔南州特色农产品．两名顾客在该直播间购买了一些独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡，下面是他们的一段对话． (1)请你运用所学知识求出独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡的单价； (2)小明爸爸准备去该直播间购买独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡两种特色农产品共13盒，其中购买独山盐酸菜扣肉至少4盒，并且总费用不低于1440元，请帮小明爸爸计算并写出所有符合条件的购买方案． 【答案】(1)独山盐酸菜扣肉，龙里辣子鸡的单价分别为元，元； (2)共有3种购买方案：方案一，购买独山盐酸菜扣肉4盒，则购买龙里辣子鸡的数量9盒；方案二，购买独山盐酸菜扣肉5盒，则购买龙里辣子鸡的数量8盒；方案一，购买独山盐酸菜扣肉6盒，则购买龙里辣子鸡的数量7盒． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系和不等关系． （1）设独山盐酸菜扣肉，龙里辣子鸡的单价分别为元，元，然后根据题意列出方程组即可求解； （2）设购买独山盐酸菜扣肉盒，则购买龙里辣子鸡的数量盒，然后根据题意列出不等式组即可求解． 【规范解答】（1）解：设出独山盐酸菜扣肉，龙里辣子鸡的单价分别为元，元， 依题意得， 解得， ∴独山盐酸菜扣肉，龙里辣子鸡的单价分别为元，元； （2）解：设购买独山盐酸菜扣肉盒，则购买龙里辣子鸡的数量盒， 依题意得， 解得， ∵取正整数， ∴可取，5，6， ∴共有3种购买方案：方案一，购买独山盐酸菜扣肉4盒，则购买龙里辣子鸡的数量9盒；方案二，购买独山盐酸菜扣肉5盒，则购买龙里辣子鸡的数量8盒；方案一，购买独山盐酸菜扣肉6盒，则购买龙里辣子鸡的数量7盒． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第11章 不等式与不等式组 （思维导图+知识梳理+易错点拨+9大考点讲练+优选真题难度分层练 共47题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 2 知识点梳理01:不等式 2 知识点梳理02:一元一次不等式 3 知识点梳理03:一元一次不等式组 4 易错考点点拨汇总 4 易错知识点01：不等式基本性质应用错 4 易错知识点02：解集表示与数轴标注错误 4 易错知识点03：解一元一次不等式的步骤错误 5 易错知识点04：含参数不等式的分类讨论错误 5 易错知识点05：不等式组解集判断错误 5 易错知识点06：实际应用题建模错误 5 易错知识点07：易混淆概念对比 6 期末真题考点汇编讲练 6 期末考向一：不等式 6 重点考点讲练01：不等式的解集 6 期末考向二：一元一次不等式 6 重点考点讲练02：求一元一次不等式的解集 6 重点考点讲练03：求一元一次不等式的整数解 7 重点考点讲练04：在数轴上表示不等式的解集 8 重点考点讲练05：用一元一次不等式解决实际问题 8 期末考向三：一元一次不等式组 9 重点考点讲练06：求不等式组的解集 9 重点考点讲练07：求一元一次不等式组的整数解 10 重点考点讲练08：由一元一次不等式组的解集求参数 11 重点考点讲练09：一元一次不等式组的其他应用 11 优选真题难度分层练 12 中档题—夯实基础能力 12 压轴题—强化解题技能 14 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01:不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 【易错点剖析】 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点梳理02:一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点梳理03:一元一次不等式组 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【易错点剖析】 （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 易错知识点01：不等式基本性质应用错 1.忽略变号条件 错误表现：不等式两边乘（或除以）负数时未改变不等号方向。 示例：解不等式 -3x > 6，误解得 x > -2（正确应为 x < -2）。 避错策略：操作前先判断系数符号，负数运算后立即翻转不等号。 2.混淆等式与不等式性质 错误表现：将等式移项规则直接用于不等式，未注意变号限制。 示例：由 5x - 3 < 2x + 6 移项得 3x < 9（正确，但若两边乘负系数需变号）。 易错知识点02：解集表示与数轴标注错误 1.解集边界点标注混淆 错误表现： 含“≤”或“≥”时未用实心点，含“<”或“>”时误用实心点。 示例：解集x≤3在数轴上误标为空心点。 避错策略：口诀“实心包含，空心不包”，结合符号判断。 2.方向标注错误 错误表现：数轴上解集方向画反（如 x > 2 向右却标向左）。 避错策略：遵循“同大向右，同小向左”规则。 易错知识点03：解一元一次不等式的步骤错误 1.去分母漏乘项 错误表现：去分母时漏乘不含分母的项。 示例：解3时，误写为 x-1 > 3（正确应为 x-1 > 6）。 2.去括号符号错误 错误表现：括号前为负号时，去括号未改变内部符号。 示例：解2−(3x−4)<5时，误去括号为 2 - 3x - 4 < 5（正确应为 2 - 3x + 4 < 5）。 易错知识点04：含参数不等式的分类讨论错误 1.忽略参数正负性 错误表现：未讨论参数的正负对不等号方向的影响。 示例：解 mx > 5 时未分 m > 0 和 m < 0 两种情况讨论，导致解集错误。 2.临界值处理不当 错误表现：参数取临界值时未验证等号是否成立。 示例：已知不等式组无解，求 m 范围时漏掉等号（如m≤−1/4）。 易错知识点05：不等式组解集判断错误 1.公共解集混淆 错误表现：未正确找到两个不等式解集的公共部分。 2.口诀误用 错误表现：错误使用“同大取大，同小取小”口诀。 示例：解集为 x > 3 和 x > 5 时，误取 x > 3（正确应为 x > 5）。 易错知识点06：实际应用题建模错误 1.隐含条件未挖掘 错误表现：忽略“至少”“不超过”等关键词对应的符号（如“至少”对应“≥”）。 示例：“至少买3支笔”误建为 x > 3（正确应为x≥3）。 2.整数解漏解 错误表现：求整数解时未列出所有可能值或忽略边界值。 例：解集 1.5 < x < 4 的整数解误写为2,3（正确应为2,3,4需验证是否包含4）。 易错知识点07：易混淆概念对比 概念 易错点 正确理解 不等式性质 乘负数时忘变号 乘负数必须变号 解集与解的个数 认为解集是有限个解 解集是无限个符合条件的数 含参不等式参数讨论 未分参数正负讨论解集 参数正负直接影响解集方向 期末考向一：不等式 重点考点讲练01：不等式的解集 【母题精讲】（23-24七年级下·江西赣州·期末）解不等式组，请按下列步骤完成解答． (1)解不等式①得______． (2)解不等式②得______． (3)把不等式的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是______． 【训练1】（21-22七年级下·黑龙江七台河·期末）下面说法错误的个数有（　 　） ①若﹥，则﹥；②如果﹥，那么﹥；③﹥4是不等式+3≥6的解的一部分；④不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不变；⑤不等式+3﹤3的整数解是0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练2】（20-21七年级下·浙江台州·期末）某校七年级有个班，共人，（1）班至（4）班的人数分别，，， ．已知（1）班的人数不少于人，且，则（4）班人数为 ． 期末考向二：一元一次不等式 重点考点讲练02：求一元一次不等式的解集 【母题精讲】（23-24七年级下·全国·期末）已知关于，的方程组的解满足，，求实数的取值范围． 【训练1】（23-24七年级下·福建·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． (1)求k的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值． 【训练2】（23-24七年级下·山东德州·期末）（1）解不等式：，并把其解集在数轴上表示出来 （2）解不等式组 重点考点讲练03：求一元一次不等式的整数解 【母题精讲】（22-23七年级下·江苏·阶段练习）（1）观察发现： 材料：解方程组， 将①整体代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为　　 （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组 （3）拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的m的所有正整数值　　 ． 【训练1】（21-22七年级下·贵州黔西·期末）若不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【训练2】（21-22七年级下·湖北襄阳·期末）求不等式的正整数解． 重点考点讲练04：在数轴上表示不等式的解集 【母题精讲】（22-23七年级下·宁夏吴忠·期末）解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 【训练1】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来． 【训练2】（2024·山东聊城·三模）如图数轴上表示了某个关于的不等式的解集，若是该不等式的一个解，则的取值范围是 ． 重点考点讲练05：用一元一次不等式解决实际问题 【母题精讲】（23-24七年级下·全国·期末）为了积极防控新冠肺炎，团结中学进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶．乙种9元/瓶． (1)如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（请用二元一次方程组的知识来解答） (2)该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数比甲种瓶数的2倍多16瓶，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？ 【训练1】（22-23七年级下·吉林四平·期末）星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？ 【训练2】（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作．例如，，，．因此，，，，所以有，其中． （1）若，则 ，a＝ ． （2）已知．则x= ． 期末考向三：一元一次不等式组 重点考点讲练06：求不等式组的解集 【母题精讲】（23-24七年级下·河北张家口·期末）解不等式组：，并把解集表示在下面的数轴上．    【训练1】（23-24七年级下·河北沧州·期末）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解． 【训练2】（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“友好方程”． (1)下列方程是不等式组的“友好方程”的是___________；（填序号） ①；    ②；    ③． (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 重点考点讲练07：求一元一次不等式组的整数解 【母题精讲】（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来； （2）x取哪些整数值时，不等式与都成立？ 【训练1】（23-24七年级下·河南南阳·期末）若有理数满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和为 ． 【训练2】（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围 ． 重点考点讲练08：由一元一次不等式组的解集求参数 【母题精讲】（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组的解集是，则（　　） A．0 B． C．1 D．2023 【训练1】（20-21七年级下·湖北武汉·期末）已知关于x、y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则z的取值范围是 【训练2】（20-21七年级下·北京·期末）若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重点考点讲练09：一元一次不等式组的其他应用 【母题精讲】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）对于一个实数x，按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于89？”为一次操作，如果只进行一次就停止，则x的取值范围是 ． 【训练1】（22-23七年级下·广西南宁·期末）围棋是中国传统棋种，古代称为“弈”，距今已有四千多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为丰富学生课余生活，计划到甲超市购买一批象棋和围棋．已知购买2副象棋和3副围棋共需140元，购买4副象棋和1副围棋共需130元． (1)求每副象棋和围棋的单价． (2)若学校准备购买象棋和围棋共80副，总费用不超过2250元，那么最多能购买多少副围棋？ (3)若甲超市对围棋进行促销，方案一：围棋一律打九折；方案二：办理超市会员卡60元，围棋一律打七折．若学校购买10副象棋和若干副围棋，则学校选用哪种方案购买围棋花费少？ 【训练2】（23-24七年级下·重庆·期末）为了支持一次大型活动，某物流公司需要运输一批展览材料．根据调查得知，辆重型卡车与辆轻型卡车可以一次共同运输箱：辆重型卡车与辆轻型卡车可以一次共同运输箱． (1)求辆重型卡车和辆轻型卡车分别能够单独运输多少箱展览材料？ (2)计划用两种类型的货车总共辆来完成这批物资的运输任务，每趟每辆重型货车的费用为元，每趟每辆轻型货车的费用为元．如果要求至少使用台重型货车，并且总费用不超过元，请列出所有可能的配送方案，并指出哪种方案最经济实惠以及所需最低费用是多少？ 中档题—夯实基础能力 1．（24-25七年级下·全国·期末）某校开展了科技知识竞赛活动，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得5分，不选或错选倒扣2分，如果得分不低于80分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 2．（24-25七年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）已知关于x，y的方程组以下结论： ①存在实数，使得； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③不论取什么实数，的值始终不变； ④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限． 其中正确结论的序号是 ． 5．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）若，则b的值可以为 ．（填一个合适的数即可） 6．（20-21六年级下·上海松江·期末）已知，则 （填“”或“”）． 7．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）解不等式（组） (1)解不等式： (2)解不等式组： 8．（23-24七年级下·河南信阳·期末）某大型企业为了保护环境，准备购A、B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万，一台B型设备的单价为10万元，经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，如果该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而且使这两种设备每月的污水处理量不低于2005吨，请通过计算说明这种方案是否可行． 9．（21-22八年级上·河北保定·期中）暑假即将来临，某运动馆推出针对学生两种暑期优惠方案： 方案一：先办理VIP卡需100元，然后每次按全票价打五折； 方案二：学生每次按全票价打九折； 已知运动馆全票价为20元/次，回答下面问题： （1）设方案一、方案二的费用分别为y1、y2，直接写出y1、y2与去运动馆次数x的关系式； （2）某同学估计暑假要去运动馆大概10次，请你帮他分析办VIP卡划算吗？ （3）去俱乐部健身至少 　 　次办VIP卡才合算． 10． （20-21七年级下·宁夏吴忠·期末）小华和小丽两位班干部到学校旁边的文具店购买A、B两种水笔，已知A种水笔的单价是3元，B种水笔的单价是5元．若本次购进A种水笔的数量比B种水笔的数量的2倍还少10支，总金额不超过320元，请求出B种水笔最多购买多少支？ 压轴题—强化解题技能 11．（22-23七年级下·河南新乡·期末）下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（22-23八年级下·贵州·期末）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列不等式中，错误的是（    ）    A． B． C． D． 13．（22-23七年级下·江苏南通·期末）已知实数，b满足，若，则m的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D． 14．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 15．（22-23七年级下·重庆彭水·期末）已知是各位数字都不为零的三位自然数，从的各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，我们把这六个两位数叫做数的“关联数”．数的所有“关联数”之和与22的商记为，例如，． （1）若，则 ． （2）数x，y分别是两个各位数字都不为零的三位自然数，它们都有“关联数”，已知（，），（），若，则在所有满足条件的对应x，y的值中，的最大值是 ． 16．（22-23七年级下·广东广州·期末）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为，若规定实数m的整数部分记为，小数部分记为，可得：，．按照此规定计算的值 ． 17．（23-24七年级下·广西河池·期末）解不等式并在数轴上表示解集． 18．（22-23八年级下·山东烟台·期末）（1）解不等式：，并在数轴上表示其解集； （2）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 19．（23-24七年级下·山东烟台·期末）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，请求出代数式的值． 20．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）黔南州某市通过网络直播带货助力乡村振兴，在直播间销售黔南州特色农产品．两名顾客在该直播间购买了一些独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡，下面是他们的一段对话． (1)请你运用所学知识求出独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡的单价； (2)小明爸爸准备去该直播间购买独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡两种特色农产品共13盒，其中购买独山盐酸菜扣肉至少4盒，并且总费用不低于1440元，请帮小明爸爸计算并写出所有符合条件的购买方案． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$