精品解析： 重庆市第八中学2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷

重庆八中2024-2025学年度（下）半期考试初二年级数学试题 A卷（100分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 若有意义，则满足的条件是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在矩形中，对角线，相交于点， ，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 3. 如图，在中，点为边中点，连接并延长交延长线于点，若 ，则长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 6. 某公司研发的两个 模块和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模块合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知为整式，计算的结果为，则（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，则（　　） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，，点为线段上一点，且，点为上的任意一点，则的最小值为（　　） A. 5 B. C. 7 D. 4 10. 如图，在中，， ，点为边上一点，且 ，点是的中点，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动；同时，点以每秒 的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　） A. B. C. 或 D. 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 12. 如图，已知矩形中，分别是、的中点，四边形的周长等于，则矩形的对角线长为___________． 13. 若，则的值为_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，是菱形的对角线的交点， 轴，且 ，则点的坐标是___________． 三、解答题：（本大题共5个小题，15，16，17题8分，其余每题10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 15. 分式化简： （1） （2） 16. 解分式方程： （1） （2） 17. 先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 18. 如图，在中，、分别是、上的一点，， ． （1）证明：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 19. 某水果店购进了一批奇异果和芒果，两种水果总重量为千克，奇异果的进价是芒果进价的 倍，奇异果的进货费用为 元，芒果的进货费用为元． （1）求奇异果和芒果的进价分别是多少元每千克； （2）该水果店将这批奇异果全部按元每千克的价格售出．由于芒果不易保存，水果店将这批芒果的按 元每千克的价格售出后，剩余的芒果降价销售，并全部售出．如果这批奇异果和芒果的总利润不低于元，则芒果最多降价多少元？ B卷 四、选择题：（本大题2个小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 20. 若正数满足，则的值为（　　） A. B. C. D. 21. 如图所示，正方形的边长为6，是边上一点，且，连接，作的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接交于点，连接．下列结论正确的是（　　） A. B. 平分 C. 的周长为12 D. 的面积为15 五、填空题：（本大题3个小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 22. 若关于的不等式组有且只有2个奇数解，关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值的和是___________． 23. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，连接 ．若， ，则的周长为___________． 24. 一个三位数，若它的各个数位上的数字均不为，且满足百位数字的平方等于十位数字与个位数字之积的倍（为整数），则称为“百数”，例如：三位数，∵，∴为“百数”；将去掉个位数字剩余的两位数记为，去掉百位数字剩余的两位数记为，规定，则最小的“百数”为______；若一个“百数”的十位数字是，且能被整除，则满足条件的所有的和为______． 六、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数） （1）当时，，求此时的值； （2）填空：化简并猜想 ___________， ___________， ___________；（用只含和的代数式表示） （3）当为整数时，求此时的值． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点是轴上一点，过点作轴的垂线交于点，交于点． （1）求直线、的关系式； （2）如图2，是线段上一动点，为的中点，连接、 、，当四边形的面积为9时，求出点的坐标； （3）如图3，是轴上一点，是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27. 在 中， ，，点是直线上一点． （1）如图1，点是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接 ，，若， ，求线段的长； （2）如图2，点是线段延长线上一点，将绕点顺时针旋转，交线段于点，点为线段上一点，过点作的垂线，垂足为点，过点作交延长线于点，连接．若平分，求证：； （3）如图3，在（1）问的条件下，在线段下方作，使得．点，分别为线段，上的动点，且，连接，当最小时，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2024-2025学年度（下）半期考试初二年级数学试题 A卷（100分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 若有意义，则满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得到，求出结果即可． 【详解】解：有意义， ， ， 故选：A． 2. 如图，在矩形中，对角线，相交于点， ，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质以及 ，可以得到是等边三角形、，再根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∵ ，， ∴是等边三角形 ∴． 故选：C． 3. 如图，在中，点为边中点，连接并延长交延长线于点，若 ，则长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，利用证明，得到，从而求出结果． 【详解】解：四边形为平行四边形， 点为边中点， 又， ， ， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式的加减乘除运算法则逐项排除即可． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 5. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴A不正确； ∵对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴B不正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角， ∴C不正确； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键． 6. 某公司研发的两个 模块和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模块合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设单独处理需要x小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作1.2小时完成，可得出方程． 【详解】解：依题意得， 故选：C． 7. 已知为整式，计算的结果为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式混合运算，分式的基本性质，根据分式的混合运算解答即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 8. 如图，在菱形中，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角，三角形内角和，利用菱形性质可得，根据等边对等角以及三角形内角和可得，进而求出结果即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，正方形中，，点为线段上一点，且，点为上的任意一点，则的最小值为（　　） A. 5 B. C. 7 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称确定最短路线问题，勾股定理，作点P关于的对称点，连接，根据对称性以及结合题意得到，，利用勾股定理求出的长，从而得出结果 【详解】解：如图，作点P关于的对称点，连接， 则的长即为的最小值， ， ， ， 则的最小值为5， 故选：A 10. 如图，在中，， ，点为边上一点，且 ，点是的中点，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动；同时，点以每秒 的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．根据题意求出点P运动到F点的时间为 ，点Q运动到点E的时间为，然后分两种情况讨论：当 时，当 时，根据列方程即可求解． 【详解】解：点E是的中点， ， ， 点P运动到F点的时间为，点Q运动到点E的时间为， 当 时，，则， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，， 即， 解得：， 当 时，，则， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，， 即， 解得：， 综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为或． 故选：C． 二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形． 【答案】5 【解析】 【详解】设这个多边形是n边形，由题意得， (n-2) ×180°=540°，解之得，n=5． 12. 如图，已知矩形中，分别是、的中点，四边形的周长等于，则矩形的对角线长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，连接，由矩形的性质得到矩形，，根据三角形中位线定理得到，再根据四边形的周长等于，求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵分别是、的中点， ∴， ∴， ∵四边形的周长等于， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由，得到，即，再代入中求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，是菱形的对角线的交点， 轴，且 ，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，菱形的性质，勾股定理等知识，根据 菱形的性质和勾股定理求出 的长，根据菱形的面积求出的长，从而得到，再根据勾股定理求出的长，即可得出点的坐标，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵四边形是菱形， ∴，， ， ，，, 在 中，， ∴， ∴，， ∴， ∵轴 轴， 轴，， ∴ ， ∴，即， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴点， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共5个小题，15，16，17题8分，其余每题10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 15. 分式化简： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先算括号内的，再算分式的乘法即可； （2）先算括号内的，再把除法变成乘法计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）把分式方程转化为方程，然后求解，最后进行检验即可； （2）把分式方程转化为方程，然后求解，最后进行检验即可； 【小问1详解】 解： ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：． 17. 先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：， ， ， ， ； 根据分式有意义的条件，x不能为，0， 当时，原式． 18. 如图，在中，、分别是、上的一点，， ． （1）证明：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形证明四边形为平行四边形，再结合 即可得到结论； （2）根据为矩形，可以求出的长，再判定出为等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出最后结果 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是矩形， ， ，， ， , ， 。 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键 19. 某水果店购进了一批奇异果和芒果，两种水果总重量为千克，奇异果的进价是芒果进价的 倍，奇异果的进货费用为 元，芒果的进货费用为元． （1）求奇异果和芒果的进价分别是多少元每千克； （2）该水果店将这批奇异果全部按元每千克的价格售出．由于芒果不易保存，水果店将这批芒果的按 元每千克的价格售出后，剩余的芒果降价销售，并全部售出．如果这批奇异果和芒果的总利润不低于元，则芒果最多降价多少元？ 【答案】（1）芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是 元每千克； （2）芒果最多降价元． 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式应用，分式方程的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． （）设芒果的进价是元每千克，则奇异果进价是 元每千克，由题意列出方程，然后解方程并检验即可； （）设芒果降价元，由（）得奇异果数量为，芒果数量为，根据题意可得，然后解出不等式即可． 【小问1详解】 解：设芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是 元每千克， 由题意得，， 解得，， 经检验是分式方程的解， ∴， 答：芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是 元每千克； 【小问2详解】 解：设芒果降价元， 由（）得：奇异果数量为， 芒果数量为， ∴， 解得：， 答：芒果最多降价元． B卷 四、选择题：（本大题2个小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 20. 若正数满足，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了代数式的变形求值，解一元二次方程，分式的运算等知识，根据公式法求出，再将变形为，最后将代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴ ， ∴， 解得：， ∵是正数， ∴， ∵正数满足， ∴，即， ∴， 把代入，得：， ∴， 故选：C． 21. 如图所示，正方形的边长为6，是边上一点，且，连接，作的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接交于点，连接．下列结论正确的是（　　） A. B. 平分 C. 的周长为12 D. 的面积为15 【答案】ABCD 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，由垂直平分线的性质可判断A选项，由，得到 ，由正方形的性质得到，，进而得到，可判断B选项，过点作于点，证明，得到，，，证明，得到，设 ，则，根据勾股定理得到，得到，，即可判断C选项，证明，得到，，即可判断D选项，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， 由题可知，是的垂直平分线， ∴，故A选项符合题意； ∴ ， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴平分 ，故B选项符合题意； 如图，过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设 ，则， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴的周长，故C选项符合题意； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，故D选项符合题意； 故选：ABCD． 五、填空题：（本大题3个小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 22. 若关于的不等式组有且只有2个奇数解，关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值的和是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题综合考查不等式组的整数解问题及分式方程的解的情况，首先解不等式组，确定x的范围，找到恰好包含2个奇数解的条件，确定a的范围，解方程并确保解为非负数，同时排 除使分母为零的情况，得到a的限制条件，求两个条件的交集，得到所有满足条件的整数a，求和即可． 【详解】解：，整理得：， 则不等式组的解为， 不等式组有且只有2个奇数解， ， ， 对应的整数a有：，，0，1，2，3， ，解得：， ， ， ，即， ， 则所有满足条件的整数的值有：，0，1，2， ， 故答案为：1． 23. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，连接 ．若， ，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，，掌握相关知识是解题的关键．根据菱形的性质得到， ，，，根据勾股定理求出，得到的长，设 ，然后根据在 中，，在中，，求出的长，即可求解． 【详解】解： ∵四边形是菱形，， ， ∴， ，，， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， 设 ，则， 在 中，， 在中，， ∴， 即 整理得：， 解得：， ∴， ∴的周长． 24. 一个三位数，若它的各个数位上的数字均不为，且满足百位数字的平方等于十位数字与个位数字之积的倍（为整数），则称为“百数”，例如：三位数，∵，∴为“百数”；将去掉个位数字剩余的两位数记为，去掉百位数字剩余的两位数记为，规定，则最小的“百数”为______；若一个“百数”的十位数字是，且能被整除，则满足条件的所有的和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，分式，整式的有关运算，掌握知识点的应用是解题的关键． 设三位数为，根据定义可得：，则是的倍，从而求出 ，或， ，然后根据题意即可求解；设一个“百数”为，则，，则，则必为偶数，又能被整除，然后分情况分析即可． 【详解】解：设三位数为，根据定义可得：， ∴是的倍， ∴ 时，，， ∴ ，或， ； ∴对应的“百数”为或， ∴最小的“百数”为； 设一个“百数”为，则，， ∴，则必为偶数， ∴ 当时，， 若 ，时，， 则，符合题意，此时为， 若 ，时，， 则，不符合题意； 当时，， 若 ，时，， 则，不符合题意； 若 ， 时，， 则，不符合题意； 若 ，时，， 则，不符合题意； 当时，， 若 ， 时，， 则，不符合题意； 若 ， 时，， 则，不符合题意； 若 ，时，， 则，不符合题意； 若，时，， 则，符合题意，此时为； 当 时，， 若 ，时，， 则，不符合题意； 综上可知：满足条件的值为，， ∴满足条件的所有的和为， 故答案为：，． 六、解答题：（本大题共3个小题，每小题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 若，对作变化，得到；再对作变化，得到；再对作变化，得到；依次变化下去，；在此变化过程中，记（n为正整数） （1）当时，，求此时的值； （2）填空：化简并猜想 ___________， ___________， ___________；（用只含和的代数式表示） （3）当为整数时，求此时的值． 【答案】（1） （2），， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查绝对值运算、分式的化简求值，以及整数性质的综合应用，解题关键是通过递推关系逐步推导找出规律，结合相关运算规则求解表达式，并依据整数性质确定参数值． （1）依据题目给定的变换规则，依次求出、、关于的表达式，再将代入的表达式，得出的值． （2）先求得，，的值，得到规律，再将代入，利用绝对值与分式运算化简得到；最后把代入化简得出其表达式； （3）根据规律求出，，再计算并化简为 ，最后根据为整数，结合，确定的取值，从而求出的值． 【小问1详解】 已知，， 将代入可得，， 把代入得． ∵， ∴， 解得． 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴． 将代入得 ． 故答案为：，， ； 【小问3详解】 由（2）知 ， ， ． ． ∵为整数， ∴能整除，即或． ∴或 或或 ∵， ∴． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点是轴上一点，过点作轴的垂线交于点，交于点． （1）求直线、的关系式； （2）如图2，是线段上一动点，为的中点，连接、 、，当四边形的面积为9时，求出点的坐标； （3）如图3，是轴上一点，是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或或或． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）连接，设．求出，，然后根据四边形的面积为9列方程求解即可； （3）分4种情况，画出图形求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， ∴， ∴． 把代入，得 ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，设． 当时，， ∴ ， ∵为的中点， ∴ ． ， ， ∵四边形的面积为9， ∴， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ． ∵， ∴． 当为对角线时，如图，作交N， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，即四边形 是菱形， ∴， ∴； 当为边时，点N在店P的下方时，如图， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴点N在直线上，且， ∴； 当为边时，点N在店P的右边时，如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴； 当为边时，点N在店P的左边时，如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴； 综上可知，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，分类讨论是解答本题的关键． 27. 在 中， ，，点是直线上一点． （1）如图1，点是线段上一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接 ，，若， ，求线段的长； （2）如图2，点是线段延长线上一点，将绕点顺时针旋转，交线段于点，点为线段上一点，过点作的垂线，垂足为点，过点作交延长线于点，连接．若平分，求证：； （3）如图3，在（1）问的条件下，在线段下方作，使得．点，分别为线段，上的动点，且，连接，当最小时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点N作 于E，设 ，则可得，从而由建立方程求得 ，即的长； （2）过点作延长线于点，过点作延长线于点，先证明，得出，，利用 ，求出， 再证，再证，得出，再证 为等腰直角三角形，得出，即可证明； （3）先利用，求出，，，再结合，得出，得出，利用胡不归，过点在下方作，过点作于点，得出，则，由点到直线的距离可得当，，依次共线，且时，取得最小值，即取得最小值，此时， 利用证明是 的中位线，得出，证明和是直角三角形，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点N作 于E，设 ， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ∴，， 由勾股定理得， ∵， ， ∴； ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过点作延长线于点，过点作延长线于点， 由旋转得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， ∵，， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ 为等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ∴， 如图，过点在下方作，过点作于点， ∴， ∴， 由点到直线的距离可得当，，依次共线，且时，取得最小值，即取得最小值，此时如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，中位线的性质，含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，二次根式的运算，矩形的判定与性质，熟练掌握这些判定与性质，并能根据题意正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $