精品解析：重庆市四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

重庆外国语学校2024-2025学年度（下）高2027届半期考试 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分，每题有且仅有一个正确答案） 1. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 若且P是线段的一个三等分点，则点P的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 吉林某中学数学教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（ ） A B. C. D. 8. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，若，，，则下列正确的是（ ） A B. C. D. 10. 已知向量的夹角为，，，，则（ ） A. 在方向上的投影向量的模为1 B. 在方向上的投影向量的模为 C. 的最小值为 D. 取得最小值时， 11. 已知函数，将图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. 在上单调递减 C. 的解集为 D. 方程在上有且只有三个相异实根 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 在中，角所对边分别为，若，且，则的面积__________. 13. 已知函数在区间内单调递增，则的最大值为_______. 14. 在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为____________. 四、解答题（共5题，共77分，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分，请写出必要的解答过程） 15. 已知向量，，，且． （1）求； （2）求向量与的夹角的余弦值． 16. 记的内角的对边分别为，已知向量，，且. （1）求； （2）若的面积为，且，求. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值，以及相应x的值； （3）若，，求的值． 18. 在中，内角对应的边分别是，且． （1）求角A的大小； （2）若的面积是，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，，分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在－仿射坐标系中，若，求； （2）如图所示，在－仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆外国语学校2024-2025学年度（下）高2027届半期考试 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分，每题有且仅有一个正确答案） 1. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的充要条件得解即可. 【详解】因，， 所以， 因为， 所以，解得， 故选：B 2. 若且P是线段的一个三等分点，则点P的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由或求解即可； 【详解】由题意得或． 设，则， 当时，，所以，即； 当时，，所以，即． 故选：D 3. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，列式求解. 【详解】为偶函数，则，，取，则. 故选：D. 4. 设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为. 故选：C 5. 吉林某中学数学教具中出现的勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的一点，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用数量积的运算律可得，再利用数量积的定义求解. 【详解】由为弧上的一点，得，，则， 因此， 当且仅当，即点与点重合时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用和角的正弦公式将展开，再用商数关系弦化切即可求解. 【详解】因为， 将式子的左右两侧同时除以，可得 ， 即. 故选：D 7. 已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得出；再利用正弦定理、三角恒等变换和同角三角函数基本关系对三角形面积公式进行化简变形得出；最后结合即可得出结果. 【详解】因为在中， ，， 所以. 又因为为锐角三角形， 所以，解得. 又因为， 所以由正弦定理可得：， 由三角形面积公式可得： . 又因为， 所以， 则. 故，即. 所以面积的取值范围是. 故选：B. 8. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，设，，在、分别利用正弦定理表示出、，由，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，即可求出三角形面积最大值. 【详解】因为，，，所以， 设，， 则，，， 在中由正弦定理，即， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以 （其中）， 所以， 则， 即三角形的面积的最大值是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是用含的式子表示出、，再利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，进而求出三角形面积最大值. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，若，，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式求出，再由正弦定理求得，即可利用面积公式求解面积，结合选项逐一求解. 【详解】∵是三角形内角， ∴， ∴， 由得， ,故BD正确，AC错误， 故选：BD 10. 已知向量的夹角为，，，，则（ ） A. 在方向上的投影向量的模为1 B. 在方向上的投影向量的模为 C. 的最小值为 D. 取得最小值时， 【答案】AD 【解析】 【分析】利用投影向量的模长公式和数量积的运算律逐项判断即可. 【详解】由题意在方向上的投影向量的模为，故A说法正确； 在方向上的投影向量的模为，故B说法错误； ， 当时，取得最小值， 此时， 所以，故C说法错误，D说法正确， 故选：AD 11. 已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于对称 B. 在上单调递减 C. 的解集为 D. 方程在上有且只有三个相异实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】将的图象变换后的函数的解析式写出来，依据为偶函数，且最小正周期为，可以求出与的函数解析式，再对选项逐一判断即可. 【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得，然后横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得， 因为的最小正周期为，所以，解得，即， 因为为偶函数，所以，解得， 又因为，当时，可得， 所以，. 对于A，当时，，所以的图象关于对称，故A正确； 对于B，因为，所以，所以在上先单调递减后单调递增，故B错误； 对于C，由，得，即，解得， 所以的解集为，故C正确； 对于D，由，得， 即， 所以即 所以，解得， 又因为，所以，所以方程在上有3个相异实根，故D错误. 故选：ACD. 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用正弦边角关系及三角形内角性质得，根据已知有，再应用余弦定理、三角形面积公式求结果. 【详解】由及正弦定理得， 因为，所以，所以，故， 又因为，所以， 由，得， 由余弦定理得， 所以的面积. 故答案为： 13. 已知函数在区间内单调递增，则的最大值为_______. 【答案】1 【解析】 【分析】由已知结合正切函数的单调性即可求解. 【详解】由函数在区间内单调递增， 可得，且，解得， 所以的最大值为1. 故答案为：1. 14. 在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为____________. 【答案】9 【解析】 【分析】先由题意得到，根据三点共线的充要条件，得到，再由基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以，又三点共线， 所以，所以， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：9. 四、解答题（共5题，共77分，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分，请写出必要的解答过程） 15. 已知向量，，，且． （1）求； （2）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量加减运算、数乘运算、数量积的坐标表示，求出的值，再利用向量的模长公式计算即可. （2）根据向量数量积的定义计算向量的夹角. 【小问1详解】 由题意，，， 因为，所以，解得. 则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，故. 所以. 故向量与的夹角的余弦值为. 16. 记内角的对边分别为，已知向量，，且. （1）求； （2）若的面积为，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可化简得，进而可求解， （2）根据面积公式可得，进而利用余弦定理求解. 【小问1详解】 由题意知，， 由正弦定理得， 因，所以， 则，即， 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，解得， 所以， 由余弦定理得，所以. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值，以及相应x的值； （3）若，，求的值． 【答案】（1），． （2），， ，． （3） 【解析】 【分析】（1）将函数运用诱导公式，二倍角公式，辅助角公式进行化简，化成正弦型函数来解即可； （2），所以在上单调递增，在上单调递减，运用单调性解题即可； （3）由，得出，运用同角三角函数关系求出 ，再运用和角公式求出即可． 【小问1详解】 因 ， 所以的最小正周期， 由，，得，， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以当时，，当时，． 【小问3详解】 因为，所以， 又，则，则， 所以， 所以 ． 18. 在中，内角对应的边分别是，且． （1）求角A的大小； （2）若的面积是，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到结果； （2）由三角形的面积公式可得的值，再由余弦定理可得的值，从从而可得，即可得到结果； （3）由三角形的内角和将转化为关于的式子，再由三角函数的性质即可求得结果. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即，因为，所以， 则，即. 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 即，所以， 则，所以， 则的周长为. 【小问3详解】 由可得， 则 ， 且为锐角三角形，则，解得， 所以，则， 所以， 即的取值范围是. 19. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，，分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在－仿射坐标系中，若，求； （2）如图所示，在－仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由坐标系新定义和向量的数量积以及模长的计算求解即可； （2）由坐标系新定义和中点坐标公式以及向量的数量积求出，再由余弦定理和正弦定理边化角以及降幂公式，辅助角公式化简可得. 【小问1详解】 由题意知，，， ，， ，． 【小问2详解】 设，且，， ， 为的中点，， 为中点，同理得， ， ，， ， 中，，， 代入上式得， 中，由正弦定理得， 设，则，，， ， 其中且，，， 当时，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $