安徽省皖南八校2025届高三第三次大联考数学试卷

2025届“皖南八校”高三第三次大联考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 与互为共轭复数，则复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 设是三条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知一组数据为 ，1，3，4，5，7，10，11，若 为这组数据的分位数，则的展开式中的系数为（ ） A. 280 B. C. 560 D. 5. 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，高为的圆锥形容器里装了一定量的水，下列容器内水的体积最接近容器容积一半的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得其前20项和为372，则写错之前这个数为（ ） A. B. C. 100 D. 8. 已知函数，若对任意，有，则正整数 的最小值为（参考值：）（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量满足，，则（ ） A. 与的夹角为 B. 与的夹角为 C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上仅有2个零点 11. 平面直角坐标系中，曲线上任一点 ，满足到点的距离的倒数和为定值，即，则下列说法正确的是（ ） A. 对于不同的值，曲线总是关于轴对称 B. 当时，曲线经过原点 C. 当时，的取值范围为 D. 当时， 轴上存在4个不同的点在曲线上 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 如图所示，两直角三角形共斜边，且，设，则______． 14. 已知数集，，现随机从 和 中各抽取3个不同的数分别构成最大的三位数和，则事件“”的概率为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，所对的边分别为． （1）求 ； （2）若，求的面积． 16. 如图，矩形中，，为边的中点，现将沿翻折至，得四棱锥，且平面平面，点为线段上一动点，且． （1）求证：； （2）当时，若点 关于平面的对称点为 ，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆 上一点，且满足． （1）求椭圆 的方程； （2）在直线上取一点，连接交椭圆 于两点 、 ，若，求点的坐标． 18. 已知函数． （1）若曲线在处的切线平行于直线，求的值以及函数的最小值； （2）证明：对一切的，都有； （3）当时，若曲线与曲线存在两交点，记直线 的斜率为，证明：． 19. 经典比特只能处于“0”态或“1”态，而量子计算机的量子比特可同时处于“0”或“1”的叠加态，某台量子计算机以序号的粒子自旋状态为量子比特，每个粒子的自旋状态等可能的处于“0”态（下旋状态）或“1”态（上旋状态），现记序号为奇数的粒子中，处于“0”态的个数为，序号为偶数的粒子中，处于“1”态的个数为． （1）当时，求随机变量的分布列和期望； （2）在这个粒子中，求事件“”的概率； （3）在这个粒子中，令随机变量，证明：． （参考公式：） 2025届“皖南八校”高三第三次大联考 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】##0.7 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）． （2）． 【16题答案】 【答案】（1）证明：连接，由，得， 由，得， 所以， 所以，即， 由平面平面平面，平面平面， 得平面， 又平面，所以， 又平面， 所以平面，且平面， 所以． （2）． 【17题答案】 【答案】（1） （2）或 【18题答案】 【答案】（1），最小值为4； （2）证明：先证，则． 设，则， 因为，所以，即在上单调递增，又， 所以当时，， 当，则，所以； 同理，当，则也成立； 所以，则． （3）证明：设，其中，由（2）知，则， 取，得，，所以①， 将和相减，得，，所以代入①， 所以，即． 【19题答案】 【答案】（1）分布列： 0 1 2 数学期望为1 （2） （3）证明：令，则可取，故可取， 当取时， ， 故， 从而， 整理，得， ，又因， 所以， 又 ， 根据，可得． 可得． 由（2）知，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $