精品解析：浙江省杭州学军中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

杭州学军中学2024学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：徐政 审题人：龙崎钢 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解对数不等式化简集合A，进而可得并集. 【详解】由题意可得：， 且，所以. 故选：C. 2. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】因为直线与直线互相垂直，所以或.再利用充分条件必要条件的定义判断得解. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以， 所以或. 因为“”可以推出“或”，“或”不能推出“”， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分非必要条件. 故选：A 【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 3. 函数，若在是减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，导函数小于等于0恒成立，分离参数求新函数最值即可求解． 【详解】函数， 若函数在区间上是减函数，则在恒成立， 即在恒成立， 由对勾函数性质可知在单调递减，故，所以. 故选：C. 4. 已知圆的方程为，直线与圆交于两点，直线与圆交于两点，则（为坐标原点）等于（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】由题设圆与轴相切于，结合切割线定理、向量共线求的值. 【详解】由题设知：圆与轴相切于点， 由切割线定理得， 由于及分别共线， 所以． 故选：D 5. 已知函数（，）的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数 A. 有一个对称中心 B. 有一条对称轴 C. 区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 【答案】B 【解析】 【详解】由题，平移后得到的函数是，其图象过点,，因为，，,故选B. 点睛：本题考查的是的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x加减，还是2x加减，另一方面是根据图象过点确定的值时，要结合五点及确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性. 6. 如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ） A. 1∶1 B. 4∶3 C. 6∶5 D. 7∶5 【答案】D 【解析】 【分析】根据割补法结合棱台的体积公式，即可求得答案. 【详解】设三棱柱的高为h，上下底面面积均为S，体积为V， 则， 因为E，F分别为AB，AC的中点，故, 结合题意可知几何体为棱台， 则， 故,故， 故选：D 7. 甲、乙、丙、丁4人参加活动，4人坐在一排有12个空位的座位上，根据要求，任意两人之间需间隔至少两个空位，则不同的就座方法共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种 【答案】C 【解析】 分析】先假设每个人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4个人中间任意两个人之间放入2个空位，此时空位一共还剩2个，再将这两个空位分一起和分开插入4人之间和两侧空位，即可得解. 【详解】先假设每个人坐一个位置相当于去掉4个位置， 再将4个人中间任意两个人之间放入2个空位， 此时空位一共还剩2个， 若将这两个空位连在一起插入4人之间和两侧空位，有5种放法； 若将这两个空位分开插入4人之间和两侧空位，有种放法， 故不同的就座方法共有种. 故选：C. 8. 已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，进而可求得 【详解】， 则， 则， 即，所以，即 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 数据1，2，3，5，7，9的中位数大于平均数 B. 数据0，1，0，1，0，1的标准差大于方差 C. 在相关分析中，样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强 D. 已知随机变量X服从正态分布且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：求数据中位数和平均数即可得；对于B：求数据方差和标准差即可；对于C：根据相关系数的性质分析判断；对于D：根据正态分布的对称性分析判断. 【详解】对于选项A：数据1，2，3，5，7，9的中位数为，平均数为， 因为，所以中位数小于平均数，故A错误； 对于选项B：因为数据平均数为， 方差，标准差， 所以标准差大于方差，故B正确； 对于选项C：样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强，故C正确； 对于选项D：因为且， 所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 如图，已知直线，与函数，的图象分别交于，，，四点，且为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】首先确定点点的坐标，利用平行四边形对边平行且相等的性质 ，建立关于 的等式，利用平方差公式化简得到 ，再通过均值不等式可得 ，最后分析选项得出结论. 【详解】依题意，当 时， 在 图象下方， 所以在 图象上， 在 图象上， 所以 ， ， ， 又因为四边形为平行四边形， 所以 ，即 ，即 ， 又因为 ，所以 ， . 故A正确， B错误. 由均值不等式 ，化简可得 ，当 时等号成立， 由于 ，故 ， D正确， C错误. 故选：AD. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，即可判断A，然后结合二倍角公式利用正弦定理判断C，根据正弦定理和两角和差公式化简式子判断B，利用正弦定理和三角恒等变换得，利用函数的单调性即可判断D. 【详解】依题意，， 由正弦定理得， 由于，所以， 所以， 所以， 即， 由正弦定理得， 所以，则或， 若，则， ，不符合题意，所以，A选项正确，则为锐角， 所以，有正弦定理得， 而是锐角，，所以C选项错误. 对于，由正弦定理得 ， 所以B选项正确. 对于D选项，由正弦定理得 ， 由上述分析可知， 所以，由于函数在上单调递增， ，所以， 即，所以D选项正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项是______（用数字作答）． 【答案】240 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为0，即可求解，进而可求常数项. 【详解】的二项展开式的通项为， 令得，故常数项为， 故答案为：240． 13. 已知椭圆的右焦点为F，P，Q在椭圆上且关于原点对称，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆性质，有，，，则，利用构造函数的方法求取值范围. 【详解】由椭圆方程可知，，左焦点为，设， ， 由对称性可知，由， 得，则有， ， 令，设， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， ，，， 则，所以. 故答案为：. 14. 箱子中有大小相同的6个小球，分别标有数字1，1，2，2，3，4．甲、乙两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得1分，数字小的人不得分，如果数字一样，则都不得分.经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】因为比赛对甲、乙公平，所以甲累计得分比乙大概率和乙累计得分比甲大的概率相等，且二者概率和加上甲乙得分相同的概率为.所以先算甲乙得分相同概率，再求甲累计得分比乙大的概率. 【详解】如果甲乙得分相等，则得分之比只能为， 则三局中一轮平局，其余两轮各得1分，故概率为， 那么甲累计得分比乙大的概率. 故答案为：. 四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 数列的前项和为，已知且． （1）求的通项公式； （2）设数列满足，求的最大值． 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）利用即可求解； （2）判断数列的单调性即可求解. 【小问1详解】 ∵①， ∴②， ①-②得：，， ②中令n＝2，则，∴， 为首项为1，公比为2的等比数列， ∴. 【小问2详解】 由（1）知：， 则， 所以 所以当时，有最大值. 16. 某工厂为了解员工绩效分数达标情况与员工性别关系，随机对该厂男、女各30名员工的绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下列联表：单位：人 性别 绩效分数达标情况 合计 未达标 达标 男 20 10 30 女 5 25 30 合计 25 35 60 （1）根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断绩效分数达标情况与性别有关联？ （2）该厂为激励员工，规定每月绩效分数的第一名奖励1千元，其他名次无奖励.甲为该厂员工，他在工厂开工的第一个月赢得奖励的概率为，从第二个月开始，若上个月没有赢得奖励，则这个月赢得奖励的概率为；若上个月赢得奖励，则这个月仍赢得奖励的概率为，求甲在前两个月所得奖金总额X（单位：千元）的分布列和数学期望. 附： 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 参考公式：，其中. 【答案】（1）可以推断绩效分数达标情况与性别有关联 （2）分布列见详解； 【解析】 【分析】（1）由已知数据利用公式计算，与参考数据比较大小即可得出结论； （2）根据题意计算出可能取值及相应概率，即可得到分布列，再利用公式计算期望值. 【小问1详解】 零假设：绩效分数达标情况与性别无关联， 由题意可得：， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可以推断绩效分数达标情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于. 【小问2详解】 由题意知可能的取值为， 则； ； ； 所以甲在前两个月所得奖金总额的分布列为 0 1 2 数学期望. 17. 在三棱柱中，，平面平面. （1）证明：； （2）若，且与平面所成角为，求与所成角余弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直可得平面，结合平行关系即可得线线垂直； （2）建系标点，设，根据题意结合空间向量列式求，进而可求线线夹角. 【小问1详解】 因为，平面平面，平面平面，平面， 可得平面，且平面，则， 又因为∥，所以. 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为平面平面， 可知轴所在直线包含于平面，且点在平面内的投影落在直线上， 则， 设，则， 可得， 因为，即， 又因为与平面所成角为，且平面的法向量为， 则， 整理可得， 联立方程，解得或， 若，则， 可得， 所以与所成角的余弦值为； 若，则， 可得， 所以与所成角的余弦值为； 综上所述：与所成角的余弦值为或. 18. 已知点是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线．不过原点的直线交于两点，关于轴的对称点为，直线和的斜率之积为． （1）求的方程； （2）判断是否过定点，若是则求出该定点，若不是则说明理由； （3）证明：不可能为锐角三角形． 【答案】（1） （2）过定点 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先设动点坐标，将几何关系转化为坐标关系后可得曲线的方程； （2）设直线方程并联立，代入双曲线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理化简目标代数式后可得定点； （3）利用向量的数量积可判断三角形的形状. 【小问1详解】 设，因为，且，垂足为，则点坐标为． 则， 已知，即． 因为在线段外，所以， 则，整理可得曲线的方程为． 【小问2详解】 设，则． 显然的斜率不为零，否则有， 此时，与直线和的斜率之积为6，矛盾． 故可设，由得， 依题意，且， ∴且． 由得， ∴， ∵直线和的斜率之积为6，∴， 即，，，解得． 此时恒成立，∴，过定点． 【小问3详解】 由（2）知，． ①当，即时，，∴均在的右支，如图． 此时 ， ∴是钝角，是钝角三角形． ②当，即或时，， ∴分别在的两支．不妨设在的右支，则，如图． 设，则， ∴． ∵过点，∴， ∴是钝角，是钝角三角形． 综上可知，不可能是锐角三角形． 19. 阅读下列材料： 定义1：设是两个（项数有限的）实数数列．数列A和B的项满足以下三个条件： （i）且； （ii）对于任意的，有； （iii）． 那么我们就说数列优超于数列，写成或． 定义2：对函数，若它的导函数的导函数，就称下凸． 定理：若函数下凸，且数列优超于数列，即，则． 根据以上材料，回答下列问题： （1）判断数列与数列是否有优超关系，并证明你的结论． （2）若数列超于数列，即，证明：的方差不小于的方差． （3）若函数，证明：． 【答案】（1），证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据优超定义直接判断即可； （2）根据方差定义求得，再利用二阶求导判断为下凸函数，从而证明不等式关系； （3）二阶求导得，再证明其大于0，设，证明 【小问1详解】 由于，故，即可证明不等关系. 【小问2详解】 数列A的方差， 数列B的方差， 由，知， 于是只需证明， 考虑函数，由知下凸， 于是由定理知， 即证. 【小问3详解】 对求导，得 ， . 下面我们证明， 设，则， 时，单调递减，时，单调递增， 于是， 设，则， 时，单调递减，时，单调递增， 于是， 根据二次函数在上单调递增， 则由， 故于起下凸， 设，由知， 于是由定理知， 而，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2024学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题人：徐政 审题人：龙崎钢 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数，若在是减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆的方程为，直线与圆交于两点，直线与圆交于两点，则（为坐标原点）等于（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 18 5. 已知函数（，）的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点，则函数 A. 有一个对称中心 B. 有一条对称轴 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 6. 如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ） A. 1∶1 B. 4∶3 C. 6∶5 D. 7∶5 7. 甲、乙、丙、丁4人参加活动，4人坐在一排有12个空位的座位上，根据要求，任意两人之间需间隔至少两个空位，则不同的就座方法共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种 8. 已知函数满足：对，都有，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（    ） A. 数据1，2，3，5，7，9的中位数大于平均数 B. 数据0，1，0，1，0，1的标准差大于方差 C. 在相关分析中，样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强 D. 已知随机变量X服从正态分布且，则 10. 如图，已知直线，与函数，的图象分别交于，，，四点，且为平行四边形，则（ ） A. B. C D. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项是______（用数字作答）． 13. 已知椭圆的右焦点为F，P，Q在椭圆上且关于原点对称，则的取值范围是__________． 14. 箱子中有大小相同的6个小球，分别标有数字1，1，2，2，3，4．甲、乙两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得1分，数字小的人不得分，如果数字一样，则都不得分.经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大的概率是__________． 四．解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 数列的前项和为，已知且． （1）求的通项公式； （2）设数列满足，求的最大值． 16. 某工厂为了解员工绩效分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各30名员工的绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下列联表：单位：人 性别 绩效分数达标情况 合计 未达标 达标 男 20 10 30 女 5 25 30 合计 25 35 60 （1）根据上表数据，依据小概率值独立性检验，能否据此推断绩效分数达标情况与性别有关联？ （2）该厂为激励员工，规定每月绩效分数的第一名奖励1千元，其他名次无奖励.甲为该厂员工，他在工厂开工的第一个月赢得奖励的概率为，从第二个月开始，若上个月没有赢得奖励，则这个月赢得奖励的概率为；若上个月赢得奖励，则这个月仍赢得奖励的概率为，求甲在前两个月所得奖金总额X（单位：千元）的分布列和数学期望. 附： 01 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 参考公式：，其中 17. 在三棱柱中，，平面平面. （1）证明：； （2）若，且与平面所成角为，求与所成角的余弦值． 18. 已知点是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线．不过原点的直线交于两点，关于轴的对称点为，直线和的斜率之积为． （1）求的方程； （2）判断是否过定点，若是则求出该定点，若不是则说明理由； （3）证明：不可能为锐角三角形． 19. 阅读下列材料： 定义1：设是两个（项数有限的）实数数列．数列A和B的项满足以下三个条件： （i）且； （ii）对于任意的，有； （iii）． 那么我们就说数列优超于数列，写成或． 定义2：对函数，若它的导函数的导函数，就称下凸． 定理：若函数下凸，且数列优超于数列，即，则． 根据以上材料，回答下列问题： （1）判断数列与数列是否有优超关系，并证明你结论． （2）若数列超于数列，即，证明：的方差不小于的方差． （3）若函数，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $