黄金卷08（内蒙古专用）（新中考题型）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题：（每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D A C A D C 二、填空题：（每小题3分，共15分.） 9．4 10．4． 11．20π． 12．． 三．解答题（共6小题，共64分） 13．解方程和不等式组：（本小题满分10分） 解：【解答】解：（1）， ①×2﹣②×3，得﹣11x＝﹣44， 解得x＝4， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 将x＝4代入①，得8﹣3y＝17， ∴y＝﹣3， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 则； ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 （2）， 解不等式①得x＞﹣2， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 解不等式②得x＜5，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2分 ∴不等式组的解集为﹣2＜x＜5 ．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 14．（本小题满分10分） （1）a＝　86.5　 ， b＝　85　 ，m＝　20　 ． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 （2）280×+300×20%＝144（名）， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 （3）画树状图为： ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，┅┅┅┅┅┅┅1分 所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 15．（本小题满分8分） 解：（1）设每张成人票的单价是x元，每张儿童票的单价是y元， 根据题意得：， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 解得：， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 答：每张成人票的单价是50元，每张儿童票的单价是40元； ┅┅┅┅┅┅┅1分 （2）设正月初一该影院的电影票的单价是m元，则正月初二该影院的电影票的单价是（1+20%）x元， 由题意得：﹣＝100， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 解得：x＝40， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 答：正月初一该影院的电影票的单价是40元．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 16．（本小题满分11分） （1）证明：连接OD交BC与点H， ∵点D为的中点， ∴OD⊥BC， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 ∵DF∥BC， ∴∠ODF＝∠OHC＝90°， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 ∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD， ∴DF是⊙O的切线．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 （2）证明：∵＝， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠CBD＝∠CAD＝∠BAD， ∵BE平分∠ABC交AD于点E， ∴∠CBE＝∠ABE， ∴∠CBE+∠CBD＝∠ABE+∠BAD，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 ∵∠DBE＝∠CBE+∠CBD，∠DEB＝∠ABE+∠BAD， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴BD＝ED． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 （3）解：连接CD，则∠FDC＝∠BCD， ∵∠FAD＝∠CBD，且∠BCD＝∠CBD， ∴∠FDC＝∠FAD， ∵∠F＝∠F， ∴△FDC∽△FAD， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 ∴＝， ∵DF＝6，CF＝4， ∴AF＝＝＝9， ∴AC＝AF﹣CF＝9﹣4＝5， ∴AC的长是5．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 17．（本小题满分12分） （1）①证明：根据题意可得AE＝AB， ∴∠AEB＝∠ABE， ∵CD∥AB， ∴∠CEB＝∠ABE， ∴∠AEB＝∠CEB，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 ∴EB平分∠AEC；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 ②解：如图，过点B作BH⊥AE于点H，连接GH． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，AD＝BC，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 由①得EB平分∠AEC， ∴BH＝BC， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 ∴由旋转的性质可得AG⊥AE且AG＝AD＝BC， ∴AG∥BH，AG＝BH， ∴四边形ABHG是平行四边形， ∴GB＝2OB，AH＝2OH， 在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，AB＝10，BH＝6， ∴AH＝8，OH＝4，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 在Rt△OBH中，∠OHB＝90°，OH＝4，BH＝6， ∴，；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 （2）根据旋转的性质可得AE＝AB＝8， ∵AB＝8，AD＝6，四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝6， 在Rt△ABC中，， ∴CE＝AC﹣AE＝10﹣8＝2，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 ∵∠CEM＝∠D＝90°， ∴△CEM∽△CDA，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 ∴， ∴， ∴． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 18．（本小题满分13分） 解：（1）把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得，┅┅┅┅1分 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3； ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4； ∴D（﹣1，﹣4）； ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 （2）设直线AC的解析式为 y＝kx+m（k≠0），把 A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得， 解得， ∴直线AC的解析式为 y＝﹣x﹣3， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 ∴当 x＝﹣1 时y＝﹣2， ∴AC与直线l的交点E（﹣1，﹣2）， ∵D（﹣1，﹣4），E（﹣1，﹣2）， ∴DE＝2， ， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 y＝x2+2x﹣3，当y＝0时，x2+2x﹣3＝0解得x1＝﹣3，x2＝1， ┅┅┅┅┅┅┅1分 ∴B（﹣1，0）， 又∵A（﹣3，0）， ∴AB＝4， ∵C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∴， ∴S四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝3+6＝9； ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 （3）存在，理由： 由点A、C的坐标得，AC＝3， 当△AOM与△ABC相似时，存在△ABC∽△AOM或△ABC∽△AMO， 则AM：AC＝AO：AB或AM：AB＝AO：AC，即AM：3＝3：4或AM：4＝3：3， 解得：AM＝2或， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，设点M（m，﹣m﹣3）， 当AM＝2时，则（m+3）2+（﹣m﹣3）2＝（2）2， 解得：m＝﹣1（不合题意的值已舍去）， 当AM＝时，同理可得，m＝﹣， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 即M的坐标为或（﹣1，﹣2）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个题目符合选项要求） 1．由7个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，下列给出的四个平面图形中不属于该几何体三视图的是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A．a+2a2＝3a2 B．a10÷a2＝a5 C．a4•a2＝a8 D．（a3）2＝a6 3．如图，直线a∥b，一块含30°角的直角三角板的顶点A在直线a上，B，C两点在平面上移动，使直角边BC与直线b相交．其中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，则∠α与∠β的数量关系为（　　） A．∠a＝2∠β B．∠a+∠β＝180° C． D．∠a﹣∠β＝60° 4．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 2 3 2 3 4 1 某同学分析上表后得出如下结论：①这些运动员成绩的平均数是1.65； ②这些运动员成绩的中位数是1.70；③这些运动员成绩的众数是1.75． 上述结论中正确的是（　　） A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 5．如图，一次函数y＝﹣x+3与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象相交于点（1，2），则关于x的不等式 ﹣x+3＞mx+n的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． B． C． D． 6．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB，垂足为E．若AB＝10，BD＝12，则cos∠EDB为（　　） A． B． B． C． D． 7．若关于x的方程（a﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a≤5且a≠2 C．a≤6且a≠2 D．a≤6 8．“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数y＝x2+2x+3m﹣8的图象只经过三个象限，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9．若单项式2xm﹣1y2与单项式是同类项，则m+n＝　 　 ． 10．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝　 　 m/s． 10题 11题 12题 11．如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 　 　 cm． 12．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 　 　 海里（结果保留根号）． 三．解答题（共6小题，共64分） 13．解方程和不等式组： （1）； （2）． 14．百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级： A：60＜x≤70，B：70＜x≤80，C：80＜x≤90，D：90＜x≤100）， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 b 乙 86 a 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　 　 ，b＝　 　 ，m＝　 　 ． （2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（90＜x≤100）的用户总人数． （3）DeepSeek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 15．今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，成为全民话题，片中各角色的经历和所做所为共同构成了一部生动的教育启示录，“哪吒2”的成功上映，不仅意味着国漫崛起，也是一场教育哲学的胜利，它告诉我们：真正的教育不是矫正与规训，而是唤醒与赋能．“哪吒2”的教育意义深远，吸引了大量市民踊跃观影，各大影院积极推送．金字塔电影院最初上映时准备了成人票和儿童票，发现购买3张成人票和5张儿童票共需350元；若购买6张成人票和3张儿童票共需420元． （1）求每张成人票和每张儿童票分别需要多少元？ （2）金字塔电影院预估正月初一到正月初六处于观看高峰阶段，不再分类购票，实行票价统一．据统计正月初一该影院票房收入费用为40000元，正月初二该影院票房收入费用为43200元，但正月初二的电影票单价在正月初一的票价上涨了20%，且正月初二售出的电影票张数比正月初一售出的张数少了100张，那么正月初一该影院的电影票的单价是多少元？ 16．如图，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线． （2）求证：BD＝ED． （3）若DF＝6，CF＝4，求AC的长． 17．已知矩形ABCD，将其绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG． （1）如图1，若点E在CD上，连接BE． ①求证：EB平分∠AEC； ②连接BG交AE于点O，若AD＝6，AB＝10，求BG的长． （2）如图2，若点A，E，C在同一条直线上，EF与CD交于点M，AD＝6，AB＝8，求EM的长． 18．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为点D，对称轴是直线l． （1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； （2）求四边形ADCB的面积； （3）在线段AC上是否存在一点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．由7个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，下列给出的四个平面图形中不属于该几何体三视图的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图，再进行判断即可． 【解答】解：这个组合体的三视图如下： 故选：C． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键． 2．下列计算正确的是（　　） A．a+2a2＝3a2 B．a10÷a2＝a5 C．a4•a2＝a8 D．（a3）2＝a6 【答案】D 【分析】A、不能合并同类项； B、用同底数幂的除法法则计算； C、用同底数幂的乘法法则计算； D、用幂的乘方法则计算． 【解答】解：A、原式＝a+3a2，不符合题意； B、原式＝a8，不符合题意； C、原式＝a6，不符合题意； D、原式＝a6，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方，掌握这几个知识点的综合应用是解题关键． 3．如图，直线a∥b，一块含30°角的直角三角板的顶点A在直线a上，B，C两点在平面上移动，使直角边BC与直线b相交．其中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，则∠α与∠β的数量关系为（　　） A．∠a＝2∠β B．∠a+∠β＝180° C． D．∠a﹣∠β＝60° 【答案】D 【分析】由直角三角形的性质求出∠B＝60°，由平行线的性质推出∠1＝∠α，由三角形的外角性质得到∠1＝∠B+∠β，即可得到∠α与∠β的数量关系． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ∴∠B＝90°﹣30°＝60°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠α， ∵∠1＝∠B+∠β， ∴∠α﹣∠β＝60°． 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠1＝∠α，由三角形的外角性质得到∠1＝∠B+∠β． 4．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 2 3 2 3 4 1 某同学分析上表后得出如下结论： ①这些运动员成绩的平均数是1.65； ②这些运动员成绩的中位数是1.70； ③这些运动员成绩的众数是1.75． 上述结论中正确的是（　　） A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】根据众数、平均数及中位数的定义，结合表格数据进行判断即可． 【解答】解：这些运动员成绩的平均数是×（1.50×2+1.60×3+1.65×2+1.70×3+1.75×4+1.80×1）≈1.67， 第8位同学的成绩是1.70，故中位数是1.70； 数据1.75出现的次数最多，故众数是1.75． ∴上述结论中正确的是②③， 故选：A． 【点评】本题考查了众数、平均数及中位数的知识，属于基础题，关键是理解众数、平均数及中位数的定义． 5．如图，一次函数y＝﹣x+3与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象相交于点（1，2），则关于x的不等式﹣x+3＞mx+n的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象可得，关于x的不等式﹣x+3＞mx+n的解集为x＜1，进而可得答案． 【解答】解：由图象可得，关于x的不等式﹣x+3＞mx+n的解集为x＜1， ∴关于x的不等式﹣x+3＞mx+n的解集在数轴上表示正确的是C选项． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB，垂足为E．若AB＝10，BD＝12，则cos∠EDB为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由菱形的性质得OB＝OD＝6，OA＝OC，AC⊥BD，再由勾股定理得OA＝8，则AC＝2OA＝16，然后由菱形面积公式求出DE的长，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，BD＝12， ∴OB＝OD＝6，OA＝OC，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴OA＝＝＝8， ∴AC＝2OA＝16， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°，S菱形ABCD＝AB•DE＝AC•BD＝×16×12＝96， 即10DE＝96， ∴DE＝， ∴cos∠EDB＝＝＝， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 7．若关于x的方程（a﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a≤5且a≠2 C．a≤6且a≠2 D．a≤6 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式结合一元二次方程的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为关于x的方程（a﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根， 当a﹣2≠0，即a≠2时， Δ＝（﹣4）2﹣4×（a﹣2）×1≥0， 解得a≤6且a≠2． 当a﹣2＝0，即a＝2时， 原方程为﹣4x+1＝0， 此方程有实数根， 综上所述，a的取值范围是a≤6． 故选：D． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 8．“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数y＝x2+2x+3m﹣8的图象只经过三个象限，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先配方得到y＝x2+2x+3m﹣8＝（x+1）2+3m﹣9，然后得出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，3m﹣9），然后根据二次函数y＝x2+2x+3m﹣8的图象只经过三个象限，得到3m﹣8＞0，3m﹣9＜0求解即可． 【解答】解：将抛物线解析式配方得y＝x2+2x+3m﹣8＝（x+1）2+3m﹣9， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，3m﹣9）， ∵二次函数的图象只经过三个象限， ∴二次函数y＝x2+2x+3m﹣8的图象经过第一，二，三象限 ∴3m﹣8≥0，3m﹣9＜0 ∴． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 二、填空题：（每小题3分，共15分.） 9．若单项式2xm﹣1y2与单项式是同类项，则m+n＝　4　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项；可列等式分别求出m，n的值，再代入求解即可． 【解答】解：∵单项式2xm﹣1y2与单项式是同类项， ∴m﹣1＝2，n+1＝2， 解得：m＝3，n＝1， ∴m+n＝3+1＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了同类项的概念，正确理解同类项的定义是解题的关键． 10．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝　4　 m/s． 【答案】4． 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将m＝90代入计算即可． 【解答】解：设反比例函数解析式为v＝， ∵机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s； ∴k＝60×6＝360， ∴反比例函数解析式为v＝， 当m＝90kg时，v＝＝4（m/s）， 答：当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝4m/s． 故答案为：4． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式是关键． 11．如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 　20π　 cm． 【答案】20π． 【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长． 【解答】解：过O作OE⊥AB于E，当扇形的半径为OE时扇形OCD最大， ∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°， ∴∠A＝∠B＝30°， ∴OE＝OA＝30cm， ∴弧CD的长＝＝20π（cm）． 故答案为：20π． 【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 12．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 　　 海里（结果保留根号）． 【答案】见试题解答内容 【分析】解Rt△APC求出AC、PC，再解Rt△PCB求出PB即可． 【解答】解：由题意得：PC⊥AB，∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝30海里， 在Rt△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝30°， ∴AC＝PA＝×30＝15（海里）， ∴PC＝AC＝×15＝15（海里）， 在Rt△PCB中，∠BCP＝90°，∠BPC＝45°， ∴BC＝PC＝15海里， ∴BP＝PC＝×15＝15（海里）， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题． 三．解答题（共6小题，共64分） 13．解方程和不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）﹣2＜x＜5． 【分析】（1）利用加减消元法求解即可得到答案； （2）分别解两个不等式，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”即可得到答案． 【解答】解：（1）， ①×2﹣②×3，得﹣11x＝﹣44， 解得x＝4， 将x＝4代入①，得8﹣3y＝17， ∴y＝﹣3， 则； （2）， 解不等式①得x＞﹣2， 解不等式②得x＜5， ∴不等式组的解集为﹣2＜x＜5． 【点评】本题考查解二元一次方程组及解不等式组，解题的关键是熟练掌握等式性质、不等式的性质及不等式组求解规则． 14．百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级： A：60＜x≤70，B：70＜x≤80，C：80＜x≤90，D：90＜x≤100）， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 86 85.5 b 乙 86 a 87 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　86.5　 ，b＝　85　 ，m＝　20　 ． （2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（90＜x≤100）的用户总人数． （3）DeepSeek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】（1）86.5、85、20； （2）144名； （3）． 【分析】（1）根据众数、中位数及百分比的概念逐一求解即可； （2）总人数分别乘以D组人数所占比例，再相加即可得出答案； （3）画树状图展示所有等可能的结果数，再找出两人都选择同款聊天机器人的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）∵甲款评分数据中“满意”的数据中85出现的次数最多， ∴众数b＝85， 乙款软件A、B组人数和为20×（10%+30%）＝8（人）， 乙款软件的中位数为第10、11个数据的平均数，而这2个数据分别为86、87， ∴中位数a＝＝86.5， 乙款软件评分在D组人数所占百分比为×100%＝20%，即m＝20， 故答案为：86.5、85、20； （2）280×+300×20%＝144（名）， 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（90＜x≤100）的用户总人数为144名； （3）画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种， 所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法，扇形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的前提． 15．今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，成为全民话题，片中各角色的经历和所做所为共同构成了一部生动的教育启示录，“哪吒2”的成功上映，不仅意味着国漫崛起，也是一场教育哲学的胜利，它告诉我们：真正的教育不是矫正与规训，而是唤醒与赋能．“哪吒2”的教育意义深远，吸引了大量市民踊跃观影，各大影院积极推送．金字塔电影院最初上映时准备了成人票和儿童票，发现购买3张成人票和5张儿童票共需350元；若购买6张成人票和3张儿童票共需420元． （1）求每张成人票和每张儿童票分别需要多少元？ （2）金字塔电影院预估正月初一到正月初六处于观看高峰阶段，不再分类购票，实行票价统一．据统计正月初一该影院票房收入费用为40000元，正月初二该影院票房收入费用为43200元，但正月初二的电影票单价在正月初一的票价上涨了20%，且正月初二售出的电影票张数比正月初一售出的张数少了100张，那么正月初一该影院的电影票的单价是多少元？ 【答案】（1）每张成人票的单价是50元，每张儿童票的单价是40元； （2）正月初一该影院的电影票的单价是40元． 【分析】（1）设每张成人票的单价是x元，每张儿童票的单价是y元，根据购买3张成人票和5张儿童票共需350元；购买6张成人票和3张儿童票共需420元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设正月初一该影院的电影票的单价是m元，则正月初二该影院的电影票的单价是（1+20%）x元，根据正月初二售出的电影票张数比正月初一售出的张数少了100张，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设每张成人票的单价是x元，每张儿童票的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每张成人票的单价是50元，每张儿童票的单价是40元； （2）设正月初一该影院的电影票的单价是m元，则正月初二该影院的电影票的单价是（1+20%）x元， 由题意得：﹣＝100， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意， 答：正月初一该影院的电影票的单价是40元． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 16．如图，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、BD，BE平分∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线． （2）求证：BD＝ED． （3）若DF＝6，CF＝4，求AC的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）证明见解答； （3）AC的长是5． 【分析】（1）连接OD交BC与点H，由点D为的中点，得OD⊥BC，因为DF∥BC，所以∠ODF＝∠OHC＝90°，即可证明DF是⊙O的切线； （2）由＝，得∠CAD＝∠BAD，则∠CBD＝∠CAD＝∠BAD，因为∠CBE＝∠ABE，所以∠CBE+∠CBD＝∠ABE+∠BAD，即可证明∠DBE＝∠DEB，则BD＝ED； （3）连接CD，则∠FDC＝∠BCD，因为∠FAD＝∠CBD，且∠BCD＝∠CBD，所以∠FDC＝∠FAD，而∠F＝∠F，则△FDC∽△FAD，所以＝，则AF＝＝9，求得AC＝AF﹣CF＝5． 【解答】（1）证明：连接OD交BC与点H， ∵点D为的中点， ∴OD⊥BC， ∵DF∥BC， ∴∠ODF＝∠OHC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD， ∴DF是⊙O的切线． （2）证明：∵＝， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠CBD＝∠CAD＝∠BAD， ∵BE平分∠ABC交AD于点E， ∴∠CBE＝∠ABE， ∴∠CBE+∠CBD＝∠ABE+∠BAD， ∵∠DBE＝∠CBE+∠CBD，∠DEB＝∠ABE+∠BAD， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴BD＝ED． （3）解：连接CD，则∠FDC＝∠BCD， ∵∠FAD＝∠CBD，且∠BCD＝∠CBD， ∴∠FDC＝∠FAD， ∵∠F＝∠F， ∴△FDC∽△FAD， ∴＝， ∵DF＝6，CF＝4， ∴AF＝＝＝9， ∴AC＝AF﹣CF＝9﹣4＝5， ∴AC的长是5． 【点评】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、平行线的性质、切线的判定、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 17．已知矩形ABCD，将其绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG． （1）如图1，若点E在CD上，连接BE． ①求证：EB平分∠AEC； ②连接BG交AE于点O，若AD＝6，AB＝10，求BG的长． （2）如图2，若点A，E，C在同一条直线上，EF与CD交于点M，AD＝6，AB＝8，求EM的长． 【答案】（1）①见解析；②； （2）． 【分析】（1）①利用旋转的性质，矩形的性质，平行线的性质证明即可； ②过点B作BH⊥AE于点H，连接GH，证明四边形ABHG是平行四边形，运用勾股定理计算OB，结合平行四边形的性质计算即可； （2）利用矩形的性质，证明△CEM∽△CDA，列比例式计算即可． 【解答】（1）①证明：根据题意可得AE＝AB， ∴∠AEB＝∠ABE， ∵CD∥AB， ∴∠CEB＝∠ABE， ∴∠AEB＝∠CEB， ∴EB平分∠AEC； ②解：如图，过点B作BH⊥AE于点H，连接GH． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，AD＝BC， 由①得EB平分∠AEC， ∴BH＝BC， ∴由旋转的性质可得AG⊥AE且AG＝AD＝BC， ∴AG∥BH，AG＝BH， ∴四边形ABHG是平行四边形， ∴GB＝2OB，AH＝2OH， 在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，AB＝10，BH＝6， ∴AH＝8，OH＝4， 在Rt△OBH中，∠OHB＝90°，OH＝4，BH＝6， ∴，； （2）根据旋转的性质可得AE＝AB＝8， ∵AB＝8，AD＝6，四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝6， 在Rt△ABC中，， ∴CE＝AC﹣AE＝10﹣8＝2， ∵∠CEM＝∠D＝90°， ∴△CEM∽△CDA， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了旋转性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 18．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为点D，对称轴是直线l． （1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； （2）求四边形ADCB的面积； （3）在线段AC上是否存在一点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3，D（﹣1，﹣4）； （2）9； （3）M的坐标为或（﹣1，﹣2）． 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）由S四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC，即可求解； （3）当△AOM与△ABC相似时，存在△ABC∽△AOM或△ABC∽△AMO，则AM：AC＝AO：AB或AM：AB＝AO：AC，即AM：3＝3：4或AM：4＝3：3，即可求解． 【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得， 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3； ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4； ∴D（﹣1，﹣4）； （2）设直线AC的解析式为 y＝kx+m（k≠0），把 A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入得， 解得， ∴直线AC的解析式为 y＝﹣x﹣3， ∴当 x＝﹣1 时y＝﹣2， ∴AC与直线l的交点E（﹣1，﹣2）， ∵D（﹣1，﹣4），E（﹣1，﹣2）， ∴DE＝2， ， y＝x2+2x﹣3，当y＝0时，x2+2x﹣3＝0解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴B（﹣1，0）， 又∵A（﹣3，0）， ∴AB＝4， ∵C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∴， ∴S四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝3+6＝9； （3）存在，理由： 由点A、C的坐标得，AC＝3， 当△AOM与△ABC相似时，存在△ABC∽△AOM或△ABC∽△AMO， 则AM：AC＝AO：AB或AM：AB＝AO：AC，即AM：3＝3：4或AM：4＝3：3， 解得：AM＝2或， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，设点M（m，﹣m﹣3）， 当AM＝2时，则（m+3）2+（﹣m﹣3）2＝（2）2， 解得：m＝﹣1（不合题意的值已舍去）， 当AM＝时，同理可得，m＝﹣， 即M的坐标为或（﹣1，﹣2）． 【点评】本题综合考查了二次函数的综合，二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，用待定系数法求二次函数的解析式，面积等知识点的应用，此题难度偏大，对学生提出较高的要求，综合性比较强． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$