解答20-25题限时练(6)-【一战成名新中考·5行卷】2024云南中考数学·方向性试题强化训练

方向性试题强化训练·云南数学 班级： 　姓名： 解答２０－２５题限时练（六） 限时：３５分钟 用时：　　　　分钟 满分：４２分 得分：　　　　           分 ２０．（本小题满分７分） 先化简（ ３ ｘ＋１－ｘ＋１）÷ ｘ２－４ｘ＋４ ｘ＋１ ，然后从 －１，０，１，２中选取一个合适的数作为ｘ的值 代入求值． ２１．（本小题满分６分） 如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ，Ｅ在边ＢＣ 上，且ＡＤ＝ＡＥ． 求证：△ＢＡＤ≌△ＣＡＥ． 第２１题图 证明：∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ ＡＥ， ∴ ∠Ｂ＝∠Ｃ，∠ＡＤＥ＝ ∠ＡＥＤ， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ， 在△ＢＡＤ与△ＣＡＥ中， ＡＢ＝ＡＣ， ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ， ＡＤ＝ＡＥ { ， ∴△ＢＡＤ≌△ＣＡＥ（ＳＡＳ）． ２２．（本小题满分７分） ２０２４参考试卷新变化 为加快公共领域 充电基础设施建设，某停车场计划购买Ａ，Ｂ 两种型号的充电桩．已知 Ａ型充电桩比 Ｂ 型充电桩的单价少０．３万元，且用１２万元 购买Ａ型充电桩与用１８万元购买Ｂ型充电 桩的数量相等．求 Ａ，Ｂ两种型号充电桩的 单价各是多少？ ２３．（本小题满分６分） 在校内课后托管服务实施过程中，某校组织 了多种社团活动供同学们选择，采用抽签方 式决定．受资源的限制，学校规定，本学期每 人最多可报两个社团参加活动．小明喜欢的 社团有：篮球社团、足球社团、书法社团、科 技社团（分别用字母Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ表示），他在 看不到签的情况下，从中一次性抽取两个决 定自己的最终志愿．已知每一个签被抽取的 可能性相等． （１）请用列表法或画树状图法中的一种方 法，求所有可能出现的结果； （２）求小明抽取的签中有一个是科技社团 的概率                                                                 ． ７２ 方向性试题强化训练·云南数学 ２４．（本小题满分８分） ２０２４参考试卷新变化 （２０２４合肥八上期 末）某商店销售 Ａ型和 Ｂ型两种型号的电 脑，销售一台 Ａ型电脑可获利１２０元，销售 一台Ｂ型电脑可获利１４０元．该商店计划一 次购进两种型号的电脑共１００台，其中Ｂ型 电脑的进货量不超过Ａ型电脑的３倍．设购 进Ａ型电脑ｘ台，这１００台电脑的销售总利 润为ｙ元． （１）求ｙ与ｘ的函数关系式，并求出自变量 ｘ的取值范围； （２）该商店购进 Ａ型，Ｂ型电脑各多少台， 才能使销售利润最大？最大利润是多少？ 解：（１）由题意可得，Ａ型电脑的总利润为 １２０ｘ，Ｂ型电脑的总利润为１４０（１００－ｘ）， ∴ｙ＝１２０ｘ＋１４０（１００－ｘ）＝－２０ｘ＋１４ ０００， ∴ｙ与 ｘ的函数关系式为 ｙ＝－２０ｘ＋１４ ０００， 又∵Ｂ型电脑的进货量不超过 Ａ型电脑的 ３倍， ∴１００－ｘ≤３ｘ，解得ｘ≥２５， ∴自变量ｘ的取值范围为２５≤ｘ≤１００，且ｘ 为正整数， ∴ｙ＝－２０ｘ＋１４０００（２５≤ｘ≤１００，且 ｘ为 正整数）； （２）∵ｙ＝－２０ｘ＋１４０００，且－２０＜０， ∴ｙ随ｘ的增大而减小， ∵２５≤ｘ≤１００，且ｘ为正整数， ∴ｘ＝２５时，ｙ有最大值为：－２０×２５＋１４ ０００＝１３５００． 答：该商店购进 Ａ型电脑２５台，Ｂ型电脑 ７５台，销售利润最大，最大利润是 １３５００ 元． ２５．（本小题满分８分） （２０２４北京九上期中）如图，ＢＣ是⊙Ｏ的直径，点 Ａ是⊙Ｏ上一点，ＰＯ⊥ＡＢ，ＰＢ⊥ＢＯ于点Ｂ，分 别连接ＡＣ，ＡＰ． （１）求证：ＡＰ是⊙Ｏ的切线； （２）作 ＡＤ平分∠ＢＡＣ交⊙Ｏ于点 Ｄ，连接 ＣＤ．若ＡＢ＝ＯＢ，ＣＤ＝２槡３，求ＯＰ的长． 第２５题图（１）证明：如解图，连接ＯＡ， ∵ＰＢ⊥ＯＢ，∴∠ＯＢＰ＝９０°， ∵ＯＡ＝ＯＢ，ＰＯ⊥ＡＢ，∴∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰ， 又∵ＯＰ＝ＯＰ， ∴△ＡＯＰ≌△ＢＯＰ（ＳＡＳ）， ∴∠ＯＡＰ＝∠ＯＢＰ＝９０°， ∵ＯＡ是⊙Ｏ的半径， ∴ＡＰ是⊙Ｏ的切线； （２）解：如解图，连接ＢＤ，∵ＡＢ＝ＯＢ＝ＯＡ， ∴△ＯＡＢ是等边三角形， ∴∠ＡＯＢ＝６０°， ∴∠ＰＯＢ＝１２∠ＡＯＢ＝３０°， ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，∴ ) ＢＤ＝ ) ＣＤ， ∴ＢＤ＝ＣＤ＝２槡３， ∵ＢＣ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＣＤＢ＝９０°， ∴ＣＢ＝２槡６，∴ＯＢ＝槡６， ∴在Ｒｔ△ＯＢＰ中，ＯＰ＝ ＯＢｃｏｓ３０°＝２槡２                                                                        ． ８２ 参考答案及重难题解析·云南数学 方 向 性 试 题 强 化 训 练 由（１）可知，指针所指的两个数字共有８种等可能的结果， 其中满足ｘｙ＞６的结果有４种，满足ｘｙ＜６的结果有３种， ∴Ｐ（小明胜）＝４８＝ １ ２，Ｐ（小红胜）＝ ３ ８， ∵Ｐ（小明胜）＞Ｐ（小红胜）， ∴此游戏小明获胜的概率更大，∴不公平． ２４．解：（１）根据题意得ｘ＋３ｘ＋７＋ｙ＝１００， ∴ｙ＝９３－４ｘ； （２）ｗ＝８０ｘ＋１２０（３ｘ＋７）＋１５０（９３－４ｘ）＝－１６０ｘ＋ １４７９０，依题意得 ｘ≥２０， ９３－４ｘ≥５{ ， 解得２０≤ｘ≤２２， ∵ｘ为正整数，∴可以取２０，２１，２２， ∴共有３种购票方案： 方案一：购买夜场票２０张，日通票６７张，节假日通票１３张； 方案二：购买夜场票２１张，日通票７０张，节假日通票９张； 方案三：购买夜场票２２张，日通票７３张，节假日通票５张； 而ｗ＝－１６０ｘ＋１４７９０， ∵－１６０＜０， ∴ｗ随ｘ的增大而减小， ∴当ｘ＝２２时，ｗ最小 ＝２２×（－１６０）＋１４７９０＝１１２７０， 即当购买夜场票２２张，日通票７３张，节假日通票５张时费 用最少，最少费用为１１２７０元． ２５．（１）证明：∵ＡＣ⊥ＢＤ，ＢＤ⊥ＤＥ， ∴ＡＣ∥ＤＥ， ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴ＡＤ∥ＣＥ， ∴四边形ＡＣＥＤ是平行四边形； （２）解：∵ＡＣ∥ＤＥ， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＤＥＢ， ∴ｃｏｓ∠ＡＣＢ＝ｃｏｓ∠ＤＥＢ＝ＤＥＢＥ＝ ４ ５， 由（１）知四边形ＡＣＥＤ是平行四边形， ∴ＤＥ＝ＡＣ＝４，ＣＥ＝ＡＤ＝２， ∴ＢＥ＝５，∴ＢＣ＝ＢＥ－ＣＥ＝３， ∴ＢＣ的长为３． 解答２０－２５题限时练（五） ２０．解： ｘ＋４≤３ｘ＋６①， ｘ＋１ ２ ＜２ｘ－１②{ ， 解不等式①得：ｘ≥－１， 解不等式②得：ｘ＞１， 则不等式组的解集为ｘ＞１． ２１．证明：在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中， ＡＢ＝ＡＤ， ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ， ＡＣ＝ＡＥ { ， ∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＥ（ＳＡＳ）， ∴∠Ｂ＝∠Ｄ． ２２．解：设第二小组的速度是 ｘ千米／小时，则第一小组的速度 为１．２ｘ千米／小时． 根据题意，得 ３ １．２ｘ＋ １ ６＝ ３ ｘ， 解得ｘ＝３， 经检验，ｘ＝３是原方程的解且符合题意， 此时３×１．２＝３．６（千米／小时）． 答：第一小组的速度是３．６千米／小时，第二小组的速度是３ 千米／小时． ２３．解：（１）画树状图如解图， 则共有６种等可能的结果，分别为（Ａ，Ｂ），（Ａ，Ｃ），（Ｂ，Ａ）， （Ｂ，Ｃ），（Ｃ，Ａ），（Ｃ，Ｂ）； （２）由（１）可知，共有６种等可能的结果，其中恰好选中《格 点多边形的面积计算》和《有关正多边形的折纸》的结果有 ２种， ∴恰好选中《格点多边形的面积计算》和《有关正多边形的 折纸》的概率为 ２ ６＝ １ ３． 第２３题解图 　　　 第２５题解图 ２４．解：（１）根据题意，得ｙ１＝７ｘ＋ｂ，ｙ２＝１０×０．９ｘ＝９ｘ， ∴ｋ１＝７，ｋ２＝９． 由图象可知，当ｘ＝０时，ｙ１＝ｂ＝１００， ∴ｙ１＝７ｘ＋１００，ｙ２＝９ｘ； （２）当ｘ＝４０时，ｙ１＝７×４０＋１００＝３８０，ｙ２＝９×４０＝３６０， ∵３６０＜３８０， ∴若李老师准备买４０个草帽，则选择乙商店比较合算； 当ｙ１＝８００时，７ｘ＋１００＝８００，解得ｘ＝１００； 当ｙ２＝８００时，９ｘ＝８００，解得ｘ＝ ８００ ９， ∵１００＞８００９， ∴若学校给李老师批了８００元经费，则李老师选择甲商店 购买的草帽数量会更多． ２５．（１）证明：∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＤ＝１８０°，∠ＡＤＣ＋∠ＢＣＤ＝１８０°， ∵∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ， ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＯＡ＝ＯＣ＝１２ＡＣ，ＯＢ＝ＯＤ＝ １ ２ＢＤ， ∵ＯＡ＝ＯＢ，∴ＡＣ＝ＢＤ， ∴四边形ＡＢＣＤ是矩形； （２）解：如解图，连接ＯＥ， ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴∠ＢＡＤ＝９０°， ∵ＡＤ＝１２，ＡＢ＝５， ∴ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ 槡＝ ２５＋１４４＝１３， ∴ＢＯ＝ＯＤ＝ＡＯ＝ＣＯ＝１３２， ∵Ｓ△ＡＯＤ＝ １ ４Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝ １ ４×１２×５＝１５， ∴Ｓ△ＡＯＥ＋Ｓ△ＤＯＥ＝１５， ∵ＥＦ⊥ＢＤ，ＥＧ⊥ＡＣ， ∴ １２× １３ ２·ＥＧ＋ １ ２× １３ ２·ＥＦ＝１５， ∴ＥＧ＋ＥＦ＝６０１３． 解答２０－２５题限时练（六） ２０．解：原式＝（ ３ｘ＋１－ ｘ２－１ ｘ＋１）÷ （ｘ－２）２ ｘ＋１ ＝３－ｘ ２＋１ ｘ＋１ · ｘ＋１ （ｘ－２）２ ＝４－ｘ ２ ｘ＋１· ｘ＋１ （ｘ－２）２ ＝－（ｘ＋２）（ｘ－２）ｘ＋１ · ｘ＋１ （ｘ－２）２ ＝－ｘ＋２ｘ－２                                                                        ， ０２ 参考答案及重难题解析·云南数学 方 向 性 试 题 强 化 训 练 ∵ｘ＋１≠０，ｘ－２≠０， ∴ｘ≠－１，ｘ≠２， ∴当ｘ＝０时，原式＝－０＋２０－２＝１． （或当ｘ＝１时，原式＝－１＋２１－２＝３） ２１．证明：∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ， ∴∠Ｂ＝∠Ｃ，∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ， 在△ＢＡＤ与△ＣＡＥ中， ＡＢ＝ＡＣ， ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ， ＡＤ＝ＡＥ { ， ∴△ＢＡＤ≌△ＣＡＥ（ＳＡＳ）． ２２．解：设Ａ型充电桩的单价为ｘ万元，则Ｂ型充电桩的单价（ｘ ＋０．３）万元， 根据题意得 １２ ｘ＝ １８ ｘ＋０．３， 解得ｘ＝０．６， 经检验，ｘ＝０．６是方程的解，且符合题意，此时ｘ＋０．３＝０．９． 答：Ａ型充电桩的单价为０．６万元，Ｂ型充电桩的单价为０．９ 万元． ２３．解：（１）画树状图如解图， 第２３题解图 则共有１２种等可能的结果，分别为（Ａ，Ｂ），（Ａ，Ｃ），（Ａ， Ｄ），（Ｂ，Ａ），（Ｂ，Ｃ），（Ｂ，Ｄ），（Ｃ，Ａ），（Ｃ，Ｂ），（Ｃ，Ｄ），（Ｄ， Ａ），（Ｄ，Ｂ），（Ｄ，Ｃ）； （２）由（１）可知，共有１２种等可能的结果，其中抽取的签中 有一个是科技社团的结果有６种， ∴小明抽取的签中有一个是科技社团的概率为 ６１２＝ １ ２． ２４．解：（１）由题意可得，Ａ型电脑的总利润为１２０ｘ，Ｂ型电脑的 总利润为１４０（１００－ｘ）， ∴ｙ＝１２０ｘ＋１４０（１００－ｘ）＝－２０ｘ＋１４０００， ∴ｙ与ｘ的函数关系式为ｙ＝－２０ｘ＋１４０００， 又∵Ｂ型电脑的进货量不超过Ａ型电脑的３倍， ∴１００－ｘ≤３ｘ，解得ｘ≥２５， ∴自变量ｘ的取值范围为２５≤ｘ≤１００，且ｘ为正整数， ∴ｙ＝－２０ｘ＋１４０００（２５≤ｘ≤１００，且ｘ为正整数）； （２）∵ｙ＝－２０ｘ＋１４０００，且－２０＜０， ∴ｙ随ｘ的增大而减小， ∵２５≤ｘ≤１００，且ｘ为正整数， ∴ｘ＝２５时，ｙ有最大值为：－２０×２５＋１４０００＝１３５００， 答：该商店购进Ａ型电脑２５台，Ｂ型电脑７５台，销售利润最 大，最大利润是１３５００元． ２５．（１）证明：如解图，连接ＯＡ，∵ＰＢ⊥ＯＢ，∴∠ＯＢＰ＝９０°， ∵ＯＡ＝ＯＢ，ＰＯ⊥ＡＢ，∴∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰ， 又∵ＯＰ＝ＯＰ， ∴△ＡＯＰ≌△ＢＯＰ（ＳＡＳ）， ∴∠ＯＡＰ＝∠ＯＢＰ＝９０°， ∵ＯＡ是⊙Ｏ的半径，∴ＡＰ是⊙Ｏ的切线； （２）解：如解图，连接ＢＤ，∵ＡＢ＝ＯＢ＝ＯＡ， ∴△ＯＡＢ是等边三角形， ∴∠ＡＯＢ＝６０°， ∴∠ＰＯＢ＝１２∠ＡＯＢ＝３０°， 第２５题解图 ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ，∴ ) ＢＤ＝ ) ＣＤ， ∴ＢＤ＝ＣＤ 槡＝２３， ∵ＢＣ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＣＤＢ＝９０°， ∴ＣＢ 槡＝２６，∴ＯＢ 槡＝６， ∴在Ｒｔ△ＯＢＰ中，ＯＰ＝ ＯＢｃｏｓ３０° 槡＝２２． 解答２０－２５题限时练（七） ２０．解：原式 槡＝２×槡 ２ ２－（－２）－１＋１－３ ＝１＋２－１＋１－３ ＝０． ２１．证明：在△ＡＢＣ和△ＡＤＣ中， ＡＢ＝ＡＤ， ＢＣ＝ＤＣ， ＡＣ＝ＡＣ { ， ∴△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ（ＳＳＳ）， ∴∠Ｂ＝∠Ｄ． ２２．解：设甲车的平均速度是 ｘ千米／时，则乙车的平均速度是 １．２ｘ千米／时， 根据题意得 ７０ ｘ－ ７０ １．２ｘ＝ １０ ６０， 解得ｘ＝７０， 经检验，ｘ＝７０是原方程的解，且符合题意． 答：甲车的平均速度是７０千米／时． ２３．解：（１）１５； （２）根据题意画树状图如解图： 第２３题解图 ∴共有２０种等可能的情况，其中涂黑的两部分恰好标注睡 眠Ｂ和体质Ｅ的情况有２种， ∴涂黑的两部分恰好标注睡眠 Ｂ和体质 Ｅ的概率是 ２２０＝ １ １０． ２４．（１）证明：如解图，连接ＯＣ，∵ＯＣ＝ＯＡ， 第２４题解图 ∴∠ＯＣＡ＝∠ＢＡＣ， ∵ＣＤ⊥ＡＢ，ＣＧ⊥ＡＧ，且ＣＥ＝ＣＧ， ∴点 Ｃ在∠ＢＡＦ的平分线上，即 ＡＣ平 分∠ＢＡＦ， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＦ，∴∠ＯＣＡ＝∠ＣＡＦ， ∴ＯＣ∥ＡＦ，∴ＯＣ⊥ＣＧ， ∵ＯＣ是⊙Ｏ的半径， ∴ＣＧ是⊙Ｏ的切线； （２）解：∵∠Ｄ＝３０°， ∴∠ＢＯＣ＝６０°，∠ＣＡＢ＝３０°， ∵ＣＤ⊥ＡＢ，∴∠ＣＥＯ＝９０°，∴∠ＯＣＥ＝３０°， ∵ＡＢ＝１２， ∴ＯＡ＝ＯＣ＝６， ∴在Ｒｔ△ＯＣＥ中，ＯＥ＝１２ＯＣ＝３，∴ＣＥ 槡＝３ＯＥ 槡＝３３， ∴Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＯＡＣ＋Ｓ扇形                                                                        ＢＯＣ １２