精品解析：安徽省皖南八校2025届高三第三次大联考数学试卷

2025届“皖南八校”高三第三次大联考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将集合移项整理解得，运用并集的运算解得结果. 【详解】根据题意，，解得，， 结合得，即． 故选：C． 2. 已知复数 与互为共轭复数，则复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数除法化简复数，再由共轭复数的概念写出复数 ，即可得. 【详解】因为，所以，虚部为． 故选：A 3. 设是三条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的关系，结合充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】当时，，所以，又，所以成立， 当时，若与相交，则与异面，不能推导出， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 4. 已知一组数据为，1，3，4，5，7，10，11，若为这组数据的分位数，则的展开式中的系数为（ ） A. 280 B. C. 560 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分位数求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】由，得， 则展开式中含的项为， 所以所求的系数为. 故选：D 5. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的离心率和渐近线公式即可直接求得答案. 【详解】根据题意，双曲线 的离心率为， 所以 则双曲线的渐近线方程为． 故选：B． 6. 如图，高为的圆锥形容器里装了一定量的水，下列容器内水的体积最接近容器容积一半的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的顶点到水面的距离为，利用圆锥的体积公式以及水的体积等于容器容积的一半的条件即可求得，则答案可求. 【详解】设圆锥的顶点到水面的距离为，圆锥的底面半径为，则水面半径为． 当水的体积等于容器容积的一半时，有，整理得． 因为，，，，则D选项更接近． 故选：D． 7. 已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得其前20项和为372，则写错之前这个数为（ ） A. B. C. 100 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由并项求和及等差数列的求和公式即可直接求得答案. 【详解】，则其前20项和为． 设写错项为 ，则，解得，， 故写错之前这个数为． 故选：B． 8. 已知函数，若对任意，有，则正整数 的最小值为（参考值：）（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分析得，进而得，根据导数得出函数的单调性后，分，讨论即可求解. 【详解】由，知都不为零， 所以在和上都没有零点． 由于，故在上有零点， 二者结合，可知，而在和上分别取固定的符号，且符号相反． 所以，得，故， 则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 当时，对任意，恒成立； 当时，需满足，即，解得， 所以正整数 的最小值为2． 故选：B． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律，求出向量与的夹角即可判断A、B，再根据向量模的计算公式及向量垂直的性质判断C、D即可. 【详解】设与的夹角为， 由得， 将代入得，∴， 又，∴，故A正确，B错误; ，故C正确; ，故，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上仅有2个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦函数和余弦函数的特殊值、周期性、单调性、值域，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为，所以且，所以， 故的定义域为，故A正确； 对于B，因为函数和的最小正周期均为， 所以的最小正周期为，故B正确； 对于C，因为函数在区间，上单调递减， 函数在区间上均单调递减，且值域为； 函数在区间上均单调递减，且值域为. 所以函数与在区间上均单调递增， 则在区间上单调递增，故C项错误； 对于D，令，则，解得， 在区间上有2个解，故D项正确． 故选：ABD． 11. 平面直角坐标系中，曲线上任一点，满足到点的距离的倒数和为定值，即，则下列说法正确的是（ ） A. 对于不同的值，曲线总是关于 轴对称 B. 当时，曲线经过原点 C. 当时，的取值范围为 D. 当时， 轴上存在4个不同的点在曲线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设关于 轴的对称点为，通过分析得到，由此可判断；对于B，当时，通过检验是否成立可判断；对于C，当时，结合题设得及，令，得，利用函数单调性求得即可判断C；对于D，当时，设曲线在 轴上的点为，由题设得，通过分类讨论结合曲线的对称性求得 的值，可判断D. 【详解】对于A，因为，可知为线段的中点， 又动点满足，设动点关于 轴对称的点为， 则，，可得，所以曲线关于 轴对称，故A正确； 对于B，当时，将原点代入，得，故B错误； 对于C，当时，，可得． 因为，即，解得，， 令，则，由对勾函数可知在内单调递减，在内单调递增，且，，可得， 所以，故C正确； 对于D，当时，设曲线在 轴上的点为，由题意得， 因为曲线图象关于 轴对称，不妨考虑的情形， 当时，方程化为，解得， 当时，方程化为，解得， 故时， 轴上有2个点，所以 轴上存在4个不同的点在曲线上，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用对数的运算性质计算即可. 【详解】因为，则， 又， 所以， 所以． 故答案为：4. 13. 如图所示，两直角三角形共斜边，且，设，则______． 【答案】 【解析】 【分析】在直角三角形中利用三角函数表示各个直角边，然后代入等式，平方相加即可得到答案. 【详解】，由题意可得，，，，因为则 两式平方相加可得，即，所以． 故答案为：. 14. 已知数集，，现随机从 和中各抽取3个不同的数分别构成最大的三位数和，则事件“”的概率为______． 【答案】##0.7 【解析】 【分析】由古典概型的概率公式结合相互独立事件概率的乘法公式求解可得答案. 【详解】可分为两类： 中有7时和中无7时， 由题意可得： （中有7）， （中无7）． 若中含7，则； 若中无7的情况下：， 此时； 所以． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，所对的边分别为． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理得到代入余弦定理即可. （2）运用正切的两角和公式得到，之后结合第一问结果得到角 ，之后运用正弦定理得到 ，代入三角形面积公式即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，即． 由余弦定理得． 因为，所以． 【小问2详解】 由三角形内角和性质得， 则， 整理可得，则， 由，解得，则， 由，则， 由正弦定理可得，则， 所以的面积为． 16. 如图，矩形中，，为边的中点，现将沿翻折至，得四棱锥，且平面平面，点为线段上一动点，且． （1）求证：； （2）当时，若点 关于平面的对称点为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：连接，由，得， 由，得， 所以， 所以，即， 由平面平面平面，平面平面， 得平面， 又平面，所以， 又平面， 所以平面，且平面， 所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）先由面面垂直的性质定理得得平面，再由线面垂直的判定定理得平面，则可得； （2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设是平面的一个法向量，由对称关系可知，再利用空间向量法即可求直线与平面所成角的正弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，，， 则令，则， 平面的一个法向量为， 由题可知， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆 上一点，且满足． （1）求椭圆 的方程； （2）在直线上取一点 ，连接交椭圆 于两点、，若，求点 的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于 、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆 的方程； （2）依题意，设直线的斜率为，则直线的方程为，设、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据题中条件得出，可得出，结合韦达定理求出的值，即可得出点 的坐标. 【小问1详解】 因为为椭圆 上一点，且满足，则， 由题意知，得， 故椭圆 的方程为． 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则该直线与椭圆相离，不合乎题意， 由题意可知，直线不与 轴重合， 依题意，设直线的斜率为，则直线的方程为， 设、， 联立消 得， 则， 可得①，②， 由，，， ，整理得③， 由①③得，代入②，解得， 直线的方程为或， 若直线的方程为，则点； 若直线的方程为，则点. 综上所述， 点坐标为或． 18. 已知函数． （1）若曲线在处的切线平行于直线，求的值以及函数的最小值； （2）证明：对一切的，都有； （3）当 时，若曲线与曲线存在两交点，记直线 的斜率为，证明：． 【答案】（1），最小值为4； （2）证明：先证，则． 设，则， 因为，所以，即在上单调递增，又， 所以当时，， 当，则，所以； 同理，当，则也成立； 所以，则． （3）证明：设，其中，由（2）知，则， 取，得，，所以①， 将和相减，得，，所以代入①， 所以，即． 【解析】 【分析】（1）求导，，即可求出.求出以后，根据导函数判断原函数单调性，进而求出的最小值. （2）先证时，化简，从而构造函数，只需证恒成立即可. （3）根据（2）可得，在抛物线中由点差法可得，即可证明不等式成立. 【小问1详解】 由题意，，所以， 所以， 法1：， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以． 法2：， 当且仅当，即时，取等号，所以函数的最小值为4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题利用导数证明不等式的关键是能够采用构造函数的方式，将不等式问题转化成恒成立问题.. 19. 经典比特只能处于“0”态或“1”态，而量子计算机的量子比特可同时处于“0”或“1”的叠加态，某台量子计算机以序号的粒子自旋状态为量子比特，每个粒子的自旋状态等可能的处于“0”态（下旋状态）或“1”态（上旋状态），现记序号为奇数的粒子中，处于“0”态的个数为，序号为偶数的粒子中，处于“1”态的个数为． （1）当时，求随机变量的分布列和期望； （2）在这个粒子中，求事件“”的概率； （3）在这个粒子中，令随机变量，证明：． （参考公式：） 【答案】（1）分布列： 0 1 2 数学期望为1 （2） （3）证明：令，则可取，故可取， 当取时， ， 故， 从而， 整理，得， ，又因， 所以， 又 ， 根据，可得． 可得． 由（2）知，所以． 【解析】 【分析】（1）求出随机变量的可能取值及对应的概率可得随机变量的分布列，再由期望公式可得答案； （2）利用古典概率计算可得答案； （3）令，则可取，故可取，求出，可得，再求出、，再由组合数公式可得答案. 【小问1详解】 随机变量的可能取值为0，1，2， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 所以随机变量的期望为； 【小问2详解】 （或）； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届“皖南八校”高三第三次大联考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 与互为共轭复数，则复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 设是三条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知一组数据为 ，1，3，4，5，7，10，11，若 为这组数据的分位数，则的展开式中的系数为（ ） A. 280 B. C. 560 D. 5. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，高为的圆锥形容器里装了一定量的水，下列容器内水的体积最接近容器容积一半的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得其前20项和为372，则写错之前这个数为（ ） A. B. C. 100 D. 8. 已知函数，若对任意，有，则正整数 的最小值为（参考值：）（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上仅有2个零点 11. 平面直角坐标系中，曲线上任一点 ，满足到点的距离的倒数和为定值，即，则下列说法正确的是（ ） A. 对于不同的值，曲线总是关于轴对称 B. 当时，曲线经过原点 C. 当时，的取值范围为 D. 当时， 轴上存在4个不同的点在曲线上 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 如图所示，两直角三角形共斜边，且，设，则______． 14. 已知数集，，现随机从 和 中各抽取3个不同的数分别构成最大的三位数和，则事件“”的概率为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，所对的边分别为． （1）求 ； （2）若，求的面积． 16. 如图，矩形中，，为边的中点，现将沿翻折至，得四棱锥，且平面平面，点为线段上一动点，且． （1）求证：； （2）当时，若点 关于平面的对称点为 ，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆 上一点，且满足． （1）求椭圆 的方程； （2）在直线上取一点，连接交椭圆 于两点 、，若，求点的坐标． 18. 已知函数． （1）若曲线在处的切线平行于直线，求的值以及函数的最小值； （2）证明：对一切的，都有； （3）当时，若曲线与曲线存在两交点，记直线 的斜率为，证明：． 19. 经典比特只能处于“0”态或“1”态，而量子计算机的量子比特可同时处于“0”或“1”的叠加态，某台量子计算机以序号的粒子自旋状态为量子比特，每个粒子的自旋状态等可能的处于“0”态（下旋状态）或“1”态（上旋状态），现记序号为奇数的粒子中，处于“0”态的个数为，序号为偶数的粒子中，处于“1”态的个数为． （1）当时，求随机变量的分布列和期望； （2）在这个粒子中，求事件“”的概率； （3）在这个粒子中，令随机变量，证明：． （参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $