精品解析：江西省赣州市大余县部分学校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2025年春学期八年级期中检测数学试题 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为和S，则S为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（　　） A. 3，4，5 B. 9，40，41 C. D. 7，24，25 4. 正方形具备而矩形不具备的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 5. 在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，则顶点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接，下列结论：①；②；③；成立的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 8. 计算：_______． 9. 如图，在中，于点，，，．则___________． 10. 如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是_____．（写一个即可） 11. 如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点.连接，，，且，，则的长是___________. 12. 如图，在中，，，D是所在平面内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，设此平行四边形的对角线交点为O，则的长为_______． 三．解答题（共5题，满分30分，每题6分） 13. （1）计算：． （2）如图所示，延长的中线至点，使，连接、．求证：四边形是平行四边形． 14. 在平行四边形中，为上一点，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点， （1）求证：； （2）求证：． 15. 如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，交于点．求证：． 16. 请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹． （1）如图1，在中，E是边上一点，在边上画点F，使； （2）如图2，在中，E是边上一点，且，画的平分线； 17. 如图，小强为了测量一楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点，，，测得与地面夹角，与地面夹角，且． （1）证明：； （2），，求大楼的高． 四．解答题（共3题，满分24分，每题8分） 18. 如图，在菱形中，于点于点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：为等边三角形． 19. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？ 20. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形？ （2）当运动时间t为3时，请判断四边形是怎样的特殊平行四边形？并说明理由； 五．解答题（共2题，满分18分，每题9分） 21. 阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 22. 如图，，正方形的顶点、分别在、上，，，为上一点，且平分，直线与交于点． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）的周长为______． 六．综合应用题（12分） 23. 已知：在△ABC年，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF. （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF. ②. （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变： ①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系， ②若连接正方形对角线AE，DF，交点为0，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期八年级期中检测数学试题 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意．   故选：C ． 2. 如图，直角三角形三边上的半圆面积分别为和S，则S为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，设直角三角形的三边分别为a，b，c． 根据勾股定理可知，根据两个直角边对应的半圆面积可得出，，进而可得出，进而再求S即可． 【详解】解：设直角三角形的三边分别为a，b，c． 根据勾股定理可知：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 3. 下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（　　） A. 3，4，5 B. 9，40，41 C. D. 7，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案． 【详解】解：A、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，不能组成直角三角形，故此选项符合题意； D、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C 4. 正方形具备而矩形不具备的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形与正方形的性质，熟练掌握性质能对其进行分析是解题的关键．根据正方形和矩形的性质，即可求解． 【详解】解：A、正方形的四条边相等，但矩形的对边相等，但邻边不一定相等，故A符合题意； B、正方形和矩形的四个角都是直角，均相等，故B不符合题意； C、正方形和矩形的对角线都互相平分，故C不符合题意； D、正方形和矩形的对角线均相等，故D不符合题意； 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，则顶点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形性质及坐标与图形，根据平行四边形的性质得出，，再根据点的坐标求出点C的坐标即可． 【详解】解：∵平行四边形的顶点A、B、D的坐标分别是，， ∴， ∴点C的横坐标，纵坐标点D的纵坐标， 即点C的坐标是， 故选：C． 6. 如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接，下列结论：①；②；③；成立的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，则，而，所以，则，而，则是等边三角形，所以，则，所以，即可求得，所以，可判断①正确；由，，得，所以，可判断②正确；由“垂线段最短”可知，，可判断③错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ， ∴， ∴， 故③错误， 故选：C． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、垂线段最短等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 8. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 9. 如图，在中，于点，，，．则___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理求出的长即可得出的长． 【详解】解：， ∴ 在中， ∵，， ∴， 又， ∴, 故答案为：12． 10. 如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是_____．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形解答即可． 【详解】解：添加条件，那么为菱形．理由： ∵四边形是平行四边形，， ∴根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知为菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 11. 如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点.连接，，，且，，则的长是___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵BC=14， ∴DE=BC=7， ∵∠AFB=90°，AB=8， ∴DF=AB=4， ∴EF=DE-DF=7-4=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 12. 如图，在中，，，D是所在平面内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，设此平行四边形的对角线交点为O，则的长为_______． 【答案】或1或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，运用数形结合思想与分类讨论思想是解决本题的关键．分三种情况讨论：①为边，是对角线；②，为边，③，为边，作出图形，分别由平行四边形的性质和勾股定理可求的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ①如图，若，为边，是对角线， ∵四边形是平行四边形，且，， ∴； ②若，为边，为对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴； ③若，为边，为对角线， ∵是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：或1或． 三．解答题（共5题，满分30分，每题6分） 13. （1）计算：． （2）如图所示，延长的中线至点，使，连接、．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）3； （2）证明：是的中线， ， 又， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）首先根据平方差公式和零指数幂计算，然后计算加减； （2）首先证明出（SAS），然后得到，，即可证明出四边形是平行四边形． 【详解】（1）解： ； （2）略 【点睛】此题考查了二次根式的乘法运算，涉及平方差公式、零指数幂计算、平行四边形的判定、全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 14. 在平行四边形中，为上一点，点为的中点，连接并延长，交的延长线于点， （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：在平行四边形中，， ∴， 点为的中点， ， 在和中， ； （2） 证明：由（1）知， ， 在平行四边形中，， ， ，， ． 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形性质得到，再由平行线性质和中点定义确定相关角度与边长，再由全等三角形的判定定理即可得证； （2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质得到，数形结合表示出即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的性质、平行线的性质、中点定义、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 15. 如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，交于点．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．先根据正方形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等量代换可得，最后根据三角形的外角性质即可得证． 【详解】略 16. 请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹． （1）如图1，在中，E是边上一点，在边上画点F，使； （2）如图2，在中，E是边上一点，且，画的平分线； 【答案】（1） 如图1中，线段即为所求作． （2） 如图2中，线段即为所求作． 【解析】 【分析】此题考查了作图复杂作图，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，交于点O，连接并延长交于点F即为所求； （2）连接，交于点O，连接并延长交于点F，连接即为所求． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形 ∴， 由（1）得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分． 17. 如图，小强为了测量一楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点，，，测得与地面夹角，与地面夹角，且． （1）证明：； （2），，求大楼的高． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）楼高是26米 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，解题关键是牢记它的判定与性质． （1）先求出，再证明全等； （2）利用全等三角形的性质得出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴. ∵米，米， ∴(米)． 答：楼高是米． 四．解答题（共3题，满分24分，每题8分） 18. 如图，在菱形中，于点于点，连接． （1）求证：； （2）若，求证：为等边三角形． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ． 又于点于点， ， 在与中，． ； （2） 证明：， ； 四边形是菱形， ∴， ， ∵， ， 又， ， 由（1）知， ， ． 是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，即可证明为等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的判定，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质． 19. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点处，，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点到底座的距离； （2）如图3，为了阅读舒适，将绕点逆时针旋转后，点恰好落在直线上，问：端点到底座的距离减少了多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含30°角直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）过点C作于点F，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）过点C作于点F，利用直角三角形的性质求出旋转后点C离底座的距离，即可求出降低了多少． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点C到底座的距离为：． 【小问2详解】 解：过点C作于点F，如图所示： 旋转后， ∵， ∴， ∴点C到底座的距离为：． ∴端点到底座的距离减少了． 20. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形？ （2）当运动时间t为3时，请判断四边形是怎样的特殊平行四边形？并说明理由； 【答案】（1）4 （2） ∵， ∴， 此时， ，， ∵ 矩形中，， 又 ， ∴四边形 为平行四边形， 又 ， ∴ 四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，菱形的判定和性质．掌握相关判定方法和性质，是解题的关键． （1）根据题意，得到当时，四边形是矩形，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，先得到四边形为平行四边形，通过勾股定理算出，进而可知道四边形为菱形． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 当四边形是矩形时，， ∴， 解得：， ∴当时，四边形是矩形； 【小问2详解】 略 五．解答题（共2题，满分18分，每题9分） 21. 阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简、三角形的三边关系、数轴等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先根据二次根式的被开方数的非负性可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （2）先根据数轴的性质可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （3）先根据三角形的三边关系可得，，，，从而可得，，，，再利用二次根式的性质进行化简即可得． 【详解】解：（1）隐含条件， 解得， ∴， ∴ ； （2）由数轴可知，， ∴， ∴ ； （3）∵为的三边长， ∴，，，， ∴，，，， ∴ ． 22. 如图，，正方形的顶点、分别在、上，，，为上一点，且平分，直线与交于点． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）的周长为______． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴； （2）与的位置关系是：， 理由如下： 如图所示： 由（）可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（）证明和全等即可得出结论； （）由和全等得，由平分得，则，再根据，得，则，由此即可得出与的位置关系； （）过点作于点，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，进而得，，先求出，证明和全等得，，同理证明和全等得，，进而得，，，，由（）可知，则，据此即可得出的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示， 由（）可知：， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是直角三角形， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可证明：， ∴，， ∴，， ∴，， 由（）可知：， ∴， ∴的周长为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线定义，勾股定理等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 六．综合应用题（12分） 23. 已知：在△ABC年，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF. （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF. ②. （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变： ①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系， ②若连接正方形对角线AE，DF，交点为0，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由. 【答案】 （1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°， ∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF=∠ABD=45°， ∴∠ACF+∠ACB=90°， ∴BD⊥CF； ②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF， ∵BD=BC-CD， ∴CF=BC-CD； （2）CF=BC+CD （3）①CF=CD-BC； ②∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， 则∠ABD=180°-45°=135°， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°， ∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°， ∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°， 则△FCD为直角三角形， ∵正方形ADEF中，O为DF中点， ∴OC=DF， ∵在正方形ADEF中，OA=AE，AE=DF， ∴OC=OA， ∴△AOC是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90°，从而得证；②根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，从而求出CF=BC-CD； （2）与（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=BC+CD； （3）①与（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD-BC；②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形． 【详解】（1）①略 ②略 （2）与（1）同理可得BD=CF， 所以，CF=BC+CD； （3）①与（1）同理可得，BD=CF， 所以，CF=CD-BC； ②略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性质，此类题目通常都是用同一种思路求解，在（1）中找出证明三角形全等的思路是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $