精品解析：山东省齐鲁名校教研共同体2024-2025学年高三下学期第六次联考数学试卷

绝密★启用前 “天一大联考·齐鲁名校教研共同体” 2024—2025学年（下）高三年级第六次联考 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，得到，根据交集概念求出交集. 【详解】由题意可得，集合A中的元素中，属于B的有0，1，e． 故. 故选：A 2. 已知向量，，则=（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量线性运算与数量积的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得，故． 故选：B． 3. 已知z是方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合复数模的公式进行求解即可. 【详解】由题，因为，所以z和是方程的两个根， 所以，即，所以. 故选：B. 4. 已知，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先由已知等式化简得到，且，利用基本不等式将其化成关于的不等式，解之即得. 【详解】由可得，即，故， 由，可得， 当且仅当时取等号，即当时， 取得最小值为8. 故选：D. 5. 现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件M为“两根筷子都是红色的”，则． 设事件N为“取到的筷子中有红色的”，则． 所求即为． 故选：D 6. 在一个建筑工程中，工程师需要根据斜坡的倾斜角度来计算一些结构的受力情况.设斜坡的倾斜角度为，经测算分析，发现，若该斜坡的摩擦系数为，则此系数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切的二倍角公式由求出的值，再将所求式子利用三角函数的二倍角公式及同角三角函数的基本关系转化为关于的式子，最后代入的值进行计算. 【详解】已知，则， 即，解得， 因为，故， 故． 故选：B． 7. 小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设答对题的个数为，由条件可得，结合二项分布期望公式和方差公式求，，根据关系，结合期望性质和方差性质求，，由此可得的解析式，再根据二次函数性质求结论. 【详解】设答对题的个数为，由已知可得， 所以，， 因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以当时，取最大值，最大值为. 故选：C. 8. 在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（ ） A. 长轴长为2，离心率为的椭圆的一部分 B. 长轴长为，离心率为的椭圆的一部分 C. 实轴长为2，离心率为的双曲线的一部分 D. 实轴长为，离心率为的双曲线的一部分 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，则，由三角形为锐角三角形得到，利用求出，根据方程特征得到答案. 【详解】以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴，MN的中点为坐标原点， 建立平面直角坐标系，不妨令，，设，则， 因为是锐角三角形，所以， 则|，，， 由，得， 整理得，其为双曲线的一部分，且双曲线的实轴长为， 离心率为， 故点P的轨迹为实轴长为，离心率为的双曲线的一部分． 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的通项公式为，若为递减数列，为递增数列，则t的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】分为正偶数、为正奇数两种情况，分别化简，利用增减性将问题转化为恒成立问题，即可求出的取值范围. 【详解】当为正偶数时，，则， 因为递增数列，则对任意的正偶数恒成立， 则，解得， 当为正奇数时，，则， 因为递减数列，则对任意的正奇数恒成立， 则，解得， 所以的取值范围是，故的可能取值为，． 故选：CD 10. 已知点，均在抛物线C：上，F是C的焦点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线轴 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】将点代入抛物线方程，求的值，判断A的真假；判断点坐标的特点，判断B的真假；根据抛物线的焦半径公式，可判断CD的真假. 【详解】对于A．将的坐标代入C：，得，故A错误． 对于B，由题可得，点A，F的横坐标相同，所以直线轴，故B正确． 对于C，因为点A，B均在C上，所以，，要使，只需．若，由于，所以，，故C正确． 对于D，若，因为，所以，故，解得，故D正确． 故选：BCD 11. 已知函数，为常数，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 在，上单调递增 D. 若对于任意的，函数（a为常数）的图象均与曲线总有公共点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角恒等变形化简得，然后利用三角函数的性质求解判定ABC；利用分类讨论方法，研究函数的值域，进而得到实数的取值范围. 【详解】 ， 易得的最小正周期为，故A正确； 当时，，其值域为，故B错误； 令，得， 故在上单调递增，故C正确； 当时，， 此时； 当时，，此时； 当时，， 因函数的图象均与曲线总有公共点， 则且， 当时，，此时； 当时，，此时， 故， 综上所述，，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分． 12. 现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆锥的底面直径与母线长的比值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设该圆锥的底面半径为，母线长为，由圆锥与球的表面积公式计算求解即可． 【详解】设该圆锥的底面半径为，母线长为，则其表面积为， 球的表面积为，所以， 即，解得（负值舍去）， 故圆锥的底面直径与母线长的比值为． 故答案为： 13. 已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意有和，又得，令，利用函数的单调性即可求解. 【详解】∵是奇函数，是偶函数，在中， 用去代换x，得， ∴，，∵， ∴由，可得， 令，则在上单调递增． 若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向上，符合题意； 若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向下， 则需，即；若，则在上单调递增，符合题意． 综上，． 故答案为：. 14. 已知三个正数构成公比为的等比数列，圆：，过圆上一点P分别作圆，的切线，切点分别为，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据相切和勾股定理可得，即可利用三角换元求解. 【详解】不妨设，，，三个圆心分别为，，， 根据勾股定理得，， 所以，因为点P在圆上， 故可设点，其中， 则，整理得，即，解得． 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 下表是2020—2024年中国出生人口数y（单位：十万人）的数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 出生人口数y/十万人 120 106 96 90 95 （1）求2020—2024年中国每年出生人口数的平均数； （2）某研究人员建立了y关于x的回归模型，用该回归模型预测从哪一年开始中国出生人口数将低于700万； （3）求（2）中回归模型的决定系数，并评价其拟合效果．（如果，就认为拟合效果好，如果，就认为拟合效果一般，如果，就认为拟合效果差） 附：，． 【答案】（1） （2）2028年 （3），这个模型的拟合效果一般 【解析】 【分析】（1）利用平均数公式计算即可. （2）回归模型预测中国出生人口数低于700万，即．计算即可. （3）计算决定系数，由的取值范围评价拟合效果即可. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 中国出生人口数低于700万，即． ，解得：,, 当时，， 当时，， 对应2028年，即预测从2028年开始中国出生人口数将低于700万． 【小问3详解】 当，，， 当，，， 当，，， 当，，， 当，，， 所以 因为，所以这个模型的拟合效果一般． 16. 如图，在中，，点是边上的两点，点在之间，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，得到，求得，进而求得的值； （2）由余弦定理，求得，得到，再由，求得，利用余弦定理求得，得到，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：因为，且， 所以，可得， 即，所以． 【小问2详解】 解：因为，，， 所以， 又因为，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以． 17. 如图，四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，且，，平面． （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由题意知四边形存在外接圆， 故， 而，即， 所以，故， 由平面，平面，可得， 而，平面，平面， 故平面， 又因为平面，故平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件先证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，根据面面垂直判定定理证明平面平面． （2）过点作，垂足为，根据面面垂直性质定理证明平面，结合锥体体积公式可得，再求和的面积的最大值，由此可得结论； （3）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，再结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作，垂足为， 由（1）平面平面，又平面平面，平面， 所以平面． 设四边形的面积为， 则四棱锥的体积， 因为，，所以， 因为平面，平面， 所以，则点P在以AB为直径的圆上， 当时，PH最大，最大值为． 因为，所以点在以为直径的圆上，且， 当时，最大，最大值为，此时底面ABCD是正方形． 所以四棱锥体积的最大值为． 【小问3详解】 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，过点A且与平面ABCD垂直的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图． 由（2）可知，，，． 所以，，． 设平面PBD的法向量为， 则， 取，则， 所以为平面PBD的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知，函数． （1）若，，求曲线在点处的切线方程； （2）若，，求的单调区间； （3）若对任意，至多有2个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为和 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程. （2）求导，利用导函数的符号求函数的单调区间. （3）分和讨论.当时，问题转化为方程只有1解，求的取值范围. 【小问1详解】 若，，则，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由题易知，所以． 令，得， 当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和． 【小问3详解】 若，则，仅有1个零点，符合题意． 若，由至多有2个零点，可知至多有1个极值点， 则至多有1个变号零点． 由，可得． 设，则， 可得在上单调递减，在和上单调递增， 所以的极大值为，极小值为， 且当时，，当时，，作出的大致图象如下： 根据题意，直线与的图象至多有1个交点（切点除外）， 所以或，解得或． 综上，a的取值范围是． 19. 已知椭圆C：经过点． （1）求C的离心率． （2）设A，B分别为C的左、右顶点，P，Q为C上异于A，B的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍． ①当b的值确定时，证明：直线过x轴上的定点； ②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，设，证明：． 【答案】（1） （2） ①由（1）知C的方程为，，. 由对称性可知直线的斜率不可能为0，设，，设的方程为． 由，可得， 所以，即， 且，．所以． 则 ， 解得，则的方程为， 即直线过x轴上的定点. ②由①可知，，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列. 所以，. 当n为偶数时，， 所以. 当为奇数时，因为， 所以. 综上可得：. 【解析】 【分析】（1）根据题意，将点代入椭圆方程得，进而求得离心率； （2）①由题可知直线的斜率不可能为0，设的方程为，与椭圆方程联立可得根与系数关系，结合，解得，进而得证；②根据题意，可得是等比数列，求得，得，分n为偶数和奇数分别证明. 【小问1详解】 因为椭圆C经过点，所以，故， 所以C的离心率. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 “天一大联考·齐鲁名校教研共同体” 2024—2025学年（下）高三年级第六次联考 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则=（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 3. 已知z是方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 8 5. 现有5种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在一个建筑工程中，工程师需要根据斜坡的倾斜角度来计算一些结构的受力情况.设斜坡的倾斜角度为，经测算分析，发现，若该斜坡的摩擦系数为，则此系数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角三角形PMN中，，，垂足为Q，，则点P的轨迹为（ ） A. 长轴长为2，离心率为的椭圆的一部分 B. 长轴长为，离心率为的椭圆的一部分 C. 实轴长为2，离心率为的双曲线的一部分 D. 实轴长为，离心率为的双曲线的一部分 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的通项公式为，若为递减数列，为递增数列，则t的可能取值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，均在抛物线C：上，F是C的焦点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线轴 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，为常数，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 在，上单调递增 D. 若对于任意的，函数（a为常数）的图象均与曲线总有公共点，则 三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分． 12. 现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆锥的底面直径与母线长的比值为______． 13. 已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是______． 14. 已知三个正数构成公比为的等比数列，圆：，过圆上一点P分别作圆，的切线，切点分别为，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 下表是2020—2024年中国出生人口数y（单位：十万人）的数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 出生人口数y/十万人 120 106 96 90 95 （1）求2020—2024年中国每年出生人口数的平均数； （2）某研究人员建立了y关于x的回归模型，用该回归模型预测从哪一年开始中国出生人口数将低于700万； （3）求（2）中回归模型的决定系数，并评价其拟合效果．（如果，就认为拟合效果好，如果，就认为拟合效果一般，如果，就认为拟合效果差） 附：，． 16. 如图，在中，，点是边上的两点，点在之间，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 17. 如图，四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，且，，平面． （1）证明：平面平面； （2）求四棱锥体积的最大值； （3）当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知，函数． （1）若，，求曲线在点处的切线方程； （2）若，，求的单调区间； （3）若对任意，至多有2个零点，求a的取值范围． 19. 已知椭圆C：经过点． （1）求C的离心率． （2）设A，B分别为C的左、右顶点，P，Q为C上异于A，B的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍． ①当b的值确定时，证明：直线过x轴上的定点； ②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $